高二数学理科下学期期末考试试卷(5.22)
高二数学(理科)下学期期末考试试题(带参考答案)
高二数学（理科）下学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程31x ax be ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程31x ax be ++=没有实根 B ．方程31x ax b e ++=至多有一个实根 C ．方程31x ax be++=至多有两个实根 D ．方程31x ax b e ++=恰好有两个实根2．设i 是虚数单位，若2i 1iz=+-，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．2i + C ．3i - D ．3i + 3．13aedx x=⎰，则a =（ ） A ．212e B ．4e C ．3e D ．2e 4．已知随机变量ξ服从正态分布(),16N μ，且()()261P P <-+≤=ξξ，则=μ（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．25．已知直线l 过点()1,1P ，且与曲线3y x =在点P 处的切线互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．340x y ++= B ．340x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y --= 6．用数学归纳法证明“11112321n n ++++<-L （2n ≥）”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为（ ） A ．12k - B ．21k - C ．2k D ．21k+7．一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是（ ）A ．0.81B ．0.82C ．0.90D ．0.918．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”9．如果42a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是（ ）A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．已知()2cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止.若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（ ） A ．24 B ．72 C ．96 D ．36012．已知()y f x =为定义在R 上的单调递增函数，()y f x '=是其导函数，若对任意x ∈R 总有()()12017f x f x <'，则下列大小关系一定正确的是（ ）A ．()102017f e f ⎛⎫>⋅⎪⎝⎭ B ．()102017f e f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭C ．()2102017f e f ⎛⎫>⋅⎪⎝⎭D ．()2102017f e f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线2y x =与y =所围成的封闭图形的面积为 ．14．设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为0.85，能够连续正常工作15000小时的概率为0.75，现有一台连续工作了10000小时的这种机械，它能够连续正常工作到15000小时的概率是 ． 15．若()2017201212x a a x a x -=++20172017a x ++L （x ∈R ），则12323111222a a a ++2017201712a ++L 的值为 ．16．如果对定义在区间D 上的函数()f x ，对区间D 内任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()1122x f x x f x +()()1221x f x x f x >+，则称函数()f x 为区间D 上的“H 函数”.给出下列函数及函数对应的区间 ①()32111322f x x x x =-+，（x ∈R ）；②()3cos sin f x x x x =+-，0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π； ③()()1xf x x e -=+，(),1x ∈-∞；④()ln f x x x =，10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.以上函数为区间D 上的“H 函数”的序号是 ．（写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知复数()22431233a a z a a i a --=++-+（a ∈R ）. （Ⅰ）若z z =，求a ；（Ⅱ）a 取什么值时，z 是纯虚数. 18．已知函数()321233f x x x x b =-++（b ∈R ）. （Ⅰ）当0b =时，求()f x 在[]1,4上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.19．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量y 关于x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：（Ⅰ）请用相关系数r 加以说明y 与x 之间存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立y 关于x的回归方程并预测当9x =时，对应的y 值为多少（ˆb精确到0.01）.附参考公式：回归方程ˆˆa =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆ=-ay bx ，相关系数r公式为：ni ix y nx yr -=∑参考数据：6147.64i ii x y==∑，621139i i x ==∑ 4.18= 1.53=.20．近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为12，后2天均为45，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨. （Ⅰ）求至少有一天需要人工降雨的概率； （Ⅱ）求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩αα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ（Ⅰ）求直角坐标系下曲线1C 与曲线2C 的方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最大值，并求此时点P 的坐标. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =++-. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()5f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:ADBDB 6-10:CBDCA 11、12：CA二、填空题13．13 14．151715．1- 16．①② 三、解答题17．解：（Ⅰ）230230a a a +≠⎧⎨+-=⎩解得331a a a ≠-⎧⎨=-=⎩或所以1a =（Ⅱ）22304310230a a a a a +≠⎧⎪--=⎨⎪+-≠⎩解得311413a a a a a ≠-⎧⎪⎪==-⎨⎪≠≠-⎪⎩或且所以14a =-18．解：（Ⅰ）当0b =时，()321233f x x x x =-+，()243f x x x '=-+=()()13x x --， 当()1,3x ∈时，()0f x '<，故函数()f x 在()1,3上单调递减， 当()3,4x ∈时，()0f x '>，故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =，()()4143f f ==. ∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()243f x x x '=-+()()13x x =--，由()0f x '<得13x <<，由()0f x '>得1x <或3x >所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-∞，()3,+∞上单调递增；所以()()413f x f b ==+极大值，()()3f x f b ==极小值 所以当403b +>且0b <，即403b -<<时，()10,1x ∃∈，()21,3x ∈，()33,4x ∈.使得()()()1230f x f x f x ===. 由()f x 的单调性知，当且仅当4,03b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 有三个不同零点. 19．解：（Ⅰ）由题意，计算()1234567 4.56x =⨯+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48+1.10=26y =⨯++++，且6147.64i ii x y==∑4.18=1.53=ni ix y nx yr -=∑47.646 4.52 6.36=4.18 1.53 6.3954-⨯⨯=-⨯0.99≈-；∵0.81r >，说明y 与x 之间存在线性相关关系；（Ⅱ）1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑247.646 4.52 6.360.361396 4.517.5-⨯⨯==-≈--⨯， ∴ˆˆ2ay bx =-=+0.36 4.5 3.62⨯= ∴y 与x 的线性回归方程是ˆ0.369 3.62y=-⨯+， 将9x =代入回归方程得ˆ0.369 3.620.38y=-⨯+=. 20．