测量平差公式.pdf
测量误差与平差(1)
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
测量平差期末考试公式总结
测量平差期末复习资料1. 将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，形成的重力等位面，这个曲面称为大地水准面。
其特点是水准面上任意一点的铅垂线(重力作用线)都垂直于该点的曲面。
2. 6°带中央子午线经度N=Ｌ=6N-3, 3°带中央子午线经度Ｌ=3n 。
3. 高程系统:确定该点沿铅垂方向到某基准面的距离。
绝对高程（海拔）：指某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，用Ｈ表示。
相对高程：某点距假定水准面的铅垂距离。
高差：地面上两点间的高程之差。
4. 地形 ：a,地物:地面上固定性物体，如河流、房屋、道路、湖泊等； b.地貌:地面的高低起伏的形态，如山岭、谷地和陡崖等。
5. 线性代数补充知识1） 由n m ⨯个数有次序地排列成m 行n 列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示， 如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A212222111211 2)若m=n ，即行数与列数相同，称A 为方阵。
元素a11、a22……ann 称为对角元素。
3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O 表示。
4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。
如：)(00000022112211nn mn n m a a adiag a aa A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E 、I 表示。
6）若aij=aji ，则称A 为对称矩阵.矩阵的基本运算:1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： 2）具有相同行列数的两矩阵A 、B 相加减，其行列数与A 、B 相同，其元素等于A 、B 对应元素之和、差。
且具有可交换性与可结合性。
3）设A 为m*s 的矩阵，B 为s*n 的矩阵,则A 、B 相乘才有意义，C=AB ，C 的阶数为m*n 。
O A=A O =O ，IA=AI=A ，A （B+C ）=AB+AC ，ABC=A （BC ）矩阵的转置:对于任意矩阵Cmn:nn ⨯n n ⨯BA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m c c c c c c c c c C 212222111211将其行列互换，得到一个nm 阶矩阵，称为C 的转置。
第五章 测量误差及测量平差.
• §5.1 测量误差概述 • §5.2 衡量测量精度的指标 • §5.3 误差传播定律
• §5.4 等精度观测的直接平差
§5.1 测量误差概述
一、误差的现象及定义 二、误差来源 三、误差的分类
误差现象
A
距离多次丈量 三角形内角和
l1≠ l2≠ l3 , … ∠A+∠B+∠C≠180°
例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，
一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认
为两段距离观测结果的精度相同？
• 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入 相对误差的概念。
三、相对误差
相对误差K：中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为 1 的分式来表示，称其为相对 （中）误差。即:
lt l0 l (t t 0 )l0
思考： 水准仪—— i角
分析产生的主要原因：是仪器设备制造不完善。
水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角）
hAB
i ( S后 S前）
结论：i角误差与前后视距差成正比。
注意：系统误差具有积累性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法: （1）用计算的方法加以改正；
K m D 1 D m
一般情况，角度、高差的误差用 m表示，量距误 差用K表示。 与相对误差相对应，真误差、中误 差、容许误差称为绝对误差。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m,
m2=±0.01m，求： K1, K2
