三角函数高考试题精选含详细答案)
2016-2019年高考真题三角函数解答题全集(含详细解析)
2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C +的值．8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知222(sin sin )()sin A C a b B -=-． （1）证明222a b c ab +-=； （2）求角C 和边c ．10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =． （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32，求m 的最小值． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．17．（2018•上海）已知cos y x =（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3f πα-的值（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值18．（2017•上海）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2)4A π+的值．21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π∈-，]4π时，1()2f x -…．25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，37c a =．（1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积．28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2()3f π的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间．30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cos C 的值． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =．（1）求B ； （2）已知1cos 3A =，求sin C 的值．32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值． 33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π=．（1）求AB 的长； （2）求cos()6A π-的值．35．（2016•北京）在ABC ∆中，222a c b +=+． （Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C +的最大值．36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o ss i n A B Cab c+=．（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =； （Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B ．37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π-，]4π上的单调性． 38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n2(t a n t a n )c o s c o sA B A B B A +=+． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：EDC ABD ∠=∠．41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值．2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）参考答案与试题解析1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．【解答】解：22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-． （1）()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）g ()()3cos(2)3cos 22x xx f x ==-=-，[0x ∈，]3π，3cos [3x ∴-∈-，3]2-．即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==， 可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >，cos2sin cos 222B B B ∴=， 若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=， 由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a =，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<， 可得ABC ∆面积13sin 23S a π==∈． 3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值． 【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23a c =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a ac b B ac aa +-+-===-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B ，从而sin 22sin cos B B B ==， 227cos2cos sin 8BB B =-=-，故71sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ+=+=-⨯=． 4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．【解答】解：（1）由()sin f x x =，得 ()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+为偶函数，∴()2k k Z πθπ=+∈， [0θ∈，2)π，∴2πθ=或32πθ=， （2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 22sin ()sin ()124x x ππ=+++1cos(2)1cos(2)6222x x ππ-+-+=+11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ=---3sin 214x x =+)16x π=-+， x R ∈，∴sin(2)[1,1]6x π-∈-，∴)1[16y x π=-+∈， ∴函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域为：[1． 5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．【解答】解：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1cos 2B =-．∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin c bC B=，∴5sin 2sin 7c BC b=== b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，11cos 14C ∴=， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-111()142=--=． 6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 【解答】解：（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 3a c =，b =，2cos 3B =， ∴由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，解得c =． （2）sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=，22sin cos 1B B +=，sin B ∴，cos B =sin()cos 2B B π∴+==． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C +的值．【解答】解：（1）3a =，2b c -=，1cos 2B =-．∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；（2）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin a bA B =，3sin 2sin 7a BA b∴===，sin()sin()sin B C A A π∴+=-==8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【解答】解：（1）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．则222sin sin 2sin sin sin sin sin B C B C A B C +-=-，∴由正弦定理得：222b c a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，0A π<<，3A π∴=．（2）2b c +=，3A π=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 3C C π+-=解得sin()6C π-=64C ππ∴-=，46C ππ=+，1sin sin()sin cos cos sin 464646222C ππππππ∴=+=+=⨯=． 