《三角函数》高考真题理科大题总结及答案

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最新全国高考理科数学试题分类汇编(3)：三角函数

全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-【答案】C2 ．（高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B3 ．（普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C4 ．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【答案】B5 ．（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】A6 ．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C7 ．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D8 ．（高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A9 ．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））004cos50tan 40-= ( )21 【答案】C11．（高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π【答案】D12．（高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π【答案】B 二、填空题13．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】314．（高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】. 15．（普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π17．（高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.18．（高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos 3Cπ=-20．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a=-,则cot a =____________.【答案】21．（普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y的最小正周期为___________.【答案】π22．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______【答案】723．（普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】5-25．（高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________. 【答案】π26．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________ 【答案】5 三、解答题27．（高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以s i n A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==.28．（高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29．（普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值. 【答案】由题意得30．（普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】31．（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin,cos,sinx,0,.2a x xb x xπ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x=求的值；(II)设函数()(),.f x a b f x=求的最大值【答案】[来源: ] 32．（高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x xω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x=在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x=的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x=的图像,区间[,]a b(,ab R∈且a b<)满足:()y g x=在[,]a b上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a-的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩(2) ()2sin(2)f x x=,()2sin(2())12sin(2)163g x x xππ=++=++1()0sin(2)323g x x x kπππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Zππ=-∈,即()g x的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x=在[,]a b上至少含有30个零点,则b a-的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=.33．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】34．（高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =35．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos ba c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.36．（普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =37．（普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有20xx 个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0.[来源:] (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-,又∵1sin cos||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39．（普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 40．（高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x fZ k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ 41．（普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB==(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 CBA法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42．（高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 43．（普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;CBADMN(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】44．（高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=,∴tan α,∴tan PBA ∠. 45．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈.(1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1)(2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan3θ=,知31tan 3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =.故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点n P 的坐标为1(2 0)n -，,1tan n n OAP -∠=111212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===.因为2n n+≥所以tan 4n θ≤=,当且仅当2nn =即4n =时等号成立.易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数,因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan4. 46．（高考江西卷（理））在△AB C 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。

07-13年广东高考数学理科三角函数真题(含答案)

3.若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是（）A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.2008年广东高考理科卷12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．16．已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值；（2）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．2010年广东高考理科卷11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .16、（本小题满分14分）已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求sin α．16.（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈(1)求5()4f π的值；(2)设106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值.2012年广东高考理科卷16.（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案

1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B ++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B（II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。

2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)

4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；) -1.6（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期；⎛ ⎫（II ）设∈ 0, ⎪ ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x（1）求 f (x ) 的定义域及最小正周期；（2）求 f (x ) 的单调递减区间.5、设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24（I ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（ II ）设函数 1g (x ) 对任意 x ∈ R ，有g (x + 2 = g (x ) ，且当x ∈[0, ] 时， 2g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为，2) +1（A > 0,> 0 ）的最大值为 3，其图像相邻两条对 6（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0.6（Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域（Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数，求的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域；8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5，且 x 0 ∈(- 10 2, ) ，求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为；求b , c .10、在 ∆ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ．＝ 2，sin B ＝ 53(Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求∆ ABC 的面积．3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +，所以 f (x ) 的最小正周期为.62（Ⅱ）因为- ≤ x ≤ 6 4 ，所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是，当2x + = 6 2 ，即 x =6时， f (x ) 取得最大值 2；当2x + = - 6 6 ，即 x = - 时， f (x ) 取得最小值－1.62、【解析】（1）2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 （2） - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时， 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = ，当 2x = - 时， 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】（I）【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z ，得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } ， f (x ) 的最小正周期（II）【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ，所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ，得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解（1）： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得：函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得： f (x ) 的最小正周期为T = = ；2（2）函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得： f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【解析】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x ， 2 22（I ）函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1（II ）当 x ∈[0, ] 时， g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时， (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时， (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】（1）∵函数 f ( x ) 的最大值是 3，∴ A +1 = 3，即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T =，∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61（2）∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ，即sin(- 6 ) = ，6 2∵ 0 << ，∴ - <- < ，∴- = ，故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解：（1） f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1，所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤（2）因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数，故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立，此时必有 k = 0 ，于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4，解得≤ ，故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得： f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ，则 BC=42 所以，函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8，即= 8，得= 4所以，函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分（Ⅱ）因为 f (x 0 ) =853，由（Ⅰ）有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 ，即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈（- 10 2x 0 + ∈ (-，），得( ) , )3 34 3 2 2所以，即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解：（1）由正弦定理得：a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒（2） S = bc sin A = ⇔ bc = 4 ， 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0，∴sin A ＝，＝＞33又2 sin C ．35 cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5 cos C ＋3整理得：tan C ＝ 5 ．(Ⅱ) 由图辅助三角形知： sin C ＝．又由正弦定理知：a sin A c ，sin C故c 3 ． (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理：cos A ＝2bc ． (2) 3 解(1) (2)得： b 3 or b ＝ 3 (舍去)． ∴∆ ABC 的面积为：S ＝ 5． 3 2。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编三角大题(精解精析)

