河南省高一下学期期末数学试卷
【最新】河南省郑州市高一下册第二学期期末考试数学试题含答案
2019-2020学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）A ．22 B ．22- C ．32- D ．322.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 3.下列各式中，值为32的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++•+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537C.2537 D ．5378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+u u u r u u u r u u u r ，AP AB λ=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA u u u r 和OB uuu r 满足cos OA α=u u u r ，sin OB α=u u u r ，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC u u u r 的最大值是（ ）A ．32B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是82，则xy = ． 15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -u u u r u u u r u u u rg 的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x的解析式（II）将()f x的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x=的图像，求()y g x=的图像离y轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种商品数x之间的一组数据关系如表：（I）画出散点图；（II）求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（III）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？附注：721280iix==∑，721()27iix x=-=∑，713076i iix y==∑，72134992iiy==∑，1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，$a y bx=-.20. 在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμg 的值；（II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =u u u r u u u rg 时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin 3cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5BABCB 6-10BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-vv ，设a b -vv 与a v的夹角为θ，所以()cos a a bbbb θ-⋅===-vv r r vv ， （2）()13,24a b λλλ-=+-vv ()a ab λ⊥-v v Q v ，∴()0a a b λ⋅-=vv v()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ= 18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.．19.解：(1)（2）$712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx ybxnxay bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑$$∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，1142EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-.（2）设DF mDC =u u u r u u u r(0)m >，则(1)CF m DC =-u u u r u u u r ，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u r u u u r，所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221(1)2m AB AD =-+u u u r u u u r 9(1)82m =-+=，解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)22226f x x xcos x sin x x πωωωωω-=+==-+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-Q ()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析
开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1i2i z +=+，则z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得到31i 55z =+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55z +-+===+++-，所以z 的虚部为15.故选：B.2.在ABC 中，13BD BC = ，设,AB a AC b == ，则AD =（）A.2133a b +r rB.2133a b -+ C.4133a b -D.4133a b + 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案.【详解】由13BD BC =，可得，1()3AD AB AC AB -=-，整理可得，12133323a bAD AB AC +=+= .故选：A3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“2枚硬币都是正面朝上”，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”，则下列A 与B 的关系中正确的个数为（）①A B ⊆②互斥③互为对立④相互独立A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出答案.【详解】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，事件A =“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反，故A B ⊆，故①正确；②错误；事件A 的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误；则()()121,442P A P B ===，()12P AB =，所以()()()P A P B P AB ≠，故④错误.