四川省泸州市2014年高2012级高二学年末统一考试数学(理)(图片版含答案)
四川省泸州市2014届高三第二次诊断性考试数学文试题Word版含解析
泸州市高2011级第二次教学质量诊断性考试数 学（文史类） 2014.2.25考生须知： （下面解析供同学们参考，不作实质性用途） 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 )()()(B P A P B A P +=+ n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的k 次概率 如果事件A,B 相互独立，那么)...,3,2,1()1()(n k P C k P k n kn n =-=-)()()(B P A P B A P ∙=∙数据n x x x x ...,,321的方差是()[]222212)...()(1x x x x x x n S n -+-+-=；x 为平均数.球的半径为R ，球的体积为334R V π=；表面积24R S π=.选择题部分（共50分）选择题（本大题共10个小题.每小题5分.共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）已知全集{}2,01,1-=U ，{}1,1-=A ，则=A C UA.{}2,1,0,1-B.{}2,01C.{}2,0,1-D.{}2,0【答案】：D【解析】：本题考查集合基本概念；{}1,1-=A ，{}2,01,1-=U ，故{}2,0=A C U. 在复平面内，复数i i+22对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】：A【解析】：本题考查复数基本概念和基础应用；i i i i i i i 54525244)2(2222+=+=--=+，由定 义得，复数形如bi a z +=的坐标为),(b a ，∴)54,52(为第一象限.选A.已知在同一坐标系下，指函数x a y =和xb y =的图像如图，则下列关系中正确的是A.1＜＜b a B.1＜＜a b C.1＞＞b a D.1＞＞a b 【答案】：C【解析】：本题考查考生对函数图像趋势的判断，简单题.很显然b a ,均大于1；且xb y =函数图像比xa y =变化趋势小，故ab ＜，综上所述：1＞＞b a .故选C. 将一个正方体沿其棱的中点截去两三个棱锥后所得几何体如图所示，则其俯视图为【答案】：C 【解析】：本题考查考生对空间立体图及平面图射影的抽象考察；根据排除法很快选出C. 若向量)4,3(),2,1(==BC AB ，则=ACA.)6,4(B.)6,4(--C.)2,2(--D.)2.2( 【答案】：A【解析】：本题考察向量加减法基本概念；由向量定义得()6,4=+=BC AB AC .选A.把函数)62sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，所得的函数解析式为A.)34sin(π+=x y B.)3sin(π+=x yC.)6sin(π+=x y D.)64sin(π+=x y【答案】：C【解析】：本题考察三角函数中的正弦函数图像的平移；紧扣缩小21→既横坐标变为原来 的21也就是说x x →2，排除A 、D ；选C.已知命题P ：0162≥-a ，命题:q 04≤+a ，则P 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】：本题考察不等式基本性质以及命题性质；44:-≤≥a a P 或；4:-≤a q ， 故,q P ⇒∴P 是q 的.充分不必要条件.选A已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)(021*+∈=-N n S S n n ，且21=a ，那么=7a A.64 B.128 C.32 D.16 【答案】：B【解析】：本题考察数列常见形式；很显然)(021*+∈=-N n S S n n 得到{}n a 是等比数列， 公比21==+n n S S q ，∴nn n q a a 211=⨯=-，∴1287=a ；选B. 如图1是某高三学生14次数学考试成绩的茎叶图，现将该14个数据依次记为1421,...,A A A ，并输入如图2所示的一个算法流程图，那么该算法流程图运行结束时输出的n 值是A.9B.10C.11D.12 【答案】：B 【解析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再 根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加 14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含 义可得超过90分的人数为10个；故选B.定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-==0,1000,1sgn ＜，＞x x x x ，设函数21)1s g n ()(+-=x x f ，)(2)1sgn()(21x f x x f -+，)2,0(∈x 其中1)(21+=x x f ， 42)(2+-=x x f .若)1,0())((∈a f f ，则实数a 的取值范围是A.)22,0( B.)45,1( C.)45,1()22,0(⋃ D.)45,1()1,22(⋃【答案】：D.【解析】：对函数值域的重点考察；难度系数：★★★★☆.思路： 对不等式分类讨论，既1,11＜，＞x x x =，分别求出)(x f ，然后由)1,0())((∈a f f ①如果1＞x ，)(211)(211)(2)1sgn()(2)1sgn()(2121x f x f x f x x f x x f +++-=∙-+∙-=42+-=x . ②如果1=x 时，252)(210)(210)(2)1s g n ()(2)1s g n ()(22121+-=+++=∙-+∙-=x x x f x f x f x x f x x f .③如果当1＜x 时，1)(211)(211)(2)1s g n ()(2)1s g n ()(22121+=+-++=∙-+∙-=x x f x f x f x x f x x f .综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=1,4215.2211,1)(22＞，＜x x x x x x x x f ，其图像如图所示：结合图像分析：选D.非选择题部分（共100分） 填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 函数xx f 21)(-=的定义域为______. 【答案】：{}0≤x x【解析】：本题考察函数的基本定义；使得函数xx f 21)(-=有意义，则需要0021≤⇒≥-x x .一个高为2的圆柱，底面周长为2π,则该圆柱的表面积为_____. 【答案】：π6【解析】：本题考察圆柱周长和表面积公式的应用；圆柱底面周长122=⇒==R R l π. ∴圆柱表面积为ππ6222=+=+=R lh S S S 底侧.已知函数)1(14)(＞x x x x f -+=，当a x =，)(x f 取得最小值为b ，则b a +=____.【答案】：8.【解析】：本题考察不等式性质的拓展延伸；显然114114)(+-+-=-+=x x x x x f故351421141)(=⇒==+≥+-+-=a b a a a f ，∴8=+b a .在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面 积介于25cm3和81cm3的概率为_____.【答案】：52或0.4.【解析】：本题考察正方形的基本概念以及概率性质；以线段AC 为边的正方形面积介于 5cm 和9cm 之间，满足条件的C 点对于的线段长4cm.而线段AB 总长为10cm.故方形的面积介于25cm3和81cm3的概率为52104==P 或0.4.定义：<m>表示大于或等于m 的最小整数（m 是实数）.若函数122)(+=xxx f ，则函数21)(21)()(--+>-=<x f x f x g 的值域为_______.【答案】：{}1,0【解析】：本题考查函数性质的综合应用；因为0122)(＞+=x xx f ，则1121122)()(=+++=-+x x x x f x f ；而21)(21)(21)(+>-≤<-x f x f x f ＜. ∴2)(01)()()(1)()(＜＜x g x f x f x g x f x f ≤⇒+-+≤--+，故)(x g 的值域为0或1. 解答题：（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（本题满分12分）单调递减的的等比数列{}n a 中，1614=a 且245a 是31,aa 的等差中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设nn a b 2log =，求数列{}nb 的前n 项和nT .【解析】：本题考查等比数列的综合应用；属于简单题.【答案】：（I ）由题意得：245a 是31,aa 的等差中项，故qa q a a a a a 12112315.25.2=+⇒=+化简得到（舍）或2215.212==⇒=+q q q q ，而211611314=⇒==a q a a . ∴{}n a 的通项公式为)(2121211*∈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-N n a n n n（II ）由（I ）得na b n n n -===-2log log 22，∴{}n b 是一个等差数列，故)(,21212)1(2*∈--=-+-=N n n n n n T n（本题满分12分）某班50名学生在一次百米跑测中，成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果按照如下方式分为5组：第一组[13,14).第二组：[14,15)......第五组：[17,18].下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图. （I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求出该班这次百米测试中成绩良好的人数.（II ）若从第一组和第五组的所有学生中随机抽取两名同学，记m ，n 表示这两位同学的百米测试成绩，求事件“|m -n|＞1”的概率. 【解析】：本题考查频率直方图的基本概念和综合应用. 【答案】：（I ）由直方图知，成绩在[14，16)内的人数为：50×0.16+50×0.38=27(人)，所以该班成绩良好的人数为27人.（II ）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，分别设为x ，y ，z ； 成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，分别设为A ，B ，C ，D ， 若m ，n ∈[13，14)时，有xy ，xz ，yz 3种情况；若m ，n ∈[17，18]时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD6种情况； 若m ，n 分别在[13，14)和[ 17，18]内时， 情况如下表所示：结合表格分析出满足要求的共有12种情况，而基本事件总数为21种.∴事件742112)1(==-＞n m P .（本题满分12分）已知函数x ax x x f 3ln )(2-+=.（I ）若5.1)2(='f ，求函数)(x f 的极值点.（II ）若函数)(x f 在[0.5,2]上是减函数，求a 的取值范围. 【解析】：本题考查函数基本性质.【答案】：（I ）由题意得：321)(-+='ax x x f ，所以15.13421)2(=⇒=-+='a a f .∴x x x x x x f 132321)(2+-=-+='，只需要讨论001322≤≥+-或x x 即可.∴当())21,0(,1或+∞∈x 时函数)(x f 单调递增；⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21x 单调递减. （II ）原函数的定义域为),0(+∞，∴x x ax x f 132)(2+-='.因为函数)(x f 在[0.5,2]上是减函数.∴0)(≤'x f 在[0.5,2]恒成立.讨论：①当0＞a 时，设])2,5.0[(,132)(2∈+-=x x ax x g 由题意得：对称轴a x 43=，∴383224321≤≤⇒≤≤a a 时，满足0)(≤x g .②当0＜a 时，只需要2143≤a 即可，也就是说32≤a ，∴0＜a 时满足0)(≤x g . ③0=a 时，函数13)(+-=x x g 单调递减符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃∞-38,320,.19.（本题满分12分）已知函数)200,)(sin()(πϕϕ＜，＞，＞w M R x wx M x f ∈+=的部分图像如图所示.（I ）求)(x f 的解析式；（II ）在锐角△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对应边，且7=a ，3)(=A f ,233=ABC S △，求c b +的值.【解析】：本大题注重考察三角函数化简和余弦公式的巧妙应用.【答案】：（I ）由题意得：24)6125(41,2=⇒=⇒=-==w T T M ππππ.∴)2sin(2)(ϕ+=x x f 过点)0,6(π，∴0)3sin(=+ϕπ得到3πϕ-=满足题目要求. ∴)32sin(2)(π-=x x f . （II ）∵3)(=A f ，∴3332πππ=⇒=-A A在锐角△ABC 中，∠A=60°，∴6233sin 21=⇒=∙=bc A bc S ABC △.由余弦定理得：1321127212cos 2222222=+⇒=-+⇒=-+=c b c b bc a c b A∴5222=++=+bc c b c b . 20.（本题满分13分）已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，2===PD PA AB ，∠3π=A B D ,点E是AD 的中点，点Q 是PC 的中点. （I ）求证：//EQ 平面PAB ； （II ）求三棱锥PAD B -的体积.