参数点估计应用实例
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
SPSS第三章参数估计
利利利利
t 21.192
Mean df Sig. (2-tailed) Difference 32 .000 8.86364
结论: 结论
1:33家平均受益量为 8.8636万元 万元, 表1:33家平均受益量为 8.8636万元,标准 差为2.4027万元. 2.4027万元 差为2.4027万元.
新电池 ):18.2\10.4\12.6\18.0\11.7\15.0\24.0\17.6\ (日):18.2\10.4\12.6\18.0\11.7\15.0\24.0\17.6\23 .6\24.8\19.3\20.5\19.8\17.1\ .6\24.8\19.3\20.5\19.8\17.1\16.3 旧电池 ):12.1\17.5\8.6\13.9\7.8\15.1\17.9\10.6\ (日):12.1\17.5\8.6\13.9\7.8\15.1\17.9\10.6\13.8 14.2\15.3\ \14.2\15.3\11.6
挂牌上课态度反映得分(X) 挂牌上课态度反映得分( 10—20 10 20 20—30 20 30 30—40 30 40 40—50 40 50 50—60 50 60 60—70 60 70 合计 人数(f ) 人数( 2 6 10 12 20 10 60
案例1 案例1
(1分表示"很不同意" (1分表示"很不同意",7分表示"很同 分表示 分表示" 10项态度分累加后得一总态度分 项态度分累加后得一总态度分, 意",将10项态度分累加后得一总态度分,这种 量叫7级李克累加量表): 量叫7级李克累加量表): 试计算: 试计算: 学生态度得分的平均值和标准差; (1)学生态度得分的平均值和标准差; 构造学生态度得分平均值的98%置信区间. 98%置信区间 (2)构造学生态度得分平均值的98%置信区间.
知识点15-多因素敏感性分析
多因素敏感性分析法一、多参数敏感性分析多因素敏感性分析，就是对两个以上因素同时发生变动的敏感性分析就称之为多因素敏感性分析。
进行多因素敏感性分析就是考察多个因素同时变化对项目的影响程度，帮助决策者掌握各个因素对指标影响的重要程度，在对各相关因素相互变化进行预测、判断的基础上，对项目的经济效果作进一步的判断，或在实际执行中对敏感因素加以控制，减少项目的风险。
假定其他参数保持不变，仅考察两个参数同时变化对经济效益的影响，称为双因素敏感性分析。
下面以实例说明其应用。
【例5-8】某企业为研究一项投资方案，提供了表5-8所示的参数估计值。
现假定最关键的参数是投资和年收入，试进行双因素敏感性分析。
令x 代表投资变化的百分比，y 代表年收入变化的百分比，则得年金为：NA V=－10000（1+x ）×（A/P ，8%，5）+5000（1+y ）－2200+2000×（A/F ，8%，5）NA V=636.32－2504.6x +500y如果NA V ＞0或y ≥－0.127264+0.50092x ，则该投资方案便可以盈利8%以上。
将以上不等式画成图形，便得到5-7所示的两个区域，其中所希望的区域（NA V ＞0）占优势。
如果预计造成±20%的估计误差，则NA V 对增加的投资比较敏感。
例如投资增加5%，年收入减少12%，则NA V ＜0，此时便达不到8%的基准收益率。
当变动参数多于三个时，手工计算工作量就很大。
基本方法有二：一是把单参数分析法应用到多参数敏感性分析中来；二是采用三状态分析法。
限于篇幅，在此不再赘述。
图5-7 双因素敏感性分析图二、敏感性分析的应用要点及局限性敏感性分析能够指明因素变动对项目经济效益的影响，从而有助于理清项目对因素的不利变动所能容许的风险程度，有助于鉴别哪些是敏感因素，从而能够及早放松对那些无足轻重变动因素的注意力，把进一步深入调查研究的重点集中放在那些敏感因素上，或者针对敏感因素制订出管理和应变对策，以达到尽量减少风险、增加决策可靠性的目的。
韦伯分布参数估计
韦伯分布参数估计引言韦伯分布（Weibull distribution ）是一种常见的概率分布，广泛应用于可靠性工程、生物学、工业工程等领域。
它具有灵活性和适应性强的特点，在数据建模和分析中发挥着重要的作用。
韦伯分布的参数估计是使用已观测到的数据计算韦伯分布的参数，从而对未来的事件进行预测和分析。
