《三角函数》高考真题理科大题总结及答案

《三角函数》大题总结

1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，

ABD ?面积是ADC ?面积的

2倍．

(Ⅰ) 求

sin sin B

C

∠∠；

(Ⅱ)若1AD =，DC =

BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB .

（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.

3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2

p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；

(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；

（2)证明：2

2cos ) 1.5

m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4

A π

=，22b a -=12

2c .

（1）求tan C 的值；

（2）若ABC ?的面积为7，求b 的值.

5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ??

?

.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12

A f a ??

== ???

,求ABC ?面积的最大值.

6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ??

?

，R x ∈

(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34

p p

-上的最大值和最小值.

7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4

A A

B A

C π

===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.

8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2

sin sin 2

f x x x x π

??=-- ?

?

?

（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,

6

3ππ??

????

上的单调性.

9.【2015高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan ;2sin A A

A

-= （

2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求

tan

tan tan tan 2222

A B C D

+++的值.

10.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数

π

()sin()(0,||)2

f x A x ω?ω?=+><

在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式； （Ⅱ）将()y f x =

图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，

得到()y g x =的图

象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12

，求θ的最小值.

11．【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ?AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()

,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．

（I ）求A ；

（II ）若a =2b =求C ?AB 的面积．

12.【2015高考北京，理15】已知函数

2()cos 222

x x x

f x =

．

(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；

(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．

13.【2015高考广东，理16】在平面直角坐标系xoy 中，已知向量

2m ?= ，()sin ,cos n x x =，0,2x π??∈ ???． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3

π

，求x 的值．

14.【2015高考湖南，理17】设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为

a ，

b ，

c ，tan a b A =，且B 为钝角.

（1）证明：2

B A π

-=

；

（2）求sin sin A C +的取值范围.

《三角函数》大题答案

1.【答案】(Ⅰ)

1

2

；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ?=

?∠，1

sin 2

ADC S AC AD CAD ?=?∠，因为

2ABD ADC S S ??=，

BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1

sin 2

B A

C C AB ∠==∠．

(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ??=，所以BD =ABD ?和ADC ?中，由余弦定理

得

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-?∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠．

222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．

2.【答案】（1（2

3.【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2

x k p

p =+

?；(Ⅱ)（1）(-；

（2）详见解析． 【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移

2

p

个单位长度后得到y 2cos()2

x p

=-

的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为

(k Z).2

x k p

p =+?

(2)1) f()g()2sin cos )

x x x x x x +=+=

)x j +（其中sin

j j =

=） 依题意，sin(

x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当1<，故m 的

取值范围是(-.

2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，

所以sin()=

a j +sin(

b j +.

当1￡+=2(

),2();2

p

a b j a b p b j --=-+

当-时, 3+=2(

),32();2

p

a b j a b p b j --=-+ 所以2

2

22cos )cos 2()2sin ()11 1.

5m a b b j b j -=-+=+-=-=-(

解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.

2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，

所以sin()=

a j +sin(

b j +.

当1￡+=2(

),+();2

p

a b j a j p b j -=-+即

当-时, 3+=2(

),+3();2

p

a b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(

于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(

2

2

222cos ()sin()sin()[1] 1.

5m b j a j b j =-++++=--+=-

4.【答案】（1）2；（2）3b =.

又∵4

A π

=

，

1

sin 32

bc A =，∴bc =，故3b =. 5.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??

-

++∈????

；

单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ??

++∈?

???

（II ）ABC ? 【解析】

（I ）由题意知()1cos 2sin 2222

x x f x π?

?++ ?

??=- sin 21sin 21

sin 2222

x x x -=

-=- 由222,2

2

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈ 可得,4

4

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈

由

3222,2

2k x k k Z π

πππ+≤≤

+∈ 可得3,44

k x k k Z ππ

ππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??

-

++∈????

；

单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ??

++∈?

???

6.【答案】(I)π

; (II) max ()f x =

,min 1

()2

f x =-. 【解析】(I) 由已知，有

1cos 21cos21113()cos22cos222222

x x f x x x x π?

?-- ?