故选：A .4.已知,m n 为空间中两条直线，,αβ为空间中两个平面，则下列说法正确的是（）A.若,m m n α⊥⊥，则n α∥B.若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m n ααββ⊥⊥∥，则m n ⊥D.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【解析】【分析】由选项A 的条件可得出线在面内或线面平行可以判断A 选项；由选项B 的条件可得出两个平面平行或相交可以判断B 选项；由选项C 的条件可得出两条直线可以平行、相交或异面可判断C 选项；根据面面垂直的判定可以判断D 选项.【详解】对于A ，若,m m n α⊥⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；对于B ，若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥或,αβ相交，B 错；对于C ，若,,m n ααββ⊥⊥∥，则,m n 相交或//m n 或,m n 异面，C 错；对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，当n ⊂α，又n β⊥，可得αβ⊥；当//n α时，如图，平面α内必然有一条直线设为l 与n 平行，由n β⊥，则l β⊥，由面面垂直的判定可得αβ⊥，所以D 正确．故选：D ．5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可.【详解】取出3条线段的情况有()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11，()()()()3,5,7,3,5,11,3,7,11,5,7,11，共10种，不能构成三角形的有()()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11,3,5,11，()3,7,11共8种，故概率84105P ==.6.已知,O O '分别是圆柱O O '上､下底面圆的圆心，,A B 分别是上､下底面圆周上一点，若2O O O A '='，且直线O A '与OB 垂直，则直线AB 与O O '所成的角的正切值为（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，说明ABC ∠即为直线AB 与O O '所成的角的平面角，进而可得出答案.【详解】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，则BC ⊥平面AO C '，则//BC OO '，且BC OO '=，所以四边形BCO O '为平行四边形，所以//OB O C '，因为O A OB '⊥，所以O A O C ''⊥，设22O O O A a '=='，则2,,BC a OB O C a AC '====，因为BC ⊥平面AO C '，AC ⊂平面AO C '，所以BC AC ⊥，则tan 22AC ABC BC a ∠===，即直线AB 与O O '所成的角的正切值为2.故选：B.7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得3tan ,50m 4ACB CD ∠==，3cos ,cos 55BCD BDC ∠∠==，则塔高AB 为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求得BC ，再在直角ABC 中，利用正切函数的定义，求得AB 的长，即可求解．【详解】在BCD △中，350m,cos 5CD BCD BDC ∠∠===，所以4sin 55BCD BDC ∠∠==所以()34sin sin 55CBD BCD BDC ∠∠=+∠=+=，由正弦定理sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，可得4505BC ⨯==在直角ABC 中，因为3tan ,4ACB ∠=所以3tan 4AB BC ACB ∠=⋅==，即塔高为．故选：C ．8.如图，在平面四边形ABCD 中，90,2,A AB AD BCD ∠=== 为等边三角形，当点M 在对角线AC 上运动时，MC MD ⋅的最小值为（）A.-2B.32-C.-1D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用几何知识易得ABC ADC ≅△△，利用向量加法运算及数量积定义得26322MC MD MC ⎛⋅=-- ⎝⎭，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，2AB AD ==，4560105ABC ADC ∠=∠=+= ，22BC DC BD ===，所以ABC ADC ≅△△，所以ACB ACD ∠=∠，即AC 平分BCD ∠，由MD MC CD =+ 可得2()MC MD MC MC CD MC MC CD⋅=⋅+=+⋅22263cos150622MC MC CD MC MC MC ⎛=+⋅⋅=-=-- ⎝⎭，所以当62MC =时，MC MD ⋅ 有最小值为32-.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足i 1i z =+，则（）A.1iz =+B.z 在复平面内对应的点位于第四象限C.2z =D.2220z z -+=【答案】ABD【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义即可判断A ；根据复数的几何意义即可判断B ；根据复数的模的公式即可判断C ；根据复数的四则运算即可判断D.【详解】由i 1i z =+，得()21i i1i 1i i iz ++===-，则1i z =+，故A 正确；z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故B 正确；z ==，故C 错误；()()22221i 21i 22i 22i 20z z -+=---+=--++=，故D 正确.故选：ABD.10.某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（）A.图中x 的值为0.020B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得x ，判断A ；计算出得分不小于90的频率，即可判断B ；计算得分介于50至80之间的频率与0.75比较，从而判断C ；由频率分布直方图平均数计算公式计算判断D .【详解】由频率分布直方图性质可得：()0.0100.0120.0280.030101x ++++⨯=，解得0.020x =，故A 正确；得分不小于90的频率为0.012100.12⨯=，故得分不小于90的人数估计为10000.12120⨯=人，故B 错误；得分介于50至80之间的频率为0.01100.028100.030100.680.75⨯+⨯+⨯=<，所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80，故C 正确；该校高一学生竞赛得分的平均数估计为550.01010650.02810750.03010850.02010950.0121074.