《泰勒公式》PPT课件

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第三节泰勒公式39页PPT

Q
(n n

1
)
(
)

f (n1) ( )
(n 1) !
(在x0与x之间 )
Pn(n1)(x)0,Rn(n1)(x) f(n1)(x)
Rn(x)f(n(n 1)1()!)(xx0)n1
Qn(n1)(x)(n1)!
(在x0与x之间 )
证毕！
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p8(x)比 p2(x)在更大的范围内更接近余弦函数.
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(1) 若f(x)在x0连续 , 则有 xl im x0 f(x)f(x0) 由极限和无穷小量间的关系
f(x)f(x0)
f(x)f(x0)
用常数代替函数误差太大
(2) 若f(x)在x0可导 , 由微分有
f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x
余项公式
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1
① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
②
（
.
在
x
0与x
之间）
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
证明: Pn(x) R n(x)f(x)P n(x)
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余其项中f ( ：x R ) n (x Pf n)(( xx ) 0 f() n ( n 1f )1( )( x )!0 () x x f x( (0x n )n 0 )n) ( !1 x0f)②(2(（x !x0 )(x 在x0)xn x0与0)R2 xn之(x间①) ）
f(x)coxs
p1(x)
y1
y=1
令：p8(0)f(0),求出a0 1
p8 (0)f(0) a1 0

考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件

即，泰勒公式是一阶微分近似式和拉氏公式的推广
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度越
2.若有相同的切线
来越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注意到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!

3-4泰勒公式09[1].10.29

α
的近似值 , 要求精确到小数点后的
2!
x2 1 = 6(1 + x − + R2( x)), 8 2
R 其中 2( x) =
5 − (1 +θ x) 2
16
x3 (0 < θ < 1).
1 其误差为来计算，取x = ( x0 = 0)来计算， 36
1 1 1 6 R2( ) < 6⋅ ⋅ 3 < 0.5×10−5, 16 36 36
f (−1) = −1,
f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
⋯, f (n)(−1) = −n!.
因此
f ( x) = −1− ( x + 1) − ( x + 1)2 −⋯− ( x + 1)n + Rn( x),
R 其中 n( x) =
(−1)n+1
ξ
n+2
. ( x + 1)n+1, ξ在− 1与x之间
pn(x) f (n)( x0 ) n n ( x − x0 ) + o((x − x0) ), + n!
只需证
f ( x) − pn( x) lim = 0. n x→x0 ( x − x0 )
令 Rn( x) = f ( x) − pn( x)(称为余项 , 称为余项称为余项) 只需证
Rn( x) lim = 0. n x→x0 ( x − x0 )
x
f ′′(0) 2 f (n)(0) n ∴e = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x + Rn( x) 2! n! x2 x3 xn = 1 + x+ + + ⋯+ + Rn(x) 2! 3! n!

泰勒公式ppt课件精选全文完整版

令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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10
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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16
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2

高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件

Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!

第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开PPT课件

利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质，以求得目标函数的展开式。
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解： cos z eiz eiz 2
又，
eiz (iz)n , eiz (iz)n
n0 n!
n0 n!
故
cos z
1 2
(iz)n
n0
n!
(iz)n n!
+
f (z) =
f (n)(a) (z a)n
n0 n!
证明：B(a, d )表示以a为圆心，d为半径的圆，B(a, d ) D. 对z B(a, d )，取r 使得 z - a r d，显然有， f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
1 关于一致收敛
=======
n0 2 i
Kr
(
f ( )
a)n1
(z
a)n d
=
n0
1
2
i
Kr
(
f ( )
a)n1
d
( z
a)n
=
f (n)(a)(z a)n
n0 n!
证毕
上式右端的级数称为f (z)在点a 的Taylor级数，或
Taylor展开式。cn
f (n) (a) 称为Taylor系数。 n!
+
f (x) =
f (n)(a) ( x a)n
n0 n!
在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式
的收敛区间。
注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛散情况。
几个基本的展开式:
(1) e x xn 1 x x2 x3

