三角函数部分高考题(带答案)

3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c .

5

(I )求tan A cot B 的值；

(U)求tan(A-B)的最大值.

3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c

5

3 3 3 3

可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4：

(II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0

一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3

tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W -

1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4

当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立，

2

1 3

故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—.

5 4

23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—.

13 5

(I )求sin A的值；

33

(U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长.

解：

512

(I )由cosB = 一一，得sinB = —,

13 13

4 3 由cos C =-,得sin C =-.

55

一33

所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5)

................................................................................................................................... 分

33 1 33

(U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —,

2 2 2

33

由(I)知sinA =—,

65

故ABxAC = 65, (8)

................................................................................................................................... 分

又AC =竺主=史仙, sinC 13

20 13

故—AB2 =65, AB = — .

13 2

所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分

24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀.

(口)求函数/(x)在区间0,y 上的取值范围.

“ T ~ 1-COS 2(WA -

y/3 . J3 . 1 c 1

解：(I ) f(x) = ---------------- +——sin 2a )x =——sm 2a>x ——cos2如+ —

八' 2 2 2 2 2

25. 求函数y = 7-4sinxcosx+4cos 2x-4cos 4x 的最大值与最小值。

【解】：y = 7-4sinxcosx+4cos 2 x-4cos 4 x

=7 - 2 sin 2工+4 cos 2 x\l-cos 2 x) =7-2sin2x+4cos' xsin 2 x =7-2siii2x+siii 2 2x = (l-siii2x)- +6

由于函数Z = (M -1)2

+ 6在［-1,1］中的最大值为

Zg=(TT )、6 = 10

最小值为

砧=(1-1)' + 6 = 6

故当sin2x = —1时y 取得最大值10,当sin2x = l 时y 取得最小值6

= sm (2a )x-- 1 + —. 6J 2 因为函数/(x)的最小正周期为兀，且口＞0, 所以—=7C,解得a )=l.

1CD

(口)由(I )得/(x) = sin 因为oWxW 女，

3

所以一—,

6 6 6

所以——W sin I 2x-— ］ W1,

*

因此oW

sm| 2x--即/(x)的取值范围为0,| .

26.知函数 / (%) = 2 cos2+ 2 sin cox cos cox +1 ( XG R,a)>0')的最小值正周期是万.

(I )求?的值；

(II)求函数/(x)的最大值，并且求使/(])取得最大值的x的集合.

(17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

y = Asm(cox+(p)的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.

(I )解：

3 \ - 1 + COS26M- . - 1

j[x)= 2------- --- ---- + sin 2d +1

=sin2d + cos2^n+ 2

nz( ? c 1二 .知)c

=V2 suizancos—+ COSZ6ZVSU1— +2

I 4 4)

=y[2sir^2cox+ + 2

由题设，函数/G)的最小正周期是兰，可得—所以口=2.

22d) 2

(II)由(I )知，f(x)= V2 sinMx + 5 4- 2 .

当4x+- = - + 2k;r,即x=— + —(keZ)时，sin(4x + ^)取得最大值1,所以函数

4 2 16 2 I 4)

/(x)的最大值是2 +JI,此时X的集合为= ￡ + 16 2

jr jr jr

27.己知函数/(x) = cos(2x -—) + 2 siii(x 一—) sin(x+―)

3 4 4

(I )求函数/(x)的最小正周期和图象的对称轴方程

7T 1T

(U)求函数/(X)在区间[-—,y]上的值域

JT JT JT

解：(1) ,/ /(x) = cos(2x——) + 2siii(x——)sin(x+—)

3 4 4

]

=-cos 2x+sin 2x + (sin x - cos x)(sin x + cos x)

=-cos 2x +— sin 2x+sin2 x-cos2x

2 2

=上 cos 2x + 吏 sin lx - cos 2x

2

2

=sin(2x--^)

.??周期T = —= ^-

2

由 2*—? = 伙 G Z),得式=竽 + ?伙 G Z)

jr

?.?函数图象的对称轴方程为x = k"砂 eZ)

r 7t 7T-力 N 「N 571 (2)VXG[

~l2,2L/-2X

~6G["3，T ]

因为/*(x) = sin(2x-当在区间[- — ,-]上单调递增，在区|H J[-,-]±单调递减,

6 12 3 3 2

所以当X=y 时，/(*)取最大值1 所以函数/⑴在区间［一%3 ］上的值域为［-

g,i ］

28.己知函数 f(x)= JJsin (函 + °) -cos(ax+ 0)(0 <(p<7r,co>Q)为偶函数，且函数 y=

f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (I )美洲/ (-)的值；

8

(II )将函数y=f{x)的图象向右平移乙个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长

6

到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解：(I ) f(x)= V^sin(ax +伊)一 cos(d+伊)

=2 乎 sin (奴+9)— ?cos(d+9) =2sin(w+0?一)

6

因为f(x)为偶函数，

所以 对xe R,f(-x)=/(x)恒成立， 因此 sin (-ccx+ tp- — ) =sin(oir+

6 6 艮P-sm a )x cos((p~ — )+cos G )x^\v\((p- — )=sin cox cos(cp- — )+cos 以 sin(0?—), 6

6

6

6

整理得 sinear cos(^- —)=0.因为 co >0,且x 《R,所以 cos ((p- — ) =0. 6 6

又因为 OV0

2汗 。 -- =2 ? 所以

co =2

由题意得

CD 2

:,当工=一5时，/(X)取最小值一手

故/(x)=2cos2x.

