2018高三各地优质文科二模试题分项汇编11：数学文化(含解析)
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】..专题十一 数学文化..一、选择题..1．【2018广东惠州高三4月模拟】如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ..A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.8. 【答案】B【解析】2．【2018河北保定高三一模】2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）【答案】A【解析】设直角三角形中较小的直角边长为a ，则()22263842106sin ,cos ,105105a a a θθ++=∴=∴==== sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131********cos cos cos 22255θθθθθ+-=+=⨯+=选A.3．【2018河北石家庄高三一模】南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即： 222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里 【答案】C4．【2018湖南益阳高三四月调研】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（）A. 无限大B.C. D. 可以取【答案】B5．【2018宁夏石嘴山高三一模】《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意设每天多织尺,依题意得,解得.故选B.6．【2018青海西宁高三一模】我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中，等差数列的通项公式为（）A.1766n-+（*,5n N n∈≤） B.1362n+（*,5n N n∈≤）C. 1766n+（*,5n N n∈≤） D.1362n-+，（*,5n N n∈≤）【答案】D7．【2018衡水金卷高三模拟三】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于20里（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C【解析】 由题意，记每天走的路程为{}n a 是公比为12的等比数列， 又由616112378112a S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，解得1192a =，所以111922n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 则34451119224,1921222a a ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即从第5天开始，走的路程少于20里，故选C.8．【2018山东、湖北高三冲刺模拟】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”。
其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？ A. 1170升 B. 1380升 C. 3090升 D. 3300升 【答案】D【解析】设第n 天派出的人数为n a ，则{}n a 是以64为首项、7为公差的等差数列，则第n 天 修筑堤坝的人数为()1216472n n n n S a a a n -=+++=+⨯，所以前5天共分发的大米数为()()()123453312345641361073300S S S S S ⎡⎤++++=++++⨯++++⨯=⎣⎦.9．【2018衡水金卷高三模拟四】《九章算术》是我国古代数学名著，其中有一道题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”其意思是说：今有蒲草第1日长高3尺，莞草第1日长高1尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，而莞草从第2日起每日长高是前一日的2倍，问多少天蒲草、莞草的高度相等？现将问题改为：经过多少天蒲草与莞草的高度比为332（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C10．【2018江西高三质监】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”.设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（ ） A. 6斤 B. 10斤 C. 12斤 D. 15斤 【答案】D【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}n a ，设公差为d ，则155224{51542a S a =+=⨯==，， 故选：D.11．【2018海南高三联考二】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（ ） A. 81盏 B. 112盏 C. 114盏 D. 162盏【解析】由题可知，灯数自上而下成公比为3的等差数列，即数列{}n a ，由()511324213a -=-，得12a =.所以4523162a =⨯=. 故选D.12．【2018安徽合肥高三质检二】中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤 【答案】B13．【2018湖北荆州高三质检三】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ）A. B. C. D. 1 【答案】C【解析】设球半径为，则，故．由题意得三棱柱的底面为等腰直角三角形，故底面三角形的外接圆的圆心为直角三角形斜边的中点，即如图中的点，所以外接球的球心为的中点．设三棱柱的高为，如图，在中，有，即，解得．所以三棱柱的体积是．选C ．14．【2018安徽蚌埠高三4月模拟】我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？（注：1斛≈1.62立方尺，取3）若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径为 A. 5尺 B. 9尺 C. 10.6尺 D. 21.2尺 【答案】D15．【2018青海西宁高三一模】我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A. 42π-B. 8π-C. 483π-D. 82π-【答案】B故它的体积为1624=163⨯⨯⨯（），故选：C 16．【2018安徽江淮高三三模】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.A.532B. 24C. 27D. 18+【答案】A17．【2018广东茂名高三二模】《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（）A. B. C. D.【答案】C18．【2018东北三省四市高三二模】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（）中国古代的算筹数码A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为C.19．【2018湖南G20教育联盟高三联考】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A. 丙酉B. 戊申C. 己申D. 己酉【答案】D【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10=8，则2029的天干为己，80÷12=6余8，则2029的地支为酉，故选：D20．【2018安徽黄山高三一模】《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112 V=⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为A. 3 B. 3.1 C. 3.14 D. 3.2【答案】A21．【2018福建宁德高三质检一】我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有A. 58B. 59C. 60D. 61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．故选C.22．【2018广东肇庆高三三模】程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作，它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A. 120B. 84C. 56D. 28【答案】B23．【2018湖南长沙两校高三联考】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 23B. 47C. 24D. 48【答案】B24．【2018辽宁省辽南协作校高三一模】公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内正接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的值为(参考数据:，)( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B点睛：处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.25．【2018西南名校联盟4月适应性考试】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别7，3，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．。
2018年山东省潍坊高三数学二模试卷(文科)Word版含解析
2018年山东省潍坊高三二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）2．设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|﹣1≤x≤5}，则（∁A）∩B等于（）UA．[﹣1，0）B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]3．已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y±2）2=3 B．C．（x﹣2）2+（y±2）2=4 D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）A ．升 B ．升 C ．升 D ．升8．函数y=a |x|与y=sinax （a ＞0且a ≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，又SA=AB=AC=1，则球O 的表面积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．12π10．设，若函数y=f （x ）+k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（ ）A ．（﹣2，1）B ．[0，1]C ．[﹣2，0）D ．[﹣2，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2α= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是．14．设a＞0，b＞0，若是4a和2b的等比中项，则的最小值为．15．如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，点F为抛物线焦点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．应写出证明过程或演算步骤．16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？17．已知=（2sinx ，sinx+cosx ），=（cosx ，sinx ﹣cosx ），函数f （x ）=•．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+a 2﹣c 2=ab ，若f （A ）﹣m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．18．如图，底面是等腰梯形的四棱锥E ﹣ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB=2CD ，∠ABC=．（Ⅰ）设F 为EA 的中点，证明：DF ∥平面EBC ；（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱锥B ﹣CDE 的体积．19．已知数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足3n ﹣1b n =a 2n ﹣1（I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ．20．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．21．