【解析】：本题考察线与平面之间的位置关系以及二面角的巧妙求解.【答案】：（I ）证明：取PB 中点G ，连接AG ,QG ，构成四边形AGQE . 因为菱形ABCD 中，2==AB AD ，而2===PD PA AB .∴PC PB =（三角形中不等式性质传递性）∴在△PBC 中，BCGQ 21//=.而AE BC //，∴四边形QGAE 为平行四边形.∴AQ EQ // 而⊂AQ 平面PAB ，∴//EQ 平面PAB .（II ）由（I ）得，△ADP 为正三角形，∴⊥PE 底面ABCD .（这一步很重要）而3π=ABD ，∴在△ABD 中AD BE ⊥，∴⊥BE 平面APD （解题思路逐步明朗）∴112443313122=-∙∙∙=∙=-EB S V APD BADP △.（本题满分14分）已知函数2)(2++=ax x x f ，)(2)(b x e x g x+=，若曲线)(x g y =经过点)2,0(P ，且在点P 处曲线)(x f y =和)(x g y =有相同的切线.（e 是自然对数的底数） （I ）求b a ,的值；（II ）若)2)(()(+=x f x x F ，如果存在[]1,3,21--∈x x ，使得M x F x F ≥-)()(21成立，求满足上述条件的最大整数M ；（III ）当，＞1k 讨论方程0)()(=-x f x kg 在[)+∞∈,2x 上解的个数.【解析】：本题属于函数大题中的中档题；考察同学们对函数基本性质的综合应用.【答案】：（I ）由题意得：a x x f +='2)(，xx x be xe e x g 222)(++='.而0222,2)0()0(=⇒=+=⇒'='b b a f g .∴0,2==b a .（II ）由（I ）得：x x x x f x x F 42)2)(()(23++=+=. 因为要使得[]1,3,21--∈x x ，使得M x F x F ≥-)()(21成立，只需求出min 21)]()([x F x F -即可.显然我们就要讨论)(x F 在[]1,3--∈x 的极值问题.∴443)(2++='x x x F ，其对称轴13264-≥-=-=x ，显然函数)(x F 在[]1,3--∈x 是单调递增的.也就是说)(x F 在[]1,3--∈x 单调递增.∴21)3(max -=-F ，3)1(max -=-F要使得())(21x F x F -最小，只需18)1()3(-=---F F 即可. ∴M 的最大整数值为-18. （III ）略.。
四川省泸州市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
四川省泸州市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为40cm，上口的半径约为28cm，圆柱的高和底面直径分别约为24cm，18cm，则“何尊”的体积大约为（）A．B．C．D．第(2)题已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题若复数满足（i是虚数单位），的共轭复数是，则的模是（）A．B．4044C．2D．0第(4)题皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是十七世纪法国律师和业余数学家．费马曾提出猜想：对任意大于2的正整数n，关于x，y，z的方程没有正整数解．经历了三百多年，1995年英国著名数学家、牛津大学教授安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了证明，使它成为费马大定理．若三边的长为a，b，c且都为正整数，满足，则一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形第(5)题已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（）A．30种B．60种C．90种D．120种第(7)题函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，并且函数在区间,上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A．10B．18C．2D．8第(8)题已知向量，且，则（）A．B．C．或D．或二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为R，，，则（）A．B．C．为奇函数D．第(2)题如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．有无数个点满足B．当点在棱上运动时，的最小值为C．若，则动点的轨迹长度为D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是第(3)题满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（）A．存在非零实数t，使得为等差数列B．存在非零实数t，使得为等比数列C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设集合A＝{x|（x－1）2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是________个．第(2)题在中，角，，所对应的三边分别为，，，，，则面积的最大值是___________.第(3)题已知i是虚数单位，则复数的模等于___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.(1)若，，，求的值；(2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；(3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：.第(2)题设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值；(2)求的单调区间；(3)若对成立，求b的取值范围．第(3)题已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是定义域内的单调函数，求的取值范围.第(4)题已知双曲线过点，且焦距为10．(1)求C的方程；(2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．第(5)题在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．。
2014年四川省泸州市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2013-2014学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{2}D．{1，2}2．（5分）点（1，2）到直线3x+4y﹣1=0的距离为（）A．2 B．C．D．3．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π4．（5分）若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是（）A．B． C． D．5．（5分）已知||=3，||=4且向量与的夹角是，则向量在方向上的投影是（）A．﹣ B．C．﹣D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A．B． C．3πD．2π7．（5分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．258．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知奇函数f（x）在x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则使f（x﹣2）＞﹣3成立的x的取值范围是（）A．（﹣2﹣，1）∪（3，+∞）B．（﹣4﹣，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣，3）∪（5，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（3，5）10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）=﹣|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10 B．9 C．8 D．12二.填空题（共5个小题，共25分）11．（5分）若过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为．12．（5分）已知向量=（3，4）与=（x，﹣8）共线．则||=．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．14．（5分）海中有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°方向上且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ方向上（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A 相距10海里的位置C．则该船的行驶速度为海里/小时．15．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．AC1分别与平面A1BD、平面CB1D1交于E，F两点．给出以下命题：①平面A1BD∥平面CB1D1；②若∠A1AD=∠A1AB=∠DAB，AD=AB=AA1，则直线A1D与CD1所成角为；③点E，F为线段AC1的两个三等分点；④E为△A1BD的内心．其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且3a2为9a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的首项和公比；（Ⅱ）设b n=a n+log3a n，求数列{b n}的前n项和．17．（12分）已知函数f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a（x∈R，a∈R，a是常数）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]时，函数f（x）的最大值为4，求a的值．18．（12分）如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣7=0，点M（3，0）满足=，点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足•=0（Ⅰ）求AC所在直线的方程；（Ⅱ）求•．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，△ABC面积为，cosB=．（1）求b的值；（2）求cos（2B﹣A）的值．20．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角为，AB=2，BC=4，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅲ）求多面体PABCE的体积．21．（14分）已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（﹣2）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=log2[m﹣f2（x）+4f（x）]若此函数在[0，2]上存在零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若≤k＜1，函数f1（x）=|f（x）﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数f 2（x）=|f（x）﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．2013-2014学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{2}D．{1，2}【解答】解：∵A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B={2}．故选：C．2．（5分）点（1，2）到直线3x+4y﹣1=0的距离为（）A．2 B．C．D．【解答】解：点（1，2）到直线3x+4y﹣1=0的距离：d==2．故选：A．3．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π【解答】解：由题意，函数f（x）=sinxcosx=sin2x∴故选：B．4．（5分）若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是（）A．B． C． D．【解答】解：设这个球的半径为R，则∵球的表面积为4π，∴4πR2=4π，解之得R=1因此，则这个球的体积V=•R3=故选：B．5．（5分）已知||=3，||=4且向量与的夹角是，则向量在方向上的投影是（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵||=3，||=4且向量与的夹角是，∴向量在方向上的投影===．故选：D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A．B． C．3πD．2π【解答】解：由题意以及三视图可知几何体的圆柱，底面圆的直径为1，高为1，所以圆柱的表面积为：=．故选：B．7．（5分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．25【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选：B．8．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选：B．9．（5分）已知奇函数f（x）在x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则使f（x﹣2）＞﹣3成立的x的取值范围是（）A．