2016-2017年四川省宜宾市高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
四川省宜宾市2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
四川省宜宾市2016-2017学年高一下学期第一次月考试卷（理科数学）一、选择题（12×5分=60分）1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．42．已知M（﹣2，7）、N（10，﹣2），=2，则P点的坐标为（）A．（﹣14，16）B．（22，﹣11）C．（6，1）D．（2，4）3．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）A．B．C．D．4．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或6．三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．18．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．B．C．D．=，则=（）9．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABCA．B．C．D．210．设向量，不共线，则关于x的方程x2+x+=0的解的情况是（）A．至少有一个实数解B．至多只有一个实数解C．至多有两个实数解D．可能有无数个实数解11．设，，均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：（1）（）2=22（2）|+|≥|﹣|（3）|+|2=（+）2（4）（）﹣（）与不一定垂直．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2表示S所有可能取值中的最小值．则个和3个排列而成，记S=++++，Smin下列命题正确的是（）①S有5个不同的值；②若⊥，则S与||无关；min与||无关；③若∥，则Smin＞0；④若||＞4||，则Smin=8||2，则与的夹角为．⑤若||=4||，SminA．①②B．②③C．①③D．②④二、填空题（4×5分=20分）13．△ABC中，A（1，2），B（3，1），重心G（3，2），则C点坐标为．14．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为．15．在△ABC中，点M，N满足=2， =，若=x+y，则x= ，y= ．16．如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m（km）后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n（km）范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险．三、解答题17．已知1，2是两个不共线的向量，=1+2，=﹣λ1﹣82，=31﹣32，若A 、B 、D 三点在同一条直线上，求实数λ的值．18．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量+的模；（2）试求向量与的夹角．19．如图，=（6，1），=（x ，y ），=（﹣2，﹣3），且∥．（1）求x 与y 间的关系；（2）若，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S=（a 2+b 2﹣c 2）．（1）求角C 的大小； （2）求sinA+sinB 的最大值．21．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC 的面积．22．长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．四川省宜宾市2016-2017学年高一下学期第一次月考试卷理科数学参考答案与试题解析一、选择题（12×5分=60分）1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．4【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=1，||=1，=cos60°∴||===故选C．【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．2．已知M（﹣2，7）、N（10，﹣2），=2，则P点的坐标为（）A．（﹣14，16）B．（22，﹣11）C．（6，1）D．（2，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先设出P点的坐标，写出2个向量的坐标，利用2个向量相等，则它们的坐标对应相等．【解答】解：设P（x，y），则=（x﹣10，y+2），=（﹣2﹣x，7﹣y），∵=2，∴，∴，∴P点的坐标为（2，4）．故选：D．【点评】本题考查两个向量相等的条件，两个向量相等时，它们的坐标相等，考查计算能力．3．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】向量的投影．【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解．【解答】解析：在方向上的投影为===．故选C【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．4．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】解三角形．【分析】先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3和两边求得sinC的值，进而求得C．【解答】解：S=BCACsinC=×4×3×sinC=3∴sinC=∵三角形为锐角三角形∴C=60°故选B【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问题，是三角形问题中常用的思路．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或【考点】余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理求出cosB的值，进而求出B．【解答】解：∵，∴根据余弦定理得cosB=，即，∴，又在△中所以B为．故选A．【点评】本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点．6．三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由余弦定理易得A=，再由和差角公式可得B=，可判三角形形状．【解答】解：△ABC中，∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，又∵sinA=sinBcosC，∴sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0，∴cosB=0，B=，∴△ABC是直角三角形．故选：A．【点评】本题考查三角形形状的判定，涉及余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．7．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．1【考点】正弦定理；二倍角的正弦．【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得： ===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．8．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理的应用．【分析】先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．【解答】解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得，故选D．【点评】本题主要考查余弦定理的应用．余弦定理在解三角形中应用很广泛，应熟练掌握．=，则=（）9．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABCA．B．C．D．2【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=4，再利用余弦定理求得a，利用正弦定理可得=2R=的值．【解答】解：△ABC中，∵A=60°，b=1，S==bcsinA=，∴c=4．△ABC再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bccosA=13，∴a=．∴=2R===，R为△ABC外接圆的半径，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．10．设向量，不共线，则关于x的方程x2+x+=0的解的情况是（）A．至少有一个实数解B．至多只有一个实数解C．至多有两个实数解D．可能有无数个实数解【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】向量a与b不共线，可设向量c=ma+nb，m，n均为实数，即a（x2+m）+b（x+n）=0．等价于求方程组x2+m=0，x+n=0的解即可判断．【解答】解：由题意：向量与不共线，设向量=m+n，m，n均为实数．原方程可化为： x2+x+=0转化为x2+x+m+n=0，即（m+x2）+（n+x）=0等价于求方程组m+x2=0，n+x=0的解．该方程组可能一解，可能无解则有一个解，否则无解所以至多一个解．故选B．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来．11．设，，均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：（1）（）2=22（2）|+|≥|﹣|（3）|+|2=（+）2（4）（）﹣（）与不一定垂直．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的基本知识进行分析转化是解决本题的关键．根据向量的数乘运算、向量的数量积运算性质，向量减法的几何意义对有关问题进行求解并加以判断．【解答】解：对于①（）2=22cos2＜，＞，故①不正确，对于②，根据向量的几何意义可得，|+|≥|﹣|不正确，对于③，|+|2=（+）2，正确对于④[（）﹣（）]=（）（）﹣（）（）=0故④中两向量垂直，故④不正确，故选：A ．【点评】本题考查平面向量的基本运算性质，数量积的运算性质，考查向量问题的基本解法，等价转化思想．要区分向量运算与数的运算．避免类比数的运算进行错误选择．12．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=++++，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （ ）①S 有5个不同的值；②若⊥，则S min 与||无关；③若∥，则S min 与||无关；④若||＞4||，则S min ＞0；⑤若||=4||，S min =8||2，则与的夹角为．A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出S 的三种结果，得出S min ，对②③④⑤进行分析得出答案．【解答】解：①∵x i ，y i （i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i 可能情况有三种：①S=22+32；②S=+2+2；③S=4+．故①错误；②∵S 1﹣S 2=S 2﹣S 3=+﹣2≥+﹣2||||=（||﹣||）2≥0，∴S 中最小为S 3；若⊥，则S min =S 3=，与||无关，故②正确；③若∥，则S min =S 3=4+2，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min =S 3=4||||cos θ+2＞﹣4||||+2＞﹣||2+2=0，故④正确；⑤若||=2||，S min =S 3=8||2cos θ+4||2=8||2，∴2cos θ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④， 故选：D ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．二、填空题（4×5分=20分）13．△ABC中，A（1，2），B（3，1），重心G（3，2），则C点坐标为（5，3）．【考点】平面直角坐标系与曲线方程．【分析】由题意，先设出点C的坐标，再根据重心与三个顶点坐标的关系式直接建立方程，即可求出点C的坐标【解答】解：设点C（x，y）由重心坐标公式知3×3=1+3+x，6=2+1+y解得x=5，y=3故点C的坐标为（5，3）故答案为（5，3）【点评】本题考查重心与三个顶点坐标之间的关系式，熟练记忆重要结论是解答的关键，本题考查了方程思想14．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，因为0＜B＜π，所以B=45°，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°．故答案为【点评】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．15．在△ABC中，点M，N满足=2， =，若=x+y，则x= ，y= ﹣．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y 值．【解答】解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．16．如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m（km）后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n（km）范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件mcosαcosβ＞nsin（α﹣β）时，该船没有触礁危险．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先确定∠MAB、∠AMB的值，再作MC⊥AB，根据正弦定理可求得BM的关系式，然后根据x=BMcosβ求出CM的值，只要x＞n就没有触礁危险，从而得到答案．【解答】解：由题意可知，∠MAB=，∠AMB=α﹣β过M作MC⊥AB于C，设CM=x，根据正弦定理可得，即：，∴BM=，又因为x=BMcos β=＞n 时没有触礁危险，即mcos αcos β＞nsin （α﹣β），故答案为：mcos αcos β＞nsin （α﹣β）． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．三、解答题17．已知1，2是两个不共线的向量，=1+2，=﹣λ1﹣82，=31﹣32，若A 、B 、D 三点在同一条直线上，求实数λ的值． 【考点】向量的共线定理．【分析】由题意可得， =μ （），即+=μ[（λ+8 ）+（3﹣3 ）]，解方程求出λ 值．【解答】解：若A 、B 、D 三点在同一条直线上，则=μ （），∴+=μ[（λ+8）+（3﹣3）]=（λμ+3μ）+（8μ﹣3μ），∴1=λμ+3μ，且 1=8μ﹣3μ，解得 μ=，λ=2．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到+=μ[（λ+8 ）+（3﹣3）]，是解题的关键，属于中档题．18．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量+的模；（2）试求向量与的夹角．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算法则，计算（1）与，再求2+的模长；（2）利用数量积的定义求出向量与夹角的余弦值，利用反三角函数写出对应的角．【解答】解：由A （1，0），B （0，1），C （2，5）得：（1）=（﹣1，1），=（1，5），∴2+=（﹣1，5）∴|2+|==；（2）||==，||==，=﹣1×1+1×5=4，∴cosθ===，∴向量与的夹角为arccos．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了求向量的夹角与模长问题，是基础题目．19．如图， =（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且∥．