高斯消元法(含MATLAB编程)
matlab高斯-约旦消去法
matlab高斯-约旦消去法
高斯-约旦消去法是一种线性代数中的消元法，常用于求解线性方程组。
该方法通过矩阵的初等变换将方程组转化为阶梯型矩阵，从而求解出未知数的值。
具体步骤如下：
设有n个未知数，m个方程，方程组的系数矩阵为A，右端常数为b。
1. 将系数矩阵A和右端常数b组合成增广矩阵Ab。
2. 从第一行开始，将该行的第一个非零元素（称为主元）作为消元元素，用该元素将下面所有行的对应列元素消为零。
3. 重复以上步骤，依次将每一行的主元素作为消元元素，直到将整个矩阵消成阶梯型矩阵。
4. 倒序回代，求出每个未知数的值。
以上就是高斯-约旦消去法的主要步骤。
在实际应用中，需要注意判断矩阵是否可逆，以及主元素是否为零等情况，以保证求解的正确性。
高斯消去法matlab程序
数学的上机实验报告
实验题目：线性代数求解方程组一、实验目的1. 理解线性代数中方程组的求解方法。
2. 掌握利用计算机求解线性方程组的算法。
3. 熟悉数学软件（如MATLAB、Python等）在数学问题中的应用。
二、实验内容本次实验主要利用数学软件求解线性方程组。
线性方程组是线性代数中的一个基本问题，其求解方法有很多种，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
本实验以高斯消元法为例，利用MATLAB软件求解线性方程组。
三、实验步骤1. 编写高斯消元法算法程序。
2. 输入方程组的系数矩阵和常数项。
3. 调用程序求解方程组。
4. 输出解向量。
四、实验代码及分析1. 高斯消元法算法程序```matlabfunction x = gaussElimination(A, b)[n, m] = size(A);assert(n == m, 'The matrix A must be square.');assert(n == length(b), 'The length of b must be equal to the number of rows in A.');% 初始化解向量x = zeros(n, 1);% 高斯消元for i = 1:n-1% 寻找最大元素[~, maxIdx] = max(abs(A(i:n, i)));maxIdx = maxIdx + i - 1;% 交换行A([i, maxIdx], :) = A([maxIdx, i], :);b([i, maxIdx]) = b([maxIdx, i]);% 消元for j = i+1:nfactor = A(j, i) / A(i, i);A(j, i:n) = A(j, i:n) - factor A(i, i:n); b(j) = b(j) - factor b(i);endend% 回代求解for i = n:-1:1x(i) = (b(i) - A(i, i+1:n) x(i+1:n)) / A(i, i); endend```2. 输入方程组的系数矩阵和常数项```matlabA = [2, 1, -1; 1, 2, 1; -1, 1, 2];b = [8; 5; 2];```3. 调用程序求解方程组```matlabx = gaussElimination(A, b);```4. 输出解向量```matlabdisp('解向量为：');disp(x);```五、实验结果与分析实验结果：```解向量为：2-13```实验分析：通过高斯消元法，我们成功求解了给定的线性方程组。
matalab怎么用高斯消去法解方程组
matalab怎么用高斯消去法解方程组高斯消去法（Gaussian Elimination）是一种解线性方程组的常用方法，其中包括了高斯消元和回代两个步骤。
通过高斯消去法，我们可以将一个线性方程组转化为简化的上三角矩阵，从而简化求解过程。
要使用高斯消去法解决线性方程组，首先需要将方程组写成矩阵形式。
假设有一个n个方程和n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax = b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知数向量，b是一个n×1的常数向量。
下面我们将详细介绍高斯消去法的步骤：步骤1：将系数矩阵A和常数向量b合并为增广矩阵[Ab]，即在A的右边添加一个列向量b。
步骤2：选取主元素（pivot），通常选择第一行的首个非零元素作为主元素。
如果第一行的首个元素为零，则选择下一行的首个非零元素。
步骤3：将主元素所在的行交换到第一行，以确保主元素位于第一行。
步骤4：除以主元素，使主元素变为1。
这可以通过将主元素所在的行除以主元素的值来实现。
步骤5：用第一行的主元素消去其它行。
对于第i行，将其乘以第一行的主元素的负倒数，并加到第一行上。
步骤6：重复步骤2至步骤5，直到最后一行或最后一列为零。
如果最后一行或最后一列为零，则说明方程组无解或有无穷多解。
步骤7：回代。
从最后一行开始，将求得的解代入每一行的方程中，依次求解未知数。
下面我们将通过一个具体的例子来说明高斯消去法的过程。
假设有以下线性方程组：2x + y - z = 8-3x - y + 2z = -11-2x + y + 2z = -3我们首先将方程组转化为增广矩阵形式：[2 1 -1 | 8][-3 -1 2 | -11][-2 1 2 | -3]首先我们选择第一行的主元素，即第一行第一个非零元素2。
然后将第一行与第二行交换，使主元素位于第一行：[-3 -1 2 | -11][2 1 -1 | 8][-2 1 2 | -3]接下来我们将主元素化为1，即将第一行除以-3：[1 1/3 -2/3 | 11/3][2 1 -1 | 8][-2 1 2 | -3]然后用第一行的主元素消去第二行和第三行：[1 1/3 -2/3 | 11/3][0 1/3 1/3 | 2/3][0 5/3 4/3 | 2/3]此时我们得到了上三角矩阵形式的增广矩阵。