（﹣2﹣，1）∪（3，+∞）B．（﹣4﹣，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣，3）∪（5，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（3，5）【解答】解：令x＜0时，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4（﹣x）=x2+4x，又f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣4x，∴f（x）=，若使f（x﹣2）＞﹣3，则当x﹣2≥0时，即x≥2，（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＞﹣3，解得x＞5或x＜3，所以x＞5或2≤x＜3，当x﹣2＜0时，即x＜2，﹣（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＞﹣3，解得＜x＜所以＜x＜2综上x＞5或＜x＜3故选：C．10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）=﹣|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10 B．9 C．8 D．12【解答】解：令﹣3≤x≤﹣1则﹣1≤x+2≤1，∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=（1﹣|x+2|）（﹣3≤x≤﹣1）①令﹣5≤x≤﹣3则﹣1≤x+4≤1，f（x+4）=1﹣|x+4|，又f（x+4）=2f（x+2）=4f （x），∴f（x）=（1﹣|x+4|）（﹣5≤x≤﹣3）②则﹣7≤x≤﹣5时，f（x）=（1﹣|x+6|）③当1≤x≤3时，﹣1≤x﹣2≤1，f（x﹣2）=1﹣|x﹣2|又f（x﹣2）=f（x），即f（x）=2（1﹣|x﹣2|），同理3≤x≤5时，f（x）=4（1﹣|x﹣4|）④当5≤x≤7时，f（x）=8（1﹣|x﹣6|）⑤如图所示f（x）的图象，再画出y=log4|x|的图象，观察得出交点数为8，即方程f（x）=log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是8．故选：C．二.填空题（共5个小题，共25分）11．（5分）若过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为﹣8．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是﹣2，∴=﹣2，解得m=﹣8，故答案为：﹣8．12．（5分）已知向量=（3，4）与=（x，﹣8）共线．则||=10．【解答】解：向量=（3，4）与=（x，﹣8）共线．所以3×（﹣8）=4x，可得x=﹣6．||==10．故答案为：10．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=2n+1（n∈N*）．【解答】解：当n≥2，且n∈N*时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=n2+2n﹣（n2﹣2n+1+2n﹣2）=2n+1，又S1=a1=12+2=3，满足此通项公式，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1（n∈N*）．故答案为：2n+1（n∈N*）14．（5分）海中有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°方向上且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ方向上（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．则该船的行驶速度为45海里/小时．【解答】解：∵sinθ=，0°＜θ＜90°∴cosθ==，∴在△ABC中，由余弦定理知BC==30（海里），∴该船的行驶速度为=45（海里/小时）．故答案为：45．15．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．AC1分别与平面A1BD、平面CB1D1交于E，F两点．给出以下命题：①平面A1BD∥平面CB1D1；②若∠A1AD=∠A1AB=∠DAB，AD=AB=AA1，则直线A1D与CD1所成角为；③点E，F为线段AC1的两个三等分点；④E为△A1BD的内心．其中真命题的序号是①②③（写出所有真命题的序号）【解答】解：∵A1B∥D1C，A1D∥B1C，A1D∩A1D=A1，∴平面A1BD∥平面CB1D1，故①正确；∵∠A1AD=∠A1AB=∠DAB，AD=AB=AA1，∴△A1BD是等边三角形，∵A1B∥D1C，∴直线A1D与CD1所成角为∠BA1D，∴直线A1D与CD1所成角为，故②正确；连接A1C1，A1C，AC，设AC1与A1C交于O点，连接A1E并延长交AC于H点，由平行四边形对角线互相平分得OA=OC1，又A1H是面A1DB与面A1AC的交线，所以H为AC与BD的交点，即为中点，从而E为△A1AC的重心，A1E=2EH，AE=2OE，又OE=OF，从而AE=EF，同理可得C1F=2OF，所以点E，F为线段AC1的两个三等分点，故③正确；由③的分析可得：E为△A1BD的重心，故④错误．故答案为：①②③．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且3a2为9a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的首项和公比；（Ⅱ）设b n=a n+log3a n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且3a2为9a1和a3的等差中项，∴，解得a1=1，q=3．（Ⅱ）∵a1=1，q=3，∴，∴b n=a n+log3a n=3n﹣1+n﹣1，设数列{b n}的前n项和为T n．∴T n=（1+3+32+…+3n﹣1）+（1+2+…+n）﹣n=+=．∴数列{b n}的前n项和为．．17．（12分）已知函数f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a（x∈R，a∈R，a是常数）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]时，函数f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a=2cos2x+2sinxcosx+a=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+a+1的最大值为a+3，又∵函数f（x）的最大值为4，∴a+3=4，解得a=1，∴a的值为1．18．（12分）如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣7=0，点M（3，0）满足=，点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足•=0（Ⅰ）求AC所在直线的方程；（Ⅱ）求•．【解答】解：（I）点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足•=0，∴，∴A=90°．∴k AC=﹣=﹣=﹣3．∴直线AC的方程为：y=﹣3x+1．（2）联立，解得，∴A（1，﹣2）．设B（3y+7，y），C（x，﹣3x+1），∵点M（3，0）满足=，∴点M是线段BC的中点．∴，解得，∴B，C．∴•=（2，2）•=﹣．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，△ABC面积为，cosB=．（1）求b的值；（2）求cos（2B﹣A）的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理=得：bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，∴a=3c；又cosB=，∴sinB==，∵△ABC面积为，∴acsinB=×3c2×=，∴c=1，a=3；∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=10﹣2×3×1×=6，解得：b=．（2）由余弦定理得cosA===﹣，A∈（0，π），∴sinA=，由cosB=得：cos2B=2cos2B﹣1=﹣（＜2B＜π），sin2B=，∴cos（2B﹣A）=cos2BcosA+sin2BsinA=（﹣）（﹣）+×=．20．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角为，AB=2，BC=4，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅲ）求多面体PABCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结BD交AC于O点，连结OE∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点可得在△PBD中，OE是中位线，∴PB∥OE∵PB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE．（II）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∴∠EHG即为二面角θ的平面角．∵直线PB与平面ABCD所成角为，AB=2，∴PA=2，∴EG=1，∵BC=4，∴AG=2，∴GH=，∴tan∠EHG==；（Ⅲ）解：利用多面体PABCE 的体积为长方体的体积减去三棱锥E ﹣ACD 的体积，可得多面体PABCE 的体积∵三棱锥E ﹣ACD 的底面三角形ADC 中，AD=2，CD=1，高为1， ∴多面体PABCE 的体积为V P ﹣ABCD ﹣V E ﹣ACD =﹣=．21．（14分）已知函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1），且f （﹣2）=． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）设函数g （x ）=log 2[m ﹣f 2（x ）+4f （x ）]若此函数在[0，2]上存在零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若≤k ＜1，函数f 1（x ）=|f （x ）﹣1|﹣k 的零点分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），函数f 2（x ）=|f （x ）﹣1|﹣的零点分别为x 3，x 4（x 3＜x 4），求x 1﹣x 2+x 3﹣x 4的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （﹣2）=． ∴f （﹣2）=a ﹣2=．解得a=2，即函数f （x ）的解析式f （x ）=2x ；（Ⅱ）若g （x ）=log 2[m ﹣f 2（x ）+4f （x ）]在[0，2]上存在零点， 即等价为m ﹣f 2（x ）+4f （x ）=1在[0，2]上成立， 则m=f 2（x ）﹣4f （x ）+1=（2x ）2﹣4×2x +1， 设t=f （x ）=2x ；则1≤t ≤4， 则y=t 2﹣4t +1=（t ﹣2）2﹣3， ∵1≤t ≤4， ∴﹣3≤t ≤1，即﹣3≤m ≤1，则实数m 的取值范围[﹣3，1]．（Ⅲ）由f 1（x ）=|f （x ）﹣1|﹣k=0得|f （x ）﹣1|=k ，即f （x ）=1﹣k ，或f （x ）=1+k ，则=1﹣k，==1+k，由f2（x）=|f（x）﹣1|﹣=0得|f（x）﹣1|=，即f（x）=1+或f（x）=1﹣，则=1﹣=或=1+=，则，，即，∵≤k＜1，∴，则≥3，即x2﹣x1+x4﹣x3≥log23，则x1﹣x2+x3﹣x4=﹣（x2﹣x1+x4﹣x3）≤﹣log23，故x1﹣x2+x3﹣x4的最大值是﹣log23，赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