已知双曲线C： =1的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x﹣y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆的左顶点，，求|的取值范围；（Ⅲ）若点P满足|PA|=|PB|，求证为定值．2018年山东省潍坊高三数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则答案可求．【解答】解：由z（1+i）=2i，得．∴在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）．故选：A．A）∩B等于（）2．设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|﹣1≤x≤5}，则（∁UA．[﹣1，0）B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，∴A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁A=（﹣∞，0]，U∵B=[﹣1，5]，A）∩B=[﹣1，0]．∴（∁U故选：C．3．已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若¬p为真，则p且假命题，则p∧q为假成立，当q为假命题时，满足p∧q为假，但p真假不确定，∴￢p为真不一定成立，∴“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．故选：A．4．若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y±2）2=3 B．C．（x﹣2）2+（y±2）2=4 D．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切．可得圆心在直线x=2上，且半径长为2．设圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣b）2=4．将点（1，0）代入方程即可解得．从而得到圆C的方程．【解答】解：∵圆C经过（1，0），（3，0）两点，∴圆心在直线x=2上．可设圆心C（2，b）．又∵圆C与y轴相切，∴半径r=2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣b）2=4．∵圆C经过点（1，0），∴（1﹣2）2+b2=4．∴b2=3．∴．∴圆C的方程为．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得：k=1，s=1，第1次执行循环体，s=1，不满足条件s＞15，第2次执行循环体，k=2，s=2，不满足条件s＞15，第3次执行循环体，k=3，s=6，不满足条件s＞15，第4次执行循环体，k=4；s=15，不满足条件s＞15，第5次执行循环体，k=5；s=31，满足条件s＞31，退出循环，此时k=5．故选：C．6．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．21【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19，故选：C．7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A．升B．升C．升D．升【考点】等比数列的通项公式．【分析】设此等差数列为{an }，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出．【解答】解：设此等差数列为{an}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解得a1=，d=．∴a5=+4×=．故选：C．8．函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案．【解答】解：当a＞1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：当0＜a＜1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：比照后，发现D满足第一种情况，故选D9．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，又SA=AB=AC=1，则球O的表面积为（）A．B．C．3π D．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，又SA=AB=AC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R=．球的表面积为：4πR2=4π•（）2=3π．故选：C．10．设，若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1] C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）【考点】函数的图象．【分析】作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．【解答】解：设，画出y=f（x）和y=﹣k的图象，如图所示：由图象得：﹣2≤k＜1函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2α= ﹣．【考点】任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】根据任意角的三角函数的定义求得cosα=的值，再利用二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，计算求得结果．【解答】解：由题意可得，x=3、y=4、r=5，∴cosα==，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角三角形，且直角三角形的两直角边长分别为3，2，把数据代入棱柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角三角形，且直角三角形的两直角边长分别为3，2，∴几何体的体积V=×3×2×4=12．故答案为：12．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是11 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，3），此时z=2+3×3=11，故答案为：1114．设a＞0，b＞0，若是4a和2b的等比中项，则的最小值为2．【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】是4a和2b的等比中项，可得4a•2b=，2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：是4a和2b的等比中项，∴4a•2b=，∴2a+b=1．又a＞0，b＞0，则=（2a+b）=5++≥5+2×=9，当且仅当a=b=时取等号．则的最小值为2．故答案为：2．15．如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，点F为抛物线焦点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．【解答】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为，∴点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．应写出证明过程或演算步骤．16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．【解答】解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π•R2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=，又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．17．已知=（2sinx，sinx+cosx），=（cosx，sinx﹣cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2﹣c2=ab，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，化简函数，利用正弦函数的单调递减区间，求函数f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可求cosC，由范围C∈（0，π），可求C的值，由题意2sin（2A﹣）＞m恒成立，由A∈（0，），可求sin（2A﹣）∈（﹣，1]，进而可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵=（2sinx，sinx+cosx），=（cosx，sinx﹣cosx），函数f（x）=•．∴f（x）=sin2x+sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∵令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）∵b2+a2﹣c2=ab，∴cosC===，由C∈（0，π），可得：C=，∵f（A）﹣m=2sin（2A﹣）﹣m＞0恒成立，即：2sin（2A﹣）＞m恒成立，∵A∈（0，），2A﹣∈（﹣，），∴sin（2A﹣）∈（﹣，1]，可得：m≤﹣1．18．如图，底面是等腰梯形的四棱锥E﹣ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2CD，∠ABC=．（Ⅰ）设F为EA的中点，证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱锥B﹣CDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EB的中点G，连接FG，CG，利用F为EA的中点，证明四边形CDFG为平行四边形，即可证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，求出点B到CD的距离，即可求三棱锥B﹣CDE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取EB的中点G，连接FG，CG，∵F为EA的中点，∴FG∥AB，FG=AB，∵AB∥CD，AB=2CD，∴FG∥CD，FG=CD，∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG，∵DF⊄平面EBC，CG⊂平面EBC，∴DF∥平面EBC；（Ⅱ）解：等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，则BH=，在Rt△BHC中，∠ABC=60°，则CH=tan60°=，即点C到AB的距离d=，则点B到CD的距离为，∵EA⊥平面ACD，∴三棱锥B﹣CDE的体积为V==．E﹣BDC19．已知数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足3n ﹣1b n =a 2n ﹣1（I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n ≥2时利用a n =S n ﹣S n ﹣1计算即得结论，再代入得到b n =，（Ⅱ）通过错位相减法即可求出前n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S n =n 2+2n ，∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+2n ）﹣（n ﹣1）2﹣2（n ﹣1）=2n+1（n ≥2）， 又∵S 1=1+2=3即a 1=1满足上式， ∴数列{a n }的通项公式a n =2n+1； ∴3n ﹣1b n =a 2n ﹣1=2（2n ﹣1）+1=4n ﹣1，∴b n =，（Ⅱ）T n =+++…++，∴T n =+++…++，∴T n =3+4（++…+）﹣=3+4•﹣=5﹣∴T n =﹣20．已知函数f （x ）=x 3﹣x ﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=+lnx ，若函数y=g （x ）在（0，）内有极值，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）化简，并求导数，注意定义域：（0，+∞），求出单调区间；（Ⅱ）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）对g （x ）化简，并求出导数，整理合并，再设出h （x ）=x 2﹣（2+a ）x+1，说明h （x ）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e ，由于h （0）=1，通过h （）＞0解出a 即可．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）==x 2﹣1﹣（x ＞0），则φ'（x ）=2x+＞0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）=x 3﹣x ﹣=x•φ（x ），显然x=0为f （x ）的一个零点，∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=+lnx=lnx+，则g'（x ）==，设h （x ）=x 2﹣（2+a ）x+1，则h （x ）=0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x 1＜，由于x 1x 2=1，即x 2＞e ，由于h （0）=1，故只需h （）＜0即可，即﹣（2+a ）+1＜0，解得a ＞e+﹣2，∴实数a 的取值范围是（e+﹣2，+∞）．