??-??=-=+- ???

112cos2sin 2426x x x π??-=- ???

. 所以()f x 的最小正周期22

T π

π=

=. (II)因为()f x 在区间[,]36p p -

-上是减函数，在区间[,]64

p p

-上是增函数，

11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=

，所以()f x 在区间[,]34

p p

-

，最小值为1

2

-

. 7.

【解析】如图，

设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得

2222232cos 626cos

1836(36)904

a b c bc BAC π

=+-∠=+-??=+--=，

所以a =

又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠=

==

.

由题设知04

B π

<<

，所以cos B ===

在ABD ?

中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B B

π?=

===-

8.【答案】（1）最小正周期为p ，

；（2）()f x 在5[

,]612

ππ

上单调递增；()

f x 在52[

,]123

ππ

上单调递减.

当

22

3

x π

π

π≤-

≤时,即

52123x ππ

≤≤

时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[

,

]612

ππ

上单调递增；()f x 在52[

,]123

ππ

上单调递减. 9.【答案】（1）详见解析；（2

. 【解析】（1）2

sin

2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222

A A

A A A A A A

-=

==. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-

.

由（1），有tan

tan tan tan 2222

A B C D

+++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)

sin sin sin(180)sin(180)

A B A B A B A B ------=

+++

-- 22

sin sin A B

=+ 连结BD ，

在ABD ?中，有222

2cos BD AB AD AB AD A =+-?， 在BCD ?中，有222

2cos BD BC CD BC CD C =+-?，

所以 2

2

2cos AB AD AB AD A +-?2

2

2cos BC CD BC CD A =++?，

则2222222265343

cos 2()2(6534)7

AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===?+??+?，

于是sin A ===. 连结AC ，同理可得

2222222263541

cos 2()2(6354)19

AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===?+??+?，

于是sin B ===. 所以tan tan tan tan 2222

A B C D

+++ 22sin sin A B =

+

=

+ 10.【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π

6

.

【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π

5,2,6

A ω?===-. 数据补全如下表：

且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π

()5sin(22)6

g x x θ=+-.

因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-

=，解得ππ

212

k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(

,0)12成中心对称，令ππ5π

21212

k θ+-=

， 解得ππ23k θ=

-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π

6

.

11.【答案】（I ）

3

π

；（II

【解析】

（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -

=，

由正弦定理，得sinAsinB A 0-=

又sin 0B ≠，从而tan A =，

从而sin B =

又由a b >，知A B >，所以cos B =

.

故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ??

=+=B +

=+= ??

?

所以C ?AB 的面积为

1bcsinA 2=

.

12.【答案】（1）2π，（2）1--

【解析】 ：

2

1

1cos ()sin

cos

sin sin 2

2

2

2

2

x

x

x

x

f x x -=-

=?

-?

=

sin cos x x =

+-sin()4x π=+-

(1)()f x 的最小正周期为221

T π

π=

=； (2)

30,444x x ππππ-≤≤∴-

≤+≤，当3,424

x x πππ

+=-=-

时，()f x

取得最小值为：1--

13.【答案】（1）1；（2）512

x π

=

． 【解析】（1）∵

2m ?=

，()sin ,cos n x x =且m n ⊥

， ∴

()2sin ,cos sin 04m n x x x x x π??

??=?==-= ???，又

0,2x π??

∈ ???

，

∴ ,444x π

ππ??

-

∈- ???，∴ 04x π-=即4x π=，∴ tan tan 14

x π==； （2）由（1）依题知 sin 4cos

sin 3

4x m n x m n

ππ

π?

?-??

?=

=

=- ??

???，

∴ 1sin 42x π?

?

-

= ??

?又,444

x πππ??-∈- ???

， ∴ 4

6x π

π

-

=

即512

x π

=

． 14.【答案】（1）详见解析；（2）9

]8

.

(2)202

2

A A πππ-+=->，∴(0,)4

A π∈，于是sin sin sin sin(2)2

A C A A π

+=+-

2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+

，∵04

A π

<<，∴

0sin A <<

21992(sin )488

A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围

是9

]8

.