泸州市高2023级高一学年末统一考试数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i+ B.2i- C.12i - D.12i+3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b4.已知2tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.235.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅＝（）A .1B.116C.14D.12-7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.B.C.D.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3B.0C.2D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a = ，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b上的投影向量为-10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为____________．13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD ．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GC AC的值．19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．泸州市高2023级高一学年末统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-【答案】B 【解析】【分析】先求出,A B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}Z 251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-，{}{}2404B x x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=.故选：B.2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i +B.2i- C.12i- D.12i+【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的除法计算复数，再结合共轭复数定义即可.【详解】因为()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+,所以12i z =-.故选：C.3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性进行比较，借助于中间值“0”即可判断三个值的大小.【详解】因为函数2x y =在R 上单调递增，所以. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭，又因为函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以1lg lg103c =<=，所以c<a<b .故选：D.4.已知tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法求值.【详解】依题意，222222222111cos sin 1tan 122cos2cos sin 1cos sin 1tan 3122ααααααααα----=-===+++.故选：B5.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行【答案】D 【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，若α内有无穷多条直线都与β平行，则,αβ平行或相交，故充分性不成立，故A 错误；对于B ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C D 平面ABCD ，11//C D 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故B 错误；对于C ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，故充分性成立，故D 正确.故选：D .6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP⋅ ＝（）A.1B.116C.14D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用数量积的定义、运算律以及向量的线性运算即可求解.【详解】因为()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2211512444PQ BA ==+ ，取AO 中点Q ，连接PQ ，144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221511416416PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.23B.132C.3D.332【答案】C 【解析】【分析】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，圆台的母线交于点S ，由已知易求得圆锥的母线4SB =，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高.【详解】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，设圆台的母线交于点S ，AB 为圆台的母线，且2AB =，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，所以12SA HA SB OB ==，所以2SA =，所以4SB =，由圆台侧面展开图扇环的圆心角为180︒,所以下底面圆的周长为4π，所以2π4πOB = ，所以2,1OB HA ==，在直角梯形HABO 中，易求得22213OH =-=.故选：C.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3 B.0C.2D.6【答案】A 【解析】【分析】作出函数图象，由对称性可知，122x x +=-，4344log log x x =，计算得341x x =，再计算3412x x x x --的结果；【详解】作出函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下由对称性可知，122x x +=-，因为4344log log x x =，由图可知3401x x <<<，所以43444344log 0,log 0log log x x x x ⇒-=则43434log 0,1x x x x =∴=，34121(2)3x x x x ---=-=，故选：A .二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b 同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a =，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b 上的投影向量为-【答案】BD 【解析】【分析】举反例判断A ，C ，利用向量共线定理判断B ，利用投影向量的定义判断D 即可.【详解】对于A ，向量不能比较大小，故A 错误，对于B ，向量PA PB PC λμ=+且1(01)λμλ+=<<时，由向量共线定理的推论，知,,A B C 三点共线，故B 正确，对于C ，当,a b 同向共线时，0a b a b ⋅=⋅>，此时夹角不是锐角，故C 错误，对于D ，由题意得1b = ，由投影向量定义得投影向量为3πcos 4b a b⋅=-，故D 正确.故选：BD10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性与单调性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于π3x =对称，故A 错误；所以πsin(2)13ϕ⨯+=±，所以2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，所以ππ,Z 6k k ϕ=-∈，因为()ππ2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()()sin πsin 2πϕϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以2,Z k n n =∈，所以1sin 2ϕ=-，故B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π5π11π(,)2666x ∈-，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错误；由1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-，所以()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确．故选：BD ．11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,,,B A D BD AC A，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，又因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以，BD ⊥平面11AA C C ，因为1AC ⊂平面11AA C C ，则1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，则1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行或重合，所以平面1A BD 与正方体的截面形状可以是正三角形，故A 正确；平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为即为平面1A BD 与平面ABCD 所成的角，设AC 与BD 交于O ，连接1OA ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面1AA O ，又1A O ⊂平面1AA O ，所以1BD AA ⊥，所以1AOA ∠是平面平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，由题意可得12A A =，进而可得12AO AC ==1A O ==，所以111sin 3AA AOA A O ∠===，所以平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3，故B 错误；当,,,,,E F N M G H 分别为对应棱的中点时，截面EFNMGH 为正六边形，因为,E H 分别为111,BB A B 的中点，则1EHA B ，因为EH ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，则//EH 平面1A BD ，同理可得//EF 平面1A BD ，又因为EH EF E =I ，,EH EF ⊂平面EFNMGH ，则平面//EFNMGH 平面1A BD ，所以，1AC ⊥平面EFNMGH ，此时截面为正六边形，故C 正确；如图设截面为多边形GMEFNH ，设1A G x =，则02x ≤≤，则,),GH ME NF MG HN EF x MN ======-=，所以多边形GMEFNH 的面积为两个等腰梯形的面积和，所以1211()()22S GH MN h MN EF h =+++ ，因为1h ==2h ==，所以11)22S x =++-=11)22S x =+-221)x =++=-+，当1x =时，max S =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何体的截面问题，求解时要注意从动态的角度进行分析问题和求解问题，结合函数思想求解最值.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____________．【答案】##122-【解析】【分析】根据周期性和奇函数的性质可得7122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以求值.【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.【答案】4【解析】【详解】()2sin 3010141sin10cos10sin202︒-︒-==︒︒︒14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．【答案】15π【解析】【分析】先分析得三棱锥的体积取得最大值时，有平面SAB ⊥平面ABC ，分别求得ABC ，SAB △的外接圆的半径，进而可求外接球的半径，由此得解.【详解】依题意，三棱锥S ABC -的底面ABC 面积是个定值，侧面SAB 是等边三角形，顶点S 到边AB 的距离也是一个定值，所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面SAB ⊥平面ABC ，取AB 的中点，连接,SH CH ，,N M 分别为正三角形SAB ，ABC 的中心，所以,SH AB CH AB ⊥⊥，所以SHC ∠为二面角S AB C --的平面角，可得SH CH ⊥，过,N M 分别作平面SAB ，平面ABC 的垂线,NO MO ，两垂线交于O ，则O 为外接球的球心，由正三角形的性质可求得332SH CH ==，进而可得32NH HM ==，SN CM ==易得四边形OMHN 是正方形，所以2OM =，由勾股定理可得2OC ==，其外接球的表面积为24π15π2⎛= ⎝⎭.故答案为：15π.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．【答案】（1）π3（2）1k =或1k =-【解析】【分析】（1）由向量模的坐标运算得出||a =，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由已知得()()·0ka b a kb +-=，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．【小问1详解】由()1,1a =-，得||a ==a 与b的夹角为[0,π]θ∈，由()3a b b +⋅= ，23a b b ⋅+= ，又b = ，所以1a b ⋅= ，所以||||cos 1a b θ⋅= ，解得1cos 2θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．【小问2详解】由向量向量ka b + 与a kb - 互相垂直，得()()·0ka b a kb +-=，所以2220ka k a b a b kb -+-= ，即22120k k k -+-=，解得1k =或1k =-．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．【答案】（1）1π()2sin(26f x x =+（2）ππ(π,πZ 66k k k -+∈【解析】【分析】（1）由图象求出A ，ω和ϕ的值即可求出函数的解析式．（2）根据函数图象变换求出()g x 的解析式，进而解不等式()1g x >即可.【小问1详解】由图象知2A =，18π2π2π233T =-=，即4πT =，又0ω>，所以2π4πω=，所以12ω=，则1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点2π(,2)3，所以2π12π()2sin()2323f ϕ=⨯+=，所以πsin()13ϕ+=，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.