21．已知双曲线C ：=1的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x ﹣y=0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆的左顶点，，求|的取值范围；（Ⅲ）若点P 满足|PA|=|PB|，求证为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆E 的方程．（Ⅱ）由已知条件知P （﹣，0），设G （x 0，y 0），由，推导出G （﹣，0），由此能求出的取值范围．（Ⅲ）由|PA|=|PB|，知P 在线段AB 垂直平分线上，由椭圆的对称性知A ，B 关于原点对称，由此能够证明为定值．【解答】（Ⅰ）解：∵双曲线C ： =1的焦距为3，∴c=，∴，①∵一条渐近线的方程为x ﹣y=0，∴，②由①②解得a 2=3，b 2=，∴椭圆E 的方程为．（Ⅱ）解：∵点P 为椭圆的左顶点，∴P （﹣，0），设G （x 0，y 0），由，得（x 0+，y 0）=2（﹣x 0，﹣y 0），∴，解得，∴G（﹣，0），设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），||2+||2=（）2++（x1﹣）2+=2+2+=2+3﹣x+=+，又∵x1∈[﹣，]，∴∈[0，3]，∴，∴的取值范围是[]．（Ⅲ）证明：由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，①若A、B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，此时==2（）=2．②当点A，B，P不是椭圆的顶点时，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OP的方程为y=﹣，设A（x1，y1），由，解得，，∴|OA|2+|OB|2==，用﹣代换k，得|OP|2=，∴==2，综上所述： =2．。
广西2018届高三下学期第二次模拟数学文试题 含答案 精
广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(1)z i i =-+-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）A．(0 B ．(2)(0)-∞-+∞，， C．)+∞D．((0)-∞+∞，，3.设向量(4)a x =-，，(1)b x =-，，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A ．2- B ．2 C ．2± D ．04.以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ） A ．M 的离心率为2 B ．M 的实轴长为2 C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =±5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．512 6.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A ．12B ．13 C.15 D ．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为S =若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）A B9.设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，(02)A -，，(02)B ，，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22(2)20x y +-=B ．22(2)20x y ++= C.22(2)5x y +-= D ．22(2)5x y ++=10.设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c << C.b a c << D ．b c a <<11.如图，在底面为矩形的四棱锥E ABCD -中，DE ⊥平面ABCD ，F ，G 分别为棱DE ，AB 上一点，已知3CD DE ==，4BC =，1DF =，且FG ∥平面BCE ，四面体ADFG 的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16π C.18π D ．20π 12.将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若2tan 1α=，tan 2β=-，则tan()αβ+= ．14.若m 是集合{1357911}，，，，，中任意选取的一个元素，则椭圆2212x y m +=的焦距为整数的概率为 ．15.若函数(1)21()52lg 1a x x f x x x -+⎧=⎨-->⎩，，≤是在R 上的减函数，则a 的取值范围是 ．16.若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，且2AB =，3PD =.（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）设E 为棱PD 上一点，且2D E PE =，记三棱锥C PAB -的体积为1V ，三棱锥P ABE -的体积为2V ，求12V V 的值. 19. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（2）建立y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.1），预测当宣传费用为20万元时的利润， 附参考公式：回归方程y bx a =+中b 和a 最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-，相关系数ni ix ynxyr -=∑参考数据：81241i ii x y==∑，821356i i x ==∑8.256=20. 已知曲线M 由抛物线2x y =-及抛物线24x y =组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M 有m （m ∈N ）个公共点. （1）若3m ≥，求k 的最小值；（2）若3m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，(01)F ，，证明：2FB FC FA ⋅=21. 已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点0)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M，求PM的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()23=-++.f x x x（1）求不等式()15f x≤的解集；（2）若2()-+≤对x∈R恒成立，求a的取值范围.x a f x广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学参考答案（文科）一、选择题1-5:ADBDC 6-10:ACDBA 11、12：CC 二、填空题13.34- 14.12 15.[61)-，16.4- 三、解答题17.（1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩ ，即112a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-（2）由（1）知21n a n =- ，∴2n S n = ，∴416S = ，836S = ， 又248n S S S= ，∴22368116n == ，∴9n = ，公比8494S q S ==18.（1）证明：∵PD ⊥ 平面ABCD ，∴PD AB ⊥ ， ∵底面ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥ ，又PDAD D = ，∴AB ⊥ 平面PAD .（2）解：∵2DE PE = ，2AD AB == ，3PD = ，∴PAE △ 的面积为11212⨯⨯= ， ∴12133P ABE B PAE V V AB --==⨯⨯= 又11232C PAB P ABC V V PD AB BC --==⨯⨯⨯⨯= ∴123V V = 19.解：（1）由题意得6x = ，4y =又81241i ii x y==∑8.25≈6= ，所以88()()8iii ix x yy x yxyr ---=∑∑2418640.990.818.256-⨯⨯≈≈>⨯所以，y 与x 之间具有线性相关关系.（2）因为8182221824186449=0.7235686688i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，40.7260.3a y bx =-=-⨯≈-， （或490.768b =≈ ，49460.368a =-⨯≈- ） 所以y 关于x 的线性回归方程为0.70.3y x =- . 当20x = 时，0.7200.313.7y =⨯-=故可预测当宣传费用为20 万元时的利润为137 万元.20.（1）解：联立2x y =- 与3y kx =- ，得230x kx +-= ， ∵21=120k ∆+> ，∴l 与抛物线2x y =- 恒有两个交点. 联立24x y =与3y kx =- ，得24120x kx -+= .∵3m ≥ ，∴22=16480k ∆-≥ ，∵0k > ，∴k ，∴k（2）证明：由（1）知，k =且24120A A x kx -+= ，∴24A x k = ，∴2A x k ==∴24A y = ，∴3A y =易知(01)F ，为抛物线24x y =的焦点，则3142A pFA y =+=+= 设11()B x y ， ，22()C x y ， ，则12x x k +=-=，123x x =- ，∴1212()69y y k x x +=+-=- ，212121212(3)(3)3()99y y k x kx k x x k x x =--=-++= ∴1212121212(1)(2)()116FB FC x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++= ∵216FA = ，∴2FB FC FA ⋅= 21.解：（1）()(2)xf x ax a e '=-+当0a = 时，()20xf x e '=-< ，∴()f x 在R 上单调递减.当0a > 时，令()0f x '< ，得2a x a -<，令()0f x '> ，得2ax a -> ∴()f x 的单调递减区间为2()a a --∞， ，单调递增区间为2()aa -+∞， ， 当0a < 时，令()0f x '< ，得2a x a -> ，令()0f x '> ，得2ax a-<∴()f x 的单调递减区间为2()a a -+∞， ，单调递增区间为2()aa--∞， （2）当0a = 时，()f x 在(1)+∞，上单调递减，∴()(1)0f x f <= ，不合题意. 当0a < 时，222(2)(22)(2)(2)220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意，当1a ≥ 时，()(2)0x f x ax a e '=-+> ，()f x 在(1)+∞，上单调递增， ∴()(1)0f x f >= ，故 1a ≥满足题意. 当01a << 时，()f x 在2(1)a a -， 上单调递减，在2()aa-+∞， 单调递增， ∴min 2()()(1)0af x f f a-=<= ，故01a << 不满足题意. 综上，a 的取值范围为[1)+∞，22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+= ，由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-= 所以曲线C的直角坐标方程为2y = （2）易得点P 在l，所以tan 3PQ k α===-，所以56πα= 所以l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，代入2y = 中，得21640t t ++= .设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==- ，所以08PM t ==23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤， ，13x <-≤所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤ ； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤ ； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤ ，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥ ，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5 . 所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ，故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，（方法二）设2()g x x a =-+ ，则max ()(0)g x g a == ， 当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5 ， 所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ， 故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，。