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD11.若平面上的三个力123,,F F F 作用于一点，且处于平衡状态.已知124N,2N F F == ，1F 与2F的夹角为120 ，则下列说法正确的是（）A.3F =B.1F 与3F的夹角为90C.2F 与3F的夹角为90D.()1324F F F +⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的图形运算法则，结合余弦定理和向量数量积的定义等知识进行求解即可.【详解】如图所示，设123,,F F F 分别为,,OA OB OC，将向量进行平移，OB平移至OB '，将OA反向延长至点D ，则120AOB ∠=︒，18060OAB DOB AOB '==︒-=︒∠∠∠，在OAB '△中，由余弦定理得，22212cos 60164242122OB AB OA AB OA '''=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=,所以OB '=，即3F =，故A 正确；显然，在OAB '△中，22212416OB AB OA ''+=+==，即90AB O '=︒∠，所以30COD AOB '==︒∠∠，所以1F 与3F的夹角180150AOC COD ∠=︒-∠=︒，故B 错误；2F 与3F的夹角603090BOC DOB COD =+=︒+︒=︒∠∠∠，故C 正确；()()()21324F F F OA OC OB OA B O OB B A OB OB ''+⋅=+⋅=+⋅=⋅=-=- ，故D 错误故选：AC12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，G 为面对角线1A D 上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（）A.三棱锥11B GBC -的体积为定值B.线段1A D 上存在点G ，使1A C ⊥平面1GBC C.当点G 与点1A 重合时，二面角11G BC B --的余弦值为63D.设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，则tan θ2【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于A ，因为三棱锥11B GBC -的体积11111113B GBC G BB C BB C V V S DC --==⋅ ，易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，DC ⊥平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值DC ，又11BC S △B 为定值，所以三棱锥11B GBC -体积为定值，故A 正确．对于B ，如图所示，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()()1,1,0,0,0,0B D ,()0,1,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()10,1,1C ，设()101DG DA λλ=≤≤ ，所以(),0,G λλ，()11,1,1AC =--，设(),,n x y z =⊥ 平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()1,1,1C G λλ=--，则()11010n BC x z n C G x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取1x =，则1,21z y λ==-，则()1,21,1n λ=- ，要使1A C ⊥平面1GBC ，即1//AC n ，1AC n =-，此时[]=01,1λ∈-，故B正确.对于C ，当点G 与点1A 重合时，此时()1,0,1G ，设()111,,m x y z =⊥平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()0,1,1BG =- ，则1111100m BC x z m BG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，则111,1z y ==，则()1,1,1n = ，设()0,1,0p =⊥平面11BB C ，设二面角11G BC B --所成角为α，所以3cos cos ,3m p m p m p α⋅====⋅，因为α为锐二面角，[]0,πα∈，所以cos 3α=，故C 不正确；对于D ，(),0,G λλ，()()1,1,0,1,1,B BG λλ=--，设()0,1,0p =⊥平面11BCC B ，设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，π0,2θ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以sin cos ,BG pBG p BG p θ⋅===⋅==，因为sin ,tan y x y x ==在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当sin θ取得最大值时，tan θ取得最大值，当1=2λ时，()max sin 3θ==，此时cos 3θ=，所以()max2tan 2θ=，所以D 正确故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，(1,)b λ=- ，若a b ⊥ ，则λ=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】解：因为a b ⊥ ，(1,2)a = ，()1,b λ=- ，所以120a b λ⋅=-+=，解得12λ=.故答案为：12.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生09 之间的整数随机数，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：95339522001874720018387958693181789026928280842539908460798024365987388207538935据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.【答案】0.4##25【解析】【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为80.420=.故答案为：0.415.已知三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且21,22AC AB b ab c ⋅=-= ，则a b +的取值范围是__________.【答案】(]2,4【解析】【分析】由数量积定义、余弦定理结合已知式可得224a b ab +-=，由基本不等式求解即可.