又π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即1π()2sin()26f x x =+．【小问2详解】将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，可得函数()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，所以()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=，由()1g x >，可得2cos 21x >，所以1cos 22x >，所以ππ2π22π,Z 33k x k k -<<+∈，所以ππππ,Z 66k x k k -<<+∈，所以不等式()1g x >的解集为ππ(π,πZ 66k k k -+∈．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．【答案】（1）2π3（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案；（2）利用正弦定理公式结合已知条件求出1ac =，再由余弦定理求出答案.【小问1详解】因为余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯=+，所以222a b c ac -+=-，因为2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为正弦定理得2sin sin sin 2a b c A B C====，所以sin ,sin ,22a cA C ==又1sin sin 4A C =，所以1224a c ⨯=，即1ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即221322a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+因为,0a c >，所以2a c +=.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GCAC的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）34【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于O ，连接OE ，易得AC BD ⊥，由已知可证PD BD ⊥，进而可证OE BD ⊥，利用线面垂直的判定定可证BD ⊥平面A E G ，可证结论成立；（2）连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，利用相似比证明//OM GE ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（3）由题意可得34A BEF G BEF V V --=，可求得GCAC的值.【小问1详解】设AC 与BD 交于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点，又PD⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，因为E 是PB 的中点，所以//PD OE ，所以OE BD ⊥，又OE AC O ⋂=，,OE AC ⊂平面A E G ，所以BD ⊥平面A E G ，又BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面A E G ；【小问2详解】连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，因为3CG AG =，所以12OG OC =，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以M 为PBC 的重心，所以12ME MC =，所以ME OGMC OC=，所以//OM GE ，又OM ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以//EG 平面BDF ；【小问3详解】由PD⊥平面ABCD ，可得22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以14BEF PEF PBC S S S ==，所以4A PBC A BEF V V --=，所以228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===又四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，所以34A BEF G BEF V V --=，所以点,G A 平面BEF 的距离之比为34，所以34GC AC =.19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．【答案】（1）2a =（答案不唯一），理由见解析.（2）443535log log 22x x x ⎧-+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或（3）0【解析】【分析】（1）2a =代入a 与2具有“性质1”的不等式进行验证；（2）根据题意得不等式()()2222110x x-⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，化简得4403x x -+-≥，解不等式求出x 的取值范围；（3）根据题意条件列出不等式进行化简分离变量()()22cos sin sin cos 1sin cos x xk x x x x ≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，变形得2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫--⎪⎝⎭，构造新函数43212,22t t y t t++-=利用导数求得新函数的最小值，从而得到实数k 的最大值；【小问1详解】2a =与2具有“性质1”.当2a =时，()()()()222121122122--≥⨯--⨯，即90>，则2与2具有“性质1”【小问2详解】若22x x --具有“性质0”，所以()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，即()22210442104430x x x x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥，令4,0xt t =>，所以2131300t t t t t -++-≥⇒≥，所以2310t t -+≥，解得302t -<≤或32t ≥即3042x <≤或342x +≥所以43log 2x -≤或43log 2x ≥因此x 的取值范围443535log log 22x x x ⎧+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或【小问3详解】若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，所以()()()()22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x x --≥--，因为ππ42x ≤≤，所以sin x >cos x ，cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->，化简得()()()()2222cos sin cos sin sin cos 1sin cos sin cos 1sin cos x x x x k x x x x k x x x x ≥--⇒≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，两边平方得212t sinxcosx -=，2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭令43212,22t t y t t ++-=求导得()()()()()()3324264222322442212265512221t t t t t t t t t t y t t t t -++--+++--=+'=+，令462551()h t t t t =+--，求导得534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-令()0h t '=，解得0,1t t ==，当()0,()t h t h t '=<在上单调递减；当()0,()t h t h t '=>在上单调递增；又因为(0)1,(1)0,h h =-=所以()0h t <，因此0'<y ，即y 在[]0,1单调递减，当1t =时，y 取最小值为0，进而得到0k ≤，实数k 的最大值为0.【点睛】含参不等式恒成立问题1.对参数分类讨论2.函数恒等变形和不等式放缩法相结合解题3.参变分离和函数导数结合解题。
泸州市中考数学原题.2012.含答案
泸州市二〇一二年高中阶段学校招生统一考试数 学 试 卷（考试时间：120分钟，试卷满分100分）说明：1．试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷（1至2页）为选择题，第Ⅱ卷（3至10页）为非选择题，满分100分．2．本卷中非选择题部分的试题，除题中设计有横线的题目外解答过程都必须有必要的文字说明、演算步骤或推理证明．第Ⅰ卷 选择题（共24分）注意事项：1．第Ⅰ卷共2页，答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上。
考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、51-的相反数是 A 、5B 、-5C 、51-D 、512、将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是3、“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是A 、中位数是5吨B 、众数是5吨C 、极差是3吨D 、平均数是5.3吨4、计算2x 3 • x 2的正确结果是 A 、2xB 、2x 5C 、2x 6D 、x 55、如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC = 6，BD = 4，则菱形的周长是 A 、24 B 、16 C 、34D 、326、为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算（未超过部份仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x （单位：度），电费为y （单位：元），则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是7、如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C 的度数为 A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°8、若关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是 A 、k ≥ 2B 、k ≤ 2C 、k ＞ -2D 、k ＜ -29、已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x 2 - 6x + 8 = 0的根，则这个三角形的周长等于 A 、13B 、11C 、11 或13D 、12或1510、如图，边长为a 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为A 、221aB 、233a C 、2)431(a -D 、2)331(a -11、如图，矩形ABCD 中，C 是AB 的中点，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为 A 、2B 、4C 、8D 、1612、如图，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交DC于点F ，连接AF ．设k ADAB =，下列结论：①△ABE ～△ECF ，②AE 平分∠BAF ，③当k = 1时，△ABE ～△ADF ，其中结论正确的是A 、①②③B 、①③C 、①②D 、②③泸州市二〇一二年高中阶段学校招生统一考试数 学 试 卷第Ⅱ卷 （非选择题 共76分）注意事项：1．第Ⅱ卷共8页，用黑（蓝）色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中的横线上．13、分解因式：x 3 - 6x 2 + 9x = _________________．14、用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为___________．15、设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 = 0的两个实数根，则2122214x x x x ++的值为______．16、有三张正面分别标有数字3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下数字后将卡片背面朝上放回，又洗匀后从中再任取一张，则两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是_________．17、如图，n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M 1，M 2，M 3，…，M n 分别为边B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，…，B n B n +1的中点，△B 1C 1M 1的面积为S 1，△B 2C 2M 2的面积为S 2，…，△B n C n M n 的面积为S n ，则S n =____________．