2015-2017三角函数高考真题教师版
【中小学资料】三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理
专题09 三角恒等变换与求值1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) （A）2-（B）2（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】 由已知，3co s(10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33costan sin1010tan cossin55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是的充分条件，是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化 5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
(老师)三角函数历年高考题
2008年高考命题走势（四） 近年的“三角函数”考到怎样难度三角函数的考查形式与特点主要有：一、客观题重基础，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.【例1】 （2007年四川）下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））解答：①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.【例2】（2007年安徽）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ：① 图象C 关于直线π1211=x 对称;② ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解答 C ①图象C 关于直线232x k πππ-=+对称，当k =1时，图象C 关于π1211=x 对称；①正确；②x ∈)12π5,12π(-时，23x π-∈(－2π，2π)，∴ 函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin(2)3y x π=-，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有2个，选C.【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型，其命题热点是章节内部的三角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题. 【例3】 （2007年安徽）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期， 1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且a ·b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．解答：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·．由于π04α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．属于三角函数求值问题.本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来. 【例4】 （2007年天津）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解答：（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【点评】 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能.【例5】 （2007年四川）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的 三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2， 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长 是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212解答：D 因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线， l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作 l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD = ∠BAC +∠CAE ，即∠BAD =60°+∠CAE ,记正三角形ABC 的边长为a ,两边取余弦得：CAE CAE asin 60sin cos 60cos 1︒-︒=，即aaaa223233211-⨯-⨯=x整理得3212,,1)9(32==-a a 解之得，故选D.【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.【例6】 （2007年全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=．2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，（2）问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用，但题干中△ABC 为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.四、综合体现三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱，但是对它的考查还会存在.这是由于近年高考出题突出以能力立意，加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题.【例7】 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行， 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于 甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结11A B，由已知22A B =122060A A ==，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=6020=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122060A A ==，112105B A A =∠，cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-4-=，sin 105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+1A2A1A2A乙4=在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204-=+-⨯⨯100(4=+．1110(1A B ∴=+．由正弦定理1112111222sin sin 42A B A A B B A A A B +===∠∠，12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，cos 15sin 1054==．在112B A B △中，由已知12A B =，由余弦定理，22212112221222cos 15B B A B A B A B A B =++22210(1210(14+=++-⨯+⨯200=．12B B ∴=6020=/小时．答：乙船每小时航行海里．【点评】 本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理.由于近年高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.【例8】 已知函数2222()2()21tf x xt x x x t =-++++，1()(2g x f x =（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数； （III ）证明：3()2f x ≥解答：(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x x te e x g x e t e x g又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜xx e e -+2，即12)(2+-='xxte ex g ＞0由此可知，)(x g 为R 上的增函数(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得12)(2+-='x xte ex g ＜0，即t ＞xx ee -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可因此y =xx e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时12)(2+-='xxte ex g ＜0，在闭区间[a ,b ]上成立即可令,xe m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m ＜0(],[ba e e m ∈)而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--bb aa ee t e e t 22 成立 取a a e e -+2与bb e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x et x e t t F xx,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F x x易得)(t F ≥1)(212+-x e x令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x-='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23，于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f 3证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x e t x e t x x)(t F ≥23，当且仅当21)(22222-+++-x e t x e txx≥0只需证明)21(42)(4222--⨯-+x ex e xx≤0，即2)(x e x -≥1以下同证法一证法三：设)(t F =1)(22222++++-x e t x e t x x ，则).