9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知222(sin sin )()sin A C a b B -=-． （1）证明222a b c ab +-=； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：22sin sin sin a b cR A B C====， sin 2aA ∴=，sin 2b B =，sin 2c C =，222(sin sin )()sin A C a b B -=-，222()()442a cb a b ∴-=-，化简，得：222a b c ab +-=， 故222a b c ab +-=． 解：（2）222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，解得3C π=，32sin 23c C ∴===． 10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，得sin sin b A a B =， 又sin cos()6b A a B π=-．sin cos()6a B a B π∴=-，即1sin cos()cos cos sin sin sin 6662B B B B B B πππ=-=+=+，tan B ∴又(0,)B π∈，3B π∴=．（Ⅱ）在ABC ∆中，2a =，3c =，3B π=，由余弦定理得b ==sin cos()6b A a B π=-，得sin A =，a c <，cosA ∴=，sin 22sin cos A A A ∴==， 21cos22cos 17A A =-=，11sin(2)sin 2cos cos2sin 27A B A B A B ∴-=-=-=11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）a b <，A B ∴<，即A 是锐角， 1cos 7B =-，sin B ∴== 由正弦定理得sin sin a b A B =得7sin 7sin 8a BA b===， 则3A π=．（Ⅱ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即216449277c c =++⨯⨯⨯，即22150c c +-=， 得(3)(5)0c c -+=， 得3c =或5c =-（舍)， 则AC边上的高sin 3h c A ===12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．【解答】解：（1）由22431sin cos sin cos ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227cos225cos sin ααα∴=-=-； （2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos27ααα==-． α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，sin()αβ∴+= 则sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解答】解：（1）90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．∴由正弦定理得：sin sin AB BD ADB A =∠∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，2sin 45sin 5ADB ︒∴∠==， AB BD <，ADB A ∴∠<∠，cos ADB ∴∠==（2）90ADC ∠=︒，cos sin BDC ADB ∴∠=∠=， 2DC =BC ∴=5==．14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值． 【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y =-，||1r OP =，4sin()sin 5y r απα∴+=-=-=； （Ⅱ）由35x =-，45y =-，||1r OP ==，得4sin 5α=-，3cos 5α=-，又由5sin()13αβ+=，得12cos()13αβ+=±，则1235456cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-， 或1235416cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=． cos β∴的值为5665-或1665．15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：()I 函数21cos2()sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin(2)62x π=-+，()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32， 可得52[66x ππ-∈-，2]6m π-，即有262m ππ-…，解得3m π…， 则m 的最小值为3π． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．【解答】解：（1）2()sin 22cos f x a x x =+，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，()f x 为偶函数， ()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+， 2sin20a x ∴=， 0a ∴=；（2）()14f π=，2sin2cos ()1124a a ππ∴+=+=，a ∴=，2()22cos 2cos212sin(2)16f x x x x x x π∴+++=++，()1f x =2sin(2)116x π∴++=sin(2)6x π∴+= 2264x k πππ∴+=-+，或52264x k πππ+=+，k Z ∈， 524x k πππ∴=-+，或1324x k ππ=+，k Z ∈， [x π∈-，]π， 1324x π∴=或1924x π=或524x π=-或1124x π=-17．（2018•上海）已知cos y x =（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3f πα-的值（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值 【解答】解：（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，则1cos 3α=，则sin 3α==，则111()cos()cos cos sin sin 3333326f ππππαααα-=-=+=⨯+=． （2）函数2213(2)2()cos22cos 2cos 2cos 12(cos )22y f x f x x x x x x =-=-=--=--，1cos 1x -剟，∴当1cos 2x =时，函数取得最小值，最小值为32-． 18．（2017•上海）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）函数221()cos sin 2f x x x =-+ 1cos22x =+，(0,)x π∈， 由222k x k πππ-剟，解得12k x k πππ-剟，k Z ∈，1k =时，12x ππ剟，可得()f x 的增区间为[2π，)π；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =， 若f （A ）0=，即有1cos202A +=， 解得223A π=，即13A π=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 化为2560c c -+=， 解得2c =或3， 若2c =，则cos 0B =<，即有B 为钝角，2c =不成立， 则3c =，ABC ∆的面积为11sin 5322S bc A ==⨯⨯=． 19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值【解答】（Ⅰ）解：由sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =， 又sin 4sin a A b B =，得4sin sin b B a A =， 两式作比得：4a bb a=，2a b ∴=．由222)ac a b c =--，得222b c a +-=，由余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-===； （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==． 由（Ⅰ）知，A 为钝角，则B 为锐角，∴cos B = 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B A B A B A -=-=⨯-= 20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2)4A π+的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，a b >， 故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有22242cos 2536256135b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b =b ∴=sin A （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，12sin 22sin cos 13A A A ∴==， 25cos212sin 13A A =-=-．故125sin(2)sin 2cos cos2sin 44413213226A A A πππ+=+=⨯-=．