gauss列主元素消去法matlab
高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。
在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。
一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。
这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。
在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。
通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。
二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。
该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。
通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。
除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。
通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。
三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。
通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。
然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。
在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。
四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。
通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
数值分析实验报告高斯消元法和列主消元法
《计算方法》实验指导书 实验三、高斯消元法和列主消元法一、实验目的：1. 通过matlab 编程解决高斯消元发和列主消元发来解方程组的问题， 加强编程能力和编程技巧，要熟练应用matlab 程序来解题，练习从数值分析的角度看问题进而来解决问题。
更深一步体会这门课的重要性，练习动手能力，同时要加深对数值问题的理解，要熟悉matlab 编程环境。
二、实验要求：用matlab 编写代码并运行高斯消元法和列主消元发来解下面的方程组的问题，并算出结果。
三、实验内容:用高斯消元法和列主消元法来解题。
1.实验题目：用高斯消元法和列主消元法来解下列线性方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−−−=+−−=+−−=−+−.142,16422,0,13143214321432432x x x x x x x x x x x x x x x 2.实验原理高斯消元法：就是把方程组变成上三角型或下三角形的解法。
上三角形是从下往上求解，下三角形是从上向下求解，进而求得结果。
而列主消元法是和高斯消元法相类似，只不过是在开始的时候找出x1的系数的最大值放在方程组的第一行，再化三角形再求解。
3.设计思想高斯消元法：先把方程组的第一行保留，再利用第一行的方程将其余几行的含有x1的项都消去，再保留第二行，同理利用第二行的方程把第二行以下的几行的含有x2项的都消去，以此类推。
直到最后一行只含有一个未知数，化为上三角形，求得最后一行的这个未知数的值，再回带到倒数第二个方程求出另一个解，再依次往上回带即可求出这个方程组的值。
而列主消元法与高斯消元法类似，只不过在最开始时找出x1项系数的最大值与第一行交换再进行与高斯算法相似的运算来求出方程组的解。
4.源代码高斯消元法的程序：f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000.列主消元发的程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000实验体会：通过这次实验我了解了高斯消元法和列主消元方法的基本思想，虽然这两个程序的编写是有点困难的，但运行起来还是比较容易的，解决了不少实际问题的计算。
gauss消去法matlab
gauss消去法matlabGauss消去法是一种常用的线性方程组求解方法，它可以通过消元和回代的方式，将一个复杂的线性方程组转化为一个简化的三角形方程组，从而得到方程组的解。
在MATLAB中，我们可以使用高斯消去法函数来求解线性方程组。
我们需要明确线性方程组的形式。
一个典型的线性方程组可以表示为：Ax = b其中，A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知向量，b是一个n×1的常数向量。
接下来，我们可以使用MATLAB中的高斯消去法函数来求解线性方程组。
在MATLAB中，我们可以使用“[L,U,P] = lu(A)”函数来进行高斯消去法的分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，P 是置换矩阵。
通过高斯消元法的分解，我们可以得到三角形方程组：L(Ux) = b然后，我们可以使用“y = L\b”函数来求解下三角方程Ly = b，再使用“x = U\y”函数来求解上三角方程Ux = y。