解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是3211422525P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故至少有1天需要人工降雨的概率是123125P -=.（Ⅱ）X 的取值是0，1，2，3，4，5()32111025200P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()321311125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31211411255200C ⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭()32321331112252P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121455C ⨯⨯⨯+32144325200⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()321314325P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32132114255C C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⎪⎝⎭32117325200⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3121414255P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3223145672520025C ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3214252525P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不需要人工降雨的天数X 分布列是不需要人工降雨的天数X 的期望是()11143012200200200E X =⨯+⨯+⨯7372345 3.12002525+⨯+⨯+⨯= 21．解：（Ⅰ）()211ax f x ax x x-'=-=，函数()f x 的定义域为()0,+∞当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增 当0a >时，令()0f x '=，则x =当0x <<()0f x '>，()f x 为增函数；当x >()0f x '<，()f x 为减函数.∴当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间. 当0a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭（Ⅱ）由()21ln 112x ax a x -≤--得()()22ln 12x x a x x ++≤+ ∵0x >∴原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立.令()()22ln 12x x g x x x++=+， 则()()()()22212ln 2x x x g x xx -++'=+令()2ln h x x x =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增 由()110h =>，112ln 2022h ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()00h x =，002ln 0x x += ∴当00x x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数 当0x x >时，()0g x '<，()g x 为减函数 ∴0x x =时()()002max 002ln 12x x g x x x ++==+()0000112x x x x +=+ ∴01a x ≥又01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()011,2x ∈由a ∈Z ，所以2a ≥ 故整数a 的最小值为2.22．解：（Ⅰ）由曲线1C：cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩αα，可得cos sin x =⎧⎪=αα，两式两边平方相加得：2213y x +=， 即曲线1C 在直角坐标系下的方程为：2213y x +=. 由曲线2C：()sin sin cos 4⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πρθθθ，即s i n c o s 80+-=ρθρθ，所以80x y +-=，即曲线2C 在直角坐标系下的方程为：80x y +-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点()cos P αα到直线80x y +-=的距离为d ==46⎛⎫=+- ⎪⎝⎭πα，∴当sin 16⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα即43=πα时，d的最大值为 此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 23．解：（Ⅰ）当3a =时，()135f x x x =++->，等价于：①1135x x x ≤-⎧⎨---+>⎩，得32x <-；②13135x x x -<<⎧⎨+-+>⎩，无解；③3135x x x ≥⎧⎨++->⎩，得72x >；综上，解集为32x x ⎧<-⎨⎩或72x ⎫>⎬⎭. （Ⅱ）()1f x x x a =++-=1x a x ++-≥1x a x ++-121a a =+≥-，则121a a +≥-或()121a a +≤--，11 得2a ≤，所以a 的取值范围为(],2-∞.。
2022年年高二下学期数学(理)期末试卷(附答案)
年高二下学期数学（理）期末试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为 A. i 54- B.54- C. i 54 D.542. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定为A.0232,0200<++∈∃x x R xB. 0232,0200≤++∈∃x x R xC. 0232,2<++∈∀x x R xD. 0232,2≤++∈∀x x R x3. 已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.6P ξ<=，则(01)P ξ<<= A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.14. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.()()q p ⌝∨⌝B.()q p ⌝∨C.()()q p ⌝∧⌝D.q p ∨5. 某校从高一中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[)[),60,50,50,40[)[),80,70,70,60 [)[)100,90,90,80加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 高一共有学生600名，据此 统计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A.588B.480C.450D.120 6. 若不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 等于A.8B.2C.4-D.8- 7. 在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是A. (1,)2πB. (1,)4πC. (2,)4πD. (2,)2π8. 已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 189. 阅读如下程序框图， 如果输出5=i ,那么在空白矩形框中应填入的语句为 A. 22-*=i S B. 12-*=i S C. i S *=2 D. 42+*i10. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. 若η2-=ξa ，1)(=ηE , 则a 的值为A. 2B.2-C. 5.1D. 311. 观察下列数的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是A ．10 B. 13 C. 14 D.10012. 若函数x x f a log )(=的图象与直线x y 31=相切，则a 的值为 A. 2e e B. e3e C. e e5D. 4ee第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数 为__________个.14. 圆222r y x =+在点()00,y x 处的切线方程为200r y y x x =+，类似地，可以求得椭圆183222=+y x 在()2,4处的切线方程为________．15. 执行右面的程序框图，若输入的ε的值为25.0，则输出的n 的值为_______.16. 商场每月售出的某种商品的件数X 是一个随机变量, 其分布列如右图. 每售出一件可 获利 300元, 如果销售不出去, 每件每月需要保养费100元. 该商场月初进货9件这种商品, 则销售该商品获利的期望为____.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) X 1 2 3···12P121121 121 ···1210,1==S i1+=i i 输出i结束开始i 是奇数12+*=i S10<S是否否 是第9题图17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在极 坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （I ）求圆C 的直角坐标方程;（II ）设圆C 与直线l 交于,A B 两点，若点P 坐标为(3,5)，求PB PA ⋅的值.18. 