参数估计习题

构造函数 u x N (0,1)
/ n
给定置信概率1 ，有 u ，使
2
P{u u } 1
即
P(x u
2
n
x
2
u
2
) 1
n
置信区间长度 2u
2
L
n
n 4 2u 2 / L2
2
23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，
算得子样标准差s*的数值。设（1）n=10,
s* =5.1(2)n=46, s* =14。试求母体标准差
dp 1 p p
x
3.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其 分布密度为
1 ,a x b
f(x)= b a
0, 其他
其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计
量.
解: X U[a,b], EX a b , DX 1 (b a)2
2
12
用
得
X
和
X
aS22b分别估计EX＾a和 DXX
0
用样本 x 估计Ex，则有 x 1 ,＾ 1
x
2.设母体X具有几何分布,它的分布列为
P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…
先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估
计.
解 :( 1)矩法估计
EX k (1 p)k1 p
k 1
＾p
1
p
k
[(1 p)k ]'
p
1 p2
1 p
21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相
同但未知。如果在60次独立试验中，事件A
出现15次，试求概率p的置信区间（给定置
信概率为0.95）。
解：n=60,m=15,x~“0-1”分布，x m , s m (1 m)
构造函数u
x
p
近似
N (0,1)
n
nn
s/ n
给定置信概率95%，有P{u u } 1
S *2
)
1
n
2
1u2
1
n
2
1u2
证明:对正态母体 2 的置信概率为1 的
置信区间是
(
(n 1)S*2
2 (n 1)
,
(n 1)S*2
2 1
(n
1)
)
(1)
2
2
当n>45时, 2 (n) n 2nu
2 (n 1) (n 1) 2(n 1)u
2
2
2 1
(n
1)
(n
1)
2(n 1)u1 (n 1)
3S
S 2 (b a)2
＾b X 3S
12
4.设母体X的分布密度为
x 1, 0 x 1
f(x)=
0,
其他
其中 0
(1) 求 的最大似然估计量;
(2)用矩法求 的估计量.
解:x
f (x)
x 1, 0 x 1
0, 其他
( 0)
n
n
1最大似然估计L xi 1 n xi 1
U
( X 1) (Y 2 )
mSx2 nS y2 2 (m n 2)
mSx2 nSy2 2 2 mn2 m n
t(m n 2)
27.从正态母体中抽取一个n>45的大子样,利
用第一章2.2中 2 分布的性质3,证明方差 2
的置信区间(给定置信概率为1 )是
(
S *2
,
(45)
25.设母体X服从正态分布N (, 2 ) , X 和 Sn2
是子样X1,X2,…,Xn的平均数和方差; 又设 X n1 N (, 2 ) ,且与X1,X2,…,Xn独立,试求统
计量 Xn1 X n 1 的抽样分布.
Sn
n 1
解: E( X n1 X ) 0
D( X n1
X)
区间为(992.2,1007.8)小时.
19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长
度(单位:cm)为
2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.
12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布
为正态的，试求母体平均数 的置信概率
个估计量
（1）＾1
2 3
X1
1 3
X2
（2）＾2
1 4
X1
3 4
X
2
（3）＾3
1 2
X1
1 2
X2
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的
方差。问哪一个方差最小？
解：E＾1
E(2 3
x1
1 3
x2 )
2 3
Ex1
1 3
Ex2
2 3
1 3
同理：＾2和＾3都是 的无偏估计。
D＾1
( 2 )2 3
解:n=100, x 1000 小时,s=40小时
用x
估计 ,构造函数 u
x
近似
N (0,1)
s/ n
给定置信概率 1 ,有 P{u u } 1
即
P(x u
2
s n
置信下限 x u
2
s
10x00u12.96sn42)01992.2
n
10
整批电置信子上管限 的x 平u2 均sn 寿10命00 置1.9信6 14概00 率100为7.895%的置信
2
即
m
p(
n
u
2
1m m
m
n
n
(1
) n
p
n
u
2
1 m (1 m)} 1
nn n
故p的置信概率为95%的置信区间为 （0.25±0.11）
22.对于方差 2 为已知的正态母体，问需抽
取容量n为多大的子样，才使母体平均数
的置信概率为1 的置信区间的长度不大
于L?
解：X N (, 2 ), 2已知
的最大似然估计量的值.
解: X U (0, ) ， 的最大似然估计
＾ max
EX
xi 2.2
,＾
＾
1.1
2
2
2 DX 2 ,＾ 2 1 ＾ 2 0.4033
12
12
8.设母体X的分布密度为
e(x ) , x
f(x)=
0, x 0
试求 的最大似然估计。
解：
X
e(x ) , x f (x)
i 1
i 1
ln L n ln ( 1) ln xi
i
d ln L
d
n
ln
i
xi
0,＾
n
ln
xi
i
X用估计EX
2矩法估计
1
EX x f (x)dx x x 1dx
0
1
用 X估计EX
X
1 X
5.设母体X的密度为 f (x)
1
x
e , x
2
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是
x
((
i
(1
x)i ) '
[ x 1 ]' 1 (1 x)
( x 1) ' x
1 x2 )
(2)极大似然估计
n
xi n
L (1 p)xi 1 p (1 p) i pn
i 1
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
i
n
d ln L
i
xi n 0,＾p 1
的无偏估计。
i 1
解： (xi1 xi )2 [(xi1 ) (xi )]2
i
i
(xi )2 2 (xi1 )(xi ) (xi )2
i
i
i
E(xi1 )(xi ) 0
n1
n1
E (xi1 xi )2 E (xi1 )2 2 E(xi1 )(xi ) E (xi )2
f(x)= （）
{x解e：0ex(, x) 0 0, x 0
第二章
参数估计
1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度
为
ex , x 0
f(x)=
0, x 0
其中 0 。试用矩法求的估计量。 解：x e()
ex , x 0 f(x)=
0, x 0
（0 ）
Ex xf (x)dx xexdx 1
正态分布.