2018年广东省高考数学二模试卷(文科)(解析版)
3． （5 分）已知 x∈R，集合 A＝{0，1，2，4，5}，集合 B＝{x﹣2，x，x+2}，若 A∩B＝{0， 2}，则 x＝（ A．﹣2 ） B．0 C．1 D．2
4． （5 分）空气质量指数（简称：AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量 按照 AQI 大小分为六级：[0，50）为优，[50，100）为良，[100，150）为轻度污染，[150， 200）为中度污染，[200，250）为重度污染，[250，300）为严重污染，下面记录了北京 市 22 天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）
线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ A． ＝1
B．
C．
＝1
D．
＝1 或
＝1 ）
8． （5 分）已知某几何体的三视图如图所示
B．6π+6
C．8π+12
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D．6π+12
9． （5 分）在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨 •班•达依尔． 国王问他想要什么， 他对国王说： “陛下， 请您在这张棋盘的第 1 个小格里， 赏给我 1 粒麦子，在第 2 个小格里给 2 粒，第 3 小格给 4 粒，以后每一小格都比前一小 格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的 64 格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ ”国王觉得 这要求太容易满足了， 就命令给他这些麦粒． 当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那 么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计 的程序框图，其中正确的是（ ）
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落在阴影区域内的概率为（
2018年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
18． （12 分）如图，四棱柱 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB ＝2CD＝2AD＝4， 侧面 PAB 是等腰直角三角形， PA＝PB， 平面 PAB⊥平面 ABCD， 点 E， F 分别是棱 AB，PB 上的点，平面 CEF∥平面 PAD． （Ⅰ）确定点 E，F 的位置，并说明理由； （Ⅱ）求三梭锥 F﹣DCE 的体积．
2 2
A． （x﹣1） +（y﹣2） ＝4 C． （x﹣2） +（y﹣2） ＝4
2 2
B． （x﹣1） +（y﹣3） ＝9 D． （x﹣2） +（y﹣3） ＝9
2 2
2
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． （5 分）从某企业的某种产品中抽取 1000 件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果 得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185，215]内’则这项指标合格，估 计该企业这种产品在这项指标上的合格率为 ．
A．2
2
B．
C．0
D．﹣1
6． （5 分）已知抛物线 y ＝4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，抛物线上一点 P，若
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|PF|＝5，则△PKF 的面积为（ A．4 B．5
） C．8 D．10 表示的平面区域内，则实数 m 的取
7． （5 分）已知点 P（m，n）在不等式组 值范围是（ A ．[ ） ] B．[﹣5 ]
2 2
）
B． （﹣∞，﹣3）∪（1，4） D． （3，4） +y＝2+i（i 为虚数单位） ，则 x+yi 在复平面内对应的点位于
A．第一象限
河南省六市2018届高三第二次联考(二模)数学(文)答案
2 0 1 8 年河南省六市高三第二次联合调研检测 数学 ( 文科 ) 参考答案
一㊁ 选择题 1-5 B A C B D 1 3 二㊁ 填空题 1 3. -1 1 4. 6 三㊁ 解答题 6-1 0 C A B C A 3 2 π 1 5. 9 3 1 6. 3 1 1-1 2 D B
ì ï 22 k , y1+ y2=- 2 ï ï k +3 故í ④ ï 1 . ï y1 y2=- 2 k +3 î
1 1 2
⑤
1 2 而 SәF PQ =SәF F P +SәF F Q = | F1 F2| | -4 y1 -y2|= 2 ( y1+ y2). y1 y2 , 2 9分
1 2
A B C. 又 M, N 分别为 B D, D C 中点 , ʑMN ʊB C, ȵMN ⊄ 平 面 A B C, B C ⊂ 平 面 EMN , ʑ MN ʊ 平 面 A B C. 4分 又 MN ɘEN =N , MN ⊂ 平面 EMN , EN ⊂ 平面 EMN , ʑ 平面 EMN ʊ 平面 A B C, 又E F ⊂ 平面 EMN , ʑE F ʊ 平面 A B C.
1 0分
k +1+
2
2
-x2+2<0 时 , x<- 2或 x> 2;
2
1 2 2 x-1 ( ) , 解: 由已知得 f 当f 即 2 1. Ⅰ) '( x) =( -x +2 e '( x) <0, 故 әP Q F1 的内切圆半径r 的最大值为
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(文)高考模拟试题及答案解析十一
2018年高考模拟训练试题文科数学(一)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,2,3,5,7,21,,M N x x k k M M N ===-∈⋂=则A.{}123，，B.{}135，，C.{}235，，D.{}1357，，， 2.i 为虚数，()2133ii -=+ A.1344i + B.1322i + C.1322i -- D.1344i -- 3.点()()1,0,0,1A B ，点C 在第二象限内，已知5,2,6AOC OC OC OA πλ∠===+uuu r uu r 且 OB μuu u r ，则λμ，的值分别是 A.13-， B.31-， C.13，- D.31-，4.ABC ∆中，“sin sin A B =”是“ABC ∆为等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,a b 表示两条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若//,//,//a M b M a b 则；②若,,//,//b M a M a b a M ⊂⊄则；③若,,a b b M a M ⊥⊂⊥则；④若,//a M a b b M ⊥⊥则.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.36.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为A.20122B.20132C.20142D.201312 7.若变量,x y 满足条件0,21,43y x y z x y x y ≥⎧⎪+≥=+⎨⎪+≤⎩则，的取值范围是A.(]3-∞，B.[)3+∞，C.[]03，D.[]13，8.已知函数()()21,0,1,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为 A.0B.1C.2D.39.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足()()()311,0f x f x x f x x -=--≥=且时，，则()()2710f x f x +->的解集为A.∅B.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为132591278n S S a a a a =+++=，若，则___________.12.将一批工件的尺寸在（40~100mm 之间）分成六段，即[)[)[)40,50,50,60,,90,100⋅⋅⋅，得到如图的频率分布直方图，则图中实数a 的值为____________.13.若直线22680y kx x y x =+-+=与圆相切，且切点在第四象限，则k=_________.14.已知函数()214f x x ax b =+-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b +的最小值为__________.15.设M 是一个非空集合，#是它的一个代数运算（例如：+，×），如果满足以下条件： （I ）对M 中任意元素,,a b c ，都有()()####a b c a b c =；（II ）对M 中任意两个元素,a b ，满足#a b M ⊂.则称M 对代数运算#形成一个“可#集合”.下列是“可#集合”的为__________.①{}2,1,1,2-- ②{}1,1,0- ③Z ④Q三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知向量()()()22cos ,3,1,sin 22a x b x f x a b ===⋅-函数.（I ）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，若()1,1,23,f C c a b a b ===>且，求边,a b 的值.17. （本小题满分12分） 如图所示，1111ABFC A B FC -为正四棱柱，D 为BC 上一点，且1//A B 平面1111,A C D D B C 是的中点，1111,BC AB BC AC ⊥⊥.求证：（I ）平面11//A BD 平面1AC D ;（II ）11BC B D ⊥.18. （本小题满分12分）已知函数()()[]()22,ln 1,2,,0f x ax bx g x b x a b R b =+=+∈-∈≠. （I ）求命题A ：“()f x +∃∈∀∈x R,对于m R ,=m ”为真命题的概率； （II ）若{},2,1,1,2a Z b ∈∈--，写出所有的数对(),a b .设函数()()(),1,,1,f x x x g x x ϕ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩记“()()()12121212,,,,0x x x x x x x x ϕϕ-∀∈-∞+∞≠>-”为事件B ，求事件B 发生的概率P （B ）.19. （本小题满分12分） 将正奇数组成的数列{}n a ，按下表排成5列：（I ）求第五行到第十行的所有数的和；（II ）已知点()()()111222,,,,,,n n n A a b A a b A a b ⋅⋅⋅在指数函数2x y =的图象上，如果，以12,,,n A A A ⋅⋅⋅为一个顶点，x y 轴轴为邻边构成的矩形面积为12n,12,,n S S S S S S ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+求的值n T .20. （本小题满分13分）已知函数()()ln 1x f x e x x =--.（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数(),1,,a b a b ∈+∞<，使得函数()[],f x a b 在上的值域也是[],a b ？并说明理由.21. （本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点（0，1），且离心率为3,2Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点6,05N ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与.椭圆C 交于A,B 两点.（i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.。
