河南省林州市第一中学高一人教A版数学必修二导学案：244平面与平面垂直的性质(PDF版)
人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (2.3.2 平面与平面垂直的判定)示范教案 新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定整体设计教学分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.三维目标1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.重点难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.课时安排1课时教学过程复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B ，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角. 证明：设α∩β=CD ，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB⊥β，CD ⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCD β的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCD β是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直. 应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC ⊂α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PB C,∴平面PAC⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt△ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos∠OEC=33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F ，并连接FG,则FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）.答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m. 变式训练已知二面角αAB β等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°. 求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE⊥AB 于E ，连接CE ，则CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αAB β的平面角， 即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO⊥OE，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：作AE⊥PO 于点E,∵平面P BD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==∙PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212. （3）解：作AF⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt△AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin∠AFE=742=AF AE ,cos∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN∥平面PAD ； （2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN. ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A⊥BD. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1, ∴BD⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA∥BN 且DA=BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD⊥AC 1. ∵BD∥NA，∴AC 1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt△C 1AC 中，tan∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sin α的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sin α=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sin α=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sin α＜22. 知能训练课本本节练习. 拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD∥BC,BC ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.（3）解：作EF⊥AB，连接PF ，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt△AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan∠PFE=233 EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组1、2、3.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重点.本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 平面与平面垂直的性质
2．3.4 平面与平面垂直的性质1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．文字语言两个平面垂直，则__________垂直于____的直线与另一个平面______ 符号语言图形语言作用证明直线与平面______平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．【做一做】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作E F⊥A1B1于F，则E F与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．E F平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直答案：一个平面内交线垂直aαa⊥l垂直【做一做】D1．理解平面与平面垂直的性质定理剖析：(1)定理成立的条件有两个：①直线在其中一个平面内；②直线与两个平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)遇到面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直．(4)若两个平面垂直，过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内．2．线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系剖析：线面垂直是线线垂直和面面垂直的纽带．对于面面垂直的判定和性质定理，可借助于长方体进行抽象概括．首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直，则线和面内任意直线都垂直；根据线面垂直的判定定理，若直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直；然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简记为“线面垂直，则面面垂直”；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直，则线面垂直．由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明．因此，我们可以说线面垂直是线线垂直、面面垂直的纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的相互转化．题型一：性质定理的应用【例1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.反思：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理时，要注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．题型二：计算问题【例2】如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD 分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．反思：在空间中求线段长度的问题一般在三角形中求解，如果已知垂直关系较多，通常最终转化为线线垂直，即在直角三角形中求线段长度．答案：【例1】证明：∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面SCD.又∵BC平面SBC，∴平面SCD⊥平面SBC.【例2】解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm.∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BDβ，∴BD⊥α.又BCα，∴BD⊥BC.在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm.1．如图所示，三棱锥P-ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ＝PB ，AD ＝DB ，则( )A ．PD 平面ABCB ．PD ⊥平面ABC C ．PD 与平面ABC 相交但不垂直 D ．PD ∥平面ABC2．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是__________．3．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA ′⊥A ′B ′，BB ′⊥A ′B ′，且AA ′＝3，BB ′＝4，A ′B ′＝2，则三棱锥A-A ′BB ′的体积V ＝__________.4．如图所示，P 是菱形ABCD 所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，PB 与平面AC 所成的角为θ，则θ＝__________.5．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD.(1)求证：E F ∥平面PAD ； (2)求三棱锥C-PBD 的体积．答案：1．B 2.平行 3.4 4.45°5．解：(1)证明：连接AC，如图所示，则F是AC的中点，又E为PC的中点，∴EF∥PA.又∵PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示．∵PA＝PD，∴PN⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，∴V C-PBD＝V P-BCD＝13S△BCD·PN＝1 3·12a a⎛⎫⋅⎪⎝⎭·12a＝312a.。