E( X Y ) 1 2
D(
X
Y)
2
(
2
)
2
mn
U ( X Y ) (1 2 ) 2 2
mn
N (0,1)
又 mSx2 2 (m 1), nSy2 2 (n 1)且相互独立
2
2
Y 由
2 分布可加性
mS
2 x
nS
2 y
X , 独立
2
2 (m n 2) 且与
根据t分布定义 T
2
2
n
(1
1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2,又
n
X n1,
X
服从正态分布,故 Xn1 X
1 1
n
又 Sn2 与 Xn1, X 独立
N
(0,1),
nSn2
2
2 (n 1)
根据t分布定义
T
U nSn2
X n1 X n 1
n 1 nSn2
X n1 Sn
X
n 1 n 1
t(n 1)
2 (n 1)
n
26.设X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn分别是从分布
0, x 0
似然函数 n
n
L
f (xi ) e(xi )
i 1
i 1
ln L (
i
xi
n ),
d ln L
d
0无解
为了使L达到最大， xi n 0 ，尽可能小，
尽可能大，而＾
i
xi ,
min
1in
xi
x(1)
12设母体X服从正态分布 N (,1), ( X1, X 2 )是
从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三
i 1
xi xi )k 1e i
n
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi )k1 xi
i 1
i
d ln L
d
nk
i
xi
0,＾
k x
或＾
k x
7.设母体X具有均匀分布密度 从中抽得容量为6的子样数值
f
(x)
1
,
0
x
,
1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差
为90%的置信区间 ：（1）若已知 0.01(cm);
（2）若 未知。
解：n=16, x 2.125, s* 0.017
(1)若已知
0.01(cm)，构造函数u
x
/
n
N (0,1)
给定置信概率90%，有 P{u u } 1
即
P(x u
2
0
n
x u
2
0 ) 1 2
n
置信区间为(x u
否的无偏估计.
解： n
L f (xi )
i1
n i1
1
x
e
2
xi
(
1
)n
e
i
2
xi
ln L n ln 2 n ln i
d ln L n
d
xi
i
2
0
得
＾
1 n
i
xi
E xi E X x f (x)dx
x
1
x
e dx 2 x
1
x
e dx
2
0 2
的置信概率为0.99的置信区间。
解：X N (, 2 ), , 2未知
（1）n=10, s*2 5.1
用给s*2定估置计信概2 率,构1造函=数99% 2,查(n表1得2)s*2
2 (n 1)
2 0.005
(9)
23.589,
2 0.995
(9)
1.735
使
p{
2 0.995
(9)
2
2 0.005
也是 的无偏估计，此处 X 为子样的平均
数
解：X P(), EX , DX , E X , ES*2
E( X (1 )S*2 ] E X (1 )ES*2 (1 )
14 .设X1,X2,…,Xn为母体N (, 2 ) 的一个子
n1
样。试选择适当常数C,使C (Xi1 Xi )2 为 2
(1)2 3
5 9
,
D＾2
(1)2 4
( 3)2 4
5 8
,
D＾3
(1)2 2
(1)2 2
1 2
＾3 方差最小为有效
对形如＾
n
xi xi ,且
xi
1时,
E
,以
x
为最有效
i 1
i
2
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布P() 母体
的一个子样。试验证：子样方差 S*2 是
的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S*2
为N (1, 2 )和N (2 , 2 )两个母体中抽取的独
立随机子样, X和Y 分别表示X和Y的子样平
均数,
S
* x
和
S
* y
分别表示X和Y的子样方差.对
任意两个固定实数 和 ,试求随机变量
Y ( X 1) (Y 2 )
mS
2 x
nS y 2
2 2
mn2 m n
的概率分布.
解: X Y 是正态变量线性组合,仍服从
2(n 1)u
2
2
2
代入(1)式,即
S *2
S *2
(
,
)
1
n
2
1u2
1
n
2
1u2
证毕.
29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线 中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:
2
0 )为(2.125 0.0041)
n
（2）若 未知
构造函数 T x t(n 1)
S* / n
给定置信概率90%，查得 t0.05 (15) 1.7531，有
p( T t (n 1)) 1
2
∴母体平均数 的置信概率为90%的置信
区间为(x t0.05 (15)
s* )
n
，即（2.125±0.0075）
E E(1
ni
1 xi ) n
i
E xi
＾ 是 的无偏估计.
6.设母体X具有分布密度
k xk1e x , x 0
f(x)= (k 1)!
0, 其他
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大
似然估计量.
解:似然函数
L
n i 1
k
(k 1)
!
xi
k
1e
xi
(
1
n
)n nk (
(k 1)!
i
i 1
i
i 1
(n 1) 2 0 (n 1) 2 2(n 1) 2
(xi1 xi )2
E[ i
] 2,c
1
2(n 1)
2(n 1)
18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平 均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子 管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).
(9)}
0.99
母体 的置信概率为0.99的置信区间是
( 3s* , 3s* )
2
(9)
2 1
即(3.150,11.62)
2
2
(2)n=46, s* 14 时,所求的置信区间是
( (n 1)s*2 , (n 1)s*2 ) 即(10.979,19.047)
2 0.005
(45)
2 0.995