由正弦定理得：
∵ ， ∴
∴ ， ∵ ∴
( )由余弦定理得：，，
∴ ∴ ，
∴ 周长为
9．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分) 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求 ห้องสมุดไป่ตู้ 的长．
【答案】
解析：（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．
【答案】（1）（2）
解析：（Ⅰ）由已知得，，∴ ，在中，由余弦定理得 = = ，∴PA= ；
（Ⅱ）设，由已知得, ，在中，由正弦定理得，，化简得，，
∴ = ，∴ = ．
考点:（1）4．5．2两角和与差的公式的应用；（2）4．6．1利用正弦定理求解三角形；（3）4．6．2利用余弦定理求解三角形．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，， , ．
(1)求 ; (2)若 ,求．
【答案】解析：（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
难度：Ｂ
备注：高频考点
12．(2012高考数学新课标理科)已知分别为三个内角的对边，
(1)求 (2)若，的面积为，求．
【答案】(1) (2) =2．
解析：由及正弦定理得
∵ ，∴
∴ ，
又，
∴ ．
(Ⅱ) 的面积 = = ,故 =4，
而故 =8，解得 =2．
考点:(1)4．5．2两角和与差的公式的应用；(2)4．6．3正、余弦定理的综合应用

第3讲三角函数与解三角形(2022年高考真题)(解析版)

第3讲三角函数与解三角形一、单选题 1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为

12,FF

，以C的实轴为直径的圆记为

D，过

作D的切线与C的两支交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为（）

A．

2 B．32 C．132 D．172

【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设12FNF，21FFN，即可求出sin，sin，cos，在21FFN中由12sinsinFFN求出12sinFFN，再由正弦定理求出1NF，2NF，最后根据双曲线

的定义得到23ba，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，

所以1OGNF，因为123cos05FNF，所以N在双曲线的右支，所以OGa，1OFc，1GFb，设12FNF，21FFN，由123cos5FNF，即3cos5，则4sin5，sinac，cosbc，在21FFN中，12sinsinsinFFN

4334sincoscossin555baabccc，

由正弦定理得211225sinsinsin2NFNFccFFN，所以112553434sin2252ccababNFFFNc，2

555sin222ccaaNFc

又12345422222ababaNFNFa，所以23ba，即32ba，所以双曲线的离心率221312cb

eaa 故选：C 2．（2022·全国·高考真题）若

sin()cos()22cossin4





，则（）

A．tan1 B．tan1 C．tan1 D．tan1 【答案】C 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】由已知得：sincoscossincoscossinsin2cossinsin,

高考数学(理科)第一轮专题复习针对训练《三角函数》word含答案解析

高考数学（理科）第一轮专题复习针对训练三角函数第I 卷（选择题）一、选择题1．已知，且，则 tan ϕ为（）A ．B ．C ．D ．2．设 3tan =α，则（）.A ．3B ．2C ．1D ．﹣13．若点在角 α的终边上，则 sin α的值为A. B. C. D.4．已知，()0 x π∈，，则 tan x =（）A. B.C. 3D. 3-5．已知函数的部分图象如图，则（）A ．-1B ．0C ．D ．16．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 27.设函数f (x )=cos (x +)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =对称C ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减8．定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3．将函数f （x ）=的图象向左平移n （n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）.A ．B ．C ．D ．9．已知函数()sin 3cos f x x x =+，当 [0,]x π∈时， ()1f x ≥的概率为（）A. B. C. D.10．设函数 ()2sin()f x x ωϕ=+， x ∈R ，其中 0ω>，||ϕ<π.若，，且 ()f x 的最小正周期大于 2π，则（）A ，B ，C ，D ，11．若函数在上单调递增，则 a 的取值范围是（）A. B.C.D.12．已知，则函数 x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（）A ． )2,1[B ． ),2[+∞C ．]2,1( D ． ),1[+∞第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若， cos()αβ- =___________.函数（）的最大值是。