目前四年一度的世界杯在巴西举行，为调查哈三中高二学生是否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法调查了110名高二学生，结果如下表：男 女 是 40 20 否2030（I ）若哈三中高二共有1100名学生，试估计大约有多少学生熬夜看球; （II ）能否有99%以上的把握认为“熬夜看球与性别有关”? 2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. 数列{}n a 中，11=a ，且12111+=++n a a nn ，（*∈N n ）. (Ⅰ) 求432,,a a a ;(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.20. 已知函数x x f ln )(=，函数)(x g y =为函数)(x f 的反函数.(Ⅰ) 当0>x 时, 1)(+>ax x g 恒成立, 求a 的取值范围; (Ⅱ) 对于0>x , 均有)()(x g bx x f ≤≤, 求b 的取值范围.性别是否熬夜看球21. 哈三中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （元）908483807568（I ）求回归直线方程y bx a =+;（其中121()(),()n i i i ni i x x y y b a y bx x x ==∑--==-∑-）（II ）预计今后的销售中，销量与单价服从（I ）中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元?22. 已知函数a x f -=)(x2ex a e )2(-+x +，其中a 为常数.(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ) 设函数)e 2ln()(x ax h -=2e 2--+x a x (0>a ),求使得0)(≤x h 成立的x 的最小值; (Ⅲ) 已知方程0)(=x f 的两个根为21,x x , 并且满足ax x 2ln 21<<.求证: 2)e e (21>+x x a .数学答案一. 解答题:22. (Ⅰ) 因为)1)(12()(+-+='xxae e x f ,所以, 当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数; 当0>a 时, 函数)(x f 在)1ln,(a-∞上为单调递增, 在).1(ln ∞+a 上为单调递减函数.(Ⅲ) 由(Ⅰ)知当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数, 方程至多有一根,所以0>a ,211ln ,0)1(ln x ax a f <<>,又因为 =--)())2(ln(11x f e a f x 022)2ln(111>--+-x ae e a xx ,所以0)())2(ln(11=>-x f e a f x , 可得2)2ln(1x e ax<-.即212xx e e a<-, 所以2)(21>+x x e e a .。
高二下期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．以下三个命题：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）随机变量X～N（μ，σ2），当μ一定时，σ越小，其密度函数图象越“矮胖”；（3）在回归分析中，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的，模型的拟合效果越好．其中其命題的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击4次，则这名射手恰有3次击中目标的概率是（）A．C0.83×0.2 B．C0.83C．0.83×0.2 D．C0.8×0.24．如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，则P（ξ≥0）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.15．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（）A．a，b，c中至多一个是偶数B．a，b，c中至少一个是奇数C．a，b，c中全是奇数D．a，b，c中恰有一个偶数6．某校开设8门选修课程供学生选修，其中A，B，C三门选修课由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．30 B．40 C．90 D．2407．已知随机变量ξ，η满足2ξ+η=9且ξ～B（5，0.4），则E（η），D（η）分别是（）A．2，1.2 B．2，2.4 C．5，2.4 D．5，4.88．2016年6月9日是“端午节”，小明的妈妈为小明煮了6个粽子，其中腊肉馅2个，豆沙馅4个，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．9．由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10．设f（x）是定义在R上的减函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜2016．下面不等式正确的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．2f D．2f二、填空题：本大题共5小题，毎小题5分，共25分.11．如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则复数z1•z2对应的点在第_______象限．12．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为_______．若y与x的线性回归方程为的值为=﹣2x+，则的值为_______．14．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有_______个．15．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0的解集为_______．三、解答题：本大题共6小題，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．巳知a=sinxdx，若二项式（ax﹣）n的展开式中各项系数之和为256．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．17．到“北上广”创业是很多大学生的梦想，从某大学随机抽查了100人进行了问卷调查，得22己知在这100人中随机抽取1人，抽到想到“北上广”创业的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为大学生想到“北上广”创业与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在想到“北上广”创业的20名女大学生中，有5人想到“广州”创业．若从想到“北上广”创业的20名女大学生中任选3人，求在选出的3人中少有2人想到“广州”创业的概率．（參考公式K2=，其中n=a+b+c+d）18．已知函数f（x）=e2x﹣（x﹣1）2，（e≈2.71828）（1 ）求曲线y=f（x）在点（l，f（1））处的切线方程；（2）设方程f（x）=m﹣1+4x﹣x2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实根，求变数m的取值范围．19．高二学生即将升入高三，高三学生参加高校自主招生考试是升入理想大学的一条途径．甲、乙、丙三位同学一起参某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲中、乙、丙三位同学的平时成绩分析，甲，乙，两三位同学能通过笔试的概率分别是，，；能通过面试的概率分别是，，．（1）求甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率；（2）设甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后，能被该高校录取的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．20．某同学在研究三角形的性质时，发现了有些三角形的三边长有以下规律：①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）2＜4（3×4+4×5+5×3）；②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）2＜4（6×8+8×9+9×6）；③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）2＜4（3×4+4×6+6×3）．分析以上各式的共同特征，试猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论，并加以证明．21．已知函数f（x）=ln（x+a）（a∈R），g（x）=．（1）当a=1时，证明：f（x）＞g（x）对于任意的x∈（0，+∞）都成立；（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值点；（3）设c1=1，c n+1=ln（c n+1），用数学归纳法证明：c n＞．2015-2016学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由复数z==，则复数z的共轭复数为：1+i．故选：D．2．以下三个命题：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）随机变量X～N（μ，σ2），当μ一定时，σ越小，其密度函数图象越“矮胖”；（3）在回归分析中，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的，模型的拟合效果越好．