（1）求x与y间的关系；（2）若，求x与y的值及四边形ABCD的面积．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据向量的加法法则得到=++=（4+x，y﹣2），再根据向量共线的充要条件，即可得出x与y间的关系；（2）先表示出=+=（6+x，1+y），=（x﹣2，y﹣3）．再根据向量垂直的充要条件，即可得出和的坐标，从而求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵=++=（4+x，y﹣2），∴由，得x（y﹣2）=y（4+x），故x+2y=0．（2）由=+=（6+x，1+y），=（x﹣2，y﹣3）．∵，∴（6+x）（x﹣2）+（1+y）（y﹣3）=0，又x+2y=0，∴或∴当=（﹣6，3）时， =（﹣2，1），当=（2，﹣1）时， =（6，﹣3）．故与同向，四边形ABCD的面积=【点评】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系．考查数形结合思想，属于中档题．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=（a2+b2﹣c2）．（1）求角C的大小；（2）求sinA+sinB的最大值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得=absinC，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值．（2）根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知absinC=×2abcosC．所以tanC=．因为0＜C＜π，所以C=；（Ⅱ）解：由已知sinA+sinB=sinA+sin（π﹣C﹣A）=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin（A+）≤．当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是．【点评】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．21．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．【解答】证明：（1）∵m∥n∴asinA=bsinB即a=b．其中R为△ABC外接圆半径．∴a=b∴△ABC为等腰三角形．（2）由题意，mp=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2abcos∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴（ab）2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）=absinC∴S△ABC=×4×sin=【点评】向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题．22．长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．【解答】解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC=60°．=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°S四边形ABCD=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）．（2）∵S四边形APCD =S△ADC+S△APC，又S△ADC=ADCDsin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xysin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴最大面积为9万平方米．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．。
2017-2018学年四川省宜宾市高二下学期第一次月考数学（理）试题解析版8
2017-2018学年四川省宜宾市高二下学期第一次月考数学（理）试题解析版8高二下学期第一次月考理科数学试题考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共12小题，共60分） 1、抛物线2yx=在点11,24M的切线的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 2、对任意的x ，有3()4f x x'=，(1)1f =-，则此函数解析式可以为( )A ．4()f x x= B ．4()2f x x =-C ．4()1f x x =+ D ．4()f x x=-3、若命题“P ∧q”为假，且“?p”为假，则（）A ．“p 或q”为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假 4、命题“()00,x ?∈+∞，00 ln 3x x >-”的否定是（）A.()00,x ?∈+∞，00ln 3x x ≤- B.()0,x ?∈+∞，ln3x x >- C.()0,x ?∈+∞，ln 3x x<- D.()0,x ?∈+∞，ln3x x≤-5、若曲线2y x a x b=++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（）A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a=，1b =- D ．1a =-，1b =-6、“函数()0y fx =在x 处有极值”是“()00f x '=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7、若曲线()2 1ln 2f x a x x x=++在点()()1,1f 处的切线与712yx =-平行，则a =A ．-1B ．0C ．1D ．2 8、已知a 是函数3()12f x x x=-的极小值点，则a =（）A ．-16B ．-2C ．16D ．29、函数xax x f ln )(-=在区间),1[+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．]2,(--∞B ．]0,(-∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞ 10、函数223x x xye-=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11、设()xx f cos 0=，()()x f x f '=01，()()x f x f '=12，，()()x f x f nn '=+1，*Nn ∈，则()=x f 2016（）A ．xsin B ．xcosC ．xsin- D ．xcos-12、已知)(x f 为R 上的可导函数，且对R x ∈，均有)(')(x f x f >，则有（）A.)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e<<- B ．)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e >>- C ．)0()2016(),0()2016(2016 2016f e f f f e ><- D ．)0()2016(),0()2016(20162016f ef f f e <>-二、填空题（本题共4小题，共20分）13、已知2()2f x x x=+，则(0)f '=___________.14、如图，函数()y fx =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)'(5)f f +=___________.15、已知函数()()3261f x x a x a x =++++有极大值和极小值，则a的取值范围是___________.16、已知函数()f x 的定义域[]15-，，部分对应值如表，()f x 的导函数()'y f x =的图象如图所示，下列关于函数()f x 的命题；x1- 0245()Fx121.521①函数()f x 的值域为[]12，；②函数()f x 在[]02，上是减函数；③如果当[]1x t ∈-，时，()f x 最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()yfx a=-最多有4个零点.其中正确命题的序号是___________.三、解答题（本题共6小题，共70分） 17、（10分）已知命题p ：2450x x --≤，命题q：22210x x m-+-≤（0m >）．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5 m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18、（12分）已知函数()31443f x x x =-+，（1）求函数的的极值（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
2016-2017年四川省宜宾三中高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年四川省宜宾三中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（单项选择题，每题5分，共12题60分）1．（5分）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（）A．B．C．D．2．（5分）下列各点中，与点在极坐标系中表示同一个点的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（3x）′＝3x log3e B．（x2cos x）′＝﹣2x sin xC．（x+）′＝1+D．（log2x）′＝4．（5分）曲线y＝（x+1）2在点（1，4）处的切线与直线x+ay＝1垂直，则实数a的值为（）A．4B．﹣4C．D．5．（5分）函数y＝（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）D．（﹣3，1）6．（5分）如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列命题错误的是（）A．导函数y＝f′（x）在x＝x1处有极小值B．导函数y＝f′（x）在x＝x2处有极大值C．函数y＝f（x）在x＝x3处有极小值D．函数y＝f（x）在x＝x4处有极小值7．（5分）函数y＝x+2cos x在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0B．C．D．8．（5分）已知f1（x）＝cos x，f2（x）＝cos wx（w＞0），f2（x）的图象可以看作是把f1（x）图象中的点的横坐标缩为原来的（纵坐标不变）而得到的，则w＝（）A．B．C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a＜﹣4C．a≥0或a≤﹣4D．a＞0或a＜﹣4 10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A．B．﹣2C．﹣2或D．不存在11．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x ﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）＝x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每题5分，共4题20分）13．（5分）抛物线在点Q（2，1）处的切线方程是．14．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x+2，则f （1）+f′（1）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式，恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（Ⅰ）求出函数y＝x2sin x的导函数，并求f′（π）的值；（Ⅱ）求出函数y＝的导函数，并求f′（ln2）的值．18．（12分）若两条曲线的极坐标方程分别为p＝l与p＝2cos（θ+），它们相交于A，B 两点，求线段AB的长．19．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0），已知曲线y＝f（x）在点（2，f（x））处在直线y＝8相切．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．20．（12分）已知f（x）＝x3+ax2+bx+c，在x＝1与x＝﹣2时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若x∈[﹣3，2]都有f（x）＞恒成立，求c的取值范围．21．（12分）某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日和生产产品件数x（x∈N*）间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000（注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%）．元，每出现一件次品亏损2000元．（Ⅰ）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数；（Ⅱ）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx（a∈R）（1）当a＝时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1（x）＝（a﹣）x2+2ax+（1﹣a2）lnx，f2（x）＝x2+2ax．①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；②当a＝时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．2016-2017学年四川省宜宾三中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（单项选择题，每题5分，共12题60分）1．（5分）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝ax3+3x2+2，∴f′（x）＝3ax2+6x，∴f′（﹣1）＝3a﹣6，已知f′（﹣1）＝4，∴3a﹣6＝4，解得a＝．故选：D．2．（5分）下列各点中，与点在极坐标系中表示同一个点的是（）A．B．C．D．【解答】解：点的极径ρ＝2，极角θ＝，选项中C的极径为1，不可能与点在极坐标系中表示同一个点，A、B、D的极径均为2，只有与终边相同，故（2，）与点在极坐标系中表示同一个点．故选：D．3．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（3x）′＝3x log3e B．（x2cos x）′＝﹣2x sin xC．（x+）′＝1+D．（log2x）′＝【解答】解：（3x）′＝3x ln3，（x2cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，（x+）′＝1﹣，（log2x）′＝，故选：D．4．（5分）曲线y＝（x+1）2在点（1，4）处的切线与直线x+ay＝1垂直，则实数a的值为（）A．4B．﹣4C．D．【解答】解：y＝（x+1）2的导数为y′＝2x+2在点（1，4）处切线的斜率为k＝2×1+2＝4，又x+ay+1＝0的斜率为﹣，∴4×（﹣）＝﹣1，解得a＝4，故选：A．5．（5分）函数y＝（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）D．（﹣3，1）【解答】解：求导函数得：y′＝（﹣x2﹣2x+3）e x令y′＝（﹣x2﹣2x+3）e x＞0，可得x2+2x﹣3＜0∴﹣3＜x＜1∴函数y＝（3﹣x2）e x的单调递增区间是（﹣3，1）故选：D．6．（5分）如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列命题错误的是（）A．导函数y＝f′（x）在x＝x1处有极小值B．导函数y＝f′（x）在x＝x2处有极大值C．函数y＝f（x）在x＝x3处有极小值D．