2021高考三角函数大题-含答案

2021高考三角函数大题一．解答题（共7小题）1．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 2A B C =，b =．（1）求a 的值；（2）求cos C 的值；（3）求sin(2)6C π-的值．3．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．5．设函数()sin cos ()f x x x x R =+∈．（Ⅰ）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()4y f x f x π=-在[0，]2π上的最大值．6．在ABC ∆中，2cos c b B =，23C π∠=．（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长．条件①c =；条件②ABC ∆的周长为4+；条件③ABC ∆的面积为334．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．7．在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．2021高考三角函数大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，2sin sin b c R ABC ACB==∠∠，2sin b R ABC ∴=∠，2sin c R ACB =∠，2b ac = ，2sin 2sin b R ABC a R ACB ∴⋅∠=⋅∠，即sin sin b ABC a C ∠=，sin sin BD ABC a C ∠= ，BD b ∴=；（2）法一：由（1）知BD b =，2AD DC = ，23AD b ∴=，13DC b =，在ABD ∆中，由余弦定理知，2222222222()1393cos 221223b b c BD AD AB b c BDA BD AD b b b +-+--∠===⋅⋅，在CBD ∆中，由余弦定理知，2222222221()1093cos 12623b b a BD CD BC b a BDC BD CD b b b +-+--∠===⋅⋅，BDA BDC π∠+∠= ，cos cos 0BDA BDC ∴∠+∠=，即2222221391090126b c b a b b--+=，得2221136b c a =+，2b ac = ，2231160c ac a ∴-+=，3c a ∴=或23c a =，在ABC ∆中，由余弦定理知，22222cos 22a c b a c ac ABC ac ac+-+-∠==，当3c a =时，7cos 16ABC ∠=>（舍)；当23c a =时，7cos 12ABC ∠=；综上所述，7cos 12ABC ∠=．法二：点D 在边AC 上且2AD DC =，∴1233BD BA BC =+ ，∴21233BD BA BD BC BD =⋅+⋅ ，而由（1）知BD b =，∴212cos cos 33b bc ABD ab CBD =⋅∠+⋅∠，即3cos 2cos b c ABD a CBD =⋅∠+⋅∠，由余弦定理知：22222241993222b c b a b b b c a bc ab+-+-=⋅+⋅，2221136b c a ∴=+，2b ac = ，2231160c ac a ∴-+=，3c a ∴=或23c a =，在ABC ∆中，由余弦定理知，22222cos 22a c b a c ac ABC ac ac+-+-∠==，当3c a =时，7cos 16ABC ∠=>（舍)；当23c a =时，7cos 12ABC ∠=；综上所述，7cos 12ABC ∠=．法三：在BCD ∆中，由正弦定理可知sin sin sin a C BD BDC b BDC =∠=∠，而由题意可知2sin sin ac b a C b ABC =⇒=∠，于是sin sin BDC ABC ∠=∠，从而BDC ABC ∠=∠或BDC ABC π∠+∠=．若BDC ABC ∠=∠，则~CBD CAB ∆∆∽，于是222::33b CB CD CA a a bc =⋅⇒=⇒=，无法构成三角形，不合题意．若BDC ABC π∠+∠=，则ADB ABC ABD ACB ∠=∠⇒∆∆∽，于是2222::23b AB AD ACc a b c =⋅⇒=⇒=，满足题意，因此由余弦定理可得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==．2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 2A B C =，b =．（1）求a 的值；（2）求cos C 的值；（3）求sin(2)6C π-的值．【解答】解：（1）ABC ∆ 中，sin :sin :sin 2A B C =::2a b c ∴=，b = 2a b ∴==2c ==．（2）ABC ∆中，由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-==．（3）由（2）可得sin 4C ==，sin 22sin cos C C C ∴==，21cos 22cos 18C C =-=，3211sin(2)sin 2cos cos 2sin 66616C C C πππ--=-=．3．