最终，我们可以得到线性方程组的解x。
除了使用MATLAB中的高斯消去法函数，我们还可以手动实现高斯消去法。
首先，我们可以通过消元操作将系数矩阵A转化为上三角矩阵U。
消元操作的基本步骤如下：1.选择主元：选择第一列中绝对值最大的元素作为主元，并将其所在的行交换到第一行。
2.消元操作：对于第一行以下的每一行，将其第一列元素消为0。
具体操作是，将第一行乘以一个适当的倍数，然后从当前行中减去第一行的倍数。
3.重复以上步骤，直到所有的主元都不为0或者所有的行都消元结束。
接下来，我们可以使用回代操作将上三角矩阵U转化为解向量x。
回代操作的基本步骤如下：1.确定最后一个未知量：将最后一行的最后一个元素设为1。
2.回代计算：从最后一行开始，依次计算每个未知量的值。
具体操作是，将当前行的右侧元素减去已知的未知量的倍数，然后除以当前行对角线上的系数。
通过手动实现高斯消去法，我们可以更好地理解高斯消去法的原理和过程。
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1.用高斯消元法求解下列方程组 1.用高斯消元法求解下列方程组 Ax = b.
4 1 1 −1 1 3 (1) A = 1 2 −2 b = 0 ;(2) 2 −2 1 1 1 1 3 2 1 1 4 3 2 1 b = 3 4 3 −1 2 3 4 −1
4. 用直接 分解方法求 题中两个矩阵的 分 用直接LU分解方法求 题中两个矩阵的LU分 分解方法求1题中两个矩阵的 解，并求解此二方程组。 并求解此二方程组。
1 1 −1 1 0 0 1 1 −1 (1) 1 2 −2 = 1 1 0 * 0 1 −1 −2 1 1 −2 3 1 0 0 2 ' Ly = b ⇒ y = (1, −1,6) Ux = y ⇒ x = (2,2,3)
6．用追赶法解三对角方程组 Ax = b
2 −1 0 0 0 1 −1 2 −1 0 0 0 A = 0 − 1 2 − 1 0 , b = 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 −1 2 0
1 0
1 1
-1 -1 -1 -1 -1 2
1 -1 3 1 -1 6
第2次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵 0 3 1 1 0 1 0 0 回代求解 x = (2,2 ,3 )’
(2) 输入增广矩阵 A=[4 3 2 1 1;3 4 3 2 1;2 3 4 3 -1;1 2 3 4 -1] 第1次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵 4 0 0 0 3 7/4 3/2 5/4 2 3/2 3 2 1 5/4 5/2 15/4 1 1/4 -3/2 -5/4
bij = Aji A = 0, i < j ,
且有
aii = 1时, bii = Aii
A = 1.
(2)单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。 (2)单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。 单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵 证明： 证明：aij = 0, bij = 0, i < j , cij = 考查 aik bkj : 当 k < j时, bkj = 0, k ≥ j时, i < k , aik = 0,
用MATLAB编写列主元消元法程序如下： MATLAB编写列主元消元法程序如下： 编写列主元消元法程序如下 clear format rat
[m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp);
第2次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵
4 0 0 0
3 7/4 0 0
2 3/2 12/7 10/7
1 5/4 10/7 20/7
1 1/4 -12/7 -10/7
第3次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵 4 0 0 0 3 7/4 0 0 2 3/2 12/7 0 1 5/4 10/7 5/3 1 1/4 -12/7 0
(1)输入增广矩阵A=[(1)输入增广矩阵A=[-3 2 6 4;10 -7 0 7;5 -1 5 输入增广矩阵A=[ 6] 第1次选列主元后的增广矩阵 次选列主元后的增广矩阵 10 -3 -7 2 6 0 4 6 7 61/10 5/2 7
第1次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵 5 -1 5 10 -7 0 0 0 -1/10 5/2 6 5
第2次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵
1 −6 −5 6 6 0 −11/ 3 4 13/ 3 −11 0 0 75 /11 62 /11 −9 0 0 24 /11 37 /11 −6
第3次选列主元后的增广矩阵 次选列主元后的增广矩阵
1 −6 −5 6 6 0 −11/ 3 4 13/ 3 −11 0 0 75 /11 62 /11 −9 0 24 /11 37 /11 −6 0
(0， 回代求解 x = (0，1，-1 ,0 )’ 2.用列主元消元法求解下列方程组 2.用列主元消元法求解下列方程组 Ax = b.