函数y＝f（x）在x＝x4处有极小值【解答】解：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（﹣∞，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+∞）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值故选：D．7．（5分）函数y＝x+2cos x在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0B．C．D．【解答】解：y′＝1﹣2sin x＝0 x∈[0，]解得：x＝当x∈（0，）时，y′＞0，∴函数在（0，）上单调递增当x∈（，）时，y′＜0，∴函数在（，）上单调递减，∴函数y＝x+2cos x在[0，]上取得最大值时x＝故选：B．8．（5分）已知f1（x）＝cos x，f2（x）＝cos wx（w＞0），f2（x）的图象可以看作是把f1（x）图象中的点的横坐标缩为原来的（纵坐标不变）而得到的，则w＝（）A．B．C．2D．3【解答】解：由题意，f1（x）＝cos x图象中的点的横坐标缩为原来的（纵坐标不变），即周期变小，可得y＝cos3x．即f2（x）＝cos wx＝cos3x．∴ω＝3．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a＜﹣4C．a≥0或a≤﹣4D．a＞0或a＜﹣4【解答】解：由f（x）＝x2+2x+alnx，所以，若函数f（x）在（0，1）上单调，则当x∈（0，1）时，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即2x2+2x+a≥0①，或2x2+2x+a≤0②在（0，1）上恒成立，由①得，a≥﹣2x2﹣2x，由②得，a≤﹣2x2﹣2x，因为y＝﹣2x2﹣2x的图象开口向下，且对称轴为，所以在（0，1）上，y max＝0，y min＝﹣4所以a的范围是a≥0或a≤﹣4．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A．B．﹣2C．﹣2或D．不存在【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）＝3x2+2ax+b，又f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，∴f′（1）＝3+2a+b＝0，f（1）＝1+a+b﹣a2﹣7a＝10，∴a2+8a+12＝0，∴a＝﹣2，b＝1或a＝﹣6，b＝9．当a＝﹣2，b＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x＝1处取得极小值，与题意不符；当a＝﹣6，b＝9时，f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意；∴＝﹣＝﹣．故选：A．11．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x ﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【解答】解：∵函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0，∴0＜a＜1．∵函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，g（1）＝﹣1＜0，g（2）＝ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数f（x）＝e x+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得f（a）＜f（1）＜f（b），故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）＝x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4a2﹣12b＞0．解得＝．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的△1＝△＞0，∴此方程有两解且f（x）＝x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y＝f（x）向下平移x1个单位即可得到y＝f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）＝x1，可知方程f（x）＝x1有两解．②把y＝f（x）向下平移x2个单位即可得到y＝f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）＝x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）＝x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）＝x1或f（x）＝x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的只有3不同实根．故选：A．二、填空题（每题5分，共4题20分）13．（5分）抛物线在点Q（2，1）处的切线方程是x﹣y﹣1＝0．【解答】解：∵，∴y'（x）＝x，当x＝2时，f'（2）＝1得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（2，1）处的切线方程为：y﹣1＝1×（x﹣2），即x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．14．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x+2，则f （1）+f′（1）＝3．【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，∴点M在切线上，∴f（1）＝+2＝，∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是y＝x+2，∴切线斜率是，即f′（1）＝，∴f（1）+f'（1）＝+＝3．故答案为：3．15．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．【解答】解析：∵f（x）＝alnx+x，∴f′（x）＝+1．又∵f（x）在[2，3]上单调递增，∴+1≥0在x∈[2，3]上恒成立，∴a≥（﹣x）max＝﹣2，∴a∈[﹣2，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）16．（5分）设函数f（x）＝，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式，恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝e2x+≥2 ＝2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）＝，∴g′（x）＝，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x＝1时，函数g（x）有最大值g（1）＝e，则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min＝2e＞g（x2）max＝e，∵不等式恒成立且k＞0，∴≤，∴k≥1故答案为：k≥1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（Ⅰ）求出函数y＝x2sin x的导函数，并求f′（π）的值；（Ⅱ）求出函数y＝的导函数，并求f′（ln2）的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x sin x+x2cos x，则f′（π）＝2πsinπ+π2cosπ＝﹣π2，（Ⅱ）f（x）＝＝1+，则f′（x）＝﹣，则f′（ln2）＝﹣＝﹣4．18．（12分）若两条曲线的极坐标方程分别为p＝l与p＝2cos（θ+），它们相交于A，B 两点，求线段AB的长．【解答】解：由ρ＝1得x2+y2＝1，（2分）又∵，∴∴，（4分）由得，（8分）∴．（10分）19．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0），已知曲线y＝f（x）在点（2，f（x））处在直线y＝8相切．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）＝3x2﹣3a∵曲线y＝f（x）在点（2，f（x））处在直线y＝8相切∴，∴∴a＝4，b＝24（Ⅱ）f′（x）＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞2；令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜2∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）∴x＝﹣2是函数f（x）的极大值点，x＝2是函数f（x）的极小值点．20．（12分）已知f（x）＝x3+ax2+bx+c，在x＝1与x＝﹣2时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若x∈[﹣3，2]都有f（x）＞恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，由题意：即解得（2）由（Ⅰ）知，f′（x）＝3x2+3x﹣6令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜1；令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，∴（x）的减区间为（﹣2，1）；增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞）．∴x∈[﹣3，2]时∴当x＝1时，f（x）取得最小值﹣+c，∴f（x）min＝﹣+c＞﹣得或21．（12分）某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日和生产产品件数x（x∈N*）间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000（注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%）．元，每出现一件次品亏损2000元．（Ⅰ）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数；（Ⅱ）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．【解答】解：（1）y＝4000••x﹣2000（1﹣）•x＝3600x﹣∴所求的函数关系是y＝﹣+3600x（x∈N*，1≤x≤40）．（Ⅱ）由上知，y′＝3600﹣4x2，令y′＝0，解得x＝30．∴当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0．∴函数y＝（x∈N*，1≤x≤40）在[1，30）上是单调递增函数，在（30，40]上是单调递减函数．∴当x＝30时，函数y（x∈N*，1≤x≤40）取最大值，最大值为×303+3600×30＝72000（元）．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx（a∈R）（1）当a＝时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1（x）＝（a﹣）x2+2ax+（1﹣a2）lnx，f2（x）＝x2+2ax．①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；②当a＝时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．【解答】解：（1）当时，，；对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f （x）＜f2（x）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）＝f1（x）﹣f（x）＝＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x）＝0，得极值点x1＝1，，当x2＞x1＝1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1＝1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x）＝﹣x+2a﹣＝＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）＝+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．②当时，则y＝f2（x）﹣f1（x）＝x2﹣lnx，x∈（1，+∞）．因为y′＝＞0，y＝f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）为增函数，所以f2（x）﹣f1（x）＞f2（1）﹣f1（1）＝．设R（x）＝f1（x）+（0＜λ＜1），则f1（x）＜R（x）＜f2（x），所以在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．。
【精品】2016-2017年四川省宜宾市高一(上)期末数学试卷带解析
2016-2017学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|﹣2≤x＜2}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜2}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5.00分）=（）A．B．C．D．3．（5.00分）函数的定义域是（）A．B．C．（1，+∞）D．4．（5.00分）要得到函数的图象，只需要将函数y=2sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．（5.00分）函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5.00分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5.00分）若，β是第四象限的角，则=（）A．B．C．D．8．（5.00分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5.00分）若函数，且，则函数f（x）的一条对称轴的方程为（）A．B．C．D．10．（5.00分）已知是R上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A．（1，4） B．[1，4） C．（2，4） D．[2，4）11．（5.00分）已知函数，若方程f（x）=m在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1、x2、x3，则f（x1+x2+x3）=（）A．1 B．﹣1 C．D．12．（5.00分）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1﹣x），当0≤x ≤1时，f（x）=3x﹣1；若关于x的方程在x∈[0，5]上有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在答题卡相应横线上.13．（5.00分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1+log2x，则f（﹣4）的值为．14．（5.00分）已知幂函数过点（4，2），则f（2）=．15．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为．16．（5.00分）已知函数（其中e≈2.718），若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x2+2）+f（﹣2ax）≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12.00分）设函数的定义域为集合A，关于x的不等式（x ﹣a）（x﹣3a）≤0的解集为集合B（其中a∈R，且a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求集合A∩B；（Ⅱ）当A∩B=B时，求实数a的取值范围．19．