【单位】三角函数高考题及答案

【关键字】单位1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sinx+2y －3=0 B.（y －1）sinx+2y －3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ） A.y=cos2x B.y ＝2|sinx| C.y ＝()cosx D.y=－cotx3.（全国，5）若f （x ）sinx 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x4.（全国，6）已知点P （sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（，）∪（π，） B.（，）∪（π，） C.（，）∪（，） D.（，）∪（，π）5.（全国）若sin2x>cos2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x|2kπ－π<x<2kπ+，k ∈Z} B.{x|2kπ+<x<2kπ+π，k ∈Z} C.{x|kπ－<x<kπ+，k ∈Z} D.{x|kπ+<x<kπ+π，k ∈Z}6.（全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋）＋3cos （3x ＋）的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C. D.7.（全国，9）已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于（ ） A. B.－ C. D.－8.（全国，14）如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=－对称，那么a 等于（ ） A. B.－ C.1 D.－1 9.（全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan>cot B.tan<cot C.sin>cos D.sin －cos10.（上海，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1在区间［0，］上的最大值是，则ω＝ . 11.（北京，13）sinπ，cosπ，tanπ从小到大的顺序是 . 12.（全国，18）的值为_____.13.（全国，18）tan20°+tan40°+tan20°·tan40°的值是_____. 14.（全国，18）函数y ＝sin （x －）cosx 的最小值是 .15.（上海，17）函数y ＝sin ＋cos 在（－2π，2π）内的递加区间是 . 16.（全国，18）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则cotθ的值是 . 17.（全国，17）已知函数y ＝sinx ＋cosx ，x ∈R. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 18.（全国，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值. 19.（上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan （π－β）＝，求tan （α－2β）的值.20.（全国，22）已知函数f （x ）=tanx ，x ∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，证明［f （x1）＋f （x2）］＞f （）. 21.已知函数⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 22. 求函数f (x)=的单调递加区间23. 已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x ∈R ） ⑴求f(x)的最小正周期； ⑵求f(x)单调区间；⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。

24若关于x 的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。

1.答案：C解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.2.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数.B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.3.答案：B解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）·sin x =21sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 4.答案：B解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0，图4—8A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3π∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝65π∈（43π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.5.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+2π<2x <2k π+23π，k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）.解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47π（k ∈Z ），2k π+45π<x <2k π+47π可写作（2k +1）π+4π<x <（2k +1）π+43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 6.答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43）所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.7.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.8.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，表明：当x =－8π时，函数取得最大值12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－4π）+a ·cos （－4π）］2=a 2+1，解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式. 9.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ.解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π，k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π，k 为奇数时，2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2π（n ∈Z ），都有tan2θ＞cot2θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 10.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴f （x ）在［0，3π］区间上为单调递增函数∴f （x ）max ＝f （3π）即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4311.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π12.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin3230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 13.答案：3 解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，图4—13∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.14.答案：－43解析：y ＝sin （x －6π）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－21］当sin （2x －6π）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝21（－1－21）＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 15.答案：［2,23ππ-］ 解析：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）.16.答案：－43解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57，于是图4—14sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 17.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos6π＋cos x sin6π）＝2sin （x ＋6π），x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π＋2k π，k ∈Z .所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π，k ∈Z ｝（2）变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋6π）的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 18.解：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43－21sin70°＋21sin70°＝43.评述：本题考查三角恒等式和运算能力. 19.解：由题设sin α＝53，α∈（2π，π）， 可知cos α＝－54，tan α＝－43 又因tan （π－β）＝21，tan β＝－21，所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββ tan （α－2β）＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα20.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 因为x 1，x 2∈（0，2π），x 1≠x 2，所以2sin （x 1＋x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1－x 2）＜1，从而有0＜cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）＜1＋cos （x 1＋x 2）， 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++，所以21（tan x 1＋tan x 2）＞tan 221x x +即21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）.21.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.解（1）x 必须满足sin x -cos x >0，利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+，k ∈Z∴ 函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π，k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时，0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-121log 2y =-≥∴ 函数值域为[+∞-,21） （3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴()f x 不具备奇偶性（4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sin x +cos x 的符号 22. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间解：∵f (x )=121log cos()34x π+令431π+=x t ,∴y=t cos log 21,t 是x 的增函数,又∵0<21<1,∴当y=t cos log 21为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+2π(k ∈Z),∴2k π≤431π+x <2k π+2π (k ∈Z) ,6k π-43π≤x<6k π+43π (k ∈Z),∴f (x )=)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是[6k π-43π,6k π+43π) (k ∈Z) 23. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。