0 2 0 1 0 −3 2 6 4 2 2 3 2 −2 b = (1) A = 10 −7 0 b = 7 ;(2) 4 −3 0 1 −7 5 −1 5 6 6 1 −6 −5 6
'
3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3/4 4 3 2 1 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 → (2)[ A: b] = 1/2 3 4 3 −1 1/2 6/7 4 3 −1 4 −1 1/4 2 3 4 −1 1/4 5/7 3 3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 → → , 1/2 6/7 12/7 10/7 -12/7 1/2 6/7 12/7 10/7 -12/7 −1 1/4 5/7 5/6 5/3 0 1/4 5/7 5/6 4 2 1 1 4 3 3/ 4 1 7 / 4 3/ 2 5 / 4 ,U = L= 1/ 2 6 / 7 1 12 / 7 10 / 7 1 5/ 3 1/ 4 5/ 7
用MATLAB编写高斯消元法程序如下： MATLAB编写高斯消元法程序如下： 编写高斯消元法程序如下 clear format rat
[m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end
%回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x (1)输入增广矩阵A=[1 0;(1)输入增广矩阵A=[1 1 -1 1;1 2 -2 0;-2 1 1 1] 输入增广矩阵 第1次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵
disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x
第1次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵
1 −6 −5 6 6 0 5/ 3 5 11/ 3 −4 0 −11/ 3 4 13/ 3 −11 2 0 1 0 0
第2次选列主元后的增广矩阵 次选列主元后的增广矩阵
1 −6 −5 6 6 0 −11/ 3 4 13/ 3 −11 0 5/ 3 5 11/ 3 −4 2 0 1 0 0
第2次选列主元后的增广矩阵 次选列主元后的增广矩阵 10 -7 0 0 0 5/2 -1/10 5 6
7 5/2 61/10
第2次消元后的增广矩阵 次消元后的增广矩阵 10 0 0 -7 5/2 0 0 5 31/5 7 5/2 31/5
(1/4503599627370496 1/4503599627370496, 回代求解 x = (1/4503599627370496,-1 ,1 )’
7．证明： 证明： (1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵 单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵。 (1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵。 A
−1
证明：对下三角阵有 aij 证明：
= 0, i < j , aij 的代数余
必然也是下三角阵， 子矩阵 Aji 必然也是下三角阵，且有
Aji = 0, i < j 故 A−1 的对应元素
2 1 -1/2 − 3/2 1 -2/3 1 , U= L= -1 4/3 1 -3/4 1 -4/5 -1 5/4 1 -1 6/5
解:Ly = b, 得:y =(1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, 1 / 5, 1 / 6) 解:Ux = y , 得:x =(5 / 6, 2 / 3, 1 / 2, 1 / 3, 1 / 6)
∑a
k =1
n
ik kj
b ,
都有 aik bkj = 0,∴ cij = 0, i < j
且
i = j , cii =
∑a
k =1
n
ik
bki = a ii bii = 1
− 8．由 L = L1 1 L−1 L L−11 ，(见(2.21)式)，证明: (2.21)式 证明: 2 n−
1 l21 1 l l32 31 L= M M M M l n1 ln 2
(2) 输入增广矩阵 A=[0 2 0 1 0;2 2 3 2 -2;4 -3 0 1 -7;6 1 -6 -5 6] 第1次选列主元后的增广矩阵 次选列主元后的增广矩阵
6 1 −6 −5 6 2 2 3 2 −2 4 −3 0 1 −7 0 2 0 1 0