(用含n 的式子表示)评卷人三、（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）18、计算：1302012)21(8)3()1(-+--⨯-π．19、先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中2=x ．20、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE ．求证：AE ∥BC ．四、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21、某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，将从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验可知，C型号种子的发芽率为95%，根据实验数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．(1)根据图甲求用于实验的D型号种子的粒数，并将图乙的统计图补充完整；(2)通过计算，回答应选哪一个型号的种子进行推广．22、某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？(利润 = 售价-进价)五、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）23、“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？（2）的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？24、如图，一次函数y = ax + b 的图象与y 轴、x 轴分别交于点A （0，3）、B （3，0），与反比例函数xky的图象在第一象限交于C 、D 两点．（1）求该一次函数的解析式． （2）若AC ∙ AD =3，求k 的值．六、（本大题共2个小题，其中第25题9分，第26题11，共20分）25、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点； （2）若⊙O 的半径为5，AQ = 215，求弦CE 的长．26、如图，二次函数21212+++-=m mx x y 的图象与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，顶点D 在第一象限．过点D 作x 轴的垂线，垂足为H ．（1）当23=m 时，求tan ∠ADH 的值； （2）当60° ≤ ∠ADB ≤ 90° 时，求m 的变化范围；（3）设△BCD 和△ABC 的面积分别为S 1、S 2，且满足S 1 = S 2，求点D 到直线BC 的距离．。
四川省泸州市2014届高三第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题：摘录
2014年四川省高考模拟试题202013.12.6 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x 的图象都经过点3(0,)2P ，则ϕ的值可以是 A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π3．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1-<a4．△ABC 所在平面上一点Ｐ满足PA ＋PB ＋PC ＝AB,则△PAB 的面积与△ABC 的面积比为（ ） A.2:3 B.1:3 C.1:4 D.1:65. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36，B ．2ππ36，C ．ππ63， D ．ππ33，6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的长分别是,,a b c ，且2222c a b =+，可导函数()f x 满足/()2()x f x f x < ，则 A.22sin (sin )sin (sin )A f B B f A < B. 22sin (sin )sin (sin )A f A B f B > C.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B < D.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B >7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()(),f x f x -=- 称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）.1313A m -≤≤+ .1322B m -≤≤ .2222C m -≤≤ .2213D m -≤≤-8．已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，()f x ＝21(1,1](12),(1,3]x x t x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩－,－－－其中t>0．若函数y ＝()f x x－15的零点个数是5，则t 的取值范围为( )A ．（25，1） B ．（25，65） C ．（1，65） D ．（1，＋∞）9．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ） （A ）10,5,5+∞ （]（）（B ）10,[5,5+∞ （））（C ）11,]5,775 （（）（D ）11,[5,775（））10．对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①； ②；③ ； ④.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③第II 卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．设C B A P ,,,半径为2的球面上四点，且满足PA ∙PB =0,PA ∙PC =0,PB ∙PC=0,则PBC PAC PAB S S S ∆∆∆++的最大值是_______________13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 14．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末理）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．15．已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题：①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈； ②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数；④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）D ()y f x =c ξ,x D ∃∈0|()|f x c ξ<-<()y f x =c ()()f x x x Z =∈()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()2log f x x =()1x f x x -=16．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =，ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．M NθACB17．(湖北省黄冈市2013年3月高三质量检测理)（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望.18．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .PABCDM图2PABD C图119．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=. （1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20（本小题满分13分）已知函数)()(b ax e x f x+=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．⑴ 求常数a ，b 的值；⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．(1) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(2) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（3）设函数2(()66(1))e ,1,()e (),1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．。
四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题【含答案】
2024年春期高2022级高二期末联合考试数学试题数学试卷分为第1卷（选择题）和第I1卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.第一卷选择题（58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+2．下列求导运算正确的是（）A ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭B ．cos sin33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 2cos x x x x'=D ．()33x x'=3．直线l 过圆()22:34C x y ++=的圆心，并且与直线20x y ++=垂直，则直线l 的方程为（）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，则5a =（）A ．81B ．162C ．243D ．4865．下列命题中，真命题的是（）A ．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为8B ．若回归方程为 0.450.6y x =-+，则变量y 与x 正相关C ．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为125D ．在线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好6．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，则a b +=（）A ．11或4B ．-4或-11C ．11D ．47．621()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．55B ．70-C ．65D ．25-8．已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c a b>>二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．直线()12:0,:00,l ax y b l bx y a ab a b --=-+=≠≠，下列图象中正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A 表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（）A ．()15|21P B A =B ．()212|21P C A =C ．()1742P B =D ．()4384P C =11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 相交于P ，Q ，2l 与C 相交于M ，N ，PQ 的中点为G ，MN 的中点为H ，则（）A ．111||||PF QF +=B ．111||||2PQ MN +=C ．||||PQ MN +的最大值为16D ．当||GH 最小时，直线GH 的斜率不存在第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A ，B 角色各1人，C 角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A ，B 角色不可同时为女生．则店主共有种选择方式．13．若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且212PF F F ⊥，H 是线段1PF 上靠近1F 的三等分点，且10OH PF ⋅=，则C 的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且24213a a +=，749=S .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．(1)证明：EF ⊥平面11A ACC ；(2)若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．18．已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设()()'g x xf x =,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.19．已知一动圆与圆()22:318++=E x y 外切，与圆()22:32-+=F x y 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程．(2)已知点P 在曲线C 上，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点（异于点P ）．记直线PA 和直线PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①()4,1P ；②120k k +=；③12k =-．