21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-sin cos cos sin sin()662x x x πππωωω=---3cos 2x x ωω=-)3x πω=-，又()3sin()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z ∈，解得62k ω=+， 又03ω<<， 2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())3f x x π-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)3y x π-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到)43y x ππ+-的图象，∴函数())12y g x x π=-；当[4x π∈-，3]4π时，[123x ππ-∈-，2]3π，sin()[12x π∴-∈1]，∴当4x π=-时，()g x 取得最小值是32-． 22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得21sin 23sin ABC a S ac B A∆==， 3sin sin 2c B A a ∴=，由正弦定理可得3sin sin sin 2sin C B A A =， sin 0A ≠，2sin sin 3B C ∴=； （2）6cos cos 1B C =， 1cos cos 6B C ∴=， 121cos cos sin sin 632B C B C ∴-=-=-， 1cos()2B C ∴+=-，1cos 2A ∴=， 0A π<<，3A π∴=，2sin sin sin a b c R A B C ===== 2sin sin 22123(23)b c bc B C R R ∴====，8bc ∴=，2222cos a b c bc A =+-， 229b c bc ∴+-=，2()9392433b c cb ∴+=+=+=，b c ∴+=∴周长3a b c ++=23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2s i n ()8s i n 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．【解答】解：（1）2sin()8sin 2BA C +=， sin 4(1cos )B B ∴=-， 22sin cos 1B B +=，2216(1cos )cos 1B B ∴-+=， 2216(1cos )cos 10B B ∴-+-=，216(cos 1)(cos 1)(cos 1)0B B B ∴-+-+=， (17cos 15)(cos 1)0B B ∴--=， 15cos 17B ∴=； （2）由（1）可知8sin 17B =， 1sin 22ABC S ac B ∆==，172ac ∴=， 2222217152cos 2217b ac ac B a c ∴=+-=+-⨯⨯ 22215()2153617154a c a c ac =+-=+--=--=， 2b ∴=．24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π∈-，]4π时，1()2f x -…．【解答】解：（Ⅰ）())2sin cos 3f x x x x π=--，13(22)sin 22co x x x =+-，1sin 22x x =+， sin(2)3x π=+，22T ππ∴==， ()f x ∴的最小正周期为π，（Ⅱ）[4x π∈-，]4π， 2[36x ππ∴+∈-，5]6π， 1sin(2)123x π∴-+剟，1()2f x ∴-… 25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积． 【解答】解：（1）sin 0A A +=， tan A ∴=0A π<<，23A π∴=， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即2128422()2c c =+-⨯⨯-，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =， 故4c =．（2）2222cos c b a ab C =+-， 1628422cos C ∴=+-⨯⨯，cos C ∴=22cos AC CD C∴===12CD BC ∴=11sin 4222ABC S AB AC BAC ∆=∠=⨯⨯=，12ABD ABC S S ∆∆∴=26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【解答】解：（1）(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，//a b ，3sin x x =，当cos 0x =时，sin 1x =，不合题意，当cos 0x ≠时，tan x =， [0x ∈，]π， 56x π∴=，（2）1()3cos sin ))26f x a b x x x x x π===-=+， [0x ∈，]π， [66x ππ∴+∈，7]6π，1cos()6x π∴-+剟 当0x =时，()f x 有最大值，最大值3，当56x π=时，()f x 有最小值，最小值- 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，37c a =．（1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）60A ∠=︒，37c a =，由正弦定理可得33sin sin 77C A ==， （2）7a =，则3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由（1）可得13cos 14C =，131sin sin()sin cos cos sin 142B A C A C A C ∴=+=+=+=11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2()3f π的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：函数22()sin cos f x x x x =--7cos 2cos22sin(2)6x x x x π=-=+ （Ⅰ）2275()2sin(2)2sin 23362f ππππ=⨯+==， （Ⅱ）2ω=，故T π=， 即()f x 的最小正周期为π， 由72[262x k πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z ∈得： 5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，k Z ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈． 29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间．【解答】解：()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+， sin2cos2x x ωω=+，)4x πω=+，由于函数的最小正周期为π， 则：22T ππω==， 解得：1ω=．（2）由（1）得：函数())4f x x π=+，令222()242k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得：3()88k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以函数的单调递增区间为：3[,]()88k k k Z ππππ-++∈． 30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cos C 的值． 【解答】（1）证明：2cos b c a B +=， sin sin 2sin cos B C A B ∴+=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B ∴=-=-，由A ，(0,)B π∈，0A B π∴<-<，B A B ∴=-，或()B A B π=--，化为2A B =，或A π=（舍去）． 2A B ∴=．()II 解：2cos 3B =，sin B ∴=．21cos cos22cos 19A B B ==-=-，sin A =．2122cos cos()cos cos sin sin ()3927C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯-+=． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A=． （1）求B ； （2）已知1cos 3A =，求sin C 的值．【解答】解：（1）sin 2sin a B A =，2sin sin cos sin A B B B A ∴=，cos B ∴=6B π∴=．（2）1cos 3A =，sin A ∴，11sin sin()sin cos cos sin 23C A B A B A B ∴=+=++⨯=．32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值． 【解答】解：（Ⅰ）221cos2()23sin()sin (sin cos )23sin 1sin 2231sin 22xf x x x x x x x x π-=---=-+=-+sin 212sin(2)13x x x π==-，令222232k x k πππππ--+剟，求得51212k x k ππππ-+剟， 可得函数的增区间为[12k ππ-，5]12k ππ+，k Z ∈． （Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得2sin()13y x π=-+的图象；再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()2sin 1y g x x ==+的图象，()2sin 166g ππ∴==33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：2cos b c a B +=， sin sin 2sin cos B C A B ∴+=，sin sin()2sin cos B A B A B ∴++=sin sin cos cos sin 2sin cos B A B A B A B ∴++=sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B ∴=-=-A ，B 是三角形中的角， B A B ∴=-， 2A B ∴=；（Ⅱ）解：ABC ∆的面积24a S =，∴21sin 24a bc A =， 22sin bc A a ∴=，2sin sin sin sin2B C A B ∴==， sin cos C B ∴=，90B C ∴+=︒，或90C B =+︒， 90A ∴=︒或45A =︒．