（12.00分）已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3﹣x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（x）＜0，求实数x的取值范围．20．（12.00分）已知角α的终边经过点P（3，﹣1），且．（Ⅰ）求sin2α，cos2α的值；（Ⅱ）求tan（2α﹣β）的值．21．（12.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其增区间；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）•cosx﹣1，求函数g（x）在区间上的值域．22．（12.00分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈[﹣1，3]使得方程|f（x）﹣2x|=t2﹣2t﹣8有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）设，若在x∈[1，2]上恒成立，求实数k 的取值范围．2016-2017学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|﹣2≤x＜2}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜2}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|﹣2≤x＜2}，∴集合A∩B={﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．（5.00分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=sin（2π﹣）=﹣sin=﹣．故选：C．3．（5.00分）函数的定义域是（）A．B．C．（1，+∞）D．【解答】解：由，解得：．∴函数的定义域是：（，1）．4．（5.00分）要得到函数的图象，只需要将函数y=2sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数y=2sinx的图象向左平移个单位，可得函数的图象，故选：A．5．（5.00分）函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，f（1）=0+1﹣2＜0；f（2）=1+2﹣2＞0；故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（1，2）；故选：B．6．（5.00分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，7．（5.00分）若，β是第四象限的角，则=（）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以sin（α﹣β﹣α）=sin（﹣β）=，所以sinβ=﹣，β是第四象限的角，所以cosβ=，则=sinβcos+cosβsin==；故选：A．8．（5.00分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，故选：C．9．（5.00分）若函数，且，则函数f（x）的一条对称轴的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴a﹣0+2=，解得a=．∴f（x）=sinx﹣cosx+2=3+2=3+2．其对称轴x=+kπ+（k∈Z），令k=0，可得x=．故选：C．10．（5.00分）已知是R上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A．（1，4） B．[1，4） C．（2，4） D．[2，4）【解答】解：∵是R上的增函数，∴，解得2≤a＜4，则实数a的取值范围是[2，4），故选：D．11．（5.00分）已知函数，若方程f（x）=m在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1、x2、x3，则f（x1+x2+x3）=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=m，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当m=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．则f（x1+x2+x3）=2=2×=．故选：C．12．（5.00分）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1﹣x），当0≤x ≤1时，f（x）=3x﹣1；若关于x的方程在x∈[0，5]上有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：因为偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1﹣x），所以f（1+x）=f（x﹣1），得到函数的正确为2，且关于x=n，n∈N对称，函数f（x）以及y=log=﹣log m（x+2）的图象如图，要使关于x的方程在x∈[0，5]上有4个不相等的实数根，只要解得；即实数m的取值范围是（）；故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在答题卡相应横线上.13．（5.00分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1+log2x，则f（﹣4）的值为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣（log24+1）=﹣（2+1）=﹣3．故答案为﹣3．14．（5.00分）已知幂函数过点（4，2），则f（2）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（4，2）代入可得2=4α，解得．∴f（x）=．∴f（2）=．故答案为：．15．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x）．【解答】解：由图可得：A=2，且，解得T=π，又ω＞0，则，解得ω=2，则函数f（x）=2sin（2x+ϕ），因为函数图象过点（，0），所以2sin（+ϕ）=0，即+ϕ=kπ（k∈Z），解得ϕ=+kπ（k∈Z），又，则，所以f（x）=2sin（2x），故答案为：f（x）=2sin（2x）．16．（5.00分）已知函数（其中e≈2.718），若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x2+2）+f（﹣2ax）≥0恒成立，则实数a的取值范围是﹣≤a≤．【解答】解：函数（其中e≈2.718），x∈R；且f（﹣x）=e﹣x﹣e x+ln（﹣x+）=﹣（e x﹣e﹣x）﹣ln（x+）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，又f′（x）=e x+e﹣x+＞0恒成立，∴f（x）是定义域R上的单调增函数；若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x2+2）+f（﹣2ax）≥0恒成立，∴f（x2+2）≥﹣f（﹣2ax）恒成立，∴f（x2+2）≥f（2ax）恒成立，∴x2+2≥2ax恒成立，即x2﹣2ax+2≥0在x∈[﹣1，2]上恒成立；设g（x）=x2﹣2ax+2，其对称轴为x=a，且开口向上；应满足或或；解得﹣≤a＜﹣1或∅或﹣1≤a≤；∴实数a的取值范围是﹣≤a≤．故答案为：﹣≤a≤．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（I）原式=1++|π﹣3|=1+2+π﹣3=π．（II）原式=2+lg（25×22）﹣=2+2﹣=．18．（12.00分）设函数的定义域为集合A，关于x的不等式（x ﹣a）（x﹣3a）≤0的解集为集合B（其中a∈R，且a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求集合A∩B；（Ⅱ）当A∩B=B时，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣3x+2≥0，解得：x≥2或x≤1，故A=（﹣∞，1]∪[2，+∞），由（x﹣a）（x﹣3a）≤0，解得：B=[a，3a]，a=1时，B=[1，3]，故A∩B=[2，3]∪{1}；（Ⅱ）若A∩B=B，则[a，3a]⊆（﹣∞，1]∪[2，+∞），故3a≤1或a≥2，即a∈（0，]∪[2，+∞）．19．（12.00分）已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3﹣x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（x）＜0，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（1）=log2（3+1）+log2（3﹣1）=3；（Ⅱ）由，解得：﹣3＜x＜3，定义域关于原点对称，而f（﹣x）=log2（3﹣x）+log2（3+x）=f（x），故函数f（x）是偶函数；（Ⅲ）若f（x）＜0，则log2（3+x）+log2（3﹣x）=log2（3+x）（3﹣x）＜0，即0＜9﹣x2＜1，解得：﹣3＜x＜﹣2或2＜x＜3．20．（12.00分）已知角α的终边经过点P（3，﹣1），且．（Ⅰ）求sin2α，cos2α的值；（Ⅱ）求tan（2α﹣β）的值．【解答】解：（Ⅰ）由角α的终边经过点P（3，﹣1），得．则，．∴，；（Ⅱ）=，解得：．又．∴tan（2α﹣β）==．21．（12.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其增区间；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）•cosx﹣1，求函数g（x）在区间上的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意，T=2π，∴=2π，∴ω=1，∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在处取得最大值2，∴A=2，sin（+φ）=1，∴φ=2kπ+，k∈Z，∵0＜ϕ＜π∴φ=，∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）．∴由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴所求单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]k∈Z．（Ⅱ）∵g（x）=f（x）•cosx﹣1=2sin（x+）•cosx﹣1=sinxcosx+cos2x﹣1=sin （2x+）﹣，∵x∈，可得：2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，可得：g（x）=sin（2x+）﹣∈（﹣1，]．22．（12.00分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈[﹣1，3]使得方程|f（x）﹣2x|=t2﹣2t﹣8有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）设，若在x∈[1，2]上恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+1+b﹣a，∵a＞0，开口向上，对称轴x=1，∴f（x）在[0，1]递减，在[1，3]上递增，∴f（x）min=f（1）=a﹣2a+1+b=1，f（x）max=f（3）=9a﹣6a+1+b=5，∴a=1，b=1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）﹣2x=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，对称轴x=2，∴f（x）﹣2x在[﹣1，2]递减，在[2，3]上递增，∴最小值为﹣2，最大值为7，∴|f（x）﹣2x|∈[0，7]，∵方程|f（x）﹣2x|=t2﹣2t﹣8有解，∴0≤t2﹣2t﹣8≤7，解得﹣3≤t≤﹣2或4≤t≤5，故t的范围为[﹣3，﹣2]∪[4，5]，（Ⅲ）g（x）==x+﹣2，设2x=m，∵x∈[1，2]，∴m∈[2，4]，∵在x∈[1，2]上恒成立，∴m+﹣k≥0．在m∈[2，4]上恒成立，∴当m=2时，2≥0恒成立，当m≠2时，k≤，设h（m）=∴h′（m）=≤0，在[2，4]上恒成立，∴h（m）在[2，4]上单调递减，∴h（m）min=h（4）=8，∴k≤8赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
【数学】2016-2017年四川省宜宾市高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2016-2017学年四川省宜宾市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设命题P：“∀x2＜1，x＜1”，﹣p为（）A．∀x2≥1，X＜1 B．∃x2＜1，x≥1 C．∀x2＜1，x≥1 D．3x≥1，x≥14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（2，1），若（k+）∥（﹣2），则实数k的取值为（）A．﹣ B．C．﹣2 D．25．（5分）已知钝角△ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．1 B．C．或1 D．26．（5分）已知命题p：“a＞1”，命题q：“函数f（x）=ax﹣sinx在R上是增函数”，则命题p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤4的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）8．（5分）已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），若函数f（x）=•，要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需要将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）已知菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，=3，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有＜0，则下列结论正确的是（）A．f（log3π）＞f（log2）＞f（log3）B．f（log2）＞f（log3）＞f（log3π）C．f（log3）＞f（log2）＞f（log3π）D．f（log2）＞f（log3π）＞f（log3）11．（5分）设f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．[0，2]D．[1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|=．14．（5分）设函数f（x）=x3[ln（e x+1）+ax]是奇函数，那么a=．15．（5分）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB的距离为20m，∠DAB=75°，∠CAB=30°，AB⊥BC，∠ABD=60°．则C，D两点之间的距离为m．16．（5分）在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC的外心为O，若=m+n，则m+n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．17．（10分）已知f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若=1+＜a＜，求cosa的值．18．（12分）已知函数f（x）=（x+a）e x+b（x﹣2）2，曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程为：y=﹣5．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．19．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．（I）若BD=，求角C；（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．20．