其中其命題的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对用来衡量模拟效果好坏的几个量，即相关指数、残差平方和、相关系数及残差图中带状区域的宽窄进行分析，残差平方和越小越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，R2越大，模型的拟合效果越好，模型的拟合效果越好，即可判断（1），（3）；利用正态曲线的性质，可判断（2）的正确性．【解答】解：用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；正态分布N（μ，σ2）曲线中，μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，故（2）不正确；可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（3）正确．故选：C．3．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击4次，则这名射手恰有3次击中目标的概率是（）A．C0.83×0.2 B．C0.83C．0.83×0.2 D．C0.8×0.2【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解．【解答】解：∵某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，∴这名射手恰有3次击中目标的概率是：p=．故选：A．4．如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，则P（ξ≥0）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用ξ～N（﹣1，σ2），可得图象关于x=﹣1对称，结合P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，即可求得结论．【解答】解：∵ξ～N（﹣1，σ2），∴图象关于x=﹣1对称∵P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，∴P（﹣1≤ξ≤0）=0.3，∴P（ξ≥0）=0.5﹣0.3=0.2．故选：C．5．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（）A．a，b，c中至多一个是偶数B．a，b，c中至少一个是奇数C．a，b，c中全是奇数D．a，b，c中恰有一个偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选C．6．某校开设8门选修课程供学生选修，其中A，B，C三门选修课由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．30 B．40 C．90 D．240【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】A，B，C三门由于上课时间相同至多选一门，A，B，C三门课都不选，A，B，C 中选一门，剩余5门课中选两门，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门第一类A，B，C三门课都不选，有C53=10种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余5门课中选两门，有C31C52=30种方案．∴根据分类计数原理知共有10+30=40种方案．故选：B7．已知随机变量ξ，η满足2ξ+η=9且ξ～B（5，0.4），则E（η），D（η）分别是（）A．2，1.2 B．2，2.4 C．5，2.4 D．5，4.8【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据变量ξ～B（5，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量2ξ+η=9，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．【解答】解：∵ξ～B（5，0.4），∴Eξ=5×0.4=2，Dξ=5×0.4×0.6=1.2，∵2ξ+η=9，∴η=9﹣2ξ∴Eη=E（9﹣2ξ）=9﹣4=5，Dη=D（9﹣2ξ）=4.8，故选：D．8．2016年6月9日是“端午节”，小明的妈妈为小明煮了6个粽子，其中腊肉馅2个，豆沙馅4个，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】由题意，P（A）==，P（AB）==，由公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故选：B．9．由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意，画出图形，利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算．【解答】解：由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形如图，所以由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形的面积为2=；故选：C．10．设f（x）是定义在R上的减函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜2016．下面不等式正确的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．2f D．2f【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=（x﹣2016）f（x），求出g（x）的单调性，从而求出答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的减函数，其导函数为f′（x），∴f′（x）＜0在R恒成立，∵+x＜2016，∴f（x）+（x﹣2016）f′（x）＞0，令g（x）=（x﹣2016）f（x），则g′（x）=f（x）+（x﹣2016）f′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴g，即2f，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，毎小题5分，共25分.11．如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则复数z1•z2对应的点在第四象限．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图可知：z1=﹣2﹣i，z2=i，则z1•z2=1﹣2i，求出在复平面内，复数z1•z2对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由图可知：z1=﹣2﹣i，z2=i，则z1•z2=i（﹣2﹣i）=1﹣2i，在复平面内，复数z1•z2对应的点的坐标为：（1，﹣2），位于第四象限．故答案为：四．12．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为（﹣1，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x的单调递减区间．【解答】解：令y′=3x2﹣3＜0解得﹣1＜x＜1，∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．若y与x的线性回归方程为的值为=﹣2x+，则的值为 1.5．【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归方程求出．【解答】解：==﹣1，==3.5，由回归直线方程过样本中心点（，）即（﹣1，3.5），则=+2=3.5﹣2=1.5，故答案为：1.5．14．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有144个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，问题得以解决．【解答】解：将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A33A43=144个，故答案为：144．15．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2）．【考点】进行简单的合情推理；其他不等式的解法．【分析】关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得不等式+＜0的解集．【解答】解：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈（﹣1，﹣）∪（，1），则x∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，2）．三、解答题：本大题共6小題，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．巳知a=sinxdx，若二项式（ax﹣）n的展开式中各项系数之和为256．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】（Ⅰ）根据定积分的计算求出a的值，根据二项式系数之和为256求得n=8，则展开式中二项式系数最大的项为第5项，根据通项公式即可求出．（Ⅱ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：（Ⅰ）a=sinxdx=﹣cosx|=﹣（﹣1﹣1）=3，∵二项式（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为256，∴2n=256，∴n=8，∴展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r C8r38﹣r•．