【详解】21cos cos 2AC AB AC AB A bc A b ab ⋅=⋅==- ，由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=，所以224cos 2b a bc A +-=，所以2224122b a b ab +-=-，所以224a b ab +-=，所以()()()()2222223143=44a b ab a b ab a b a b a b =+-=+-≥+-++，所以()216a b +≤，又因为2a b c +>=，所以24a b <+≤，所以a b +的取值范围是(]2,4.故答案为：(]2,416.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD 的棱长为______.【答案】4+4+【解析】【分析】设出棱长，先根据正四面体的性质求出外接球半径，再由四面体能够容纳的最大球的半径建立方程求解即可.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，由正四面体的性质可知该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，即O 为正四面体ABCD 外接球的球心（内切球的球心），则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ，连接BE ，则,,B O E 三点共线，此时BE a =，由题意24π25πOE ⨯=，所以25OE =，所以52BO a OE a =-=-，如图：记M 为BCD △的中心，连接,BM AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为AB a =，所以233BM a ==，则3AM ==，因为2222()BO BM OM AM OM =+=-，即22223633BO a OM OM ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4BO a =，所以542a a =-，解得4a =+，即正四面体ABCD 的棱长为4+故答案为：4+【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径R 、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离三者的关系222R r d =+求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：cm ），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.【答案】（1）30；20（2）方差为46，身高方差为46【解析】【分析】（1）根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解；（2）记男生身高的均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高的均值记为y ，方差记为2y s ，得到总样本的均值为166z =，结合222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-，即可求解.【小问1详解】解：由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，所以抽取男生人数为60050301000⨯=，女生人数为40050201000⨯=.【小问2详解】解：记男生身高为1230,,,x x x ⋯，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高为1220,,,y y y ⋯，其均值记为y ，方差记为2y s ，把总样本数据的均值记为z ，方差记为2s ，所以总样本的均值为30203017020160166505050z x y ⨯+⨯=+==，总样本的方差为222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-221{30[14(170166)]20[34(160166)]}4650=⋅⨯+-+⨯+-=，所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为46.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,AB CD AD CD ⊥∥，122CD AD AA AB ====，点E 为1AA 的中点.（1）求证：1CD 平面BDE ；（2）设F 是直线1CD 上的动点，求三棱锥F BDE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】如图所示，分别取1,DD CD 的中点,M N ，连接,,MN EM BN ，由题意得，EM AD 且EM AD =，BN AD ∥且BN AD =，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形EMNB 是平行四边形，所以EB MN ∥，又因为1∥MN CD ，所以1EB CD ∥，又因为1CD ⊄平面,BDE EB ⊂平面BDE ，所以1CD 平面BDE .【小问2详解】由（1）1CD 平面BDE ，所以1CD 上任意一点F 到平面BDE 的距离都相等，所以11F BDE D BDE B EDD V V V ---==，由题意1,DD CD AD CD ⊥⊥，又1= DD AD D ，1,DD AD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又AB CD ，所以AB ⊥平面11ADD A ，即AB ⊥平面1EDD ，因为111122222EDD S DD AD =⋅=⨯⨯= ，所以1111221333B EDD EDD V S AB -=⋅=⨯⨯= ，所以三棱锥F BDE -的体积为23.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成45 角的两条数轴，12,e e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP p xe ye ==+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量p 在斜坐标系xOy 中的坐标.设向量,a b 在斜坐标系xOy中的坐标分别为((3,,.（1）求a b ⋅；（2）求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标.【答案】（1）3（2）3,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题可知：1212123,,2a eb e e e ==+⋅=，再利用数量积的运算律求解即可；（2）利用向量a 在向量b 上的投影向量为1223332cos 555||b a b a b b e b b θ⋅===+求解即可.【小问1详解】由题可知：1212123,,1122a eb e e e =-=+⋅=⨯⨯=，则()()22121211223323232a b e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-=+-=.