（12分）已知函数f（x）=++bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程f（x）=0恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式．21．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，其中|BC|=．（I）求函数f（x）的解析式；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．2016-2017学年四川省宜宾市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x＜2}，又A={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）设命题P：“∀x2＜1，x＜1”，﹣p为（）A．∀x2≥1，X＜1 B．∃x2＜1，x≥1 C．∀x2＜1，x≥1 D．3x≥1，x≥1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x2＜1，x＜1，则命题¬p为：∃x2＜1，x≥1；故选：B．4．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（2，1），若（k+）∥（﹣2），则实数k的取值为（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【解答】解：∵=（1，﹣3），=（2，1），∴k+=k（1，﹣3）+（2，1）=（2+k，1﹣3k），﹣2=（﹣3，﹣5），∵（k+）∥（﹣2），∴﹣5（2+k）=﹣3（1﹣3k），∴解得：k=﹣．故选：A．5．（5分）已知钝角△ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．1 B．C．或1 D．2【解答】解：由题意可得钝角△ABC的面积是•AB•BC•sinB=×1××sinB=，∴sinB=，∴B=或．∴cosB=±，再由余弦定理可得AC2=AB2+CB2﹣2AB•CB•cosB=1+3﹣2×1××（±）=1或7，∴AC的值为1或故选：C．6．（5分）已知命题p：“a＞1”，命题q：“函数f（x）=ax﹣sinx在R上是增函数”，则命题p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当f（x）=ax﹣sinx时，f′（x）=a﹣cosx，当a≥1时，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数，由{a|a＞1}⊊{a|a≥1}，故“a＞1”是“f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤4的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由函数f（x）=，则满足f（x）≤4，当x≤1时，21﹣x≤4=22，解得﹣1≤x≤1，当x＞1时，1﹣log2x≤4，即log2x≥﹣3=log2，解得x＞1，综上所述x的取值范围为[﹣1，+∞），故选：C．8．（5分）已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），若函数f（x）=•，要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需要将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数f（x）=•=2cos2x•cos2x﹣2sin2x•sin2x=2（cos2x+sin2x）•（cos2x﹣sin2x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+），∴要得到y=sin2x+cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+）的图象，只需要将函数y=f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移﹣=个单位即可，故选：B．9．（5分）已知菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，=3，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：如图，∵AB=AD=4，∠DAB=60°，=3，∴=====9．故选：C．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有＜0，则下列结论正确的是（）A．f（log3π）＞f（log2）＞f（log3）B．f（log2）＞f（log3）＞f（log3π）C．f（log3）＞f（log2）＞f（log3π）D．f（log2）＞f（log3π）＞f（log3）【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有＜0，故函数f（x）在R上单调递减，由于log3＜log2＜log3π，∴f（log3）＞f（log2）＞f（log3π），故选：C．11．（5分）设f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．[0，2]D．[1，+∞）【解答】解：当x1∈[0，2]，函数f（x）=，则f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1，当x在（0，1）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；当x在（1，2）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，）上单调递减；所以：当x=1时，f（x）取得最大值为1．当x=0时，f（x）取得最小值为0．故得函数f（x）的值域M∈[0，1]．当x0∈[0，2]，∵a＞0函数g（x）=ax+3﹣3a在其定义域内是增函数当x=0时，函数g（x）取得取得最小值为：3﹣3a．当x=2时，函数g（x）取得取得最大值为：3﹣a．故得函数f（x）的值域N∈[3﹣3a，3﹣a]．∵M⊆N，∴，解得：1≤a≤2．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则，解得：c≥，a＞0，故≥，可令2b﹣3a=t（t＞0），可得b=，==（18++）≥×（18+18）=3，当且仅当9a=2b﹣3a即b=6a时“=”成立，此时的最小值是3，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|=．【解答】解：向量，的夹角为45°，||=，||=3，可得•=•3•cos45°=3，则|2﹣|====．故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=x3[ln（e x+1）+ax]是奇函数，那么a=﹣．【解答】解：f（x）=x3ln（e x+1）+ax4，f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；∵f（﹣x）=﹣x3ln（e﹣x+1）+ax4==﹣x3[ln（e x+1）﹣x]+ax4=﹣x3ln（e x+1）+（a+1）x4=﹣x3ln（e x+1）﹣ax4；∴a+1=﹣a；∴．故答案为：．15．（5分）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB的距离为20m，∠DAB=75°，∠CAB=30°，AB⊥BC，∠ABD=60°．则C，D两点之间的距离为10m．【解答】解：在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB=20×tan30°=20．在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠DAB﹣∠ABD=45°．由正弦定理可得：=，∴BD===10（3+）．在△BCD中，由余弦定理可得：DC2=202+﹣2×20×10（3+）×cos30°=1000，解得DC=10．故答案为：10．16．（5分）在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC的外心为O，若=m+n，则m+n=﹣1．【解答】解：设AB，AC中点分别为M，N，则=﹣=﹣（﹣n）=（）﹣，=﹣=﹣（﹣n）=+（），由外心O的定义知，⊥，⊥，因此，•=0，•=0，∴[（）﹣]•=0，[+（）]•=0，即（）2﹣•=0…①，•+（）2=0…②，∵=﹣，∴2=2﹣2•+2，∴•=（2+2﹣2）=1+…③，将③代入①②得：，解得：∴m+n=﹣1，故答案为：﹣1三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．17．（10分）已知f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若=1+＜a＜，求cosa的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=2•+sin2x=1+sin2x﹣cos2x=1+sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈Z．（Ⅱ）∵=1+sin（a﹣）=1+，∴sin（a﹣）=，＜a﹣＜π，∴cos（a﹣）=﹣=﹣，∴cosa=cos[（a﹣）+]=cos（a﹣）cos﹣sin （a﹣）sin=﹣•﹣=﹣．18．（12分）已知函数f（x）=（x+a）e x+b（x﹣2）2，曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程为：y=﹣5．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）e x+b（x﹣2）2的导数为f′（x）=（x+a+1）e x+2b（x﹣2），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为（a+1）e0﹣4b=a+1﹣4b=0，①f（0）=﹣5即a+4b=﹣5②解方程组，可得a=﹣3，b=﹣；（Ⅱ）函数f（x）=（x﹣3）e x﹣（x﹣2）2，导数f′（x）=（x﹣2）e x﹣（x﹣2）=（x﹣2）（e x﹣1），由f′（x）=0可得x=0或x=2．当x＜0时，x﹣2＜0，e x﹣1＜0，可得f′（x）＞0；当0＜x＜2时，x﹣2＜0，e x﹣1＞0，可得f′（x）＜0；当x＞2时，x﹣2＞0，e x﹣1＞0，可得f′（x）＞0；可得f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增；在（0，2）递减．即有f（x）的极小值为f（2）=﹣e2；极大值为f（0）=﹣5．19．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．（I）若BD=，求角C；（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA==﹣．又0＜A＜π，∴A=．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴C=π﹣A=．…（6分）（II）因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA，且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）=25+24cosA，∴cosA=﹣．…（9分）又0＜A＜π，∴sinA==．∴S=S△ABD+S△CBD=+=2．…（12分）△BCD20．（12分）已知函数f （x ）=++bx +c 的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程f （x ）=0恰好有两个不同的根，求f （x ）的解析式． 【解答】解：（I ）由f （0）=0，解得：c=0， 故f′（x ）=x 2+ax +b ，f′（1）=0，得：b=﹣a ﹣1， ∴f′（x ）=（x ﹣1）（x +a +1），由f′（x ）=0，解得：x=1或x=﹣a ﹣1，因为当x=1时取得极大值，所以﹣a ﹣1＞1，得：a ＜﹣2，所以a 的范围是（﹣∞，﹣2）； …（5分）（II ）由下表：a依题意得：（a +）（a +1）2=0，解得：a=﹣4，所以函数f （x ）的解析式是：f （x ）=x 3﹣2x 2+3x …（12分）21．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B ，C 分别是图象的最低点和最高点， 其中|BC |=．（I ）求函数f （x ）的解析式；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．【解答】解（Ⅰ）由图象可得：f（x）的周期T=[﹣（﹣）]=π，即：=π得ω，…（2分）又由于B（﹣，﹣A），C（，A），∴|BC|==，∴A=2，…（4分）又将C（，2）代入f（x）=2sin（2x+φ），2sin（2×+φ）=2，∵﹣＜φ＜解得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），…（6分）（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=，解得A=或A=（舍去），…（8分）正弦定理===得：b+c=（sinB+sinC）=[sinB+sin（B+）]=4sin（B+），△ABC 是锐角三角形，∴B+C=，0＜B＜，0＜C＜，∴＜B＜，＜B+＜．…（10分）∴2＜b+c≤4，∴求△ABC周长的取值范围为（2+2，6]．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），则h′（x）=++a=（x＞0），令y=ax2+x+1 …（2分）（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）（2）当a＞0时，△=1﹣4a，若△≤0，即a≥时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．=＜0，△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）当a＜0时，△=1﹣4a＞1，由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减…（5分）综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减．…（6分）（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），则切线方程为y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，亦即y=（+）x+lnm﹣﹣1，令=t＞0，由题意得﹣a=+=t+t2，b=lnm﹣﹣1=﹣lnt﹣2t﹣1，…（8分）令﹣a +b=φ（t ）=﹣lnt +t 2﹣t ﹣1， 则φ′（t ）=﹣+2t ﹣1=，当t ∈（0，1）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）在（0，1）上单调递减； 当t ∈（1，+∞）时，φ′（t ）＞0，φ（t ）在（1，+∞）上单调递增， ∴b ﹣a=φ（t ）≥φ（1）=﹣1，故b ﹣a 的最小值为﹣1． …（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。
2017年秋四川省宜宾市第四中学高二期末模拟考试理科数学无答案