34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π=．（1）求AB 的长； （2）求cos()6A π-的值．【解答】解：（1）ABC ∆中，4cos 5B =，(0,)B π∈， 3sin 5B ∴=， sin sin AB ACC B=，6235AB ∴==；（2）cos cos()cos()sin sin cos cos A A C B B C B C π==--=-+=-= A 为三角形的内角，sin A ∴=，1cos()sin 62A A A π∴-=+=35．（2016•北京）在ABC ∆中，222a c b +=+． （Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C +的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，222a c b +=．222a c b ∴+-=．222cos 2a c b B ac +-∴==， 4B π∴=（Ⅱ）由()I 得：34C A π=-，∴3cos cos()4A C A A π++-A A A =A A =+ sin()4A π=+．3(0,)4A π∈， (44A ππ∴+∈，)π，故当42A ππ+=时，sin()4A π+取最大值1，cos A C +的最大值为1．36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o ss i n A B Cab c+=．（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =； （Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B ．【解答】（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，cos cos sin A B Ca b c+=， ∴由正弦定理得：cos cos sin sin sin sin A B C A B C+=， ∴cos sin cos sin sin()1sin sin sin sin A B B A A B A B A B++==，sin()sin A B C +=．∴整理可得：sin sin sin A B C =，（Ⅱ）解：22265b c a bc +-=，由余弦定理可得3cos 5A =．4sin 5A =，cos 3sin 4A A = cos cos sin 1sin sin sin AB CA B C +==，cos 1sin 4B B =， tan 4B =．37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π-，]4π上的单调性．【解答】解：（1）()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--．2x k ππ∴≠+，即函数的定义域为{|2x x k ππ≠+，}k Z ∈，则1()4tan cos (cos )2f x x x x x =14sin (cos )2x x x =22sin cos x x x =+sin 2cos 2)x x =+--sin 2x x =2sin(2)3x π=-， 则函数的周期22T ππ==； （2）由222232k x k πππππ-<-<+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-<<+，k Z ∈，即函数的增区间为(12k ππ-，5)12k ππ+，k Z ∈， 当0k =时，增区间为(12π-，5)12π，k Z ∈， [4x π∈-，]4π，∴此时(12x π∈-，]4π， 由3222232k x k πππππ+<-<+，k Z ∈， 得5111212k x k ππππ+<<+，k Z ∈，即函数的减区间为5(12k ππ+，11)12k ππ+，k Z ∈，当1k =-时，减区间为7(12π-，)12π-，k Z ∈， [4x π∈-，]4π，∴此时[4x π∈-，)12π-，即在区间[4π-，]4π上，函数的减区间为[4π∈-，)12π-，增区间为(12π-，]4π．38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，0C π<<，sin 0C ∴≠已知等式利用正弦定理化简得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 整理得：2cos sin()sin C A B C +=， 即2cos sin(())sin C A B C π-+= 2cos sin sin C C C =1cos 2C ∴=， 3C π∴=；（Ⅱ）由余弦定理得221722a b ab=+-， 2()37a b ab ∴+-=，1sin 2S ab C ===6ab ∴=，2()187a b ∴+-=， 5a b ∴+=，ABC ∴∆的周长为5+．39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n2(t a n t a n )c o s c o sA B A B B A +=+． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+得： sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+； ∴两边同乘以cos cos A B 得，2(sin cos cos sin )sin sin A B A B A B +=+；2sin()sin sin A B A B ∴+=+；即sin sin 2sin A B C +=（1）；根据正弦定理，2sin sin sin a b c R A B C ===； ∴sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===，带入（1）得：2222a b c R R R +=； 2a b c ∴+=；（Ⅱ）2a b c +=；2222()24a b a b ab c ∴+=++=；22242a b c ab ∴+=-，且244c ab …，当且仅当a b =时取等号； 又a ，0b >； ∴21c ab…； ∴由余弦定理，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-…； cos C ∴的最小值为12． 40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：EDC ABD ∠=∠．【解答】解：在ABC ∆中，由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒， 因为E 为BC 的中点，所以12DE CE BC ==， 则：EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒，可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒，可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，而EDC C ∠=∠，所以，EDC ABD ∠=∠．41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值．【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+，∴函数的周期为2T π=，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，232x k πππ+=+，即26x k ππ=+，k Z ∈．。
高考三角函数专题(含答案)
高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 －6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋ ，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－ 时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。
高三三角函数试卷及详细答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17B．7C．－17D．－72．函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是( ) A．2πB．4πC.π4 D.π23．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)(x∈R)的最小值等于( )A．－3 B．－2C．－1 D．－ 55．已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sin B＋sin C＝2sin A，则角A的对边a的值为( )A．2 B．4C. 2 D．2 26．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝( )A．－12 B.12C．－1 D．17．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2D ．38．(2011·浙江)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝( )A.33 B ．－33 C.539D ．－699．已知θ为第二象限角，且cos θ2＝－12，那么1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．210．(2013·大纲全国)已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数11.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为( )A．1，π3B．1，－π3C．2，π3D．2，－π312．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则（)A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.15．