参数点估计
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计点估计的基本思想是根据样本数据，通过统计量来估计总体参数的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是找到一个参数值，使得样本观察值的概率最大。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数的值。
例如，如果总体服从正态分布，那么样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差的估计量。
区间估计的基本思想是给出一个区间，使得总体参数落在该区间内的概率达到一定的置信水平。
在区间估计中，置信水平通常是根据统计学的理论设定的，常见的有95%和99%置信水平。
区间估计的计算方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况下，而t分布法适用于小样本情况下。
对于点估计，我们需要考虑估计量的偏倚和方差。
偏倚表示估计量的期望值与总体参数的真实值之间的差异。
如果估计量的期望值与总体参数的真实值之间没有差异，就称为无偏估计；否则，就称为有偏估计。
方差表示估计量的离散程度。
我们通常希望找到无偏估计，并且方差越小越好。
对于区间估计，我们需要考虑置信水平和置信区间的宽度。
置信区间的宽度越小，说明估计的精度越高。
但是，要得到一个狭窄的置信区间就需要使用更大的样本量，或者降低置信水平。
在进行区间估计时，需要根据具体需求平衡估计的精度和置信水平。
在实际应用中，点估计和区间估计通常是一起使用的。
点估计提供了一个具体的估计值，而区间估计提供了一个参数值可能的范围。
通过点估计和区间估计，我们可以对总体参数进行合理的估计，并且给出估计的精度和可靠性的度量。
总之，参数的点估计和区间估计是统计学中常用的两种估计方法。
点估计通过选择适当的统计量来估计总体参数的值，而区间估计通过给出参数值可能的范围来表示估计的不确定性。
点估计和区间估计是统计学中重要的概念，对于数据分析和决策制定具有重要的指导意义。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
参数估计——点估计
1 n 2 A2 X i n i 1 1 n 2 2 2 Xi n i 1
2
所以 X
பைடு நூலகம்
1 n 1 2 ( X i X )2 Xi X n i 1 n i 1
2
结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差
的矩估计量分别为样本均值、样本二阶中心距，即
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
为样本，构造一个统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 来估计 参数，则称 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为参数的估计量。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
参数的矩法估计
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
1 n k Ak (1 , 2 ,, m ) X i n i 1
2
1 2
区间长度的矩估计量为 2 12A 12X 2 2 1 2
例3 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 a的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 0, 其它 a 2 a 解 由于 EX x (a x)dx 0 a 2 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
i 1
n
②若总体X为连续型随机变量
L( ) f ( x1 , x2 ,, xn , ) f ( xi , )
参数的点估计.ppt
证毕. 返回
退出
例2-3 设 X1, X2 , X3 , X4 是总体 X 容量为4 的样本．则总体均
值的以下无偏估计中, 最有效的点估计量是
(B )
A.
1 3
X1
1 6
X
2
1 6
X
3
1 3
X
4
B.
1 4
X1
1 4
X2
1 4
X3
1 4
X4
4311
C. 9 X1 9 X2 9 X3 9 X4
故 aX1 b是X2总 c体X3期望 的无偏E(估X计) .
证毕.
返回
退出
例2-5 从总体 X 中抽得容量为n1, n2 的两样本. 以 X1, X 2 分别 记二者的样本均值. 试证明两系数 a 和 b 只要满足条件 a b 1 ,
则 Y aX1 就bX是2 总体均值μ的无偏估计;试确定系数 a 和 b 的大小, 可使方差 D(Y ) 取最小值.
退出
对概率分布中的未知参数, 若不能利用分布的归一性、随机变量的独立性、 特定取值概率间的特定联系等条件,对参数的具体大小进行确定, 那就不得不改从总体中抽取适度容量样本的方式、 通过对样本中所含的个体进行恰如其分的数学处理，来
直接猜测和推断参数的具体大小. 怎样的数学处理才叫恰如其分？怎样进行推断才令人可信？
,
D(Xi ) E2(Xi ) 2 2 , E(X 2) D(X ) E2(X )
12
n
2
,
∴ 1
E [
(S2)
n
(
1 n
2 2
[ 1i )
n
1
n
E( (1
X
参数点估计
例 1 设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中参
数λ 未知， (X1, X2,, Xn) 是来自总体的一个样本，
求参数λ 的矩估计量.
解: 其概率密度函数为
f
(x,
)
e x
,
x0
0, x 0
总体X的期望为 E( X ) xexdx 1
0
从而得到方程
设 (x1, x2,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数
n
L(1 ,2 ,,k ) L( x1 , x2 ,, xk ;1 ,2 ,,k ) f ( xi ;1 ,2 ,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ˆ1 X;
ˆ 2
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X3;
ˆ3 X1
且ˆ1较ˆ2 , ˆ3都有效.