2017年秋四川省宜宾市第四中学高二期末模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从宜宾市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A ．简单的随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样2．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C ．若2K 的观测值为 6.635k =，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病D ．以上三种说法均不正确4．已知,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x ，则目标函数y x z +=从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为A ．2B ．1C ．21 D ．41 5.抛物线y=2x 2的焦点坐标是A ．（21，0 ）B ．（0，21）C ．（81，0）D ．（0，81） 6.下列说法错误的是A.对于命题P ：∀x єR,x 2+x+1>0,则⌝P ：∃x 0єR,x 02+x 0+1≤0B.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C.若命题p ∧q 为假命题，则p ,q 都是假命题D.命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2-3x+2≠0”7．已知矩形,4,3ABCD AB BC ==.将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是A ．9πB ．16πC ．25πD ．与θ的大小有关8．若点（5，b ）在两条平行直线6x -8y +1=0与3x -4y +5=0之间，则整数b 的值为A ．4B ．-4C ．5D ．-5 9.已知双曲线1n y -m x 2222=（m>0,n>0）的离心率为3，则椭圆1ny m x 2222=+的离心率为A ．12B ．3C ．2D ．210.已知直线l 交椭圆22142x y +=于,A B 两点，且线段AB 的中点为(1,1)--，则l 的斜率为 A ．-2 B ．12- C.2 D ．1211.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为2F ，)0,0)(,(0000>>y x y x M 是双曲线C 上的点，),(00y x N --，连接2MF 并延长2MF 交双曲线C 与点P ，连接PN NF ,2，若P NF 2∆是以P NF 2∠为顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为A ．2y x =±B ．x y 26±=C ．4y x =±D ．x y 210±= 12．在直角坐标系内，已知(3,5)A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为01=+-y x 和07=-+y x ，若圆上存在点P ，使得()0M P C PC N -=，其中点(,0)M m -、(,0)N m ，则m 的最大值为 A ．7 B ．6 C ．5D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知直线(3a+2)x+(1－4a)y+8＝0与(5a －2)x+(a+4)y －7＝0垂直，则a ＝ ▲14、在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若1AB =，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ▲ .15．设抛物线28y x =的焦点为,F M 是抛物线上一点，FM 的延长线与y 轴相交于点N ，若2NM MF =uuu r uuu r ，则FN = ▲ ．16．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11D A 的中点，321==AA AD ，，点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QP QC 2=，则线段BQ 的长度的最大值为 ▲ .三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位:盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位:元）表示这个开学季内经销该产品的利润.(Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数；（Ⅱ）将y 表示为x 的函数；(Ⅲ)根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率.18.（本小题满分12分）某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次产品的相关数据.(Ⅰ)求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大（=100%-⨯收入成本毛利率收入）？ 相关公式：121()()()ni ii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221n i i i n ii x y nx y x nx ==-=-∑∑，a y bx =-.19. （本小题满分12分） 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．(Ⅰ)证明：1AC AB =；（Ⅱ）若11,3AC AB CBB π⊥∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．21.（本小题满分12分）已知椭圆中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M （2，1），直线l 平行OM ，且与椭圆交于A 、B 两个不同的点。
四川省宜宾市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含解析
宜宾2023年秋期高二期末考试数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x ++=的倾斜角为（）A.150︒B.120︒C.60︒D.30︒【答案】A 【解析】【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.【详解】由题意直线20x ++=的斜率为3k ==-，所以直线20x ++=的倾斜角为150︒.故选：A.2.直线4350x y -+=与直线8650x y -+=的距离为（）A.15B.14C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】求平行直线的距离要先将两直线一般式的,A B 化为一样，再利用平行线间距离公式d 计算即可.【详解】先由4350x y -+=化得86100x y -+=，所以两直线间的距离为：51=102d .故选：D.3.在一次体检中，发现甲､乙两个单位的职工中体重超过75kg 的人员的体重如下（单位：kg ）.若规定超过80kg 为显著超重，从甲､乙两个单位中体重超过75kg 的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为（）A.14B.38C.12D.58【答案】B 【解析】【分析】列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】不妨用(),x y 表示每种抽取情况，其中x 是指甲单位抽取1人的体重，y 代表从乙单位抽取1人的体重.则所有的可能有16种，如下所示：()78,79，()78,83，()78,92，()78,92，()88,79，()88,83，()88,92，()88,92，()92,79，()92,83，()92,92，()92,92，()93,79，()93,83，()93,92，()93,92其中满足题意的有6种：()78,83，()78,92，()78,92，()88,79，()92,79，()93,79故抽取的这2人中，恰好有1人显著超重的概率为：63168=.故选：B .4.椭圆221y x m+=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.12B.2C.14D.4【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式，求出,a b ，根据2a b =，解出m 的值即可.【详解】椭圆221y x m +=的焦点在y 轴上，∴221y x m+=，可得a m =1b =.∵长轴长是短轴长的2倍，2m =，解得4m =故选：D.5.圆()22125C x y ++=，圆()2222(2)5C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆圆心以及半径，再由圆心距与两圆半径的关系确定位置关系.【详解】由题意圆1C 的圆心1(2,0)C -，半径1r =2C 的圆心2(2,2)C ，半径2r =1212C C r r ===+，即两圆外切故选：D6.如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（）A.13B.74C.34D.32【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,3M -，所以)3,3,0AB =，(0,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ，则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯==+⋅+.故选：C .7.倾斜角为30的直线l 经过双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点1F ，交双曲线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线过右焦点2F ，则此双曲线的渐近线方程为（）A.y x =±B.12y x =±C.32y x =±D.52y x =±【答案】A 【解析】【分析】由垂直平分线性质定理可得22AF BF =，运用解直角三角形知识和双曲线的定义，求得4AB a =，结合勾股定理，可得a ，c 的关系，进而得到a ，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：如图2MF 为线段AB 的垂直平分线，可得22AF BF =，且1230MF F ∠=，可得22sin30MF c c=⋅=，12cos303MF c c =⋅=，由双曲线的定义可得122BF BF a -=，212AF AF a -=，即有()1122224AB BF AF BF a AF a a =-=+--=，即有2MA a =，2AF ==，112AF MF MA a =-=-，由212AF AF a -=，可得)22a a --=，可得22243a c c +=，即c =，b a ==，则渐近线方程为y x =±．故选A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12100111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ （）其中[]x 表示不超过x 的最大整数.A.18 B.17 C.19 D.20【答案】A 【解析】【分析】讨论1n =、2n ≥，根据,n n a S 关系可得2211n n S S --=且211S =，应用等差数列通项公式求得=n S，利用放缩法有1nS -<<，注意不等式右侧2n ≥，进而根据[]x 的定义求目标式的值.【详解】当1n =时，111111()2a S a a ==+，整理得211a =，又0n a >，故111a S ==，当2n ≥时，11112n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，可得2211n n S S --=，而211S =，所以2{}n S 是首项、公差均为1的等差数列，则2n S n =，又0n S >，故=n S ，12nS=<=，即1nS>，同理可得1nS<且2n≥，1210011121...1)S S S+++>⨯-++=-18>，1210011121 (119)S S S+++<⨯-++++=，综上，1210011118S S S⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：首先利用,n na S关系及构造法求nS通项公式，再由放缩法及函数新定义求目标式的值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l的方程为10x y+-=，则下列说法正确的是（）A.直线l的斜率为1B.直线l的倾斜角为45︒C.直线l不经过第三象限D.直线l与两坐标轴围成的三角形面积为12【答案】CD【解析】【分析】对于A，根据直线方程直接求解斜率判断，对于B，由斜率与倾斜角的关系求解判断，对于C，由直线方程求出直线与坐标轴的交点进行判断，对于D，求出直线与坐标轴的交点后，利用三角形的面积公式求解判断.【详解】对于A，由10x y+-=，得1y x=-+，则直线l的斜率为1-，所以A错误，对于B，由选项A可知直线l的斜率为1-，则直线l的倾斜角为135︒，所以B错误，对于C，当0x=时，1y=，当0y=时，1x=，所以直线l过点(0,1)和(1,0)，所以直线l不经过第三象限，所以C正确，对于D ，因为直线l 过点(0,1)和(1,0)，所以直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为111122⨯⨯=，所以D 正确，故选：CD.10.一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（）A.事件A 与事件C 互斥B.事件B 与事件C 互斥C.事件A 与事件B 相互独立D.事件B 与事件C 相互独立【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的概念可判断AB 的正误，根据独立事件的判断方法可得CD 的正误.【详解】对AB ，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，故事件A 与事件C 互斥，故A 正确；若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B 与事件C 不互斥，故B 错误；对C ，21411(),(),()()()84828P A P B P AB P A P B ======⋅，所以C 正确；对D ，211(),()()()848P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确；故选：ACD ．11.已知直线:220l kx y kp --=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A.4p =B.2k =-C.5AB =D.MAB △的面积为【答案】BC 【解析】【分析】求出抛物线C 的准线方程，可求得p 的值，可判断A ；利用点差法可求得线段AB 的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k 的值，可判断B ；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C 、D.【详解】由题意知，抛物线C 的准线为=1x -，即12p=，解得2p =，故A 错误；所以抛物线的方程为24y x =，其焦点为()1,0F ，又直线:220l kx y kp --=，即()1y k x =-，所以直线l 恒过抛物线的焦点()1,0F ，设点()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 两点在抛物线上，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+，设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=，因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得0221x k =+，所以点2221,Q k k ⎛⎫+⎪⎝⎭是以为AB 直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222AB x x x r k+++====+，因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故B 正确；因为2k =-，所以25AB r ==，故C 正确；因为直线l 为()21y x =--，由点到直线的距离公式可得，点M 到直线l的距离为d ==，所以122MAB S d AB =⋅=，故D 错误;故选：BC.12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足()1AQ AA AB AD μ=++，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则下列选项正确的是（）A.,P Q 的轨迹长度相等B.PQC.