导数定义
函数导数的定义
函数导数的定义
函数导数的定义（Derivative），也叫导函数值。
又名，是中的重要
基础概念。
当函数y=f（x）的x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数
输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的函数导数的定义，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
函数导数的定义是函数的局部性质。
一个函数在某一点的函数导数的
定义描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都
是实数的话，函数在某一点的函数导数的定义就是该函数所代表的曲线在
这一点上的。
函数导数的定义的本质是通过极限的概念对函数进行局部的
线性逼近。
例如在中，物体的对于时间的函数导数的定义就是物体的。
不是所有的函数都有函数导数的定义，一个函数也不一定在所有的点
上都有函数导数的定义。
若某函数在某一点函数导数的定义存在，则称其
在这一点，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定；不连续的函数一定
不可导。
说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它
们都是微积分学中最为基础的概念。
导数的概念、求导法则
链式法则可以用于求复合函数的导数，特别是当函数包含多个嵌 套函数时。
乘积法则
乘积法则
$(uv)' = u'v + uv'$
应用
乘积法则可以用于求两个函数的乘积的导数，例如$y = u(x)v(x)$的导数可以通 过乘积法则求得。
商的求导法则
商的求导法则
$(u/v)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
导数的概念、求导法则
目
CONTENCT
录
• 导数的概念 • 求导法则 • 导数的应用 • 导数与积分的关系
01
导数的概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的 斜率，表示函数在该点附近的小变化 量与自变量变化量之比，即函数在一 点的变化率。
导数表示的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在该点的 切线斜率。
详细描述
对于可导函数，其导数在几何上表示 该函数图像在某一点的切线斜率。这 个切线的斜率反映了函数值在该点的 变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数在物理中常用于描述物体的运动状态、速度、加速度等 。
详细描述
在物理中，导数常用于描述物体的运动状态，如速度和加速 度。例如，物体的瞬时速度可以通过位移函数的导数来描述 ，瞬时加速度可以通过速度函数的导数来描述。
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感谢聆听
应用
商的求导法则可以用于求两个函数的商的导数，例如$y = u(x)/v(x)$的导数可以 通过商的求导法则求得。
03
导数的应用
切线斜率
导数的三种定义形式
导数的三种定义形式
导数的三种定义形式包括：
1.导数（函数的变化率）定义为函数在某一点处的瞬时变化率，即函数在该
点的切线斜率。
这个定义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。
2.导数定义为函数对于自变量的导数，即函数在某一点处的变化率。
这个定
义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。
3.导数定义为函数的极限，即当自变量趋近于某一点时，函数的变化率趋近
于一个极限值。
这个定义涉及到极限的概念，需要一定的数学基础才能理解。
这三种定义形式实际上是等价的，只是从不同的角度来描述导数的性质。
在实际应用中，可以根据需要选择不同的定义形式来解决问题。
高等数学导数的定义
高等数学导数的定义
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的定义与运算
导数的定义与运算1.导数的定义: 函数()y f x =在0x 处的瞬时变化率0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. 如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y =f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作0()f x '或0x x y ='即 0()f x '=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00.（2）函数在区间内可导: 如果函数f （x ）在开区间（a ,b ）内每一点都可导，就说 f （x ）在开区间（a ,b ）内可导。
这时对于开区间（a ,b ）内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数0()f x ',这样就在开区间（a ,b ）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数，记作()f x ',即()f x '=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.（3）用定义求函数的导数的步骤：a.求函数的变化量Δy ；b.求平均变化率xy ∆∆.c.取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x x y ∆∆.2.几种基本初等函数的导数⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x c o s )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸x xx 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹221(cot )'csc sin x x x -==-；⑺x x e e =)'(； ⑻a a a xx ln )'(=；⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．3.导数的四则运算法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += )()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=4.复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数之间的关系是x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
《导数定义》课件
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
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【本讲教育信息】一. 教学内容：
导数定义；求导公式；切线
二. 重点、难点：
1. 定义：
初导函数的导数公式2.