证明 显然有 E(ˆ1 ) E(ˆ2 ) E(ˆ3 ) 且 D(ˆ1 ) D( X ) D( X ) / 3
D(ˆ2 ) D( X1 / 2 X 2 / 3 X 3 / 6) 14D( X ) / 36
设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ .设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似然函数 L( ) 关于θ 可导. 令 d L( ) 0
d
解此方程得θ的极大似然估计值ˆ(x1, x2,, xn ) , 从而得到θ的极大似然估计量ˆ(X1, X2,, Xn) .
又由于 X1, X 2 ,, X n 相互独立且都服从泊松分布
于是有
E(ˆ1)
E(
X
参数的点估计
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 >0,
求 的最大似然估计值. 解 似然函数为
对数似然函数为
对数似然函数为 求导并令其为0
=0
从中解得
即为 的最大似然估计值 .
=0
得 即为 p 的最大似然估计值 . 从而 p 的最大似然估计量为
求最大似然估计的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布律(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布律 ( 或联合密度 ) 中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L( )的最大值点) ，即 的最大似然估计;
达到最大值的
称 为 的最大似然估计值 . 而相应的统计量 称为 的最大似然估计量 .
说明： 求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用 微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( ) 与L( )在 的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且lnL( )是 的一个可微函数。通过 求解方程：
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
例6 设总体 X ~N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .
解 X 的概率密度为
似然函数为
于是
(2π)n 2(σ 2 )n 2 exp[ 1 n
2σ 2 i1
( xi μ)2]
LnL n ln(2π) n ln σ2 1
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦大数定律 ,
若总体 的数学期望
关于分布参数点估计的正确说法
关于分布参数点估计的正确说法
关于分布参数点估计的正确说法有以下几点：
1. 分布参数点估计是指通过样本数据对未知的分布参数进行估计，从而得到总体的一些特征的估计值。
2. 常用的分布参数包括均值、方差、标准差、偏度、峰度等。
3. 通常使用矩估计法或最大似然估计法来进行分布参数点估计。
4. 矩估计法是通过样本矩与理论矩之间的差异来估计分布参数，其基本思想是让样本矩与理论矩尽量接近。
5. 最大似然估计法是通过选择使观测样本出现的概率最大的参数值作为估计值，其基本思想是找到最有可能生成观测样本的参数。
6. 分布参数的点估计通常伴随着估计误差，常用的方法来衡量估计误差包括标准误差、置信区间等。
总的来说，分布参数点估计是通过样本数据对未知的分布参数进行估计，常用的方法是矩估计法和最大似然估计法，估计结果通常伴随着一定的估计误差。
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我们知道,服从正态分布N ( , )的r.vX , E ( X ) , 由大数定律, 样本体重的平均值
2
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均 体重的一个估计.
这是因为估计量是样本的函数，是随机 变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得 不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应 在多次试验中体现出优良性 .
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性 这里我们重点介绍前面两个标准 .
1．无偏性
估计量是随机变量，对于不同的样本值 会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未 知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未 知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准 .
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么 特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量“好”？ (3) 如何求得合理的估计量？
二、估计量的优良性准则 在介绍估计量优良性的准则之前，我 们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依 据一次试验的结果，而必须由多次试验结 果来衡量 .
1 ( x ) e , x X ~ f ( x ) , 为未知参数 其它 0,
其中 >0,求 , 的矩估计. 解:由密度函数知
故 E(X- )= D(X- )= 2
X 具有均值为 的指数分布
即 E(X)= D(X)= 2
把样本值代入T(X1,X2,…Xn) 中，得到
的一个点估计值 .
请注意，被估计的参数 是一个 未知常数，而估计量 T(X1,X2,…Xn) 是一个随机变量，是样本的函数,当 样本取定后，它是个已知的数值,这 个数常称为 的估计值 .
问题是: 使用什么样的统计量去估计 ？
可以用样本均值;
k=0,1,2,3
如果有p1,p2,…,pm可供选择, 又如何合理地 选 p呢 ? 若重复进行试验n次,结果“1”出现k次 (0 ≤ k≤ n), 我们计算一切可能的 P(Y=k; pi )=Qi ， i=1,2,…,m 从中选取使Qi 最大的pi 作为p的估计. 比方说,当 p pi0 时Qi 最大,
所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了 有效性这一概念 .
2．有效性
ˆ ˆ ( X ,, X ) ˆ ( X ,, X ) 和 设 ˆ1 2 2 1 n 1 1 n
都是参数 的无偏估计量，若有
D( ˆ1 )< D( ˆ2)
则称 ˆ1 较 ˆ2 有效 .