韦伯分布的定义韦伯分布是一种连续概率分布，其概率密度函数由下式给出：f (x;λ,k )={(k λ)(x λ)k−1e −(x λ)k,x ≥0;0,x <0.其中，x 是随机变量的取值，λ 是形状参数，k 是尺度参数。
韦伯分布参数估计方法对于韦伯分布的参数估计，常用的方法有最大似然估计法和矩估计法。
1. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，其思想是寻找参数值，使得观测到的数据在该参数值下的似然函数取得最大值。
对于韦伯分布，最大似然估计法的步骤如下：1. 建立似然函数。
假设有n 个观测值 x 1,x 2,...,x n ，则似然函数定义为：L (λ,k )=∏[k λ(x i λ)k−1e −(x i /λ)k ]ni=1 2. 对似然函数取对数。
对数似然函数的形式为：lnL (λ,k )=∑[lnk −lnλ+(k −1)ln (x i /λ)−(x i /λ)k ]ni=13.求解对数似然函数的偏导数为零的方程，得到参数的估计值。
对参数λ和k分别求偏导数，并令偏导数为零，可以得到方程组：{∂∂λlnL(λ,k)=∑[kλ2(x iλ)k−1−k(k−1)λ(x iλ)k]ni=1=0∂∂k lnL(λ,k)=∑[1k−ln(x i/λ)k2−ln(x i/λ)+(x iλ)kln(x i/λ)]ni=1=0通过求解以上方程组，可以得到参数λ和k的最大似然估计值。
2. 矩估计法矩估计法是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的等值性对参数进行估计。
对于韦伯分布，矩估计法的步骤如下：1.计算样本矩。
《点估计的求法》课件
有效性
总结词
有效性是指估计量的方差应该尽可能小。
详细描述
有效性关注的是估计量的稳定性，即估计量在多次重复抽样中的变异性。一个有 效的估计量应该具有较小的方差，这意味着该估计量在多次抽样中给出的结果应 该相对稳定。方差越小，估计量的有效性越高。
一致性
总结词
一致性是指随着样本容量的增加，估计量的值应该趋近于被估计参数的真实值。
《点估计的求法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 点估计的概述 • 点估计的常用方法 • 点估计的优良性准则 • 点估计的应用实例 • 点估计的未来发展
01
CHAPTER
点估计的概述
点估计的定义
总结词
点估计是一种统计学方法，用于估计某个未知参数或总体分布的特征值。
详细描述
点估计是一种统计学方法，通过使用样本数据来估计未知的总体参数或总体分 布的特征值。它是一种近似估计，以样本统计量作为总体参数的估计值。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优点包括简单易行、直观明了和计算方便， 但缺点是存在误差且无法衡量误差大小。
详细描述
点估计是统计学中最为基础和直观的估计方法之一，其 优点在于简单易行、直观明了和计算方便。它能够快速 地给出未知参数的近似值，因此在许多情况下被广泛应 用。然而，点估计也存在一定的缺点，主要是由于它是 基于样本统计量来估计总体参数，因此不可避免地存在 误差，而且无法提供一个准确的衡量误差大小的指标。 因此，在某些情况下，可能需要更精确的估计方法来替 代点估计。
随着数据流的处理需求增加，在线估计方法能够实时更新估计结 果，减小计算和存储开销。
分布式估计
利用分布式计算框架（如Hadoop、Spark）进行大规模数据的并 行处理和估计，提高计算效率。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
最大似然估计法的教学实例
例 ３ 设 总体 Ｘ具 有分布律 Ｐ（ Ｘ一１ ）一 ，
Ｐ（ Ｘ一 ２ ） 一２ ０ （ １ 一 ）， Ｐ （ Ｘ一 ３ ） 一（ １ 一 ） ， 其 中 ０（ ０＜ ０ ＜ １） 为未 知参数 ， 已知取 得样 本值 ｚ 。
一 ｍａ ｘ （ ｘ ， ｚ ： ， …， ｚ ）， 则（ １ ） 式 可 等 价 的 记 为
可能无 解或似然 函数不易写 出 ， 特举例 讨论 。
例 ２ 设 某元 件 的使用 寿命 ｘ 的概率 密度 为
２ 最 大似 然估 计 的非 一般算 法 和特 殊情 况