∴它的二项式系数最大的项为第五项，即T5=（﹣1）4C8438﹣4•=5670；（Ⅱ）令8﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项（﹣1）6C8638﹣6=252．17．到“北上广”创业是很多大学生的梦想，从某大学随机抽查了100人进行了问卷调查，得22己知在这100人中随机抽取1人，抽到想到“北上广”创业的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为大学生想到“北上广”创业与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在想到“北上广”创业的20名女大学生中，有5人想到“广州”创业．若从想到“北上广”创业的20名女大学生中任选3人，求在选出的3人中少有2人想到“广州”创业的概率．（參考公式K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据在这100人中随机抽取1人，想到“北上广”创业共60人，不想到“北上广”创业共40人，从而可得列联表；（2）利用列联表，计算K2，与临界值比较，可得结论；（3）利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：（1）∵在这100人中随机抽取1人，抽到想到“北上广”创业的概率是．（2）K2=≈16.7＞10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为大学生想到“北上广”创业与性别有关；（3）在选出的3人中少有2人想到“广州”创业的概率=．18．已知函数f（x）=e2x﹣（x﹣1）2，（e≈2.71828）（1 ）求曲线y=f（x）在点（l，f（1））处的切线方程；（2）设方程f（x）=m﹣1+4x﹣x2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实根，求变数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；（2）问题转化为2x+m=e2x在[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e2x﹣（x﹣1）2，∴f′（x）=2（e2x﹣x+1），∴f（1）=e2，f′（1）=2e2，∴切线方程是y﹣e2=2e2（x﹣1），即2e2x﹣y﹣e2=0；（2）方程f（x）=m﹣1+4x﹣x2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实根，即2x+m=e2x在[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，x=﹣1时，e2x=，x=1时，e2x=e2，结合题意，解得：1＜m≤2+，即m的范围是（1，2+]．19．高二学生即将升入高三，高三学生参加高校自主招生考试是升入理想大学的一条途径．甲、乙、丙三位同学一起参某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲中、乙、丙三位同学的平时成绩分析，甲，乙，两三位同学能通过笔试的概率分别是，，；能通过面试的概率分别是，，．（1）求甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率；（2）设甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后，能被该高校录取的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A，B，C，事件E表示“甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试”，利用对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率．（2）“甲乙丙三位同学各自经过两次考试后能被录取”分别记为事件D，E，F，由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A，B，C，事件E表示“甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试”，则甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率：P（E）=P（AB）+P（A C）+P（BC）=++=．（2）“甲乙丙三位同学各自经过两次考试后能被录取”分别记为事件D，E，F，则P（D）==，P（E）==，P（F）==，由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）==，P（X=1）=P（++）=++=，P（X=2）=P（+D+）==，P（X=3）=P（DEF）==，X数学期望E（X）==．20．某同学在研究三角形的性质时，发现了有些三角形的三边长有以下规律：①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）2＜4（3×4+4×5+5×3）；②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）2＜4（6×8+8×9+9×6）；③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）2＜4（3×4+4×6+6×3）．分析以上各式的共同特征，试猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论，并加以证明．【考点】归纳推理．【分析】根据三个不等式猜测三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论：3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）2＜4（ab+ac+bc）；然后利用比较法证明即可．【解答】解：由已知规律：①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）2＜4（3×4+4×5+5×3）；②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）2＜4（6×8+8×9+9×6）；③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）2＜4（3×4+4×6+6×3）．根据以上各式的共同特征，猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论：3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）2＜4（ab+ac+bc）；证明：（a+b+c）2﹣（ab+ac+bc）=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc﹣ab﹣ac﹣bc=a2+b2+c2+ab+ac+bc，因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a2+b2+c2+ab+ac+bc＞0，所以3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）2；（a+b+c）2﹣4（ab+ac+bc）=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc﹣4ab﹣4ac﹣4bc=a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=（a﹣b﹣c）2≥0．21．已知函数f（x）=ln（x+a）（a∈R），g（x）=．（1）当a=1时，证明：f（x）＞g（x）对于任意的x∈（0，+∞）都成立；（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值点；（3）设c1=1，c n+1=ln（c n+1），用数学归纳法证明：c n＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；数学归纳法．【分析】（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论即可；（2）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函的单调区间，从而求出函数的极值点即可；（3）结合（1）求出ln（1+x）＞，根据数学归纳法证明即可．【解答】证明：（1）a=1时，f（x）=ln（x+1），令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣，（x＞0），h′（x）=﹣=≥0，∴h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，∴当a=1时，f（x）＞g（x）对于任意的x∈（0，+∞）都成立；解：（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+a）﹣，（x＞﹣a，x≠﹣2），F′（x）=﹣=，①当a≤1时，F′（x）≥0恒成立，F（x）递增，无极值点，②当1＜a＜2时，令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令F′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴F（x）在（﹣a，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=﹣2是极大值点，x=2是极小值点；③当a=2时，F′（x）=，F（x）在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，x=2是极小值点，④当a＞2时，令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令F′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴F（x）在（﹣a，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，x=﹣2是极大值点，x=2是极小值点；证明：（3）由（1）得：a=1时，ln（1+x）＞，令x=，则ln（1+）＞=，设c1=1，c n+1=ln（c n+1），故n=1时，c1=1＞成立，假设n=k时，c k＞成立，只需证明n=k+1时，c k+1＞成立即可，∵c k+1=ln（c k+1）＞ln（1+），而ln（1+）＞，故c k+1＞成立，故原结论成立．2016年9月9日。