方向导数梯度和泰勒公式课件

方向导数的计算
计算步骤
计算方向导数需要先确定函数在某点的梯度向量，然后选择一个方向向量，最后计算两者点积。具体来说，方向导数的计算公式为：方向导数 = 梯度向量 × 方向向量
常见方法
常见的计算方向导数的方法有解析法、数值法和几何法。解析法适用于数学分析中的连续可微函数，数值法适用于离散数据，而几何法则适用于各种情况。
对于一个复杂的函数，可以使用泰勒公式的前几项来近似其在某一段区间内的曲线。
04
方向导数、梯度和泰勒公式的联系与区别
联系
方向导数是函数在某一点的切线斜率，可以理解为函数在某一点的“变化率”。
梯度是方向导数的最大值，可以理解为函数在某一点的“变化最快”的方向。
泰勒公式是利用多项式来近似表示函数，而多项式的系数就是根据方向导数或者梯度来得到的。
梯度的几何意义
梯度是一个向量，其方向为函数在该点的等高线最密集的方向，其大小等于函数在该点的等高线的最大变化率。
在二维平面上，梯度向量的方向可以理解为函数在该点的斜率，其大小可以理解为函数在该点的曲率。
03
泰勒公式
定义与性质
泰勒定义
泰勒公式是一个用多项式逼近函数的方法，它可以将一个函数表示为无穷级数。
、极值点等问题。
微分学
03
泰勒公式是微分学中的基本工具，它可以用于求解函数的导数
、高阶导数等。
泰勒公式的几何意义
切线近似
在某一点处，泰勒公式的前几项可以近似函数的切线，从而可以估计函数在这一点附近的走势。
极值点近似
泰勒公式的前几项可以近似函数的极值点，从而可以估计函数在这一点附近的极值情况。
曲线近似
区别
方地涉及到函数在整个定义域内的性质。

高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt

当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式

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Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1) !
x0 )n1
( 在 x0 与 x 之间)
②
公式 ① 称为 f ( x )的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
二、泰勒定理
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0 )
f
(x) f (x)
f(
x0 ) f (0)
f
( f
x0 )( x (0) x
fx0()0)
f ( x0 ) (
x22!
x
xf 0(n))2(0) x n
f(
n)( x0 ) on( !x n )
注意到 Rn ( x ) o[( x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o[(
x
x0 )n ]
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
二、泰勒定理
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f ( x) f (0) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) ( x) x n1
(n 1) !
称为麦克劳林(Maclaurin )公式 .
若不考虑误差，也可写成
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1) !
x0 )n1
( 在 x0 与 x 之间)
二、泰勒定理
证：
Rn(x) f (x) Pn(x)
对函数Rn ( x)和( x x0 )n1, 在以x和x0为端点
的区间上应用柯西中值定理，得
Rn( x) ( x x0 )n1
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
特例:
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
若在公式成立的区间上 f (n1) ( x ) M ,则有误差估计式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x在
x
附
0
近
P1( x)
如，当 | x |很小时，ex 1 x
不足: 1、精确度不高；
y ex y ex
2、误差不能估计.
y 1 x
o
一、问题的提出
问题: 对于函数f ( x)，找一个多项式函数
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
f (x)
在 x 0附近
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析用多项式近似表示函数 — 应用
近似计算一、问题的提出
二、泰勒定理三、几个初等函数的麦克劳林公式
四、定理的应用
五、内容小结
一、问题的提出
f ( x)在 x0处可导，则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )
在
x
附
0
近
满
足
：
f
(
x)
Pn
(
x)
1、 f ( x ) Pn ( x )是比( x x0 )n高阶的无穷小；
2、给出f ( x) Pn ( x)的表达式.
一、问题的提出
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
(x
Rn( x) Rn ( x0 ) x0 )n1 ( x0 x0 )n1
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n1
(n
Rn (1 ) 1)(1
Rn ( x0 ) x0 )n1
0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
1在x与x0之间 2在1与x0之间
R(n1) n
(
)
f
( n
n1)
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
a0 f ( x0 )
a1 f ( x0 )
a2
f ( x0 ) 2!
,
an
f (n)( x0 ) n!
Pn ( x) f ( x0 ) f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
?
f
(
x0
f )
(
x )在 Pn (
x0 x0 )
处
可导 2!a2
，
则有
,
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0
f
)
(n)
(
xx0在) x0附Pn(近n) (
x0
)
n!an
P1( x)
一、问题的提出
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n