(24)(x e t t F x+-='易得.0)2(=+'x e F x当t ＞2x e x+时, )(t F '＞0; t ＜2x e x+时, )(t F '＜0，故当t =2xe)(t F 取最小值.1)(212+-x e x即)(t F ≥.1)(212+-x e x以下同证法一证法四: )(x f 1)()(22+-+-=t x t e x设点A 、B 的坐标分别为),(),(t t 、e x x，易知点B 在直线y =x 上，令点A 到直线y =离为d ，则)(x f 1||2+=AB ≥.1)(21122+-=+x e d x以下同证法一【点评】 本题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立的有关问题的交汇处命题，真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合性.。
专题11 解三角形—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】试题分析：所以，选A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A B （C ）-（D ）- 【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222cos2AB AC BC A AB AC +-==⋅，故选C ． 考点：余弦定理．3.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．4.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】试题分析：取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△．又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=综上可得，△BCD cos BDC ∠=．【考点】解三角形5.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.6.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是. 【答案】8.【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识7.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是.【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF 所以AB 的取值范围，.【考点定位】正余弦定理；数形结合思想8.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=， 所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点：三角函数和差公式，正弦定理.能用到。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题10三角函数图象与性质理20171102345
专题10 三角函数图象与性质1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2πB．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】试题分析：因为C C函数名不同，所以先将1,2C利用诱导公式转化成与C相同的函数名，则2122C:y sin(2x )cos(2x)cos(2x )，则由C上各点的横坐标缩短到原213326 1来的个单位得到倍变为y sin2x，再将曲线向左平移C，故选D.2 212【考点】三角函数图像变换.2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x= 83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】1试题分析：函数的最小正周期为 T2，则函数的周期为 T2k kZ ，取21k，可得函数 fx 的一个周期为2 ，选项 A 正确；1函数的对称轴为，即：xk k ZxkkZ ，取 k3可得 y =f (x )的图像33关于直线 x = 83对称，选项 B 正确；coscos f xx x3 3，函数的零点满足x kkZ ，32即x kk Z，取 k0 可得 f (x +π)的一个零点为x =66，选项 C 正确；当 x ,2时， x5 4 ,3 63，函数在该区间内不单调，选项 D 错误；故选 D . 【考点】函数 yA cos x的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y ＝Asin (ωx ＋φ)或 y ＝Acos (ωx ＋φ)的形式，则最小 正周期为T 2；奇偶性的判断关键是解析式是否为 y＝Asinωx 或 y ＝Acosωx ＋b 的形式.(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令xkk Z，求x；求f(x)2的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.3.【2017天津，理7】设函数f(x)2sin(x )，x R ，其中0，||.若(5)2，f8f，且f(x)的最小正周期大于2，则()08（A）2，3（B）2，123（C）1，123（D）241，324【答案】A2【名师点睛】有关 y A sin(x ) 问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 A ，再根据周期或 1 2周期或 1 4周期求出 ，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量， 题型很活，求或 的值或最值或范围等.4.【2016高考新课标 1卷】已知函数 f (x ) sin(x+)(0，), x为 f (x ) 的 24零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在5， 单调,则 的最大值为( )418 36（A ）11 （B ）9（C ）7（D ）5【答案】B 【解析】试 题 分 析 ： 因 为xT( )4 4 4k T ,即为 f (x ) 的 零 点 ,x 为 f (x ) 图 像 的 对 称 轴 ,所以4 4 4k 1 4k 1 2 T ,所以 4k 1(k N *),又因为 f (x ) 2 4 45 在 ,18 36单调,所以5 T 2,即 12,由此 的最大值为 9.故选 B. 36 18 12 2 2考点：三角函数的性质5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πy sin(2x)的图象，只需把函数y sin 2x的3图象上所有的点( )3（A ）向左平行移动 （C ）向左平行移动π 3π6 π个单位长度（B ）向右平行移动 个单位长度3π 个单位长度 （D ）向右平行移动 个单位长度6【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数 ysin(2x ) sin[2(x )]，只需把函数 ysin 2x3 6的图像上所有点向右移 个单位，故选 D.6考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数 f (x ) A sin(ωx φ)的图象平移变换中要注意人“ ω ”的影响，变换有两种顺序：一种 ysin x 的图象向左平移个单位得yx φ ，再把横坐标变为原来的 1 sin()倍，纵坐标不变，得 ysin(ωx φ) 的图象，另一ω种是把 ysin x 的图象横坐标变为原来的 1倍，纵坐标不变，得 ysin ωx 的图象，向左平ωφ移个单位得 ysin(ωx φ) 的图象．ω6.【2015高考山东，理 3】要得到函数 ysin 4x 的图象，只需要将函数 ysin 4x 的3图象（）（A ）向左平移12个单位 （B ）向右平移12个单位 （C ）向左平移 3个单位（D ）向右平移3个单位【答案】B【解析】因为 ysin4xsin 4 x312，所以要得到函数 sin 4y x 3的图象， 只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移12个单位.故选 B.【考点定位】三角函数的图象变换.7.