高二下期末理科数学考试卷及答案
高二下期末理科数学考试卷及答案
高二下学期期末统测理科数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目填写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．
4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
第一卷
一、选择题：（每小题5分，共40分,将你认为正确的一个答案填在答卷相应题序的表格内）
1．已知复数，则在复平面内对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
2．“”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件。
高二数学下学期期末考试理科试题含答案
第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。
高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019学年第二学期期末考试试题（卷）高二数学（理科）一、选择题(本大题共12小题，共60分,每小题只有一个选项是正确的。
1. 设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P∈QD. Q∈P【答案】B【解析】由得：，故，故选B.2. 如图所示，可表示函数图象的是（）A. ①B. ②③④C. ①③④D. ②【答案】C3. 已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A. 0或B. 0或3C. 3或D. 1或3【答案】C【解析】试题分析：由A∪B＝A可得或考点：集合的子集4. 下列函数中，既是偶函数又在（-∞，0）内为增函数的是（）A. y=（）xB. y=x-2C. y=x2+1D. y=log3（-x）【答案】B............5. 若集合A={y|y=2x+2}，B={x|-x2+x+2≥0}，则（）A. A⊆BB. A∪B=RC. A∩B={2}D. A∩B=∅【答案】D【解析】由，得，，则，故选D.6. 命题“若a≥-1，则x+a≥1nx”的否定是（）A. 若a＜-1，则x+a＜1nxB. 若a≥-1，则x+a＜1nxC. 若a＜-1，则x+a≥1nxD. 若a≥-1，则x+a≤1nx【答案】B【解析】“若，则”的否定是若，则，故选B.7. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上递增，那么一定有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵）在上递增，，，故选B.8. 已知函数，那么的值为（）A. 27B.C. -27D.【答案】B【解析】由题可得：，故，故选B.9. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”B. 命题“若cos x=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题C. 命题“∃x∈R，使得2x2-1＜0”的否定是：“∀x∈R，2x2-1＜0”D. “若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题【答案】D【解析】命题“若，则”的否命题为：“若，则”，A错误；命题“若，则”为假命题，则其逆否命题为假命题，B错误；命题“，使得”的否定是“，使得”，故C错误；若，则互为相反数的逆命题是：互为相反数，则，为真命题；故选D.10. 函数，满足f（x）＞1的x的取值范围（）A. （-1，1）B. （-1，+∞）C. {x|x＞0或x＜-2}D. {x|x＞1或x＜-1}【答案】D【解析】当时，即，，∴，当时，即，，综上满足的的取值范围或，故选D.点睛：本题考查分段函数的意义，解不等式的方法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，基础性较强；分和两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解.11. 若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [2，6]B. [-6，-2]C. （2，6）D. （-6，-2）【答案】A【解析】对任意实数，不等式恒成立，则，解得，即实数的取值范围是，故选A. 12. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=log a|x|有六个不同的根，则a的范围为（）A. B. C. D. （2，4）【答案】A【解析】由得：，当时，函数的图象如图：，再由关于的方程有六个不同的根，则关于的方程有三个不同的根，可得，解得，故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于的不等式，解得即可.二、填空题(本大题共4小题，共20分)13. 命题“∃x∈R，x2+ax-4a＜0”为假命题，是“-16≤a≤0”的 ______条件．【答案】充要【解析】∵命题“”为假命题，∴命题“”为真命题，则判别式，即，解得，则命题“”为假命题，是“”的充要条件，故答案为充要.14. 若-2≤x≤2，则函数的值域为 ______．【答案】【解析】设，则；∴，∴时，，时，，∴的值域为，故答案为.点睛：本题主要了考查指数式的运算，换元法求函数的值域，以及配方求二次函数值域的方法；先写出，从而可设，根据的范围即可求出的范围，进而得到二次函数，这样配方求该函数的值域即可得出的值域.15. 函数的取值范围为______ ．【答案】或【解析】易知函数为奇函数，且当时，，当时，，即函数的取值范围为或.16. 下列说法错误的是______ ．①已知命题p为“∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1”，则非p是真命题②若p∨q为假命题，则p，q均为假命题③x＞2是x＞1充分不必要条件④“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题．【答案】①【解析】对于①，∵，∴，成立即命题是真命题，则非是假命题，故错；对于②，若为假命题，则，均为假命题，正确；对于③，∵，反之不能，∴是充分不必要条件，正确；对于④，∵不全等三角形的面积可能相等，∴“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题，正确；故答案为①.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.试题解析：（1）若为真命题，则应有，解得；（2）若为真命题，则有，即，因为为真命题，为假命题，则，应一真一假，①当真假时，有，得；②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是．18. 在平面直角坐标系x O y中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P （1，2），倾斜角．（1）求直线l的参数方程；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【答案】（1）（为参数）【解析】试题分析：（1）根据直线经过点，倾斜角，可得直线的参数方程．（2）把直线的方程代入，得，由此能求出的值.试题解析：（1）∵直线经过点，倾斜角，∴，（为参数）（2）∵圆C的参数方程为（为参数），∴圆的直角坐标方程为，把直线的方程代入，得，设，是方程的两个实根，则，则．19. 一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，如表为抽样试验结果：（1）用相关系数r对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？（结果保留整数）参考数据：，，．参考公式：相关系数计算公式：,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】（1）y与x有很强的线性相关关系；（2）；（3）机器的转速应控制在15转/秒以下.【解析】试题分析：（1）根据表中数据计算与相关系数的值，判断与有很强的线性相关关系；（2）求出回归方程的系数、，写出线性回归方程；（3）利用回归方程求出的值即可.试题解析：（1）根据表中数据，计算，，，所以相关系数；因为，所以与有很强的线性相关关系；（2）回归方程中，，，∴所求线性回归方程为．（3）要使，即，解得，所以机器的转速应控制在转/秒以下．20. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用分类讨论思想分为，，三种情形，将问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；（2）要使对任意实数成立，得到，解出即可.试题解析：（1）不等式即为，等价于或或，解得或，因此，原不等式的解集为或.（2），若恒成立，则，则，解得．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21. 已知不等式x2-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＞1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，，求f（x）的最小值．【答案】（1）；（2）9.【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；（2）由（1）知的解析式，将其表示为由基本不等式分析可得答案.试题解析：（1）根据题意，不等式的解集为或，则方程的两个根是和，则有，，即，.（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．22. 在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设为圆上任一点，的中点为，,所以,为所求；（2）先由求出点的坐标,再由点在圆上，所以，化简就可得到动点的轨迹方程．试题解析：（1）设为圆上任一点，的中点为，∵在圆上，∴△为等腰三角形，由垂径定理可得，为所求圆的极坐标方程．（2）设点的极坐标为，因为在的延长线上，且，所以点的坐标为，由于点在圆上，所以，故点的轨迹方程为．考点：简单曲线的极坐标方程.。