）∴（1）∴（2
∴（3 ）
）（4∴且（）（5
∴）
（6 ）∴3. 导数运算）（1
2）（3）（
【典型例题】
利用导数的定义求函数1] 处的导数值。
[的导数，例并求该函数在
∵解：从而，因此∴
处可导，且x=a x2] 例，求下列极限：已知f（）在[
（1）2（）
）解：（1
）（2
3] 求下列函数的导数。
[例）（1解：
∴）2（解：
）（3解：
（4）解：
5）（解：6）（解：
，求）。
；（满足（4] 例[已知函数1）2
解：
求曲线在点P（2例5] ，4）处的切线方程。
[时，4 ）在解：P上，（，2，∴
在点A曲线处切线的斜率为15，求切线方程。
[例6]
∴）解：设切点A （：∴∴∴
）且与曲线相切的直线方程。
2，0[例7] 过点P（A（）解：P不在曲线上，设切
点：∴
∴∴：
[例8] 交点处两条切线的夹角正切值。
求曲线与
1），解：交点（1∴
）与曲线2，－相切的切线方程。
9] 求过P（2[ 例）（设切点解：A
∴：
：∴∴．：或
：的公切线（均相切的直线）10] C求曲线：C[例曲线，12
（A、C解：切于公切线与）BC（）21
∴
∴为同一条直线或
两公切线：∴，
且，已知且[例11]。
，求且解：∴∴∴∴）（（∴3）4
∴∴
【模拟试题】
的增量（） 1. 在导数的定义中，自变量x 0D. 不等于0 C. 等于0 小于 A. 大于0 B.
）及邻近一点（，的图象上取一点（2. 1在曲线2），则为（）
C.
A.
B.
D.
，那么为（t一直线运动的物体，从时间时，物体的位移为到）3.
到时，物体的平均速度从时间t A.
t时该物体的瞬时速度时间B.
C. 当时间为时该物体的速度时位移的平均变化率到t从时间
D. 已知一物体的运动方程是（其中位移单位：m，时间单位：s4. ），那么该物体在3s时的瞬时速度是（） D. 8m/sA. 5m/s B. 6m/s C. 7m/s
函数的导数是（）5.
D. 5+4xC. 5－2x A. 5+2x B. 5－4x
，若，则已知的值等于（） 6.
B.
D. A. C.
（，则7. 若） D. A. B.
C.
（）的切线的倾斜角是（）抛物线上点M8.
° D. 90° C. 60° A. 30° B. 45年浙江）函数的图象与直线y=x
相切，则a=（9.（05） C.
B. A. D. 1，则等于10. 若。
在点P（211. 抛物线，1）处的切线方程是。
已知曲线，则过点P（2，12. 4）的切线方程是。
，且与曲线相切的直线的方程是垂直于直线。
13. 14.（1）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：，求时，此球在垂直方向的瞬时速度。
）之间的函数关系为s （2）质点P在半径为10cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上射影点M的速度。
和都经过点P（1，215. ），且在点已知两曲线P处有公切c的值。
线，试求a，b，，（2已知曲线，及该曲线上的一点A），（1）用导数的定义求点A处16.
的切线的斜率；（2 ）求点A处的切线方程。
运动物体在曲线）处的切线方程；（2在点（1，1）17.（1）求曲线上运动，求物体在t=3s时的速度。
（位移单位：
m，时间单位：s）
）在曲线上，求曲线上，点P）（（18. 设函数的点P处的切线与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形面积的表达式（用x表示）0
【试题答案】
1. D
2. C
3. B
4. A
5. C
6. B
7. D
8. B
9. B 10. 1.5
13.
12. 11.
）=8米/秒，即球在垂直方向的瞬时速度为8米/秒。
14. 解：1（s=10sin1t=10sint轴上射影长为y在P时，点t经过）∵2（的速度为轴上射影点M 点P在y∴
，2上，∴）在曲线15. 解：因为点P（1
和和的导数分别为函数，且在点
又由得得，，，P处有公切线，∴
1）∵16. 解：（
处的切线的斜率为点A∴处的切线方程，化简得（2）点A1）∵17. 解：（）处的切线斜率，1 ，即曲线在点（∴1在（1，1因此曲线）处的切线方程为y=1 2）∵（时的速度为t=3s ，即运动物体在∴
解：当时，18. ，
曲线P在点（）处的切线方程为：∴
即
∴切线与x轴、，y轴正半轴的交点坐标分别为故所求三角面积的表达式为：。