(2013·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.16．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像．⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．18．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间． 19．(本小题满分12分)(2013·大纲全国)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ； (2)若sin A sin C ＝3－14，求C .20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2. (1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)． (1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．答案一、选择题1．答案，A解析，∵α∈(π2，π)，sinα＝35，∴cosα＝－45，tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17.2．答案，D解析，y＝sin2x cos2x＝12sin4x，所以最小正周期为T＝2π4＝π2.3．答案，B解析，若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋2kπ，k∈Z；若α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．4．答案，A解析，y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)＝2cos[π2－(π3－x)]＋cos(π6＋x)＝2cos(π6＋x)＋cos(π6＋x)＝3cos(π6＋x)．当x＝56π＋2kπ，k∈Z时，y min＝－3. 5．答案，B解析，因为sin B ＋sin C ＝2sin A ，所以由正弦定理得b ＋c ＝2a ，又周长为4(2＋1)，所以a ＝4.6． 答案，D解析，∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B . ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 7． 答案，B解析，方法一：画图知[－π3，π4]内包含最小值点，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥32. 方法二：∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2时，ωx ＝2k π－π2，x ＝2k πω－π2ω(k ∈Z )，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥8k －2，ω≥－12k ＋32⇒ω≥32.8． 答案，C解析，根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63.所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 9． 答案，C解析，由θ为第二象限角知θ2在第一、三象限，又由cos θ2＝－12<0知θ2是第三象限角，且cos θ2>sin θ2.故1－sin θcos θ2－sin θ2＝(cos θ2－sin θ2)2cos θ2－sin θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2＝1. 10． 答案，C解析，由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得t ＝±33. 当t ＝±1时，函数值为0； 当t ＝－33时，函数值为－439； 当t ＝33时，函数值为439.∴g (t )max ＝439，即f (x )的最大值为439.故选C. 11. 答案，D解析，由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.12． 答案，A解析，∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13. 又∵f (π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．∴f (x )的单调递增区间为[－52π＋6k π，π2＋6k π]，单调递减区间为[π2＋6k π，72π＋6k π]，k ∈Z .观察各选项，故选A. 二、填空题13．答案，0 解析，由tan 2θ＝2tan 2φ＋1，得cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－tan 2φtan 2φ＋1. ∴cos2θ＋sin 2φ＝－tan 2φtan 2φ＋1＋sin 2φ＝－sin 2φ＋sin 2φ＝0.14．答案，，255，210解析，∵tan A ＝sin A cos A ＝2，∴sin A ＝25 5.又∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝5×25522＝210.15．答案，－255解析，f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )， 令cos α＝15，sin α＝－25，则f (x )＝5sin(α＋x )． 当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cosθ＝cos(2kπ＋π2－α)＝cos(π2－α)＝sinα＝－25＝－255.16．答案，①④解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．③由y＝sin x在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sin x与y＝x图像只有一个交点．④y＝3sin(2x＋π3)图像向右平移π6个单位得y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin2x.⑤y＝sin(x－π2)＝－cos x在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题17．答案，偶函数，{y|－1≤y<12或12<y≤2}解析，由cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝6cos4(－x)＋5sin2(－x)－4cos(－2x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x≠kπ2＋π4，k∈Z时，f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝(2cos2x－1)(3cos2x－1)cos2x＝3cos2x－1，所以f(x)的值域为{y|－1≤y<12或12<y≤2}．18．答案，(1){x∈R|x≠kx，k∈Z}，T＝π(2)[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)解析，(1)由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sin x－cos x)sin2x sin x＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)．19．答案，(1)120°(2)15°或45°解析，(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝－12，因此B＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14＝32.故A －C ＝30°或C －A ＝30°，因此C ＝15°或C ＝45°.20．答案 (1)π3，(2) 3解析 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA→－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．答案 (1)16,0<θ<π3 (2)f (θ)min ＝2 f (θ)max ＝3解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16.∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3 ＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1.∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2； 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．答案 (1)[0，1＋22] (2)－2解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]．(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