m1=±0.01m ， D2=200m,
解：
K1 m1 D1 0.01 1 100 10000
2 y
mZ m m
2 x
坐标平差闭合计算公式
坐标平差闭合计算公式一、坐标平差闭合差计算的基本概念。
1. 定义。
- 在测量工作中，由于观测值存在误差，使得由观测值计算得到的结果（如闭合导线的坐标计算）与理论值之间存在差异，这个差异就称为闭合差。
坐标平差闭合差计算是测量平差中的重要内容，其目的是通过一定的方法对观测值进行调整，使得调整后的结果满足理论上的几何关系。
2. 闭合导线坐标计算中的闭合差类型。
- 角度闭合差：对于闭合导线，其内角和理论值根据多边形内角和公式(n - 2)×180^∘（n为多边形边数）计算。
而实际观测的内角和与理论值之间的差值就是角度闭合差f_β，即f_β=∑limits_i = 1^nβ_i-(n - 2)×180^∘。
- 坐标增量闭合差。
- 在平面直角坐标系中，闭合导线各边坐标增量的代数和在理论上应该为零。
设Δ x_i和Δ y_i分别为第i边的纵、横坐标增量，对于闭合导线，∑limits_i =1^nΔ x_i=0，∑limits_i = 1^nΔ y_i=0。
但由于观测误差的存在，实际计算得到的坐标增量代数和∑limits_i = 1^nΔ x_i=f_x，∑limits_i = 1^nΔ y_i=f_y，f_x和f_y分别称为纵、横坐标增量闭合差。
- 坐标增量闭合差的大小反映了观测误差对坐标计算的影响程度。
根据坐标增量闭合差可以计算出导线全长闭合差f_D，f_D=√(f_x)^2+f_{y^2}。
- 为了衡量导线测量的精度，还需要计算导线全长相对闭合差K=frac{f_D}{∑limits_i = 1^nD_i}（其中∑limits_i = 1^nD_i为导线的总长度）。
二、坐标平差闭合差的调整原则和方法。
1. 角度闭合差的调整。
- 调整原则：将角度闭合差反号平均分配到各观测角中。
设角度闭合差为f_β，观测角个数为n，则每个角的改正数v_β=-frac{f_β}{n}。
- 调整后的角度计算：调整后的角度β_i'=β_i+v_β。
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
导线平差计算-有公式的
pl
12665801 ,6284.59
1.128985619
21573364
5
pl
,
3241.495
5849.632 3241.496 D04 -317.116 -121.738
pl
88570519 ,5849.63
3.451335266
20700136
7
pl
,
3119.758
5532.516 3119.758 D07 -151.079 158.247
D*cosα D*sinα
287.4434
G004 190.4928
0.0000
190.4928 298.3402
381.247 182.309 -334.833
H11
64.4110
0.0000
64.4110
183.1512
435.664 -434.962 -24.725
D04 197.4449
0.0000
D06 118.2511
0.0000 118.2511
D06 118.2511
0.0000
118.2511
36.5735
571.483 456.649 343.606
H15
70.4659
G004
0.0000
70.4659
287.4434
∑ 1439.5958
-0.0002
2981.092 -162.968 509.339
2.066814052
51139453
2
pl
,
pl
4110.362 ,5939.32
1.235397374
6
G004
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
GRP(轨道基准点)
第二站
后退3-5个点，重复继续下一站的测量
平面测量
CPIII观测四个测回，GRP点观测三个测回。CPIII观 测与GRP观测采用间隙式观测。测一次CPIII点和一次GRP点 为一个完整测回。 GRP点应由远及近单向观测，如图所示。
自由设站测量完成和精度满足要求后，CPⅢ控制点的坐标不符值 应满足表 4-5 的要求。
表 4-5 CPⅢ控制点坐标不符值限差
GRP采集各步骤测量精度要求
测量前自由设站的精度要求： X ≤1mm Y ≤1mm H ≤1mm 定向精度 ≤2″ 自由设站完成后的CPIII点的坐标不符值要求：
X Y ≤1.5mm ≤1.5mm
高程数据外业采集限差要求：
往、返测的单程水准测量闭合差公式： 式中： a -CPⅢ点高程控制点的允许偏差，其值为 0.5mm b -每公里水准测量的偶然中误差，其值为 2mm
fh =a+b× S
S -单程水准测量线路长度
平面测量
仪器设站在线路轴线之上，利用角度测量，使得横向误 差最小。半测回、多次重复测量、单向（后退）、搭接。 第一站
