7.1_参数的点估计

例 1 设总体 X 的 EX , DX 2 存在,求 和 2 的矩估计 ˆ 与ˆ 2 。
解 （1） 就是总体的一阶矩，用样本一阶矩
X
1 n
n i 1
Xi
作为
的矩估计。
即：
ˆ X 。
（2）由于 2 DX EX 2 (EX )2 ，
信息系 刘康泽
EX 2 是总体的二阶矩，则用样本二阶矩
信息系 刘康泽
证明
因
{X
n
}
独
立,那么
{
X
k n
}
也独
立
,
又
k
EX k
,
于是
EX
k n
EX k
k 。
由辛钦大数定理知：
Ak
1 n
n i1
X
k i
P k , k N
.
(2) 设 总 体 X 的 矩 k EX k , k 1, 2, , m 存 在 ,
f (t1, t2 ,, tm ) 为连续函数,
矩的矩估计量。
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这是因为：总体 k 阶中心矩 E( X EX )k 是总体各阶矩 EX , EX 2 , , EX k 的线性函数，而样本的 k 阶中心矩是样
本各阶矩同样的线性函数，由矩估计的方法可知，
EX , EX 2 , , EX k 矩计是相应地各阶样本矩。
因此：总体 k 阶中心矩的矩估计量就是样本的 k 阶中心
则 f ( A1, A2 ,, Am ) P f (1, 2 ,, m ) .
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2、矩估计法
用样本 k 阶矩 Ak 作为总体 k 阶矩 EX k k 的估计量。
实施步骤：
(1) 求出总体的矩 EX k k (与未知参数 的关系)；
(2)
求出样本的矩估计 Ak
1 n
n i 1
X
k i
1 n
n i 1
X
2 i
作为
EX 2 的矩估计，用 X 作为 EX 的矩估计，由此
ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
X2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
即
ˆ 2 Sn2 。
因此总体均值的矩估计就是样本均值 X ，总体方差的
矩估计就是样本方差
S
2 n
【注 1】 可以用样本的 k 阶中心矩作为总体 k 阶中心
而 EX
的矩估计就是 X
1 n
n i 1
Xi
因此 ˆ
X
1 n
n i 1
Xi
。
例 3 设 X ~ E() ,求 ˆ .
解 由于 EX 1 ；
而 EX
的矩估计就是 X
1 n
n i 1
Xi
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因此
ˆ 1 X
n。
n
Xi
i 1
如：已知总体服从参数为 的指数分布，从总体中抽取
n
了容量为 20 的样本，经计算得 X i 60 ，要求总体参数 i 1
的矩估计。
由上面的讨论知： ˆ 1 X
n
n
Xi
故
ˆ
n
n
Xi
20 60
1。 3
i 1
i 1
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进一步还可得总体数学期望和方差的矩估计为：
ˆ
1
ˆ
3
,
ˆ 2
1
ˆ2
9。
例 4 设 X ~ N (, 2 ) ,求 ˆ ,ˆ 2 .
解 由于 EX ， 2 DX EX 2 EX 2 ；
(2)
联立方程 (1), (2) 求解得： aˆ X 3Sn , bˆ X 3Sn 。
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其中
X
1 n
n i 1
Xi
, Sn
1 n
n i 1
(Xi
X )2
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三、极大似然估计法 1、统计思想：
一 次 观 测 样 本 X1, X2, , Xn ， 得 到 样 本 观 测 值 x1, x2 , , xn 。 一 般 地 ， 样 本 X1, X 2 , , X n 取 值 为 x1, x2 , , xn 的可能性较大，即试验条件对 X1, X 2 , , X n 取 到 x1, x2 , , xn 最有利，因而概率最大。
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第 7-1节 参数的点估计
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第 7-1 节 参数的点估计
思想：利用样本信息来推断总体信息。
通常总体的分布是未知的，或总体分布的参数 是未知
的。如果抽取了一个容量为 n 的样本 X1, X2 , Xn ，则希
望利用样本 X1, X2 , Xn 得到总体分布参数 的估计，也
就是说用一个合适的样本的函数作为总体参数的估计。
一、点估计
1、 的点估计量：设 F (x, ) 是总体 X 的分布函数,
为未知参数，构造统计量（它是样本的一个函数）
ˆ(X1, X2, , Xn) ，用以估计 ,则称ˆ(X1, X2, , Xn) 为 的点估计量。
信息系 刘康泽
点估计量有时也简记作ˆ ，当总体的未知参数多于一个 时，ˆ 为一个向量ˆ (ˆ1,ˆ2, ,ˆm ) 。
矩。
【注 2】总体的未知参数 往往与 EX , DX 2
有关，于是可以先用
X
与
S
2 n
作为总体
EX
与
DX
的估计
量；然后求出总体的 EX 与 DX 与未知参数 的关系，即得
的点估计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) 。
信息系 刘康泽
例 2 设 X ~ P() ,求 ˆ .
解 由于 EX ；
因此：
ˆ
X
1 n
n i 1
Xi
，
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
。
信息系 刘康泽
例 5 设 X ~ U[a,b],求 aˆ, bˆ 。
解 由于 EX a b ，故令 X a b ，
2
2
即
a b 2X
(1)
又
DX
(b a)2 12
，故令：
Sn2
(b a)2 12
，
即
b a 12Sn2 2 3Sn
；
(3) 用样本 k 阶矩 Ak 作为相应总体 k 阶矩 EX k k
的估计量，即令：
ˆk Ak (k 1, 2, ) (4)联立求解上式，得未知参数 的点估计量:
ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) ；
信息系 刘康泽
(5)将样本的观察值代入ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) 可得总 体参数的点估计值ˆ ˆ(x1, x2, , xn) 。
极 大 似 然 估 计 就 是 在 使 得 X1, X2, , Xn 取 值 为 x1, x2 , , xn 的 概 率 为 最 大 的 前 提 下 。 通 过 样 本 值
x1, x2 , , xn 等数求得总体 X 的分布参数的估计。
2、 的点估计值： 的点估计量ˆ(X1, X2, , Xn) 的 样本观察值ˆ(x1, x2, , xn) 为 的点估计值,.
二、矩估计法
1、矩估计法的理论依据
(1) 设总体 X 的 k 阶矩 k EX k 存在, 则样本 k 阶
矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
依概率收敛于总体
X
的k
阶矩，即：
Ak P k , k N .