【小问2详解】b ==== 记a与b的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为()12233cos 555||b a b a b e b b θ⎛⎫⋅===+⎪⎝⎭，所以向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标为332,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.20.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p ，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立.已知在某局双方10:10平后，甲先发球.（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为715，求p 的值；（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.【答案】（1）p 的值为23（2）32225【解析】【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解；（2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可.【小问1详解】由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为A =“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以()()227115515P A p p ⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，解得23p =，即p 的值为23【小问2详解】由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为B =“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为23，乙得分的概率为21133-=，乙发球时甲得分的概率为25，乙得分的概率为23155-=，所以()23122232353535225P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 353,cos sin 412b A B A a C ⋅⋅==⋅.（1）求cos B ；（2）若ABCD 为AC 的中点，求线段BD 的长.【答案】（1）8（2）3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出,b c的关系，再根据cos 12A =得出,a c 的关系，再利用余弦定理即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出,,a b c ，再向量化即可得解.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得22222sin sin 3sin 4b A B ab b a C ac c ⋅⋅===⋅，即32b c =，又因为222227534cos 212c a b c a A bc -+-===，得2a c =，所以222234cos 28c a c b B ac +-==；【小问2详解】由（1）可知cos 8B =，由()0,πB ∈，得46sin 8B ==，所以21sin 216ABC S ac B c === ，得4,c a b ===，又因为1(),cos 62BD BA BC BA BC BA BC ABC =+⋅=⋅⋅∠=，所以3BD === ，即线段BD 的长为3.22.三棱锥D ABC -中，底面ABC 为正三角形，CD ⊥平面ABC ，E 为棱BC 的中点，且CDACλ=（λ为正常数）.（1）若2λ=，求二面角C AE D --的大小；（2）记直线AC 和平面ADE 所成角为α，试用常数λ表示sin α的值，并求α的取值范围.【答案】（1）π3（2）sin α=；π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先证明⊥AE 平面BCD ，从而可得二面角C AE D --的平面角是CED ∠，求解即可；（2）在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，先证明CH ⊥平面ADE ，从而可得直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，进而可得sin α=，求得10sin 2α<<，从而可求解.【小问1详解】底面ABC 为正三角形，E 为棱BC 的中点，所以BC AE ⊥，因为CD ⊥平面,ABC AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥，又因为,BC CD ⊂平面,BCD BC CD C ⋂=，所以⊥AE 平面BCD 又DE ⊂平面BCD ，所以DE AE ⊥，所以二面角C AE D --的平面角是CED ∠，而tan 212CD CD CED CE AC ∠λ====π02CED ∠<<，所以π3CED ∠=.故二面角C AE D --的大小为π3.【小问2详解】在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，由⊥AE 平面,BCD AE ⊂平面ADE ，所以平面BCD ⊥平面ADE ，又平面BCD 平面=ADE DE ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ADE ，所以直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，在DCE △中，根据等面积法可得CE CD CH DE⋅=，所以12sin AC AC CH CE CD AC AC DE λα⋅⋅===⋅因为0λ>，所以2144λ+>2>，所以102<<即10sin 2α<<，因为π02α<<，所以π06α<<，所以直线AC 和平面ADE 所成角α的取值范围为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√102．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√308．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ） A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ= ．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√10解：z =3+4i1−2i =(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+10i5=−1+2i ，|z |=√(−1)2+22=√5． 故选：C ．2．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →解：由CD →=3DA →，可得CD →=34CA →，所以BD →=BC →+CD →=BC →+34CA →=BC →+34(BA →−BC →)=14BC →+34BA →． 故答案为：D ．