例 １ 设 Ｘ ～ Ｕ（ ａ ， ６ ），ａ ， ｂ未 知 ， ｚ １ ， ｚ ２ ，
…
厂 （ ｚ ） 一 ｛ ： ＇ ｘ ｚ ＞ ≤ Ｏ ． ， 其 中 ０ ＞ ０ 为
Ｖｏ Ｉ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２
２Ｏ１ ３
・
大 学教 学 ・
最 大 似 然 估 计 法 的教 学 实 例
李 明泉
（ 三峡 大学 理 学 院 ， 湖北 宜 昌 ４ ４ ３ ０ ０ ２ ）
摘
要： 最 大 似 然 估 计 法是 参 数 的 点 估 计 的 一 个 重 要 方 法 之 一 ， 其 一 般 算 法 学 生 比 较 容 易掌
＝ ＝ ＝ｍｉ ｎ （ ｘ １ ， ｚ２ ， … ， ｚ ）
以上两 例都 是对 数 似然 方 程 无 解 的情 况 ， 下 面举 似然 函数不 易写 出 的例子 。
围 中找 出一个值 去作 为未 知 参 数 的估 计值 ， 使 得 似然 函数 达到最 大 即可 。
记 ｚ （ １ ） 一 ｍｉ ｎ （ ｘ ｌ ， ｚ２ ， …， ）， ｚ（ ）
１ 实例 教学 的提 出
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2
12
ˆ 2 X 是参数 的无偏估计 ˆ E 2 X E 2 X 2 ，所以 E 1 1 2
ˆ ) Var 2 X 4Var X 4 Var X 4 Var ( 1 12n 3n n
n
n
ˆ E n 1 max X n 1 E 。 故E 2 n 1 k n k n
ˆ 所以 2
n1 max X k 也是参数 的无偏估计。 n 1 k n
E ( 2 ) y 2 f ( y )dy y 2
ˆ ) Var 2 X 4Var X 4 Var X 4 ； Var ( 1 n 12n 3n
2 2
当 n 1 时，
n 1 1 1 2 2 ，所以 2 max X k 比 1 2 X 更有效。 n ( n 2) 3n n 1k n
2 2
ˆ 2
n1 ˆ ， max X k ， 计算 E 2 1 k n n
ˆ Var 2
1. 记 max X k ， 计算 的分布函数和密度函数
1 k n
2. 计算 的期望和方差
1
计算 max X k 的分布函数，
1 k n
n n 1 y , y [0, ] 于是 的概率密度为 f ( y ) n ， 0, 其它
因此，我们有
E ( )
yf ( y )dy y
0
n
n
y n1dy
n
n
0
y n 1 n y dy n n1 0 n1
2
**********************************************************
3
14.4 参数点估计应用实例
例 14.4.1 假设某小学的学生周末玩游戏的时间服从正态分布 N , 2 ，下面是 对 10 名该小学的小学生的抽样调查数据（单位：小时）
2.2, 3.5，0.8，1.5，2.4， 1.2，4.3，2.8，2.4，1.7
试估计该小学学生每天玩游戏时间的规律 N , 2 ， X ~ N 2.28,1.062 周末玩游戏超过 5 个小时的学生比例； 大约有多少比例的学生周末没有玩游戏的时间； 会不会有学生玩游戏的时间超过 10 小时 …… ********************************************************** 例 14.4.2 X 1 , X 2 ,
, X n 是 来 自 均 匀 总 体 U 0, 的 样 本 ， 验 证 1 2 X 和
ˆ 2
n1 max X 都是参数 的无偏估计，并比较它们的有效性。 n 1 k n k
均匀总体 U 0, 的期望、方差分别为 E X
解
2
, Var X
0 0
n
n
y n1dy nLeabharlann n0
y n 1dy
n n 2 n 2， n n 2 n 2
Var E ( ) E ( )
2
2
n n 2 n2 2 2 2 2 (n 1) (n 2) n2 n 1
2 1 ˆ ) Var n 1 (n 1) Var 2。 因此 Var ( 2 2 n n(n 2) n
当 0 y 时，由样本的独立同分布性质，可知其分布函数为
y F ( y ) P y P max X k y P X k y 1 k n k 1
n
n
0, y 0 n y max X k 的分布函数 F ( y ) , 0 y ， 1 k n 1, y