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数4y 3sin( x ) k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）6A ． 5B ． 6C ． 8D ．10【答案】C【解析】由图象知：y min2 ，因为yk ，所以 3 k 2 ，解得： k5 ，所以这min 3 段时间水深的最大值是y max3k35 8 ，故选 C ．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要 字眼“最大值”，否则很容易出现 错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin x1时， y 取得最小值，进而求出的值，当6sin x1时， y 取得最大值． 68.【2016高考新课标 2理数】若将函数 y 2 s in 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）kk（A ） x (k Z ) （B ） x(kZ ) 26 26k k（C ） x (k Z ) （D ） x(kZ )2 122 12【答案】B 【解析】【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx5加减多少值．9.【2015高考新课标 1，理 8】函数 f (x ) =cos(x ) 的部分图像如图所示，则 f (x ) 的单调递减区间为( )13 (A)( , ),kkk Zkkk Z (B)(21 ,23 ),4 4 44(C)( , ), kkk Zk 1 k 3 kZ (D)(21 ,23 ), 444 4【答案】D1+42【解析】由五点作图知， 5 3+ 4 2，解得= ，= ，所以 f (x ) cos( x ) ， 4 4令 2kx 2k ,k Z，解得 2k 1 ＜＜ 2 3k， k Z ，故单调减区间为4 4 41（2k， 2 3k）， k Z ，故选 D.44【考点定位】三角函数图像与性质10.【2016高考浙江理数】设函数f(x)sin2x b sin x c，则f(x)的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：()sin2sin1cos2x sin cos2x sin1f x x b x c b x c b x c，2226其中当 b0 时， ( )cos 2x1f x c ，此时周期是；当 b 0 时，周期为 2 ，而不2 2影响周期．故选 B ．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期． 【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数 f x，再判断和的取值是否影响函数 fx的最小正周期．11.【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点 ( , ) 向左平移（ s 0 ）P t3 4 个单位长度得到点 P '，若 P '位于函数 ysin 2x 的图象上，则（）1A.t ，的最小值为263B.t，的最小值为2 61C.t ，的最小值为233D.t，的最小值为23【答案】A 【解析】，故此时 P '所对应的点为 ( , 1)1试题分析：由题意得，，此时向左平t sin(2) 4 3 212 2移 -个单位，故选 A.4 12 6考点：三角函数图象平移12.【2016高考山东理数】函数 f （x ）=（ 3 sin x +cos x ）（ 3 cos x –sin x ）的最小正周期 是（） π （A ）2（B ）π （C ）3π 2（D ）2π【答案】B【解析】,故最小正周期f x x xx试题分析：2s in2cos2s in26637T2,故选B.2考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函 数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步 讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 13.【2015高考安徽，理 10】已知函数 fx Asin x（A ， ， 均为正的常数）的最小正周期为，当2x时，函数 fx取得最小值，则下列结论正确的是（）3（A ） f2 f2 f0（B ） f0 f2 f2 （C ） f2ff2（D ） f2ff2【答案】A【解析】由题意， fx Asin x(A0,0, 0) ， 2 2T，所以 | |，则 fx Asin 2x，而当2 2xk kZ ，时， 2 23 2, 3 32解得2k ,k Z f xxA，所以sin 2 ( 0)A66，则当 2x2k ，62即 xk ,k Z时， f (x ) 取得最大值.要比较 f2, f2, f0的大小，只需判6断 2,2,0 与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知 0,2 与比较6近 ，2与 5比 较 近 ， 所 以 ， 当 k0 时 ，， 此 时 | 0|A 0.52 ，x666， 此 时 | 2 ( 5 ) | 0.6| 2| 1.47 xA ， 所 以A ， 当 k1时 ，5666f (2) f (2) f (0)，故选 A.【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.814.【2015湖南理 2】将函数 f (x ) sin 2x 的图像向右平移(0) 个单位后得到函数2g (x ) 的图像，若对满足 f (x ) g (x )2 的 x ， x ，有 xx，则（）121212 min35A.B.C.D.123 46【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到 g (x ) sin(2x 2)，又∵| ( 1) g (x ) | 2f x ，∴不2妨2 1，x2x 22 ， ∴k 2mx， 又 ∵21 x(k m )22 22x x ， 12 min 3∴，故选 D.236 【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x ) A sin(x) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0, 3 ]上的函数 y sin 2x 的图象与 y cos x 的图象的交点个数是.【答案】71【 解 析 】 由sin 2x cos x cos x 0或sin x ， 因 为 x[0, 3 ]， 所 以23551317x,,,,,,,共7个2226666考点：三角函数图像【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.16.【2016高考新课标3理数】函数y sin x3cos x的图像可由函数y sin x3cos x9的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3【解析】试题分析：因为y sin x3cos x2sin(x)，y sin x3cos x2sin(x)＝332sin[(x)]，所以函数y sin x3cos x的图像可由函数y sin x3cos x的图33个单位长度得到．像至少向右平移3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．17.【2015高考湖北，理12】函数()4cos2cos(π)2sin|ln(1)|f x x x x的零点个数为．x22【答案】2【解析】因为()4cos2cos(π)2sin|ln(1)|f x x x xx222(1cos x)sin x2s in x|ln(x1)|sin2x|ln(x1)|所以函数f(x)的零点个数为函数y sin2x与y|ln(x1)|图象的交点的个数，函数y sin2x与y|ln(x1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。
专题02 函数—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)
–m
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A．与 a 有关，且与 b 有关
B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关
D．与 a 无关，但与 b 有关
4.【2017 北京，文 5】已知函数 f (x) 3x (1)x ，则 f (x) 3
（A）是偶函数，且在 R 上是增函数
A. f
(x)
1 x2
B. f (x) x2 1 C. f (x) x3
D. f (x) 2x
10. 【2016 高考新课标 2 文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域
和值域相同的是（ ）
（A）y=x
（B）y=lgx
（C）y=2x
（D） y 1 x
11. 【2016 高考新课标 2 文数】已知函数 f(x)（x∈R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与
m
y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，„，（xm,ym），则 xi = （ ） i 1
(A)0
(B)m
(C) 2m
(D) 4m
12. 【2014 山东.文 3】 函数 f (x)
1
的定义域为（ ）
log 2 x 1
A. (0, 2)
B. (0, 2] C. (2,)
D. [2, )
A ． y x2 sin x
B ． y x2 cos x
C ． y ln x
D． y 2x
6. 【2014 高考广东卷.文.5】下列函数为奇函数的是( )
A.