高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第2课时)平面与平面垂直的性质 导学案新
【新教材】 8.6.3 平面与平面垂直（人教A 版）第2课时 平面与平面垂直的性质1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面垂直的性质定理.难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.一、 预习导入阅读课本141-142页，填写。
1、平面与平面垂直的性质定理探究: (1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?1.如图,在三棱锥P-ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC,平面PAC ⊥平面ABC,则下列结论中错误的是( )A.AP ⊥ACB.AP ⊥ABC.AP ⊥平面ABCD.AP 与BC 所成的角为45°2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线l ⊥平面A 1C 1(l 与棱不重合),则( ) A.B 1B ⊥l B.B 1B ∥l C.B 1B 与l 异面 D.B 1B 与l 相交 3.已知m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m ∥α,n ⊂β,则下列叙述正确的是( )A.若α∥β,则m ∥nB.若m ∥n,则α∥βC.若n ⊥α,则m ⊥βD.若m ⊥β,则α⊥β4.如图所示,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°, BC 1⊥AC,则C 1在平面ABC 上的射影H 必在直线 上.题型一平面与平面平行的性质定理的应用-中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.例1 在三棱锥P ABC跟踪训练一1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.题型二线面、面面垂直的的综合应用例2 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.跟踪训练二1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是()A.3B.2C.1D.02.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形B.等边三角形D.等腰直角三角形3.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为()A.1B.2C.3D.44.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.5.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.答案小试牛刀1．D.2．B.3．D.4. AB.自主探究例1 【答案】证明见解析⊥于点D. 【解析】证明：如图所示，在平面AB内作AD PB=，∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB⋂平面PBC PB∴AD⊥平面PBC.⊥.又BC⊂平面PBC，∴AD BC∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，⊥.∴PA BC⋂=，∴BC⊥平面P AB.∵PA AD A跟踪训练一1.【答案】证明见解析.【解析】(1)如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.例2 【答案】（1）见解析（2）见解析. (3) .【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH ⊥平面ABCD.又因为BC ⊂平面ABCD,所以PH ⊥BC.又因为长方形ABCD 中,BC ⊥CD,PH∩CD=H,所以BC ⊥平面PDC.又因为PD ⊂平面PDC,所以BC ⊥PD.(3)解:连接AC.由(2)知PH 为三棱锥P-ADC 的高.因为△ADC =12·AD·CD=12×3×6=9,所以P ADC V -=13·S △ADC ·PH=13×由(2)知BC ⊥PD,又因为AD ∥BC,所以AD ⊥PD,所以S △PDA =12·PD·AD=12×4×3=6.设点C 到平面PDA 的距离为h.因为C PDA V -=P ADC V -,所以13·S △PDA ·所以3PDA S ∆⋅63⨯=. 跟踪训练二1、【答案】证明见解析【解析】证明:(1)在矩形ABCD 中,因为AP=PB,DQ=QC,所以AP CQ.所以AQCP 为平行四边形.所以CP ∥AQ. 因为CP ⊂平面CEP,AQ ⊄平面CEP,所以AQ ∥平面CEP.(2)因为EP ⊥平面ABCD,AQ ⊂平面ABCD,所以AQ ⊥EP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形. 所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.当堂检测1-3. CAC4.以AB为直径的圆(除去A,B两点).5．【答案】证明见解析.【解析】证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 线与平面垂直的判定
2．3.1 直线与平面垂直的判定1．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性．2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．3．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法．1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的____，平面α叫做直线l的____．它们唯一的公共点P 叫做____图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．【做一做1】直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条____直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，aα，bα，________l⊥α作用判断直线与平面____直线与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直，通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．【做一做2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面____，但不和这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的____叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引____，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的____，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于____；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于____．因此，直线与平面所成的角的范围是______．斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的，因此，其求解策略也是将空间问题转化为平面问题．要注意，斜线与平面所成的角的大小不受选择的点的位置限制；作出斜线的射影是求斜线和平面所成角的关键．【做一做3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于__________．答案：1．任意一条 垂线 垂面 垂足 【做一做1】 A2．相交 a ∩b ＝P 垂直【做一做2】 证明：∵BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴BB 1⊥平面AC ， 又AC平面AC ，∴BB 1⊥AC .∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC . ∵BD平面BDD 1B 1，BB 1平面BDD 1B 1，BB 1∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1.3．(1)相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 锐角 (2)90° 0° ⎣⎡⎦⎤0，π2 【做一做3】 45°1．理解直线与平面垂直的判定定理剖析：(1)在判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．(3)判定定理是由线线垂直推导出线面垂直，其最终仍归结为证明线线垂直，即证明线与平面内的两条相交直线垂直．(4)判定线面垂直的方法有：①利用线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内的任意直线，则该直线垂直于这个平面；②利用线面垂直的判定定理．