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解答】解：（1）因为sin 2sin AB =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为24cos(sin )425A A A π-=+=，可得cos sin 5A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为1cos 4C =-，可得15sin 4C =，tan C =，可得C 为钝角，若72sin 10A =，2cos 10A =，可得tan 7A =，可得tan tantan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以2sin 10A =，由正弦定理2sin sin c A C=，可得5302c =．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：()2sin 3sin I C A = ，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+ ，2c a =+，4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C += ，sin 8C ∴===，∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯()II c b a >> ，ABC ∴∆为钝角三角形时，角C 必为钝角，222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<，0a > ，03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边，a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >，13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．5．设函数()sin cos ()f x x x x R =+∈．（Ⅰ）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()4y f x f x π=-在[0，]2π上的最大值．【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，（Ⅰ）函数222[()]2cos ()2244y f x x x ππππ=+=++=+1cos[2(1cos(2)1sin 242x x x ππ=++=++=-，则最小正周期为22T ππ==；（Ⅱ）函数()()))4444y f x f x x x ππππ=-=+-+2cos )sin sin cos )x x x sin x x x =+=+1cos 212(sin 2)sin(2)2242x x x π-=+=-+，因为[0,2x π∈，所以32[,]444x πππ-∈-，所以当242x ππ-=，即38x π=时，2()12max f x =+．6．在ABC ∆中，2cos c b B =，23C π∠=．（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长．条件①c =；条件②ABC ∆的周长为4+；条件③ABC ∆的面积为334．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：（Ⅰ）2cos c b B = ，由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，即sin sin 2C B =，∴当2C B =时，3B π=，即C B π+=，不符合题意，舍去，2C B π∴+=，23B π∴=，即6B π=．（Ⅱ）选①c =，由正弦定理可得3sin 21sin 2c C b B ===c =矛盾，故ABC ∆不存在，选②周长为4+23C π=，6B π=，∴6A π=，由正弦定理可得2sin sin sin a b c R A B C ===，即2113222a b R ===，∴,,a R b R c ===，(24a b c R ∴++=+=+2R ∴=，即2a =，2b =，c =，ABC ∴∆存在且唯一确定，设BC 的中点为D ，1CD ∴=，在ACD ∆中，运用余弦定理，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅∠，即2141221(72AD =+-⨯⨯⨯-=，AD =，BC ∴．选③面积为334ABC S ∆=，a b ∴=，∴211333sin 2224ABC S ab C a ∆==⨯=，解得a =余弦定理可得222233212cos33424AD AC CD AC CD π=+-⨯⨯⨯=++，2AD =．7．在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．【解答】解：（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21sin 22414ABC S bc A c ∆∴===；（2）2b c = ，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -= ，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sinC B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，cos 3C ∴==．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a = ，2b c =，2294c c ∴=+-，得：2390c -+=，解得：c =当4253c =时，82253b +=时3ABC C ∆=+；当4253c =时，82253b -=时3ABC C ∆=+．。