2018年高考数学二模试卷(文科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．102．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.23．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．25．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．4869．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③10．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分11．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|＜ax（a≠0）的解集为开区间（m，+∞），其中m∈R，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．2．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°【分析】由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵C=60°，AB=c=，BC=a=，∴由正弦定理=得：sinA===，又a＜c，得到A＜C=60°，则A=45°．故选C【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．2【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．【解答】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解，则由题意可得OD=λ，CD=μ，∠COD=30°，∠OCD=90°，∠Rt△OCD中，sin∠COD=sin30°===，∴=2，故选D．【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．5．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【分析】由已知中集合，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A⊆B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解根式方程确定集合A是解答本题的关键，解答中易忽略根成有意义的条件，而错解为A={﹣1}6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．8．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．486【分析】据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，进而细分为1°其他数字不重复，2°其他数字也相同，由排列、组合数公式可得其情况数目，②、后4位中含有2个6的卡片，同①可得其情况数目，③、含有2个8、2个6，由组合数公式可得其情况数目；最后由事件之间的关心计算可得答案．【解答】解：根据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，1°若其他数字不重复，在其中任取2个其他的数字，与2个8进行全排列，有×A44×C92种情况，2°若其他数字也相同，易得有9×C42种情况，共有×A44×C92+9×C42=486张，②、同理后4位只中含有2个6的卡片有486张，③、后4位中含有2个8、2个6，有C42=6张，共有486+486﹣6=966张；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，分类讨论时，注意事件之间的关系，要做到不重不漏．9．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，欲求原函数y=﹣1（x≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于②，利用函数f（x）的单调性，与函数的零点与方程的根判断即可；对于③，通过函数f（x）的奇偶性判断即可．【解答】解：对于①，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故不正确．对于②，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故不正确．对于③，函数的定义域为[﹣3，3]，所以，函数化简为：y=是偶函数，图象关于y轴对称，正确．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10．（5分）若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则△OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（ ） A ．点 B ．线段 C ．圆弧D ．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB 的重心，排除C ；再利用△OAB 的内心，排除B ；最后利用△OAB 的垂心，排除A ；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G ，AB 中点为C ，连接OC ．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G 轨迹圆弧． 排除C ；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B ；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB 中点C 就是三角形外接圆圆心，OC 是定值， 所以轨迹圆弧，排除C ； 垂心是原点O ，定点，排除A 故选D ．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．11．（5分）若关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ≤﹣1C ．0＜a ＜1D ．﹣1＜a ＜0【分析】在同一坐标系中做出函数 y=|x |和 函数y=ax 的图象，由题意结合图形可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为 开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，在同一坐标系中做出函数y=|x﹣1|和函数y=ax的图象，如图所示：结合图象可得a≥1．故选：A．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为12π．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知截面圆的半径为：r，所以πr2=2π，r=，由球的半径，球心到截面圆的距离，截面圆的半径，满足勾股定理，所以球的半径为：R==．所求球的表面积为：4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系，是本题的解题的关键，考查计算能力．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为1120．【分析】根据展开式中的项数共有九项可求出n的值是8．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【解答】解：∵二项式展开式中的项数共有九项∴n=8=2r C8r x4﹣r展开式的通项为T r+1令4﹣r=0得r=4所以展开式的常数项为T5=24C84=1120故答案为：1120．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是求出n的值，属于中档题．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．【分析】先由题设条件求出椭圆的焦点坐标和双曲线的准线方程，列出关于b 的方程求出b，从而得到a和c，再利用a和c求出双曲线的离心率．【解答】解：由题设条件可知椭圆的右焦点坐标为（2，0），双曲线的右准线方程为x=，∴，解得b=2．则双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得抽取的比例为，由分层抽样的性质，计算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，分析可得“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“选取的都是2个女生”为对立事件；先计算“选取的都是2个女生”的概率，进而由对立事件的概率性质，计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分析可得：本题为在5次独立重复试验中恰有3次发生，由其公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在50人中抽取了5人，抽取的比例为；则抽取男生30×=3，女生20×=2；即男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“2个女生”为对立事件；选取的两名学生都是女生的概率P==，∴所求的概率为1﹣P=；（Ⅲ）根据题意，本班学生的考前心理状态良好的概率为0.8，则抽出的5人中，恰有3人心理状态良好，即在5次独立重复试验中恰有3次发生，则其概率为C53×（）3×（）2=．【点评】本题主要考查排列n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，涉及分层抽样与对立事件的概率计算；需要牢记各个公式，并做到“对号入座”．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=∴S•d=△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【分析】（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，由，能求出x的取值范围．（II）由f（x）=x3﹣2x2+1，知f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），f′（x）＞0，得f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，）为递减函数．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【解答】解：（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，则有，∴，解得．∴x的取值范围是．（II）f（x）=x3﹣2x2+1，f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），令f′（x）＞0，得x＜0或x＞．令f′（x）＜0，得0，∴f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；在（0，）为递减函数．∵f（0）=1，，令f（x）=1，得x=0或x=2．①当a+3＜0，即a＜﹣3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．∴h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．②当0≤a+3≤2，即﹣3≤a≤﹣1时，h（a）=f（0）=1．③当a+3＞2，即0＞a＞﹣1时，h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．∴．【点评】本题考查导数在求最大值和求最小值时的实际应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题设条件知a n=a n+1，根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，+1公差为1的等差数列，从而a n=n，根据b n+1=b n+3an（n∈N*），可得b n+1﹣b n=3n （n∈N*）．累加可求和，从而得{b n}的通项公式；（II）根据c n=a n b n cosnπ（n∈N*），可得，再分n为偶数，奇数分别求和即可【解答】解：（Ⅰ）因为点（）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上=a n+1所以a n+1根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，公差为1的等差数列所以a n=n=b n+3an（n∈N*）．∵b n+1∴b n﹣b n=3n（n∈N*）．+1∴（II）∵c n=a n b n cosnπ（n∈N*），∴当n为偶数时，S n=（﹣3+2•32+…+n•3n）+3[1﹣2+3﹣4+…+（n﹣1）﹣n]设T n=（﹣3+2•32+…+n•3n），则3T n=﹣32+2•33+…+n•3n+1∴∴当n为奇数时，∴【点评】本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，考查错位相减法求和，解题时要注意公式的灵活运用．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．。
云南省2018届高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