在数理统计中常用到最小方差无偏估计.
k=0,1,2,3
估计
估计
出现 出现 出现 将计算结果列表如下：
出现
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.3 0.343 0.441 0.189
估计
P(Y=3) 0.343 0.027
估计
应如何估计p?
p=0.7 或 p=0.3
3 k 3 k P (Y k ) k p (1 p)
极大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本， 样本的联合密度(连续型）或联合概率函数 (离散型)为 f (X1,X2,…Xn; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似 然函数为：
L( ) f (X1,X2,…Xn; )
P (Y k; pi0 ) P (Y k; pi )
则估计参数p为
i=1,2,…,m
ˆ pi0 p
如果只知道0<p<1,并且实测记录是 Y=k (0 ≤ k≤ n),又应如何估计p呢? 注意到
n k n k P (Y k; p) k p (1 p) =f (p) 是p的函数,可用求导的方法找到使f (p)达到 极大值的p .
一、点估计概念及讨论的问题 2 例1 已知某地区新生婴儿的体重X~ N ( , ),
, 未知,
2
… 随机抽查100个婴儿
得100个体重数据
10,7,6,6.5,5,5.2, … 而全部信息就由这100个数组成. 据此,我们应如何估计 和 呢?
为估计 ,我们需要构造出适当的样本 的函数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就 代入该函数中算出一个值，用来作为 的 估计值 . T(X1,X2,…Xn)称为参数 的点估计量，
要依据该样本对参数 作出估计，或估计
的某个已知函数 g ( ) .
这类问题称为参数估计.
参数估计
点估计
区间估计
假如我们要估计某队男生的平均身高.
（假定身高服从正态分布 N ( , 0.1 ) ）
2
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出 总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数 组成 . 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计 为1.68， 这是点估计. 估计 在区间[1.57, 1.84]内，这是区间估计.
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 .
2. 极大似然法
是在总体类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
Gauss
费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 Fisher 种方法的一些性质 .
（也称最佳无偏估计）
二、寻求估计量的方法
1. 矩估计法
2. 极大似然法
3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 我们可以 ˆ1和ˆ2 都是参数 的无偏估计量， 比较 E (ˆ1 )2 和 E (ˆ2 )2 的大小来决定二者
谁更优 .
由于
ˆ ) E ( ˆ )2 D( 1 1 ˆ ) E ( ˆ )2 D(
2 2
记总体k阶矩为 k E ( X )
k
1 k 样本k阶矩为 Ak X i n i 1 k 记总体k阶中心矩为 k E[ X E ( X )]
1 k 样本k阶中心矩为 Bk ( X i X ) n i 1
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法.
用样本体重的均值 X估计 ,
类似地，用样本体重的方差 S 2估计 2 . n n 1 1 2 2 ( Xi X ) X Xi , S n 1 i 1 n i 1
那么要问: 样本均值是否是 的一个好的估计量？ 样本方差是否是 的一个好的估计量？
2
这就需要讨论以下几个问题:
n
n
设总体的分布函数中含有k个未知参数 1,, k ,那么它的前k阶矩 1,, k 一般 都是这k个参数的函数,记为： i=1,2,…,k i gi (1,, k ) 从这k个方程中解出
j hj ( 1 ,, k )
ˆj hj ( A1,, Ak )
参数点估计
引言
上一讲，我们介绍了总体、样本、简 单随机样本、统计量和抽样分布的概念， 介绍了统计中常用的三大分布，给出了 几个重要的抽样分布定理. 它们是进一步 学习统计推断的基础.
总体
ห้องสมุดไป่ตู้
随机抽样 样 本
描述 作出推断
统计量 研究统计量的性质和评价一个 统计推断的优良性，完全取决 于其抽样分布的性质.
便得
从中解得
k ˆ p n
这时, 对一切0<p<1,均有
ˆ ) P (Y k; p) P (Y k; p
这时,对一切0<p<1,均有
ˆ ) P (Y k; p) P (Y k; p
则估计参数p为
k ˆ p n
以上这种选择一个参数使得实验结 果具有最大概率的思想就是极大似然法 的基本思想 .
参数估计 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 在参数估计问题中，假定总体分布 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 . 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数 参数. 估计新生儿的体重 估计废品率 估计湖中鱼数 估计降雨量 … …
参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体，总体的分布函数 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是 向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1,X2,…,Xn
但因f (p)与lnf (p)达到极大值的自变量相同, 故问题可转化为求lnf (p)的极大值点 .
n ln f ( p) ln k k ln p ( n k ) ln( 1 p) 将ln f (p)对p求导并令其为0,
d ln f ( p) k n k =0 dp p 1 p p(n-k)=k(1-p)
数学期望 是一阶 原点矩
解: 1 E ( X ) x( 1) x dx
2 X 1 即为 的矩估计. 从中解得 ˆ , 1 X
1 ( 1) x dx 0 2 由矩法, 1 总体矩 X 样本矩 2
1
0 1
1
例3 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
它的定义是:
ˆ( X ,, X ) 是未知参数 的一个估计量， 1 n
设 X1,, X n 是取自总体X的一个样本，