存在,P Q ，使得DP BQ ⊥D.DP 与DQ所成角的余弦值的最大值为3【答案】BCD 【解析】【分析】根据空间向量运算法则求得点P 和点Q 的轨迹及长度判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式及配方法求解最值判断B ，利用向量垂直的坐标运算判断C ，利用向量夹角的坐标公式求解余弦值的函数，然后利用二次函数求得最值判断D.【详解】连接11,AC A C ，因为[]1,0,1AP AA AB λλ=+∈，所以1P BB ∈，所以点P 的轨迹长度为2．因为()11AQ AA AB AD AA AC μμ=++=+，所以11Q AC ∈，所以点Q的轨迹长度为，故A 错误；如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为,,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()2,2,2,22,2,2P Q λμμ-，所以PQ ==当11,2λμ==时，min PQ =B 正确；因为()()()2,2,0,2,2,2,2,22,2B DP BQ λμμ==--，所以444444DP BQ μμλλ⋅=-+-+=-，当1λ=时，0DP BQ ⋅=，即DP BQ ⊥，所以C 正确；因为()()2,2,2,22,2,2DP DQ λμμ==-，所以cos ,DP DQ DP DQ DP DQ⋅〈〉==，=，因为223211213(1)1133λλλ⎛⎫-+=-+⎪+++⎝⎭，且[]11,2λ+∈，所以当1112λ=+，即1λ=时，2321(1)1λλ-+++有最大值，最大值为3，所以当11,2λμ==时，cos,DP DQ〈〉的最大值为333⨯=，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）的余弦值，即可求出结果.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点)(2,5P且与直线1x y+=垂直的直线方程为______．【答案】30x y-+=【解析】【分析】先设出与直线1x y+=垂直的直线方程，再把)(2,5P代入进行求解.【详解】设与直线1x y+=垂直的直线为0x y c-+=，将)(2,5P代入得：250c-+=，解得：3c=，故所求直线方程为30x y-+=.故答案为：30x y-+=14.抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“向上的为奇数点”，事件B为“向上的为4点”，则()P A B=______．【答案】23【解析】【分析】由古典概型的概率求()P A 、()P B ，根据互斥事件有()()()P A B P A P B =+ ，即可得结果.【详解】由题设，事件A 的基本事件有{1,3,5}，事件B 的基本事件为{4}，而抛掷一次的所有可能事件有{1,2,3,4,5,6}，所有31()62P A ==，1()6P B =，则()2()()3P A B P A P B =+= .故答案为：2315.某公司产品研发部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设18个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数从多到少依次成等差数列．已知第1名发放900元，前10名共发放6750元，则该公司需要准备“幸运奖”______元．【答案】8550【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式即可计算.【详解】设第1名，第2名，…，第18名所得奖金数分别为1a 元，2a 元，…，18a 元，等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，依题意可知1900a =，10110456750S a d =+=，解得50d =-，则18118171885502S a d ⨯=+=，故该公司需要准备“幸运奖”8550元．故答案为：8550.16.若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.【答案】10【解析】【分析】将问题转化为直线:4380l x y ++=上任意两点为直径的圆包含圆C ，结合直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离的范围，即可确定MN 的最小值.【详解】由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm ）小于195时成绩为不合格，在[)195,240上时成绩及格，在[)240,255上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：[)175,195，[)195,215，[)215,235，[)235,255，[]255,275，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．（1）求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；（2）若从这次测试成绩为优秀和不及格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．【答案】（1）44人（2）35【解析】【分析】（1）应用频率分布直方图计算及格或良好的学生人数；（2）根据古典概型计算可得.【小问1详解】由题意可知抽取进行测试的人数为：()20.0022050÷⨯=故测试中成绩为及格或良好的学生人数为()0.0110.0130.020205044++⨯⨯=人【小问2详解】测试中成绩为优秀的有500.004204⨯⨯=人，记作1A ，2A ，3A ，4A 成绩为不及格的有500.002202⨯⨯=人，记作甲，乙从这6人随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙．{}4,A 甲，{}4,A 乙，{甲，乙}，共15个，其中至少有一人不及格的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{甲，乙}，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故所抽取的2名学生中至少1人成绩为不及格的概率是93155P ==．18.已知圆22:25C x y +=和圆外一点()3,6P ．（1）若过点P 的直线截圆C 所得的弦长为8，求该直线的方程；（2）求2286x y x y +--的最大值和最小值．【答案】（1）3x =或34150x y -+=（2）最大值为75；最小值为-25【解析】【分析】（1）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.（2）根据“两点间的距离”求得正确答案.【小问1详解】当过P 的直线斜率不存在时，直线方程为3x =，由22325x x y =⎧⎨+=⎩解得4y =或4y =-，则弦长为8，符合题意.当过P 的直线斜率存在时，设直线的方程为()63y k x -=-，即630kx y k -+-=，圆22:25C x y +=的圆心为()0,0，半径为5，设圆心()0,0到直线630kx y k -+-=的距离为()0d d >，则22285,32d d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，3=，解得34k =，直线方程为396044x y -+-=，即34150x y -+=.【小问2详解】()()2222864325x y x y x y +--=-+--，表示圆上的点(),x y 到点()4,3的距离的平方减去25，点()4,3在圆22:25C x y +=上，所以圆上的点(),x y 到点()4,3的距离的平方的取值范围是20,10⎡⎤⎣⎦即[]0,100，所以()()2222864325x y x y x y +--=-+--的取值范围是[]25,75-，所以2286x y x y +--的最大值为75，最小值为25-.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点F 到双曲线2213xy -=的渐近线的距离为1.（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A ､B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点.【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数p 值得抛物线方程；（2）设直线方程为x ty m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入0OA OB ⋅=可得m 值，得定点坐标．【小问1详解】已知双曲线的一条渐近线方程为x =，即0x -=，抛物线的焦点为(,0)2p，所以1=，解得4p =（因为0p >），所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由题意设直线l 方程为x ty m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ．由28x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2880y ty m --=，128y y t +=，128y y m =-，又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以22121212121212()()(1)()x x y y ty m ty m y y t y y tm y y m+=+++=++++2228(1)80m t t m m =-+++=，直线不过原点，0m ≠，所以8m =．所以直线l 过定点(8,0)．20.已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC.（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB的法向量()n =，再利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接EF ，OF ，∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =.又//DE AB ，2AB DE =，∴//OF DE ，且OF DE =.∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .【小问2详解】∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂ABC 平面，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为ACBC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠= .∴tan 60DO EF BF ===o.∴(0,0,D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =-，(1,0,AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =.∴()n = ，∴cos ,4m n m n m n⋅==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --的余弦值为4.21.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()2364N n n S a n n ++=+∈．（1）求证：数列{}3n a -是等比数列；（2）求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析.（2）()3152532522454nn n n +⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【分析】（1）先求得12a =，当2n ≥时，利用,n n S a 的关系可推得1536n n a a --=，利用等比数列定义即可证明结论；（2）由（1）可得n a 的表达式，继而可得n na 的表达式，利用分组求和以及错位相减法，即可求得答案.【小问1详解】证明：当1n =时，1112364,2S a a +=+∴=，当2n ≥时，有1123642362n n n n S a n S a n --+=+⎧⎨+=-⎩，两式相减得112365363,n n n n n a a a a a ---=∴-=+,故()13335n n a a --=-，则30n a -≠，否则与12a =矛盾，故1133,3135n n a a a --=-=--，所以数列{}3n a -是以1-为首项，35为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）可得11133,,33133555n n n n n n a a na n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-=-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭∴⎭∴，设数列{}n na 的前n 项和为n T ，则()()3131232n n n n n T n W W +=++++-=- ，其中012133331235555n n W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,①,两边同乘以35得()231333333231555555n nn W n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,②,由①-②得213233333553513555555225115nn n n nn W n n n -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-⎭- ,2552534245nn W n ⎛⎫⎛⎫∴=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以()3152532522454nn n n n T +⎛⎫⎛⎫=++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭．22.已知椭圆()2222:10,0x y C b bαα+=>>的左、右两焦点分别为()()121,0,1,0F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的12AF F △中，满足1221π7π,1212AF F AF F ∠=∠=（1）求椭圆C 的方程；（2）设点,,B C D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线,,,BC CD OB OC 的斜率分别为1234,,,k k k k ，且1234k k k k ⋅=⋅，求22OB OC +的值.【答案】（1）2212x y +=（2）223OB OC +=【解析】【分析】（1）由正弦定理与两角和与差的正弦公式化简求解（2）设1122(,),(,)B x y C x y ，得11(,)D x y --，求出1234,,,k k k k ，由1234k k k k =可得22121y y +=，再计算22OB OC +可得．【小问1详解】在12AF F △中，由正弦定理得：1227πππ3sin sin sin12123AF AF ===1437πsin 312AF =，243πsin 312AF =，所以12437ππ43ππππ2sin sin sin sin 23121233434a AF AF ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解得a =1b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.【小问2详解】设()()1122,,,B x y C x y ，则()11,D x y --．由22212221212112222221212121111222x x y y y y y y k k x x x x x x x x --+-+-⋅=⋅===--+--，所以341212k k k k ==-，即12341212y y k k x x ⋅==-，于是有()()22222212121222224x x y y yy ⋅=-⋅-=⋅，即22121y y +=()()2222222222221122112212222243OB OC x y x y y y y y y y ∴+=+++=-++-+=--=。