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．1．C【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.2．A【解析】根据求导公式和求导法则，逐一验证四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：()11e ln e ln e =e ln x x x x x x x x x ⎛⎫'=+⋅+ ⎪⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：cos 0sin 33ππ'⎛⎫=≠- ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：()22sin 2sin cos 2cos x x x x x x x x '=+≠，故选项C 不正确；对于选项D ：()33ln 33x x x '=≠，故选项D 不正确，故选：A 3．D【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【详解】由22(3)4x y ++=可知圆心为()3,0-，又因为直线l 与直线20x y ++=垂直，所以直线l 的斜率为1k =，由点斜式得直线:03l y x -=+，化简得直线l 的方程是30x y -+=．故选：D ．4．B【分析】根据给定条件，利用1(2)n n n a S S n -=-≥列式计算即得.【详解】数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，所以5455433162a S S =-=-=.故选：B 5．A【分析】对于选项A ，结合新样本数据的方差公式运算；对于选项B ，根据相关性的概念，由x 的系数分析判断；对于选项C ，根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，分析运算；对于选项D ，相关指数越接近于1，拟合效果越好.【详解】①若样本数据1210,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,21x x x --- 的方差为2228⨯=，故A 项为真命题；②由ˆ04506yx =-+..，可知ˆ0.450b =-<，则变量y 与x 负相关，B 项为假命题；③根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为2005003，故C 项为假命题；④在线性回归分析中相关指数2R 越接近于1，则模型的拟合效果越好，故D 项为假命题.故选：A.6．C【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.【详解】根据题意，()236f x x ax b=++' 函数()f x 在1x =-处有极值0()1360f a b ∴-=-+='且()21130f a b a -=-+-+=1,3a b ∴==或2,9a b ==1,3a b ==时()23630f x x x =++≥'恒成立，此时函数无极值点2,9a b ∴==11a b ∴+=.故选：C.7．D【分析】根据6()x y +展开式的通项公式进行计算即可.【详解】含42x y 的项为242333426621C C 25xT x y x y x y y =⨯-⨯=-，所以展开式中42x y 的系数为25-．故选：D.8．B【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>又ln3ln33e <，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.9．BC【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】直线()12:,:0,l y ax b l y bx a ab a b =-=+≠≠，A 选项，由图可知：12000:,:000a a a l l b b b <<>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-><>⎩⎩⎩，所以A 选项错误.B 选项，由图可知：12000:,:000a a a l l b b b >>>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-<>>⎩⎩⎩，所以B 选项正确.C 选项，由图可知：12000:,:000a a a l l b b b >>>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-><<⎩⎩⎩，所以C 选项正确.D 选项，由图可知：12000:,:000a a a l lb b b <<>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-><<⎩⎩⎩，所以D 选项错误.故选：BC 10．BCD【分析】在各自新的样本空间中求出()1|P B A ，()2|P C A 判断A ，B ；利用全概率公式计算()P B ，()P C 判断C ，D 作答.【详解】在事件1A 发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则()25127C 10|C 21P B A ==，A 不正确；在事件2A 发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则()1143227C C 12|C 21P C A ==，B 正确；因1253(),()88P A P A ==，()110|21P B A =，()24272C 6|C 21P B A ==，则()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=，C 正确；因()212|21P C A =，()1152127C C 10|C 42P C A ==，则()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=，D 正确.故选：BCD 11．AD【分析】A 选项，先得到两直线斜率均存在且不为0，设直线1l 方程为()1y k x =-，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦半径得到11PF x =+，21QF x =+，从而得到111||||PF QF +=；B 选项，在A 选项基础上得到244PQ k=+和244MN k =+，从而代入计算出4111||||PQ MN +=；C 选项，在B 选项基础上，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D 选项，先得到2221,G k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()212,2H k k +-，表达出GH ，并结合基本不等式求出当2212k k+=时，||GH 取得最小值，此时3G H x x ==，故D 正确.【详解】A 选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，故两直线斜率均存在且不为0，由题意得()1,0F ，设直线1l 方程为()1y k x =-，联立()1y k x =-与2:4C y x =得，()2222240k x k x k -++=，易知0∆>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212224,1k x x x x k++==，则11PF x =+，21QF x =+，则2212212121222422111112411111k x x k k PF QF x x x x x x k +++++=+===++++++++，A 正确；B 选项，在A 选项基础上得到122424PQ x x k =++=+，由于两直线均过焦点且垂直，可得2244441MN k k =+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，故222241111114||||44444k PQ MN k k k ++=+==+++，B 错误；C 选项，由B 选项可知，()114PQ MN PQ MN PQ MN ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭4114216MN PQ PQ MN ⎛⎛⎫ =+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当MN PQ PQMN=，即8MN PQ ==时，等号成立，故||||PQ MN +的最小值为16，C 错误；D 选项，由A 选项可知，G 点横坐标为122212x x k+=+，故22211G y k k k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以2221,G k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于两直线均过焦点且垂直，可得()22221,12,211H k k k k ⎛⎫⎪ ⎪+=+- ⎪⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则GH ==其中2212k k +≥=，当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立，当2212k k+=时，||GH 取得最小值，此时3G H x x ==，故当||GH 最小时，直线GH 的斜率不存在，D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．348【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A ，B 角色有23A 种，剩余的1名男生和女生扮演C 角色，或A ，B 角色1名男生1名女生，女生先选有12C ，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则13C 种，所以共有1321134323C C (A C C )144+=种，第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A ，B 角色有22A 种，剩余的2名女生扮演C 角色，或A ，B 角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有1122C C ，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则12C 种，所以共有222111342222C C (A C C C )180+=种，第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A ，B 角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有1132C C ，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C ，所以共有31113432C C C C 24=种，由分类计数原理可得：店主共有14418024348++=种选择方式，故答案为：348.13．(4，5)【分析】由已知得()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数a 的取值范围.【详解】解： 函数()324132x a f x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.14．622【分析】根据题意可得22b PF a =，221+=a c PF a ，2213+=a c HF a ，再结合三角形相似可得21111F F HF PF OF =，代入分析求解即可.【详解】由题意，不妨设点P 在第一象限，如图.因为212PF F F ⊥，则22b PF a =，22212b a c PF a a a +=-=，2211133a c HF PF a +==.因为10OH PF ⋅= ，则1OH PF ⊥，可知121PF F OF H ∽△△，则21111F F HF PF OF =，即222223a c c a a c ca+=+，整理得2260c ac a +=.由c e a =得2610e e +=，解得622e -=或6212e =>（舍去），所以C 的离心率为622.故答案为：622.15．(1)21n a n =-(2)212223n n T n +-=+.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解；（2）分组求和方法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又24213a a +=，749=S ，所以()1112313767492a d a d d a ⎧+++=⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，2d =，所以{}n a 的通项公式()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.（2）由（1）知212212n a n n n b a n -=+=-+，所以()()()()3521123123252212n n n T b b b b n -=+++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+-+()()()()2135212214121221352122222143n n n n n n n +-⨯-+--=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=+=+-.16．(1)1120(2)①19；②方案二中取到红球的概率更大.【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“试验结果为红球”为事件1B ，“试验结果为白球”为事件2B ，（1）()()()()()111121219121121021020P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.