云南省2018届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．已知复数，则z的虚部为（）A． B．C．D．3．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．4．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x2﹣x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣x+1＜05．已知等差数列{an }中，a1=11，a5=﹣1，则{an}的前n项和Sn的最大值是（）A．15 B．20 C．26 D．306．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k=（）A．2 B．3 C．4 D．57．RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x=RAND（0，1），y=RAND （0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．8．已知点M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1） D．16（π+1）10．已知函数，则f（3）+f（﹣3）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．12．设M{a，b，c}=，若f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1 D．二、填空题设x、y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的最小值是．14．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，且a2=﹣2，则a4= ．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是．16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．18．（12分）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现猪呢比从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O是AB中点，E是PB 中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．20．（12分）已知点A，B是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN ⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）=+ax+2lnx，g（x）=+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a=﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l 交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．云南省2018届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={0}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．已知复数，则z的虚部为（）A． B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则z的虚部为：．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据便可得出，从而求出x值，进而求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：∵；∴；∴x=2；∴；∴；∴．故选D．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求长度的方法．4．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x2﹣x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣x+1＜0【考点】2J：命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x2﹣x+1≤0，故选：C．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5．已知等差数列{an }中，a1=11，a5=﹣1，则{an}的前n项和Sn的最大值是（）A．15 B．20 C．26 D．30【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式、单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1=11，a5=﹣1，∴11+4d=﹣1，解得d=﹣3．∴a=11﹣3（n﹣1）=14﹣3n，n=14﹣3n≥0，解得n≤，令an∴n=4时，{a}的前4项和取得最大值： =26．n故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，k的值，当S=30，T=39时，满足条件退出循环可得输出的k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，T=0，k=1执行循环体，S=5，T=3，k=2不满足条件T＞S，执行循环体，S=15，T=12，k=3不满足条件T＞S，执行循环体，S=30，T=39，k=4满足条件T＞S，退出循环，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，T，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x=RAND（0，1），y=RAND （0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】直接由题意作出图形，利用面积比得答案．【解答】解：设事件A：x2+y2＜1，作出图形如图：∴满足x2+y2＜1的概率为P=．故选：A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是对随机数的理解，是基础题．8．已知点M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】K8：抛物线的简单性质．），利用中点坐标公式，列方程，即可求得p的值．【分析】求得F（，0），M（，y1），【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），设M（，y1由中点坐标公式可知： +=2×2，y=2×2，1解得：p=4，p的值为4，故选D．【点评】本题考查抛物线的方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于基础题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1） D．16（π+1）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．∴该几何体的体积V=+=．故选：B．【点评】本题考查了圆锥与四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数，则f（3）+f（﹣3）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（3）+f（﹣3）=lg（）+1+lg（）+1=lg1+2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）+f（﹣3）=lg（）+1+lg（）+1=lg1+2=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是基础题．11．已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的最小值．【解答】解：函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，得到y=sin （2x﹣2φ+）的图象，根据所得函数为奇函数，则﹣2φ+=kπ，k∈Z，∴φ的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．12．设M{a，b，c}=，若f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1 D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】对分段函数分类讨论，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x众数，分别求解，得出f（x）的最小值是；做出函数y=2x，y=x2，y=4﹣7.5x的图象，利用数学结合得出当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数范围．【解答】解：由题意，f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x众数，令（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x）（4﹣7.5x﹣2x）=0，若2x=x2，则x=2或4，若x2=4﹣7.5x，则x=﹣8（舍去）或，若2x=4﹣7.5x，令g（x）=2x﹣4+7.5x，∵g（0）=1﹣4+0=﹣3＜0，g（）=﹣4+3.75＞0，∴x∈（0，）；∴（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数，由右侧图象可知：中位数都大于，故选A．【点评】本题考查了新定义函数和分段函数的处理．难点是利用数学结合解决实际问题．二、填空题（2017•云南二模）设x、y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的最小值是﹣4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数z=﹣2x+3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，且a2=﹣2，则a4= ﹣8 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列可求得an+1+2an=0，即=﹣2，从而可判定数列{an}是以﹣2为公比的等比数列，继而可得答案．【解答】解：∵Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，∴2Sn﹣1=Sn+1+Sn（n≥2），即an+1+2an=0，∴=﹣2，∴数列{an}是以﹣2为公比的等比数列，又a2=﹣2，∴a4=﹣2×22=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查数列递推式，利用Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列求得an+1+2an=0，即=﹣2是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，利用△FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是y=x，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，∵△FAB为正三角形，∴|AB|=4，将（﹣，2）代入双曲线=1可得=1，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴ =，∴a=1，b=，∴双曲线C的方程为．2故答案为．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为18π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，过P点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为6，∴正方体的棱长为6．可得外接球半径R满足2R=6．PP为棱BC的中点，过P作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==3，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=18故答案为：18π【点评】本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•云南二模）在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用余弦定理表示出AB，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R；（2）根据正弦定理余弦定理和三角形面积公式即可求出【解答】解：（1）由余弦定理，得AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•cos60°=21，解得．由正弦定理得，．（2）设CD=x，则BD=5﹣x，AD=5﹣x，∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=∠CAB﹣∠B=θ．∵，∴．∴，即，解得x=2．∴BD=AD=3．∵，∴．∴．