过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直．2．一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，这条直线不一定垂直于这个平面剖析：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作E F∥AD交CD于点F，则这样的直线能够作无数条．很明显直线AB垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线AB平面AC；直线A1B1也垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线A1B1∥平面AC.其原因是，虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线，但是这无数条直线是互相平行的，没有两条相交的直线，所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线”．因此，一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，这条直线不一定垂直于这个平面．直线与平面垂直的判定定理有三个条件：①平面内两条直线；②这两条直线相交；③一条直线同时垂直于这两条直线．在应用判定定理时，这三个条件缺一不可，本例中不满足条件②.题型一：证明直线与平面垂直【例1】如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A，B的任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.反思：利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找出两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的这两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．题型二：求直线与平面所成的角【例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．反思：求斜线与平面所成的角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．题型三：证明直线与直线垂直【例3】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作E F⊥SC交SC于F.求证：A F⊥SC.反思：证明两条直线垂直，常转化为证明直线与平面垂直，即把其中一条直线放在一个平面内，证明另一条直线垂直于该平面．题型四：易错辨析易错点证明线面垂直不严密【例4】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB 的中点．求证：CD⊥平面ABB1A1.错解：证明：∵AA1⊥平面ABC，CD平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.错因分析：错解中AA1和BB1是平面ABB1A1的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．反思：证明线面垂直时，所满足的条件必须是明显的或已经证明成立的，且与直线与平面垂直的判定定理的条件严格一致，否则会导致证明不完整．答案：【例1】证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.【例2】解：如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝AB2＋AD2＝42＋32＝5.则∠PCA＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.【例3】证明：∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.又∵AE平面SAB，∴BC⊥AE.∵SB⊥AE，且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.∵EF⊥SC，且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.又∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.【例4】正解：证明：∵AA1⊥平面ABC，CD平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.又∵AB平面ABB 1A1，AA1平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是()A．①③B．①②C．②④D．①④2．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为__________．3．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC2.求证：PD⊥平面ABCD.4．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且B F⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.5．直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AA1＝4，点D在线段AB上．(1)求证：AC ⊥B 1C ；(2)若D 是AB 的中点，求证：AC 1∥平面B 1CD.答案：1．A 2.π63．证明：∵PD ＝DC ＝1，PC ＝2，∴PD 2＋DC 2＝PC 2， ∴△PDC 是直角三角形．∴PD ⊥CD . 又∵PD ⊥BC ，BC ∩CD ＝C ，且BC平面ABCD ，CD平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD .4．证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE . 又AE平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE 平面ACE ，∴AE ⊥BF .又∵BF 平面BCE ，BC平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .又BE平面BCE ，∴AE ⊥BE .5．证明：(1)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3， 则AB 2＝BC 2＋AC 2，所以AC ⊥BC . 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有CC 1⊥AC . 又BC ∩CC 1＝C ，BC 平面BB 1C 1C ，CC 1平面BB 1C 1C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C .又B 1C平面BB 1C 1C ，所以AC ⊥B 1C .(2)连接BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ，如图所示．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，又E为BC1的中点，D是AB的中点，所以DE∥AC1.又DE平面B 1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.。
高一数学必修2人教A导学案2.3.3直线与平面垂直的性质
2. 3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. （2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】 （一） 复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确：1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、 在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
3、 垂直于同一平面的两直线互相平行。
4、垂直于同一直线的两平面互相平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？（二） 创设情景如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1 已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a师：此问题是在a α⊥，b α⊥的条件下，研究a 和b 是否平行，若从正面去证明b ∥a ，则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b ’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a. 有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它//.=== // ////= //l l a l A l BA a bB l B cl l a l c l a l c a c a c a b a b A αββαβαγββγβγαγββββαβ⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又下列命题中错误的是（C ）A 、 若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
高中人教版数学必修2《平面与平面垂直的性质》精品导学案