3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 解：根据斜二测画法的直观图知，AB ＝A 'B '＝4，所以选项A 错误； CD ＝C 'D '＝2，A ′D ′=√12+12=√2，选项B 错误； 又AD ＝2A ′D ′＝2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3，所以四边形ABCD 的周长为2+4+2√2+2√3=6+2√2+2√3，选项C 错误； 四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：D ．4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为π3＜32＜π2，所以√32=sin π3＜sin 32＜sin π2=1，即√32＜a ＜1， 12=cos π3＞cos 32＞cos π2=0，即0＜b ＜12， c =tan 32＞tan π3=√3， 所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：不妨设正方形的边长为1，则在Rt △BGH 中，BG =3，GH =1，BH =√10，所以cosα=10sinα=10， 则在Rt △BEF 中，BE =2，EF =1，BF =√5，所以cosβ=25sinβ=15， 所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=3√102√51√10×1√5=5√50=√22， 又易知，α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π），故α+β=π4． 故选：B ．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√63解：由展开图可得直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则∠HBD 即为BH 与底面ABCD 的夹角， 设正方体的棱长为1，则BD =√12+12=√2，BH =√DH 2+BD 2=√3， 所以cos ∠HBD =BDBH =√23=√63，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√63．故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√30解：因为△ABC 的面积为√3，故12acsinB =12ac ×√32=√3，故ac ＝4，又b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝36﹣12＝24， 故b =2√6． 故选：A ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0，所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab， 所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，且m ，n 相交时，才有α∥β，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，根据线面垂直的性质定理可得α∥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，β可绕n 旋转，此时α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，∵n ∥β，故在β中存在一条直线s ，使得n ∥s ，∴m ∥s ， 则s ⊥α，而s ⊂β，故α⊥β，故D 正确． 故选：BD ．10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|解：已知复数z 1满足z 1=1+ii，则z 1＝1﹣i ， 又z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点， 则OZ 1→=(1，−1)，OZ 2→=(x ，y)，对于选项A ，z 1的共轭复数为1+i ，即选项A 错误；对于选项B ，当x ＝0，y ≠0时，z 2为纯虚数，即选项B 错误；对于选项C ，当OZ 1→∥OZ 2→时，则1×y ＝（﹣1）×x ，则x +y ＝0，即选项C 正确；对于选项D ，若OZ 1→⊥OZ 2→，则x ＝y ，则z 1+z 2＝（1+x ，x ﹣1），z 1﹣z 2＝（1﹣x ，﹣x ﹣1）， 则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|=√(1+x)2+(1−x)2，即选项D 正确． 故选：CD ．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，对A 选项，AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确；对C 选项，在底面有4＝AC 2+BC 2≥2AC •BC ，即AC •BC ≤2， 当且仅当AC =BC =√2时取等号，V B−A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC =13AA 1×AC ×BC =23AC ×BC ≤43，故C 错误；对D 选项，由AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∵BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥A 1C ，则△A 1BC 为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形， ∴四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知△A 1BC 为直角三角形，侧棱AA 1⊥平面ABC ，则易知△A 1AB ，△A 1AC 为直角三角形，而△ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于A 1B 的中点， 则外接球半径R =12A 1B =12×√22+22=√2， 则球的表面积为4πR 2=4π×(√2)2=8π，故B 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到解：对于A ，f 1(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 因为x ∈[−π3，π4]， 所以x +π4∈[−π12，π2]，又y ＝sin x 在(−π2，π2)上递增，故正确； 对于B ，由f 1(x)=sinx +cosx =√22，则f 3(x)=(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)=(sinx +cosx)(1−(sinx+cosx)2−12)=√22(1−(√22)2−12)=5√28，故错误；对于C ，f 4(x)=sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2x ⋅cos 2x =1−12（sin2x ）2=34+14cos4x ， 则T =2π4=π2，故正确；D ．由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位得到y =14sin[4(x +π8)]=14sin(4x +π2)=14cos4x ，再向上平移34个单位得到y =34+14cos4x ，故正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ=32．