2023年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2023年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）一、选择题1．(2023·新高考Ⅰ卷，8)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【答案】B【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B.2．(2023·新高考Ⅱ卷，7)已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）A.358- B.158- C.354D.14-+【答案】D【解析】因为215cos 12sin 24αα+=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=14==．故选：D ．3．(2023·全国甲卷理，7)“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选：B4．(2023·全国甲卷理，10)已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.5．(2023·全国甲卷文，12)函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.6．(2023·全国乙卷理，6)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B.12-C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.7．(2023·全国乙卷文，4)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.8．(2023·全国乙卷文，10)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.9．(2023·北京卷，7)在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.10．(2023·天津卷，5)已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（）A.sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭B.cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭C.sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭D.cos 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x =处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A 选项中242T ππ==，B 选项中242T ππ==，C 选项中284T ππ==，D 选项中284T ππ==，排除选项CD ，对于A 选项，当2x =时，函数值sin 202π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A ，对于B 选项，当2x =时，函数值cos 212π⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，故2x =是函数的一条对称轴，故选：B.二、填空题1．(2023·新高考Ⅰ卷，15)已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[2,3)【解析】因为02πx ≤≤，所以02πx ωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).2．(2023·新高考Ⅱ卷，16)已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．【答案】32【解析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，k ∈Z ，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，k ∈Z ．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：32．3．(2023·全国甲卷理，16)在ABC 中，2AB =，60,6BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+，由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C==，解得：sin 4B +=，sin 2C =，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．4．(2023·全国乙卷文，14)若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】55-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：55-.5．(2023·北京卷，13)已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02<<<αβ，则00tan tan <αβ，取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ，因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ，则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.三、解答题1．(2023·新高考Ⅰ卷，17)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．解：（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==.（2）由（1）知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.2．(2023·新高考Ⅱ卷，17)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积D 为BC 中点，且1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c ．解：（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1113313sin 12222822ADC ABC S AD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯==，解得4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠，即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =，则cos 14B ==，21sin 14B ===，所以sin tan cos 5B B B ==.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1113313sin 12222822ADC ABC S AD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯==，解得4a =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADB =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E ，于是33cos ,sin 22CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==.（2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又131sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.3．(2023·全国甲卷文，17)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】（1）1（2）34【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A+-===，解得：1bc =．【小问2详解】由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以3sin 2A =，故ABC 的面积为1133sin 12224ABC S bc A ==⨯⨯=△．4．(2023·全国乙卷理，18)在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【答案】（1）14；（2）310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC =，然后由余弦定理可得57cos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得21sin 14B =；(2)由题意可得4ABD ACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =22257cos 214a c b B ac +-==，sin 14B ===.【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则111321sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ △△.5．(2023·北京卷，17)设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3ϕ=-.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6ϕ=-.【解析】【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．6．(2023·天津卷，16)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠=．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值；（3）求()sin B C -．【答案】（1）1313（2）5（3）26-【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sin C ，再由平方关系求出cos ,cos B C ，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；【小问2详解】由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-（舍去）．【小问3详解】由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C =，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．。
(完整版)三角函数高考题及练习题(含答案),推荐文档
16
，
又 k∈Z，知 k＝5，由此可知在闭区间 4 4 上存在 f(x)的对称轴，其方程为 x＝ 3 .