高二下学期期末数学试题含答案(理科)
高二下学期期末数学试题（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数iz +=21对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设随机变量等可能地取值1，2，3，⋯，n ，若3.0)4(=<X P ，则n 的值为 A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3. 若1)1(4)1(6)1(4)1(234+-+-+-+-=x x x x S ，则S =A. 4)2(-xB. 4)1(-xC. 4xD. 4)1(+x4. 已知随机变量X 服从二项分布，即X ~B （6，31），则P （X =2）的值为A. 24380B. 24313C. 2434D. 1635. 函数x x x f cos 2)(+=在[0，2π]上取得最大值时的x 的值为A. 0B. 6πC. 3πD. 2π6. 如果)()()(b f a f b a f =+，且2)1(=f ，则=++++)2009()2010()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f A. 2010 B. 2009C. 2008D. 10057. 若n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，则=++++n a a a a 2420 A. n2 B. 12+n C. 213-n D. 213+n8. 定义在R 上的函数f (x )满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 有且只有三个不相等的实根，且0是其中的一个根，则方程的另外两个根必为A. -1，1B. -1，4C. 2，4D. -2，2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 请把答案填在题中横线上.9. 对于回归方程25775.4ˆ+=x y，当4=x 时，y 的估计值是 ▲ .10. 质点运动规律为t t y 233+=，其中y （单位：m ）表示在时刻t （单位：s ）的位移，则t =2s 时，质点的加速度是 ▲ m/s 2.11. 计算=⎰dx xπ022cos ▲ .12. 函数)2ln(2--=x x y 的单调递增区间为 ▲ .13. 某班周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，则不同的排法共有 ▲ 种（用数字作答）. 14．已知点列如下：)1,1(1P ，)2,1(2P ，)1,2(3P ，)3,1(4P ，)2,2(5P ，)1,3(6P ，)4,1(7P ，)3,2(8P ，)2,3(9P ，)1,4(10P ，)5,1(11P ，)4,2(12P ，…，则60P 的坐标为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）. 假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，求在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）其中至少一个地方降雨的概率.16．（本小题满分12分）设复数i m m m m m z )65(3622++++--=，试求实数m 为何值时， （1）z 是实数； （2）z 是虚数； （3）z 是纯虚数.17．（本小题满分14分）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训.（1）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；（2）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）已知函数12)(+=x x f .（1）求过点（1，3），且与函数)(x f y =的图象相切的直线方程； （2）求过点（2，4），且与函数)(x f y =的图象相切的直线方程.19．（本小题满分14分）已知函数2)()(a x x x f -=，求f （x ）的单调区间与极值.20．（本小题满分14分）在数列}{n a 中，)2(1>=a a a ，)()1(2*21N n a a a n nn ∈-=+. （1）求证：2>n a ； （2）求证：11<+nn a a ； （3）若3>n a ，证明：当43lg 3lga n ≥时，31<+n a .参考答案及评分标准一、选择题二、填空题9. 276 10. 312 11. 2π 12. （2，+∞） 13. 504 14. （5，7）三、解答题15．（本小题满分12分）解：设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B ， 则P （A ）=0.2，P （B ）=0.3.（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为 P （AB ）=P （A ）P （B ⨯0.3=0.06； （4分）（2）甲、乙两地都不降雨的事件为B A ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为56.07.08.0))(1))((1()()()(=⨯=--==B P A P B P A P B A P ； （8分）（3）设元旦期间甲、乙两地至少一个地方降雨的事件为C ，则事件C 与事件B A 互斥，所以甲、乙两地至少一个地方降雨的概率为44.056.01)(1)(=-=-=B A P C P . （12分）16．（本小题满分12分）解：（1）要使z 为实数，则⎩⎨⎧≠+=++.03,0652m m m ， （2分）解之得 2-=m . （4分）（2）要使z 为虚数，则⎩⎨⎧≠+≠++.03,0652m m m （6分）解之得2-≠m ，且3-≠m . （8分）（3）要使z 为纯虚数，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠+≠++=+--.03,065,03622m m m m m m ， （10分）解之得3=m . （12分）17．（本小题满分14分）解：（1）恰好选到1名已参加过其它技能培训的员工的概率为5615382315==C C C P . （5分） （2）随机变量ξ可能取值为：0，1，2，3. （6分）561)0(3833===C C P ξ；5615)1(382315===C C C P ξ； 2815)2(381325===C C C P ξ；285)3(3835===C C P ξ. 所以随机变量ξ的分布列是（10分） 随机变量ξ的数学期望为56105285328152561515610=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （14分）18．（本小题满分14分） 解：由12)(+=x x f ，得xx f 1)(='. （2分）（1）由3)1(=f ，得点（1，3）在函数)(x f y =的图象上， （3分） 所以过点（1，3）的切线斜率1)1(1='=f k ， （5分）故过点（1，3），且与函数)(x f y =的图象相切的直线方程为)1(13-⨯=-x y ，即2+=x y . （7分）（2）由4122)2(≠+=f ，得点（2，4）不在函数)(x f y =的图象上.设过点（2，4）的直线，且与函数)(x f y =的图象相切于点（0x ，120+x ），于是可得该切线的斜率021x k =， （9分）所以该切线的方程为)(112000x x x x y -=--. （10分）由点（2，4）在该切线上，得)2(1124000x x x -=--，解得10=x 或40=x . （12分） 故过点（2，4），且与函数)(x f y =的图象相切的直线方程为2+=x y 或321+=x y . （14分）19．（本小题满分14分）解：))(3(43)(2)()(222a x a x a ax x a x x a x x f --=+-=-⨯+-='， （2分） 令0)(='x f ，得3ax =，或a x =. （3分） （1）当0=a 时，03)(2≥='x x f ， （4分） 所以函数f (x )单调递增区间为（-∞，+∞），且f (x )没有极值； （6分） （2）当0>a 时，a a<，当x 变化时，)(x f '，f (x )变化情况如下表：（8分）所以函数f (x )单调递增区间为（-∞，3a ）与（a ，+∞），单调递减区间为（3a，a ），f (x )的极大值为3274)3(a a f =，极小值为0)(=a f ； （10分）（3）当0<a 时，aa <，当x 变化时，)(x f '，f (x )变化情况如下表：（12分） 所以函数f (x )单调递增区间为（-∞，a ）与（3a ，+∞），单调递减区间为（a ，3a ），f (x )的极大值为0)(=a f ，极小值为3274)3(a a f =. （14分）20．（本小题满分14分）证明：（1）①当1=n 时，21>=a a 结论成立； （1分） ②假设)(*N k k n ∈=时，2>k a 成立， 当1+=k n 时，要证2)1(221>-=+k kk a a a ，只要证0442>+-k k a a ， 即证0)2(2>-k a .由2>k a 知，0)2(2>-k a 成立，所以21>+k a . （4分） 由①、②知，对于*N n ∈，2>n a . （5分） （2）由2>n a 及)1(221-=+n nn a a a ，得)2()1(21-+=-=+n n n n n n n a a a a a a a ， 因为02>-n a ，所以n n n a a a >-+)2(，所以1)2(<-+n n n a a a ，故11<+nn a a)(*N n ∈.（8分）（3）若3>n a ，则43)1311(21)111(21)1(21=-+<-+=-=+n n n n n a a a a a ， 即431<+n n a a ，431<-n n a a ，⋯⋯，4312<a a ， （10分）将上述n 个式子相乘得n n a a )43(11<+，即n n a a )43(1<+. （11分） 下面用反证法证明：假设31≥+n a ，则n a )43(3<，即43lg 3lg n a <，则43lg 3lga n <，与已知43lg 3lga n ≥矛盾. （13分）所以假设不成立，原结论成立，即当43lg 3lga n ≥时，31<+n a . （14分）。