解：因为角θ的终边经过点P （1，3），所以tan θ＝3， 所以2sinθsinθ+cosθ=2tanθtanθ+1=2×33+1=32．故答案为：32．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ±3 ． 解：∵向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1）， ∴向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，向量a →•b →=3﹣3＝0， 若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则（a →+λb →）•（a →−λb →）=|a →|2−λ2|b →|2=0， 即18﹣2λ2＝0， 则λ2＝9， 解得λ＝±3， 故答案为：±3，15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 √1112（只需写出一个可能的值）．解：由于三棱锥的棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，所以三角形的边长不能出现：1，1，2的情况，所以不妨三棱锥的底面为正三角形，棱长长为：2；三棱锥的高为：√22−(23×32×1)2=√113，所以三棱锥的体积为：13×√34×1×1×√113=√1112；故答案为：√1112． 16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ π6；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 8（√3−1） 千米．解：因为sin ∠ABC =sin 7π12=sin(π4+π3)=sin π4cos π3+cos π4sin π3=√6+√24， cos ∠ABC =cos7π12=cos(π4+π3)=cos π4cos π3−sin π3sin π4=√2−√64， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ACB =8(√3+1)2， ∴AC =2√2(1+√3)， 根据正弦定理有ACsin7π12=AB sin∠ACB，可得sin ∠ACB =4×√6+√242(2+6)=12，因为0＜∠ACB ＜π2，所以，∠ACB =π6，设∠CBD ＝θ，其中0≤θ≤5π12，则∠BDC =5π6−θ，∠BEC =2π3−θ， 在△BCD 中，由正弦定理BD sinπ6=BC sin∠BDC ，可得BD =2√2sin(5π6−θ)，在△BCE 中，由正弦定理BEsinπ6=BC sin∠BEC，可得BE =2√2sin(2π3−θ)，则BD +BE =2√2(1√32sinθ+12cosθ1√32cosθ+12sinθ)=4√2(√3+1)(sinθ+cosθ)√3+4sinθcosθ，令t =sinθ+cosθ，t ∈[1，√2]，则sinθcosθ=t 2−12，则 BD +BE =f(t)=4√2(3+1)t 2t 2−(2−√3)=4√2(3+1)2t−(2−3)t， 易知分母g(t)=2t −(2−√3)t＞0，且是一个单调递增的函数， 则f （t ）是一个单调递减的函数， 当t =√2时，f （t ）有最小值，f(t)min =8(3+1)2+3=8(√3−1)．故答案为：π6；8(√3−1)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 解：选条件①：因为z =(m 2−2m −3)−(m 2−3m −4)i ，又z +z =−8， 所以2（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣8，解得m ＝1． 选条件②：∵z 为纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2−3m −4≠0，解得m ＝3． 选条件③：∵z 为非零实数，∴{m 2−2m −3≠0m 2−3m −4=0，解得m ＝4； （2）因为x ＝1﹣i 为实系数一元二次方程：x 2+ax +b ＝0的一个根， ∴（1﹣i ）2+a （1﹣i ）+b ＝0，即a +b ﹣（2+a ）i ＝0，所以{a +b =0a +2=0，解得，a ＝﹣2，b ＝2．18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值． 解：（1）当λ＝1时，b →=(1，1)，又a →=(1，2)， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=1+2√2×√5=3√1010；（2）因为a →=(1，2)，b →=(λ，1)，所以a →+2b →=(1+2λ，4)，2a →−2b →=(2−2λ，2)， 又a →+2b →与2a →−2b →共线，所以（1+2λ）×2﹣4×（2﹣2λ）＝0，解得λ=12．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．解：（1）连接OC ，因为OA ＝OC ，D 为的AC 中点，所以AC ⊥OD ． 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以PO ⊥AC ，又OD ∩PO ＝O ，PO ，OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，OD ，PD ⊂面POD ，所以AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，故∠PDO 是二面角B ﹣AC ﹣P 的平面角，在Rt △POD 中，PO =√2，又点C 是AB ⌢的中点，点D 为AC 的中点，所以OD =12BC =√22，故PD =√2+12=√102，所以cos ∠PDO =OD PD =√22102=√55，即二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值为√55．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →， ∴sin A （2sin B ﹣cos C ）﹣cos A sin C ＝0，即2sin A sin B ﹣sin （A +C ）＝0， 又在锐角△ABC 中，B ∈（0，π2），2sin A sin B ＝sin B ，∴sin A =12，又A ∈（0，π2），则A =π6；（2）由正弦定理得a +c ＝2R （sin A +sin C ）=2sinB（sin A +sin C ） =2sinB [12+sin （5π6−B ）]=2sinB （12+12cos B +√32sin B ） =√3+1+cosB sinB =√3+1tan B 2，∵△ABC 是锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2， ∴π6＜B 2＜π4，则√33＜tan B 2＜1， ∴√3+1＜a +c ＜2√3， ∴3+√3＜a +b +c ＜2√3+2，故△ABC 周长的取值范围为（3+√3，2√3+2）．