因为f凸=2*生=也.

4

jr 7T

(II)将六x)的图象向右平移个上个单位后，得到/(%--)的图象，再将所得图象横坐标

6 6

伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到/(---)的图象.

4 6

所以g ⑴"弓一分=2 co*(j 一f) =2cos/(y-y).

当兰一兰W2k丸+刀(kEZ),

2 3

即4k」+ w/wxW4kz竺 (kez)时，g(x)单调递减.

3 3

因此g(x)的单调递减区间为4知r + ：,4幻r+旨(kez) 29.如图，在平面直角坐标系xoy中，以。x轴为始边做两个锐角a部,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，己知A,B的横坐标分别为豆，签.

10 5

(I )求tan(Q + ”)的值；

(II)求。+ 2/7 的值.

由条件的cosa = ^,cos0 = 誓,因为a ,0为锐角，所以sma = 碧,suiZ? =季

因此tan Q = 7, tan " = ?

,T、- / a、taiia + tan/7 a

(I ) tan(

1- tan a tan p

2taii Z7 4 / -小 tana + tan2” , (II) tan2Z7 = ----------- =一，所以tan(a + 2/7) = --------------------- =-1 1 - tan~ p 3 ' ]_ tan a tan 2, ?.?Q,0为锐角，.?.0＜。+ 2/7〈学，.?.。+ 2/7 =学 30.在 AA5C 中，角 A,&C 所对应的边分别为a,b,c,tan+tail-= 4, 2 2

2 siii B cos C = sin A? 求 及 Z?,c , A+ B C 4 /F1 C C

解： 由 tan ------- + tan —= 4得cot —■ tan—= 4

2 2 2 2

C C cos — siii — ?? ----- +——=4 C C siii — cos — 2 2 siii C =—,又 Cc (0,7t) 2

C =—，或 C =—— 6

6 ------ ----- =4 C C siii —cos —

2 2 由 2sin8cosC = sinA 得 2siii B cos B = sin(B + C) 即 siii(B-C) = 0 :, B = C A=^-(B+C) = -y 。 b 由正弦定理一=——=——得 sin A sin

B sin C

￡ b = c = ci Sm ^ = 2>/3 x = 2 sin A y/3

T 31

.己知函数 /(/) = J —,g(x) = cosxf (sin x) + sin x ? f (cos x), x c (4, （I ）将函数g （x ）化简成Asin （cox+（p ） + B （A ＞0，刃＞0, ^?G [0,2^））的形式;

（ID 求函数g （x ）的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代 数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：(I ) g(x) = cosx ? /1-sinx /1-cosx

J --------- + sin A -?/ -----

V1 + sin x 、1 + cos x

,(l-sinx)2 /(1-cosx)2

=cosx?J-------- ；-- + smx?J------- ；--

Y cos~ x V sin" x

1-sinx 1-cosx

=cos x?- -------- r + sin x? - —

|cos x\|sinx|

,/ XG | K,Icos x\ = -cos x,Isin x\ = -sill x,

1-siiix 1-cosx

g(x) = cos x? ------ + sm x?--------

-cosx -siiix

= siiix+cosx-2

=5/2sin x+— j-2.

./ 17TC xp. 5Tt 7t 5冗

(II )由7t

12 4 4 3

vsmr在丝］上为减函数，在］—1 ±为增函数, 【42」［2 3 _

又sin —

3 4 2 4 4 〔2」

即一l/2 sin(x+—)-2<-3, 4 2 4

故g(x)的值域为

32.己知函数/(*) = 2sii：cos4_2jJsin‘ 三 + JT.

4 4 4

(I)求函数/(x)的最小正周期及最值；(II)令^(X)= /lx+yj,判断函数g(X)的奇偶性，并说明理由.

解：(I ) v/(x) = sill|-+V3(1-2sin2= sill+5/3cos= 2sin^ + y j.

/(x)的最小正周期r =罕=4兀.

2

当sin(m + ：) = T时，/⑴取得最小值-2；当sin(；+；)=l时，/⑴取得最大值2.

(II)由(I )知/(x) = 2sinj —+ —.又g(x) = f x+ —

\ 2 3 / 〔3

g(x) = 2sm*+如 + j = 2sm修+9 = 2cos；.