2x
1 2x
B. x3 sin x
D. x2 2x
专题09-三角恒等变换与求值—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A）B（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
2015-2017三角函数高考真题教师版
12015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 . 【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BEAD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得BF=AB的取值范围为（，.考点：正余弦定理；数形结合思想 4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）2【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． （Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2A B D A D CS S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】BD P CB OAx3考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II）若c ABC =∆求ABC 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ26Z k x k =+∈4故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】 ∵，，，， ， 由正弦定理得：解得． 11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264c o s 2s i n 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） （A（B（C）- （D）-【答案】C 【解析】3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21134cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=sin sin b a B A =2113b =5试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．6【解析】πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，【解析】即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin aA．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A = 【解析】∴21sin 3sin 2a bc A A = 【解析】∴223sin 2a bc A =【解析】∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+16、（2017年全国2卷14题）7函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2BC A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，817152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得 所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎． 18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A=，则2πππ326DAB∠=-=，1πsin26ABDS AD AB=⋅⋅=△9。
2015年全国高考真题_三角函数(详细答案)
又∵，，∴，故. 23.【2015高考山东，理16】设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【答案】（I）单调递增区间是； 单调递减区间是 （II） 面积的最大值为 【解析】 （I）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是
(Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得． (Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在中，已知. （1）求的长；
（2）求的值. 【答案】（1）；（2）
21.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变 换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变），再将所得到的图像向右平移个单位长度. (Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
∴ ，又， ∴ ，∴ 即，∴ ； （2）由（1）依题知 ， ∴ 又， ∴ 即． 32.【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为 钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）.
，∴，于是 ，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.
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2015-2017三角函数高考真题教师版2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）oo o osin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】原式=oo o osin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D.2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k-＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z∈，故选D.考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即oo2sin 30sin 75BE=，解得BE 6+2平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得62AB 的取值范围626+2.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x+=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-++++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P在AD边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x+=+-，从点P 的运动过程可以看出，(D)(C)(B)(A)xyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxxyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxD P C BOAx轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 【解析】（Ⅰ）1sin 2ABDS AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADCSAC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADCSS ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠． （Ⅱ）因为::ABDADC SS BD DC∆∆=，所以2BD =ABD ∆和ADC∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若7,c ABC=∆33求ABC V 的周长．试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据133sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据7c =可得C ∆AB 的周长为57+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈解析：平移后图像表达式为， 令，得对称轴方程：，故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【解析】D ∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ26Z k x k =+∈3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113∵，，，，，由正弦定理得：解得．11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825(C) 1(D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 12、（2016全国3卷8题）在ABC△中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）4cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=sin sin b aB A =2113b =（A 310 （B 10 （C ）10-（D ）310-【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC =+=，2AB AD=．由余弦定理，知22222210cos 2225AB AC BC A AB AC AD AD+-===⋅⨯⨯，故选C ．考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin 3y x x=-的图像可由函数sin 3y x x=+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x=，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）∵ABC△面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A=∴21sin 3sin 2a bc A A =∴223sin 2a bc A=∵由正弦定理得223sinsin sin sin 2A B C A=，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin A ，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin ab B A=⋅，sin sin ac C A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ② 由①②得33b c +=∴333a b c ++=+ABC △周长为333+16、（2017年全国2卷14题） 函数()23sin 34f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力 【解析】∵ ()23sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sincos 1x x +=∴ ()21cos3cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()2134f x t t =-+函数对称轴为[]30,1t =，∴ ()max1f x =17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形． 【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin8)sin(2BC A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sincos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b．（Ⅰ） 【基本解法1】 由题设及2sin8sin ,2BB C B A ==++π，故sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB=cosB 171（舍去），=【基本解法2】由题设及2sin8sin ,2BB C B A ==++π，所以2sin82cos 2sin 22BB B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB（Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABCSc B ac ∆==又17=22ABC Sac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac ac ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πgxyO19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 30A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,27,4AC BC AB ===，由余弦定理22227cos 2a b c C ab +-==.∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD =由勾股定理223AD CD AC -又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 326ABDS AD AB =⋅⋅=△。