《解析》四川省宜宾市南溪二中2016-2017学年高二下学期入学数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年四川省宜宾市南溪二中高二（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）1．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．2．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取（）个个体．A．20 B．30 C．40 D．503．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.54．“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2 6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣17．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定8．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x+2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．19．内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（）A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14）D．（4，11）10．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（）A．2 B．4 C．D．411．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6 B．7 C．8 D．912．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣8=0二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）13．阅读如图所示的程序框图输出的S是．14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是．三、解答题：（共6小题，共70分）17．已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．18．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）求直线BC的一般式方程；（2）求△ABC的外接圆的标准方程．19．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[130，150]的有几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．20．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：[x﹣（1+m）]•[x﹣（1﹣m）]≤0（m ＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．2016-2017学年四川省宜宾市南溪二中高二（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）1．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．2．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取（）个个体．A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B3：分层抽样方法．【分析】因为分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，又A、B、C三层的个体数之比已知，根据条件列出结果．【解答】解：∵A、B、C三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取100×=20．故选：A．3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】B7：频率分布表．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C4．“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选B5．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2【考点】J1：圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，﹣1），2．故选：B．6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=0或a=1．故选：C．7．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图知：=（76+77+88+90+94）=85，= [（76﹣85）2+（77﹣85）2+（88﹣85）2+（90﹣85）2+（94﹣85）2]=52，=（75+86+88+88+93）=86，= [（75﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2+（88﹣86）2+（93﹣86）2]=35.6，∴甲＜乙，乙比甲成绩稳定．故选：C．8．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x+2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线方程代入即可求得a的值．【解答】解：由双曲线﹣=1焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程y=±x，即ay±bx=0，由b=3，则a=2，∴a的值为2，故选C．9．内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（）A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14）D．（4，11）【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，可得结论．【解答】解：=（0+1+2+3+4+5+6）=3，=（8+8+8+9+9+10+11）=9，∴线性回归直线=t+一定过点（3，9），故选：A．10．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（）A．2 B．4 C．D．4【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义可知|FM|+|F′M|和|FN|+|F′N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．【解答】解：椭圆4x2+5y2=1可得a=，利用椭圆的定义可知，|FM|+|F′M|=2a=1，|FN|+|F′N|=2a=1，∴△MNF2的周长为|FM|+|F′M|+|FN|+|F′N|=1+1=2．故选：A．11．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，可得x M=9，则M到y轴的距离是：9．故选：D．12．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣8=0【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】斜率设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，利用韦达定理x1+x2，求出斜率，即可求解直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k=0，代入椭圆的方程化简得（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，∴x1+x2==8，解得k=﹣，故直线l的方程为x+2y﹣8=0，故选：B．二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）13．阅读如图所示的程序框图输出的S是30．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，i=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=5，i=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=30，i=5，满足退出循环的条件；故输出的结果为：30，故答案为：30．14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为36，满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件总数为36，满足条件的事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4种结果，记点（x，y）在圆x2+y2=9的内部记为事件A，∴P（A）==，即点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率，故答案为15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是1﹣2＜b≤﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】曲线方程变形后，表示圆心为（2，3），半径为2的下半圆，如图所示，根据直线y=x+b与圆有2个公共点，【解答】解：曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，表示圆心A为（2，3），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示，当直线y=x+b过B（4，3）时，将B坐标代入直线方程得：3=4+b，即b=﹣1；当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b﹣1=2（不合题意舍去）或b﹣1=﹣2，解得：b=1﹣2，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为1﹣2＜b≤﹣1．故答案为：1﹣2＜b≤﹣1三、解答题：（共6小题，共70分）17．已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两点式求出l1的斜率．（1）再由两点求斜率的到l2的斜率，由斜率相等求得m的值；（2）由两直线的斜率乘积等于﹣1得答案．【解答】解：∵直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），∴直线l1的斜率为：直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0），∴直线l2的斜率为．（1）若l1∥l2，则=，∴m=（2）若l1⊥l2，则=﹣1，∴m=﹣2．18．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）求直线BC的一般式方程；（2）求△ABC的外接圆的标准方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程；J1：圆的标准方程．【分析】（1）根据A（﹣1，1），B（﹣1，2），可知直线BC的斜率不存在，即可得出一般式方程；（2）根据k AC=0，直线AB的斜率不存在，可得AB⊥AC．利用直角三角形的外接圆的性质即可得出．【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（﹣1，2），∴直线BC的一般式方程为：x+1=0；（2）∵k AC=0，直线AB的斜率不存在，∴AB⊥AC．∴△ABC是直角三角形．线段BC的中点，为△ABC外接圆的圆心．外接圆的半径r===．∴△ABC的外接圆的标准方程为： +=．19．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[130，150]的有几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据平均数是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点横坐标之和，求出本次考试的平均分；（Ⅱ）利用频数=频率×样本数，求出分数在[30，50）和[130，150]的学生人数，再按照分层抽样的方法按比例求出3人中成绩在[130，150]的有几人？（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，分数在[130，150]的有1人，问题为古典概型．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．（Ⅱ）样本中分数在[30，50）和[130，150]的学生人数分别为6人和3人，所以抽取的3人中成绩在[130，150]的有=1人．（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，记为a，b，分数在[130，150]的有1人，记为c，从中随机抽取2人，总的情形有（a，b），（a，c），（b，c）三种．而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形为（a，c），（b，c）两种，故所求的概率为：P=．20．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：[x﹣（1+m）]•[x﹣（1﹣m）]≤0（m ＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10．由于p是q的充分不必要条件，可得[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]．即可得出．【解答】解：由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]．则，或，解得m≥9．故实数m的取值范围为[9，+∞）．21．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则|MD|=|PD|，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得：；（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，弦长公式：丨AB丨=•，即可求得直线被C所截线段的长度．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由|MD |=|PD |，解得：∵P 在圆上，∴x'2+y'2=25，即，整理得：，即C 的方程为：；…（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，…设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程代入C 的方程，得，整理得：x 2﹣3x ﹣8=0…∴由韦达定理可知：x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣8，…∴线段AB 的长度为，线段AB 的长度丨AB 丨=…22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的一个长轴顶点为A （2，0），离心率为，直线y=k （x ﹣1）与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN 的面积为时，求k 的值．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1）与椭圆C 联立，消元可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣4=0，从而可求|MN |，A （2，0）到直线y=k （x ﹣1）的距离，利用△AMN 的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．2017年5月26日。