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2017•云南二模）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现猪呢比从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）先求出分数在110﹣120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120﹣125内的学生的频率，由此能求出分数在120﹣125内的人数．（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．（3）由题意分数在115﹣120内有学生6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．【解答】解：（1）分数在110﹣120内的学生的频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，所以该班总人数为．分数在120﹣125内的学生的频率为：P2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.10，分数在120﹣125内的人数为n=40×0.10=4．（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为．设中位数为a，∵0.01×5+0.04×5+0.05×5+0.50，∴a=110．∴众数和中位数分别是107.5，110．（3）由题意分数在115﹣120内有学生40×（0.03×5）=6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B1），（A4，B1），（A3，B1），（A4，B2），（A3，B1），（B1，B2），共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，∴其中至多含有1名男生的概率为．【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关键是正确理解获奖的情形，解题时要要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．19．（12分）（2017•云南二模）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O 是AB中点，E是PB中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结PO，推导出PO⊥AB，AC⊥BC，PO⊥OC．从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．（2）推导出，OC⊥AB，从而OC⊥平面PAB，进而OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，由VB﹣OEC =VE﹣OBC，能求出点B到平面OEC的距离．【解答】证明：（1）连结PO，在△PAB中，PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，又∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴．∵PA=PB=BC=3，∴，PC2=PO2+OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC=O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）∵OE是△PAB的中位线，∴．∵O是AB中点，AC=BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，∵OE⊂平面PAB，∴OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，则VB﹣OEC =VE﹣OBC，∴，∴点B到平面OEC的距离：．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•云南二模）已知点A，B是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，设P（x0，y），由P的坐标表示直线AP与直线BP的斜率，求其积可得，由椭圆的性质即可得证明；（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，进而可得直线AP的方程，分析可得，又F、N、M三点共线，得kMF =kMN，即，由向量的数乘运算的意义分析可得证明．【解答】解：（1）证明：设P（x0，y）（x≠±a），由已知A（﹣a，0），B（a，0），∴．①∵点P在椭圆上，∴．②由①②得（定值）．∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值．（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，由已知F（﹣c，0），直线AP的方程为y=k1（x+a），直线l：x=a，则M（a，2ak1）．∵MN⊥BP，∴kMN •k2=﹣1．由（1）知，故，又F、N、M三点共线，得kMF =kMN，即，得2b2=a（a+c）．∵b2=a2﹣c2，∴2（a2﹣c2）=a2+ac，2c2+ac﹣a2=0，，解得或（舍去）．∴a=2c．由已知，得（a﹣c，0）=λ（a+c，0），将a=2c代入，得（c，0）=λ（3c，0），故．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键要熟悉椭圆的几何性质．21．（12分）（2017•云南二模）已知函数f（x）=+ax+2lnx，g（x）=+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a=﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣3时，求导数，分类讨论，即可求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，，求出右边的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．当a=﹣3时，，．①当x∈（0，1）或x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．②当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）由g（x）＜f（x），得，整理得k（x﹣1）＜xlnx+x，∵x＞1，∴．令，则．令h（x）=x﹣lnx﹣2，∵x＞1，∴．∴h（x）在（1，+∞）上递增，h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴h（x）存在唯一的零点x∈（3，4）．∴h（x0）=x﹣lnx﹣2=0，得lnx=x﹣2．当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x）=0，Q'（x）＜0，∴Q（x）在（1，x）上递减；当x∈（x，+∞）时，Q'（x）＞0，∴Q（x）在（x，+∞）上递增．∴，要使对任意x＞1恒成立，只需k＜[Q（x）]min =x．又3＜x＜4，且k∈Z，∴k的最大值为3．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•云南二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的参数方程消去参数，得l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程，由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出直线l的参数方程，并代入y2=2x，得，由此能求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数和，得l的普通方程为x﹣y﹣2=0．∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2=0．∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．（2）∵直线l：x﹣y﹣2=0经过点P（﹣2，﹣4），∴直线l的参数方程为（T为参数）．将直线l的参数方程为代入y2=2x，化简得，∴|PA|•|PB|=|T1T2|=40．【点评】本题考查直线的极坐标方程和曲线直角坐标方程的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•云南二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质，证明f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，分类讨论，当且仅当时，f（x）=2．，即可求实数x的取值范围．【解答】（1）证明：∵|2x+1|+|2x﹣1|=|2x+1|+|1﹣2x|≥|（2x+1）+1﹣2x|=2，∴f（x）≥2．当且仅当（2x+1）（1﹣2x）≥0时“=”成立，即当且仅当时，f（x）=2．∴f（x）的最小值等于2．（2）解：当a+b=0即a=﹣b时，可转化为2|b|﹣0•f（x）≥0，即2|b|≥0成立，∴x∈R．当a+b≠0时，∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|﹣a|≥|（2a+b）﹣a|=|a+b|，当且仅当（2a+b）（﹣a）≥0时“=”成立，即当且仅当（2a+b）a≤0时“=”成立，∴，且当（2a+b）a≤0时，，∴的最小值等于1，∵，，∴，即f（x）≤2．由（1）知f（x）≥2，∴f（x）=2．由（1）知当且仅当时，f（x）=2．综上所述，x的取值范围是．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2018届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}10|≤≤=x x M ，{}1|||≥=x x N ，则M N =A 、{}10|≤≤x xB 、{}10x x x ≤-≥或C 、{}101|≤≤-≤x x x 或D 、{}12．若复数11iz i-=+，则z = A 、1 B 、1- C 、i D 、i -3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则A 、乙甲乙甲，σσ<<x xB 、乙甲乙甲，σσ><x xC 、乙甲乙甲，σσ<>x xD 、乙甲乙甲，σσ>>x x4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为A 、25B 、45C 、50D 、905．已知2133311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则c b a ,,的大小关系为 A 、c b a >> B 、b c a >> C 、b a c >> D 、a b c >>6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为A 、3π16-B 、34C 、3π6D 、147．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为A 、5B 、6C 、7D 、228．若函数)(x f 的定义域为R ，其导函数为'()f x ．若'()30f x -<恒成立，0)2(=-f ，则()36f x x -<解集为A 、(,2)-∞-B 、)2,2(-C 、)2,(-∞D 、),2(+∞-9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为A 、1B 、23 C 、12- D 、010．已知直线134+-=x y 的倾斜角为α，则)sin()45cos(2cos απαπα++的值为A 、22 B 、42 C 、 82 D 、427 11．设函数222)()2cos()(ex e x x x f +++-=ππ的最大值为M ,最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为A 、1B 、2C 、20182D 、2018312． 已知点F 是曲线21:4C y x =的焦点，点P 为曲线C 上的动点，A 为曲线C 的准线与其对称轴的交点，则PFPA 的取值范围是A 、20]2（，B 、2[,12）C 、2[,1]2D 、2[2+∞，）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知实数y x ,满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,A B C 三个层次），得A 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A ．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B 或C ； 乙说：我肯定得A ；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A 的同学是 ． 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为 ．16．在平面上，12OB OB ⊥ ，且12OB = ，21OB = ，12OP OB OB =+．若12MB MB = ，则PM的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：21<n T ．18．