平面与平面垂直的性质【学习目标】1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.【学习重点】平面与平面垂直的性质定理. 【学习难点】平面与平面性质定理的应用. 一、 教材导读1、长方体1111ABCD A B C D -中，平面11CDD C ⊥平面ABCD ，则平面11CDD C 中所有的直线都与平面ABCD 垂直吗？什么情况下平面11CDD C 里的直线与平面ABCD 垂直？2、平面与平面垂直的性质定理： 线面垂直性质定理：文字语言：简单概括： 符号语言：图形语言：反思：定理的实质是什么？__________________________________________作用：___________________________________________________________ 二、 定理应用例1 如图，已知α⊥β，a ⊥β,a ⊄α,试判断直线a 与平面α的位置关系.A C 1CB变式1 如图已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.图10 图11（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.变式2 如图斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角面BCC的大小.例3如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC, （1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.变式3如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.（1）求证：AC′⊥BC′；（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；（3）求二面角C′BDA的正切值.例4 如图15,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.变式4如图边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=22，M为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P-AM-D的大小.四．当堂检测1、判断下列命题的真假①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面.②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直.③两个平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
河南省林州市第一中学高一人教A版数学必修二导学案：232平面与平面垂直的判定(PDF版)
装订线 2.3.2平面与平面垂直的判定【学习目标】1.理解“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念。
2.掌握两个平面垂直的判定定理并能进行简单应用。
（重点）3.举生活生活实例，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。
（难点）(阅读教材第71页至第74页内容，然后回答)1.（1）二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_________．从这一条直线出发的_________所组成的图形叫做二面角。
图行：记作：（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于____的射线，则这两条射线构成的_____叫这个二面角的平面角；范围：_________图行：符号：【即时训练】如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求二面角BA 1C 1B 1的正切值．2、（1）平面与平面垂直：两平面相交，所成的二面角是______，则两平面垂直．记作______；（2）平面与平面垂直的判定：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直（______________________________________________________）图形:符号语言：【即时训练】设有直线m,n 和平面α,β,则下列结论中正确的是()①若m ∥n,n ⊥β,m ⊂α,则α⊥β;②若m ⊥n,α∩β=m,n ⊂α,则α⊥β;③若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则α⊥β.A.①②B.①③C.②③D.①②③【当堂训练】装订线1.如果直线l,m 与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l ∥α,m ⊂α,m ⊥γ,那么有()A.α⊥γ和l ⊥m B.α∥γ和m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β和α⊥γ2.空间四边形ABCD 中,若AD ⊥BC,BD ⊥AD,则给出下列四种关系,正确的是()A.平面ABC ⊥平面ADCB.平面ABC ⊥平面ADBC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面BDC3.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个【例题与变式】例1如图，在四面体A-BCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a .求证：平面ABD ⊥平面BCD .变式1.在四棱锥P ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形．证：平面P AC ⊥平面PBD .变式2如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .。
人教新课标版数学高一人教A版必修二直线与平面垂直的判定导学案
2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1．了解、感受直线和平面垂直的概念，体会探究判定直线和平面垂直的方法，掌握线面垂直的判定定理并能进行简单运用；2．加深对转化思想的认识，进一步熟练将空间问题化为平面问题加以解决的基本方法；3．正确理解直线和平面所成角的概念，掌握求线面角的基本方法；课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义_______________________________________ 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？课内探究学案学习过程1、探究判定定理学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）问题4：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?2、直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？自我检测：1．若三条直线OA OB OC ，，两两垂直，则直线OA 垂直于 （ ） A ．平面 OABB ．平面 OACC ．平面 OBCD ．平面ABC2．在正方形123SG G G 中，E F 、分别是1223G G G G 、的中点，现沿S S E F 、、EF 把这个正方形折成一个四面体，使123G G G 、、重合于点G ，则有 （ ）A ．SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ．GF ⊥平面SEFD ．SG ⊥平面SEF3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°4．若平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射影 ；若平面内的一条直线与该平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线的位置关系是 ．5．在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，求证：AC VB ⊥G 3G 2G 1F ESVDABC6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：111B D A C ⊥， （2）111B D A C B ⊥平面；D 1C 1B 1A 1DCBA。
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2.3.4 平面与平面垂直的性质
【学习目标】 1. 掌握平面与平面垂直的性质定理及应用（重点）
2. 结合面面垂直判定定理，线面垂直性质定理，培养学生的综合学习能力（难点） 3. 培养学生的思维想象能力和逻辑思维能力 【复习回顾】
B. 直线 b 必垂直于平面α C. 直线 a 不一定垂直于平面β D. 过 a 的平面与过 b 的平面垂直 4.已知直线 m、n 和平面α、β满足 m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( D ) A. n⊥β
订
B. n∥β，或 n⊂β C. n⊥α D. n∥α，或 n⊂α
总结：
线
订 结论：___________________________________________________________________________ 思考三：已知平面 , , ,且 , , l, 则直线 l 与平面 的位置关系如何？
结论：___________________________________________________________________________
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
3.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线 a 垂直于平面β内的一条直线 b,则( ) 装 A. 直线 a 必垂直于平面β
直线与平面垂直的性质定理：________________________________________思考一：设平面 平面 ，点 P 在平面 内，过点 P 作平面 的垂线 a ，直线 a 与平面 有什
么关系？
结论：____________________________________________________________________________ 思考二：已知平面 ，且直线 a ， a ，则直线 a 与平面 位置关系如何？
班级： 学号： 姓名： 林州一中 18 级高一数学导学案（18 年 11 月编号：40）主备人：肖雪芳 审核人：王军杰
C. 如果直线 a∥平面α，那么 a 平行于平面α内的无数条直线
D . 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 2.已知两平面互相垂直,下列命题中正确 的有______个
【理论迁移】
例 1.在正方 体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M、N 分别在直线 BD、B1C 上，且 MN⊥BD，
线
MN⊥B1C，求证：MN∥AC1．
D1
A1
C1
B1
D
A
N
M
C
B
【练习巩固】 1.下列命题中错误的是( ) A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面 β B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β