测回数 。
GRP点测设与平差
4、对各组内的点进行测量时，全站仪不用倒镜，视距方向
总和测量人员运动方向相反。
CPⅢ6-8 GRP11-16 CPⅢ6-8 GRP11-16
CPⅢ6-8
CPⅣ11-16
CPⅢ6-8
GRP点测设与平差
5、测量结束后将测量数据导入GRP平差软件进行平
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闭合导线坐标计算
闭合导线计算式根据外业观测的边长、夹角和方位角以及其中一个导线点的坐标，结合平差计算，来推算其余各导线点的坐标。
设对闭合导线n 个内角分别进行了观测，各个符号精度要求的观测值为
βi 测，并对闭合多边形的n 个边长分别进行了测量，各个符号精度要求的观测值为
L i ；其中一个导线点的坐标为x i y i ；确定其余各个导线点的坐标x x i 1+,y i 1+
1 角度闭合差的计算也调整
（1）实测角度闭合差的计算
闭合导线n 个实测内角的和
∑测β不等于其理论值（n-2）*180,其差称为角度闭合差以f β
表示：
︒−−=∑180*2）（测n f β
β
(2)实测角度闭合差检核 角度闭合差校核是将实测角度闭合差也同级导线角度闭合差的容许值f 容β，按各级导线测
量主要技术要求比较，以确定角度综合限差是否满足要求。
这里角度综合限差采用图根导线数据，即f 容β=40''n 。
（3）角度闭合差的调整 若f β≤f 容β
，则可以进行角度闭合的调整，否则，应分析情况重测。
角度闭合差的调整原则是，将f β以相反的符号平均分配到各个观测角中，即各点改正数为式 v β=
f β／n 计算时，根据角度的取位的要求，改正数可凑整到1″、6″、10″.若不能均分，一般情况下，因短边角引起的误差较大，因此给短边角的夹角多分配一点，使各角改正数的总和也反号的闭合差相等，即f v ββ−=∑
2、推算各边的坐标方位角
推算各边的坐标方位角目的是为了计算坐标增量。
推算方法根据起始方位角及改正后的
转折角，按式依次推算出各边的坐标方位角。
或
βαα右
−+=+1801i i 1801−+=+βαα左
i i 式中：
αi ----------第i 条边的正方位角 α
1−i ---------第i+1条的正方位角 ββ右左--------分别为第i-1条边与第i 条边间所夹的左右角。
在推算过程中，如果算出αi ＞360°，则应减去360°如果算出的αi ＜0°，则应加
上360°
为了发现推算过程中的差错，最后必须推算至起始边的坐标方位角，看其是否与已知值相等，以此作为计算校核。
3 坐标增量闭合差的计算和调整
（1）计算实测各边的坐标增量
设第i 条实测边的终、横坐标增量分别为 αi i i L X cos .=∆
测
αi i i L Y sin .=∆测
(2)确定理论纵、横坐标增量∑△Xi 理、∑△Yi 理
闭合导线的纵横坐标增量总和的理论值应为零，则有
∑△Xi 理=0
∑△Yi 理=0
(3)计算坐标增量闭合差fx.fy
由于测量误差，改正后的角度仍有残余误差，坐标增量总和的测量计算值∑△X 测与∑△Y 测一般都不为零，其值称为坐标增量闭合差，fx.fy 表示，则
fx=∑△Xi 测-∑△Xi 理=∑△Xi 测
fy=∑△Yi 测-∑△Yi 理=∑△Yi 测
（4）计算导线全长闭合差f 并检核全长相对闭合差K
因计算的闭合导线并不闭合，而存在一个缺口，这个缺口的长度称为导线闭合差f fy fx f 22+=
导线越长，全长闭合差也越大。
通常用相对闭合差来衡量导线测量的精度，导线的全长相对
闭合差按 K=∑L f =f L
l ∑
试中∑L 为导线边长的总和。
导线的全长相对闭合差应满足规定。
否则应先检查记录和全部业内作业计算，必要时到现场检查，重测部分或全部结果。
若K 值符合精度要求，则可将增量闭合差fx.fy 以相反符号。
按与边长成正比分配到各个增量中。
（5）计算各条边的改正数
v △xi.v △xi
任意一边分配的改正数v △xi.v △xi 按式
v
△xi=Li Li fx ∑ v △yi=
Li Li fy ∑ 改正数应按增量取位的要求凑整至cm 或mm ，并且必须使改正数的总和与反符号闭合差相等，即
f v
x x −=∑∆
f v x
y −=∑∆ （6）确定各个边长改正后的坐标增量-------坐标增量计算值（△Xi 算、△yi 算）又式
v X X
xi i i ∆+=∆∆测算 v Y Y
yi i i ∆+=∆∆测算 4、计算各个导线点的坐标X i+1. Y i+1. X X X
i i i ∆+=+算1 Y Y Y i i i ∆+=+算1
闭合导线坐标计算是按一定得次序在表中进行，如果导线未与高级控制点连接，则起算点的坐标可自行假设。
为了检查坐标推算中的差错，最后还应推回到起算的坐标，看其是否和已知值相等，以此作为计算校核。