所以试验一次结果为红球的概率为1120.（2）①因为1B ，2B 是对立事件，()()219120P B P B =-=，所以()()()()()()2111212221111029920P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====，所以选到的袋子为甲袋的概率为19.②由①得()()2212181199P A B P A B =-=-=，所以方案一中取到红球的概率为：()()()()1121122121982591091018P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=，方案二中取到红球的概率为：()()()()22211121289123791091045P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=，因为3754518>，所以方案二中取到红球的概率更大.17．(1)证明见解析【分析】（1）取BC 的中点M ，连结,FM BM ，可得EF BM ∥，通过证明BM ⊥平面11A ACC 可得；（2）利用等体积关系11E ACC C AEC V V --=可得.【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连结,FM BM ，∵在1ACC △中，F 、M 分别为1AC 、AC 的中点，∴112FM CC =且1FM CC ∥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中心，∴112BE CC =且1BE CC ∥，∴BE FM =且BE FM ∥，∴四边形BEFM 为平行四边形，∴EF BM ∥，∵在ABC 中，M 为AC 的中点，且1,AB BC AC ===∴BM AC ⊥，且22BM =，∵1CC ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1CC BM ⊥，又1CC AC C =I ，∴BM ⊥平面11A ACC ，∴EF ⊥平面11A ACC ；（2）由（1）知，22EF BM ==，1EF AC ⊥，因为直线EA 与平面ABC 所成的角大小为π6，π6EAB ∠=∴，因为R t EAB 中，1AB =，3tan 3BE AB EAB =⋅∠=∴，11CC BB ==∴，1AC ==∴11111122EAC ACC S EF AC S AC CC =⋅=⋅ ∴设点C 到平面1AEC 的距离为d ，11E ACC C AEC V V --= ，111133ACC AEC S EF S d ⋅=⋅ ∴，即11=33236d ⋅⋅，解得5d =.18．：（Ⅰ）1k =；（Ⅱ）()f x 的单调增为()0,1,单调减区为()1,+∞.（Ⅲ）见解析【详解】(1)由f (x )＝ln x x k e +，得f ′(x )＝1ln xkx x x xe --，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x)＝1xxe (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0.又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)(3)因为g (x )＝xf ′(x )，所以g(x )＝1xe (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，由(2)得，h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e -2)．所以当x ∈(0，e -2)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e -2，＋∞)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e -2)＝1＋e -2.又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1e x ＜1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1ex h (x )＜1＋e -2，即g(x )＜1＋e -2.综上所述结论成立19．(1)2218x y -=(x ≥(2)证明见解析【分析】（1）利用两圆位置关系得到ME r MF r =+=6ME MF EF -=<=，再利用双曲线的定义即可得到曲线C 的方程；（2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线C 的方程，结合韦达定理得到关于12,,,k k k m 的表达式，从而得证.【详解】（1）依题意，设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，因为该动圆与圆()22:318++=E x y 外切，与圆()22:32-+=F x y 内切，此处要特别注意圆F 在圆M 的内部与圆M 相切，否则圆M 无法与圆E 外切，所以ME r MF r =+=()()3,0,3,0E F -，所以6ME MF EF -==，由双曲线定义可知，M 的轨迹是以E ，F 为焦点，实轴长为所以2a ＝，2c ＝6，即a ＝，c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝1，所以曲线C 的方程为2218x y -=(x ≥..（2）选择①②⇒③：设直线l ：y ＝kx ＋m ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得2(18)k -x 2－16mkx －8m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－21681mk k -，x 1x 2＝228881m k +-，因为()4,1P ，k 1＋k 2＝0，所以2214y x --＋1114y x --＝0，即12(4)(1)x kx m -+-＋21(4)(1)x kx m -+-＝0，即2kx 1x 2＋12(14)()m k x x --+－8(1)m -＝0，所以2k ×228881m k +-＋216(14)()81mk m k k ----－8(1)m -＝0，化简得8k 2＋2k －1＋m (21)+k ＝0，即(21)(41)k k m +-+＝0，所以12k =-或m ＝1－4k ，当m ＝1－4k 时，直线l ：y ＝kx ＋m ＝k (4)x -＋1过点P (4,1)，不满足题意，舍去；当12k =-时，由于曲线C 是双曲线2218x y -=的右支，易知0m >，又由2(18)k -x 2－16mkx －8m 2－8＝0得228880x mx m -++=，此时0∆>，则()22644880m m -+>，解得21m >，故1m >，即1m >时，12k =-满足题意，综上：12k =-，所以③成立.选择①③⇒②：设直线l ：y ＝－12x ＋m ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，联立221218y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得228880x mx m -++=，所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8，由第1种选择可知1m >且0∆>，此处不再详细说明，所以k 1＋k 2＝2214y x --＋1114y x --＝221124x m x -+--＋111124x m x -+--＝－1＋234m x --＋134m x --＝－1＋121212(3)(8)4()16m x x x x x x -+--++＝－1＋2(3)(88)884816m m m m --+-⨯+＝0，所以②成立.选择②③⇒①：设直线l ：y ＝－12x ＋m ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，P (x 0，y 0)，联立221218y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得228880x mx m -++=，所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8，由第1种选择可知1m >且0∆>，此处不再详细说明，由k 1＋k 2＝2020y y x x --＋1010y y x x --＝202012x m y x x -+--＋101012x m y x x -+--＝0，得10201()()2x x x m y --+-＋20101()()2x x x m y --+-＝0，即－x 1x 2＋00121()()2m y x x x -++－2x 00()m y -＝0，所以－8m 2－8＋8m ×001()2m y x -+－2x 00()m y -＝0，故2m 00(4)x y -＋2x 0y 0－8＝0，由于m 的任意性，所以0040x y -=，00280x y -=，解得04x =±，又0x ≥04x =，则01y =，满足2218x y -=，所以P (4,1)，①成立.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.。
绵阳市高中2012级第二学年末考试理科数学答案
绵阳市高2012级第二学年末考试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题4分，共40分．1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．B二、填空题：每小题4分，共20分．11．10 12．7 1314．260 15．②④三、解答题：共40分．16．解：对p ：m ≤min 4()x x +，∵ x >0， ∴4x x+≥4= (当且仅当x =4x ，即x =2时“=”成立)， ∴ m ≤4．…………………………………………………………………………………3分 对q ：2(2)40m ∆=--<，得0<m <4． ………………………………………………5分 由⌝p 为假，p q ∧为假，得p 为真，q 为假，………………………………………7分于是404m m m ≤⎧⎨≤≥⎩，，或， 解得m ≤0，或m =4．故实数m 的取值范围是(0]-∞，∪{4}．……………………………………………10分 17．解：（Ⅰ）设“两名学生来自同一个班”为事件A ，根据题意，得22224635218(615310)22()18179C C C C P A C ++++++⨯===⨯．………………………………4分 （Ⅱ）根据题意，得X =0，1，2． 且21421891(0)153C P X C ===，1141421856(1)153C C P X C ⋅===，242186(2)153C P X C ===． ∴ X 的分布列为……………………………………………………………8分∴ 数学期望E (X )91566684012153153153153=⨯+⨯+⨯==．…………………………10分 18．解：（Ⅰ）∵ ∠CAO =4π，∴ CO ⊥OB ． 如图，作Ox ⊥AB ，并以OB 所在直线为y 轴， 以OC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(020)(002)(020)(010).A C B E --，，，，，，，，，，， 由于3OAD π∠=，则△OAD为正三角形，得10)D -，．……………………3分（Ⅰ）(00)DE =u u u r ，，(022)BC =-u u u r ，，， ∴0DE BC ⋅=u u u r u u u r ，得DE ⊥BC ．…………………………………………………………5分 （Ⅱ）令m =(x ，y ，z )为平面ACD 的一个法向量． 由00m m AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，uuu r uuu r得00y z y +=⎧⎪+=，，得m-3，3)． 又取平面OAC 的一个法向量为n =(1，0，0)．∴cos m n m n m n ⋅===⋅，． 故二面角O -AC -D…………………………………………………10分 19．解：（Ⅰ）111()()(1)(1)x x x f x e x a e e a x -+-+-+'=++-=--．根据题意，得(1)0f '=，解得a =0． 此时，1()(1)x f x e x -+'=-．易知，当x <1时，()0f x '>，当x >1时，()0f x '<，∴ f (x )在(-∞，1)上是增函数；f (x )在(1，+∞)上是减函数，f (x )在x =1处取得极大值， 即a =0符合题意．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）由于()f x 在[2+)∞，上是减函数， 则1()(1)x f x e a x -+'=--≤0对∀x ≥2恒成立，得a ≥max (1)1x -=-，即a ≥-1．故实数a 的取值范围是[1+)-∞，．……………………………………………………6分 （Ⅲ）10()x a f x xe -+==，，则要证明对x ∀∈(0，1)，()(2)f x f x <-，即证1(2)1(2)x x xe x e -+--+<-， 等价于2222x e x-<-，即证2202x x e x -+>-． (ⅰ) 令()g x =222x x e x -+-(01)x <<，于是2222()2(2)x g x e x -'=--． 下面证明：2221(01)(2)x e x x -<<<-， 等价于222(2)x x e e -<，即证(2)x x e e -<． （ⅱ）再令=)(x h (2)(01)x x e x -<<，，则()(1)0x h x e x '=->(01)x <<， ∴()h x 在(0，1)是增函数，∴()h x (1)h e <=，从而不等式（ⅱ）成立．得()0g x '<，得g (x )在(0，1)是减函数，得g (x )>g (1)=0．从而不等式(ⅰ)成立． 故对x ∀∈(0，1)，都有()(2)f x f x <-成立．……………………………………10分。