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例 3 把函数 f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0)，
17π
所得函数的图象关于直线 x＝ 8 对称． (1) 求 m 的最小值；
例 2 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ 是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求 f(0)的值；
[ ]π
我去人(2也) 若就0<φ<有π，人求函！数 为f(x)在U区R间扼0，腕3 入上的站取值内范围信． 不存在向你偶同意调剖沙
建议解收：(1)由藏题图可下知 A＝载2，本文，以便随时学习！
8
8 上是减函数．所以当 x1、x2∈ 8
8 ，且 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，
f（x1）－f（x2）
从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率 k＝ x1－x2 <0.
( )π
2
2x＋
(3) 解：令 f(x)＝1，所以 cos 4 ＝－ 2 .
( ) π π 9π ， 因为 x∈(0，π)，所以 2x＋4∈ 4 4 .
T 7π π π
7π
3π
∵ 4＝12－3＝4，∴ ω＝2.又 2×12＋φ＝2kπ＋ 2 ， π
∴ φ＝2kπ＋3(k∈Z)，
( )π 6
2kπ＋
∴ f(0)＝ 2sin
3＝2.
(2)
( ) π
π
π
π
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.已知向量，设函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，.（2）根据两角和的正弦公式，求得，利用三角形的面积，解得，结合,由余弦定理得从而得解.试题解析：（1）由题意得3分令,解得：，，，或所以函数在上的单调递增区间为， 6分（2）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边的长为. 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，得，函数关于对称，所以，，又因为，解得，故选B.【考点】的图像和性质7.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以从而.将各选项代入验证可知选【考点】1、三角函数的周期；2、函数图象的变换8.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性9.在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为,再求角的值；（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件，即可化为一角一函数，再结合求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.试题解析：(1）由已知得：，即∴∴ 5分（2）由（1）得：，故+又∴所以的取值范围是. 12分【考点】1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.10.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.11.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
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三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017?山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π2．（2017?天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4π B．2π C．πD．4．（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左1平移个单位长度，得到曲线C26．（2017?新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016?上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016?新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016?新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2016?浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016?新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016?四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．（2016?新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s （s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016?四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．（2016?新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）18．（2016?新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．20．（2017?上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α|的最小值为．221．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017?北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016?山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016?北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017?山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017?天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4π B．2π C．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数【解答】解：把C1y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2，（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2故选：D．6．（2017?新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos （﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016?上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin （3x﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016?新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016?新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016?浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016?新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016?四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016?新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s （s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016?四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016?新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016?新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由?[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017?上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sin α1=﹣1，sin2α2=﹣1． 则：，k 1∈Z ．，即，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017?新课标Ⅱ）函数f （x ）=sin 2x+cosx ﹣（x ∈[0，]）的最大值是 1 ．【解答】解：f （x ）=sin 2x+cosx ﹣=1﹣cos 2x+cosx ﹣，令cosx=t 且t ∈[0，1]， 则y=﹣t 2+t+=﹣（t ﹣）2+1，当t=时，f （t ）max =1，即f （x ）的最大值为1， 故答案为：122．（2017?新课标Ⅱ）函数f （x ）=2cosx+sinx 的最大值为 ． 【解答】解：函数f （x ）=2cosx+sinx=（cosx+sinx ）=sin （x+θ），其中tan θ=2， 可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016?上海）设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 4 ．【解答】解：∵对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．26．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin （x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φ=，min故答案为：．27．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017?北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016?山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x ﹣1+sin2x=2?﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016?北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。