2020-2021年高二数学理科下学期期末考试试题(含解析)
第二学期期末统考试卷高二理科数学注意事项：（1）答卷前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的学校、姓名、班级、考点等信息填写清楚，并在规定位置贴好条形码。
（2）请将答案填写在答题卡相应位置上，否则作答无效，考试结束，只交答题卡。
（3）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知i 为虚数单位，z 41ii=+，则复数z 的虚部为（ ） A. ﹣2i B. 2iC. 2D. ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得22z i =+，即可得到复数的虚部，得到答案.【详解】由题意，复数()()()41422111i i i i z i i i ⋅-==+++-=，所以复数z 的虚部为2，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A. ﹣2B. 92-C. 2D.92【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，得到6340a ⨯+⨯=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直，则满足6340a ⨯+⨯=，解得2a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-u u u v u u u v(2,)n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.详解：因为0n a =满足211n n n a a a -+=，所以充分性不成立若数列{}n a 为等比数列，则11n n n na aa a +-=211 n n n a a a -+=，，即必要性成立. 选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4.设 ()f x n 是函数 () f x 的导函数，()y f x =n 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 ()n nA. B. C. D.【答案】C 【解析】由导函数()y f x =n 的图象可得当0x <或2x >时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 的增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，减区间为(0,2)。
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15．若 处连续，则f(0)=
16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响。有下列结论：
故恰有一个研究所研制成功的概率为 …………6分
（2）设至少需要n个乙这样的研究所，则有
的最小值=12
故至少需要乙这样的研究所12个。…………12分
18．解：由已知得： ，化简得：
解得：n=9，n=－6（舍）…………4分
（1）
令
故展开式的常数项为5376；…………8分
（2）若设第r+1项的系数最大，则有：
由①②可知， 对任意正整数n都成立。（12分）
22．解：因为
（1）令
或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；
（3分）
令
的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。（6分）
（2）令 （舍），由（1）知，f(x)连续，
因此可得：f(x)<m恒成立时，m>e2－2
（3）原题可转化为：方程a=(1+x)－ln(1+x)2在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根。
（3）若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围。
[参考答案]
一、选择题：每小题5分，共计60分。
BdC DdB B C C B Cc
二、填空题：每小题4分，共计16分。
13．2100 14．384 15． 16．①③
三、解答题：
17．解：（1）记“恰有一个研究所研制成功”为事件A，则
20．（本题满分12分）
已知函数
（1）当a=1时，求f(x)的极值；
（2）若存在 成立，求实数a的取值范围。
21．（本题满分12分）
已知正数数列
（1）求 ；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；
22．（本题满分14分）
设函数
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若当 时，不等式f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围；
19．（本题满分12分）
袋子中共有12个球，其中有5个黑球，4个白球，3个红球，从中任取2个球（假设取到每个球的可能性都相同）。已知每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分。用ξ表示任取2个球的得分的差的绝对值。
（1）求椭机变量ξ的分布列及ξ的数学期望Eξ；
（2）记“不等式 的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。
等于（ ）
A．恰有1只是坏的概率B．恰有2只是坏的概率
C．恰有4只是好的概率D．至多2只是坏的概率
4．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4
种颜色可供使用，则不同的染色的方法数为（ ）
A．24B．60C．48D．72
5．设 存在，则常数p的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．e
解得： ，
为系数最大项（12分）
19．解：（1）由已知可得ξ的取值为：0，1，2，
∴ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
2
P
∴ξ的数学期望为Eξ=0× +1× +2× =
（2）显然ξ=0时不等式成立；
若ξ≠0，则有：
20(1)m＞ ,(2)m=3
21．解：（1）
（2）猜想
证明：①当 成立
②假设
当
从而有
这说明当n=k+1时结论成立。
且2－ln4<3－ln9<1，∴ 的最大值是1， 的最小值是2－ln4。
所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：
2－ln4<a≤3－ln9（14分）
高二A部数学试题（5.22）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．复数 +2等于（ ）
A．2－2iB．－2iC．1－ID．2i
2．若 存在的一个充分不必要条件是（ ）
A．b>aB．b<aC．b<a<0D．0<b<a
3．抽屈中有10只外观一样的手表，其中有3只是坏的，现从抽屈中随机地抽取4只，那么
A．a=b+2B．a=b+1C．a=bD．a=b－1
12．设函数 时，有（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ共4小题，每小题4分，共16分。把答案填空写在题中的横张上。
13．儿童救助协会由10位女性委员与5为男性委员组成，协会将选取6位委员组团出国考察，如以性别作分层，并在各层依比例选取，则此考察团共有种组成方式。
6．环卫工人准备在路的一侧依次载种7棵树，现只有梧桐树和柳树可供选择，则相邻两棵
树不同为柳树的栽种方法有（ ）
A．21B．34C．33D．14
7．已知(5x－3)n的展开式中各项系数的和比 的展开式中各项系数的和多1023，
则n的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．设函数 的前n项和为
（ ）
（1）第二次击中目标的概率是0.8；
（2）恰好击中目标三次的概率是0.83×0.2；
（3）至少击中目标一次的概率是1－0.24；
其中正确的结论的序号是（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分12分）
为应对艾滋病对人类的威胁，现在甲、乙、丙三个研究所独立研制艾滋病疫苗，他们能够成功研制出疫苗的概率分别是 ，求：
（1）恰有一个研究所研制成功的概率；
（2）若想在到研制成功（即至少有一个研究所研制成功）的概率不低于 ，至少需要多少个乙这样的研究所？（参考数据：lg2=0.3010, lg3=0.4771）
18．（本题满分12分）
在 的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大27，求展开式中的常数项及系数最大的项。
A． B． C． D．
9．设ξ是离散型随机变量， 又已知
的值为（ ）
A． B． C．3D．
10．已知关于x的方程 ，其中a,b都可以从集合{1，2，3，4，5，6}中任意选取，则已知方程两根异号的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．设n是奇数， 的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（ ）