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《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．

(Ⅰ) 求sinsinBC；

(Ⅱ)若1AD，22DC，求BD和AC的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC中，已知60,3,2AACAB. （1）求BC的长；（2）求C2sin的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x的图像是由函数()cosgxx的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.

(Ⅰ)求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x的方程f()g()xxm在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：22cos)1.5m( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4A，22ba=122c. （1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为7，求b的值.

5.【2015高考山东，理16】设2sincoscos4fxxxx. （Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,若0,12Afa,求ABC面积的最大值.

6.【2015高考天津，理15】已知函数22sinsin6fxxx，Rx (I)求()fx最小正周期； (II)求()fx在区间[,]34上的最大值和最小值.

7.【2015高考安徽，理16】在ABC中，3,6,324AABAC,点D在BC边上，ADBD，求AD的长. 8.【2015高考重庆，理18】已知函数2sinsin3cos2fxxxx （1）求fx的最小正周期和最大值；（2）讨论fx在2,63上的单调性.

9.【2015高考四川，理19】如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角. （1）证明：1costan;2sinAAA （2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDAD求tantantantan2222ABCD的值.

10.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 π2 π 3π2 2π

x π3 5π6

sin()Ax 0 5 5 0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解

析式；（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图

象. 若()ygx图象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值.

11．【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinn平行．

（I）求；（II）若7a，2b求C的面积．

12.【2015高考北京，理15】已知函数2()2sincos2sin222xxxfx． (Ⅰ) 求()fx的最小正周期； (Ⅱ) 求()fx在区间[π0]，上的最小值． 13.【2015高考广东，理16】在平面直角坐标系xoy中，已知向量22,22m





，sin,cosnxx，0,2x．

（1）若mn，求tan x的值；（2）若m与n的夹角为3，求x的值．

14.【2015高考湖南，理17】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角.

（1）证明：2BA；（2）求sinsinAC的取值范围.

《三角函数》大题答案 1.【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．【解析】(Ⅰ)1sin2ABDSABADBAD，1sin2ADCSACADCAD，因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC．由正弦定理可得sin1sin2BACCAB．

(Ⅱ)因为::ABDADCSSBDDC，所以2BD．在ABD和ADC中，由余弦定理得

2222cosABADBDADBDADB，2222cosACADDCADDCADC．

222222326ABACADBDDC．由(Ⅰ)知2ABAC，所以1AC．

2.【答案】（1）7；（2）437

3.【答案】(Ⅰ) f()2sinxx，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cosgxx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cosx的图像，再将y2cosx的图像向右平移2个单位长度后得到y2cos()2x的图像，故f()2sinxx，从而函数f()2sinxx图像的对称轴方程为(kZ).2xk (2)1) 21f()g()2sincos5(sincos)55xxxxxx 5sin()x（其中12sin,cos55）

依题意，sin()=5mx在区间[0,2)内有两个不同的解,当且仅当||15m，故m的取值范围是(5,5). 2)因为,是方程5sin()=mx在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=5m，sin()=5m. 当1m<5时，+=2(),2();2 当5所以2222cos)cos2()2sin()12()11.55mm( 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为,是方程5sin()=mx在区间[0,2)内有两个不同的解，

所以sin()=5m，sin()=5m. 当1m<5时，+=2(),+();2即当5所以cos+)cos()( 于是cos)cos[()()]cos()cos()sin()sin()( 22222cos()sin()sin()[1()]()1.555mmm

4.【答案】（1）2；（2）3b.

又∵4A，1sin32bcA，∴62bc，故3b. 5.【答案】（I）单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ （II）ABC 面积的最大值为234 【解析】（I）由题意知1cos2sin2222xxfx sin21sin21sin2222xxx

由222,22kxkkZ 可得,44kxkkZ 由3222,22kxkkZ 可得3,44kxkkZ 所以函数fx 的单调递增区间是,44kkkZ ；单调递减区间是3,44kkkZ

6.【答案】(I); (II) max3()4fx,min1()2fx. 【解析】(I) 由已知，有 1cos21cos211313()cos2sin2cos2222222xxfxxxx









311sin2cos2sin24426xxx



所以()fx的最小正周期22T. (II)因为()fx在区间[,]36上是减函数，在区间[,]64上是增函数， 113(),(),()346244fff，所以()fx在区间[,]34上的最大值为34，

最小值为12. 7.【答案】10 【解析】如图，

设ABC的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc，由余弦定理得 2222232cos(32)62326cos1836(36)904abcbcBAC，

所以310a. 又由正弦定理得sin310sin10310bBACBa. 由题设知04B，所以21310cos1sin11010BB. 在ABD中，由正弦定理得sin6sin310sin(2)2sincoscosABBBADBBBB 8.【答案】（1）最小正周期为，最大值为232；（2）()fx在5[,]612上单调递增；()fx在52[,]123上单调递减.

当223x时,即52123x时，()fx单调递减，综上可知，()fx在5[,]612上单调递增；()fx在52[,]123上单调递减. 9.【答案】（1）详见解析；（2）4103. 【解析】（1）2sin2sin1cos22tan2sincos2sincos222AAAAAAAA. （2）由180AC，得180,180CADB.