（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为1 202 20403 40x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游分组频数1849245[)20,30[)10,20b [)30,40[)40,50[)50,60的概率.19、（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）若2=12AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积. 20．（本小题满分12分）已知点)1,0(-A 、)1,0(B ，P 为椭圆C :1222=+y x 上异于点B A ,的任意一点． （Ⅰ）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为21-； （Ⅱ）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln x x f x =,()g x x a =+．（Ⅰ）设()()()h f x x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （Ⅱ）若10a -<<，函数()()()x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换'3'2x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=．（Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数|3||13|)(k x x x f ++-=,4)(+=x x g ． （Ⅰ）当3-=k 时,求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）设1->k ,且当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，都有()()f x g x ≤,求k 的取值范围．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCCBDABDDBAC二、填空题13．8- 14．甲 15．43 16．35[,)10+∞三、解答题 17、（12分）解：（I ）当1=n 时，有1114(1)3a S a ==-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 1144(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---整理得：41=-n na a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈） 即数列}{n a 的通项公式为：*4()n n a n N =∈． ………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42n n n b a n ===，则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴ n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n111(1)2212n =-<+ 故得证. ………………………………………12分18、（12分）解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=； 由于30%29%>, 所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ……8分（III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取106415⨯=人，记为,,,a b c d ；从乙公司抽取56215⨯=人，记为1,2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,1,,2,,,,,,1,,2,,,,1,,2,a b a c a d a a b c b d b b c d c c()()(),1,,2,1,2d d 共15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：(),1a ,(),2a ,(),1b ,(),2b ,(),1c ,(),2c ,(),1d ,(),2d ,()1,2共9个．设事件A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则()93155p A == ∴ 所求概率为35． …………………………………………………12分19、（12分）（I ）证明：取PD 中点G ，连接,GF GC . 在△PAD 中，有,G F 分别为PD 、AP 中点∴ 1//2GF AD 在矩形ABCD 中，E 为BC 中点∴ 1//2CE AD ∴ //GF EC∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴ //GC EF而GC ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD∴ //EF 平面PCD ………………………………………………6分（II ）解： 四边形ABCD 是矩形∴ AD AB ⊥，//AD BC平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD =AB ，AD ⊂平面PAB ∴ AD ⊥平面PAB∴ 平面PAD ⊥平面PAB ，//BC 平面PAD 2=12AD AP PB AB === ∴ =2AB ，满足222AP PB AB += ∴ AP PB ⊥ ∴ BP ⊥平面PAD //BC 平面PAD∴ 点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离.而 111112224PDF S PF AD =⨯⨯=⨯⨯= ∴ 1111133412P DEF PDF V S BP -==⨯⨯=∴ 三棱锥P DEF -的体积为112. …………………………………12分20、（12分）解：（I ）设点),(y x P ，)0(≠x ，则1222=+y x ，即2212x y =- ∴ 11PA PBy y k k x x -+⋅= 221y x -=22112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=12=-故得证． ………………………………5分（II ）假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交． ①当直线l 的斜率0≠k 时，设直线l 为：)2(+=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(1222x k y y x ，化简得：0288)21(2222=-+++k x k x k由0)28)(21(4)8(2222>-+-=∆k k k ，解得22022k k -<<≠（）设点),(11y x M ，),(22y x N ，则212221228128212k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴ 222212121442184)(k kk k k kk x x k y y +=++-=++=+ 取MN 的中点H ，则1212,22x x y y H ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12122121-=⋅+-+k x x y y 即 22221121412kk k k k -+=--+ ，化简得01222=++k k ，无实数解，故舍去． ②当0=k 时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足||||BN BM =，此时直线l 的方程为0y =．综上可知，存在直线l 满足题意，此时直线l 的方程为0y =． ……………12分21、（12分）解：（I ）由题意可知：()ln h x x x x a =--，其定义域为()0,+∞，则x x x h ln 11ln )(=-+='．令0)(>'x h ，得1x >，令()0h x '<，得01x <<．故函数()y h x =的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1． …………………………………5分（II ）由已知有()ln x aM x x+=，对于(1)x ∈+∞，，有2)(l n 1ln )(x x a x x M --='． 令()ln 1((1,))a q x x x x =--∈+∞，则221()a x a q x x x x+'=+=． 令0)(>'x q ，有a x ->．而10a -<<，所以01a <-<，故当1x >时，0)(>'x q ．∴ 函数()q x 在区间(1)+∞，上单调递增． 注意到(1)10q a =--<，()0aq e e=->． 故存在∈0x ()1,e ，使得0'()=0M x ，且当0(1,)x x ∈时，'()0M x <，当0(,)x x e ∈时，'()0M x >，即函数()M x 在区间0(1,)x 上单调递减，在区间0()x +∞，上单调递增．∴ 0x 为函数)(x M 的极小值点．故存在01x ∈+∞（，），使得0x 为函数)(x M 的极小值点．…………………12分 22、（10分）解：（I ）由已知有'3cos '2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=． 将sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方程得82:=-y x l∴ 曲线2C 的方程为22''134x y +=，直线l 的普通方程为82:=-y x l . ………5分（II ）由（I ）可设点P 为)sin 2,cos 3(θθ，[0,2)θπ∈．则点P 到直线l 的距离为：5|8)3sin(4|5|8sin 2cos 32|+-=--=πθθθd 故当sin()13πθ-=，即5=6πθ时d 取最大值5512． 此时点P 的坐标为)1,23(-． ……………………………………10分 23、（10分） 解：（I ）当3k =-时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤<+-=1 46131 231 46)(x x x x x x f ，，，， 故不等式4)(≥x f 可化为：1644x x >⎧⎨-≥⎩或11324x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或13644x x ⎧<⎪⎨⎪-+≥⎩ 解得：403x x ≤≥或 ∴ 所求解集为：403x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. ……………………………………5分 （II ）当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，由1k >-有：310,30x x k -<+≥ ∴ k x f +=1)(不等式)()(x g x f ≤可变形为：41+≤+x k故3k x ≤+对1,33k x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭恒成立，即33k k ≤-+，解得94k ≤ 而1k >-，故914k -<≤.∴ k 的取值范围是：91,4⎛⎤- ⎥⎝⎦ ………………………………………………10分。
2018年河南省顶级名校高考数学二模试卷文科 含解析
2018年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若集合A={x|log（2x+1）＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则A∩B=（）A．（0，）B．（﹣，）C．（0，2）D．（，2）2．i是虚数单位，复数（1+3i）（a﹣i）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣3，）D．（﹣3，1）3．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．34．设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（）A．ln2﹣1 B．ln2﹣2 C．2ln2﹣1 D．2ln2﹣25．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）A．B．C．D．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D．8．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm39．等差数列的前n项和为S n，且S1018＞S1018＞S1018，则满足S n S n＜0的正整数n为（）﹣1A．2018 B．2018 C．2018 D．201810．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．11．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则•的最大值为（）A．10 B．12 C．10+2 D．812．设过点P（﹣1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，||•||=（）A． B．5 C．8 D．9二、填空题:本大题共4小题。