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．解：（1）存在，此时AO OB=1，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ， 则OD ∥BB 1∥CC 1，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以OD =12(BB 1+AA 1)=3=CC 1， 所以四边形ODC 1C 为平行四边形，所以OC ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，OC ⊄平面A 1B 1C 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1，即在边AB 上是存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1且AO OB=1．（2）如图在AA 1上取点D 使得A 1D ＝BB 1＝2，在CC 1上取点E 使得C 1E ＝BB 1＝2， 连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱A 1B 1C 1﹣DBE 为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ， 取A 1C 1的中点G ，连接B 1G ，则BF ⊥DE ，B 1G ⊥A 1C 1， 又平面BDE ⊥平面ACC 1A 1，平面BDE ∩平面ACC 1A 1＝DE ， BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面ACC 1A 1，又BF =√22−12=√3，S △A 1B 1C 1=12×2×√3=√3，S ADEC =(1+2)×22=3， 所以V B−ADEC =13×3×√3=√3，V A 1B 1C 1−DBE =S △A 1B 1C 1⋅A 1D =2√3， 所以V A 1B 1C 1−ABC =V B−ADEC +V A 1B 1C 1−DBE =3√3．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．解：（1）f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3=4sinx(12cosx −√32sinx)+√3=sin2x −√3(1−cos2x)+√3=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)．因x∈[−π4，π6]，则2x+π3∈[−π6，2π3]，又y＝sin x分别在[−π6，π2]，[π2，2π3]上单调递增和递减，则2x+π3∈[π2，2π3]⇒[π12，π6]，即函数f（x）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间为[π12，π6]；（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为2sin(2x⋅32+π3)=2sin(3x+π3)，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为2sin[3(x−π18)+π3]=2sin(3x+π6)，则g(x)=2sin(3x+π6)．因x∈[0，π3]，则3x+π6∈[π6，7π6]．又y＝sin x在[π6，π2]上单调递增，在[π2，7π6]上单调递减，则sin(3x+π6)∈[−12，1]，故g(x)=2sin(3x+π6)∈[−1，2]．方法1：令g（x）＝t∈[﹣1，2]，则∀x∈[0，π3]，g2(x)−mg(x)−3≤0等价于∀t∈[﹣1，2]，t2﹣mt﹣3≤0，当t＝0时，t2﹣mt﹣3≤0⇔﹣3≤0，则此时m可取任意值；当t∈（0，2]时，t2−mt−3≤0⇔m≥t−3t⇒m≥(t−3t)max，注意到函数y=x，y=−1x均在（0，2]上单调递增，则函数y=t−1t在（0，2]上单调递增，则(t−3t)max=2−32=12⇒m≥12；当t∈[﹣1，0）时，t2−mt−3≤0⇔m≤t−3t⇒m≤(t−3t)min，注意到函数y=x，y=−1x均在[﹣1，0）上单调递增，则函数y=t−1t在[﹣1，0）上单调递增，则(t−3t)min=−1−3−1=2⇒m≤2；综上可得：12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．方法2：令g （x ）＝t ∈[﹣1，2]， 则∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0，等价于∀t ∈[﹣1，2]，ℎ(t)=t 2−mt −3≤0⇒{ℎ(−1)≤0ℎ(2)≤0⇒{1+m −3≤04−2m −3≤0，解得12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．。
河南省南阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
2023年春期高中一年级期终质量评估数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效､2.答题前､考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁､不折叠､不破损.第Ⅰ卷选择题（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数34i12i z +=-，则z =（）A.B.1C.D.5【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则和模长的定义即可求出结果.【详解】因为34i (34i)(1+2i)510i12i 12i (12i)(1+2i)5z ++-+====-+--，所以z ==.故选：C.2.已知ABC 的边AC 上有一点D ，且满足3CD DA =，则BD =（）A.23BC BA -+B.2133BC BA +C.3144BC BA +D.1344BC BA +【答案】D 【解析】【分析】利用向量的线性运算可得BD的表示形式.【详解】因为3CD DA =，故()3BD BC BA BD -=- ，整理得到：1344BD BC BA =+，故选：D.3.如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A.2AB = B.A D ''=C.四边形ABCD 的周长为4+D.四边形ABCD 的面积为【答案】D 【解析】【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1422A D E '''==⨯-⨯,即B 错误；还原平面图为下图，即42,AB CD AD ===A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得CB =，故四边形ABCD 的周长为：426++=+C 错误；四边形ABCD 的面积为：()1422⨯+⨯=，即D 正确.故选：D 4.已知3sin 2a =，3cos 2b =，3tan 2c =，则实数,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】由π3π322<<，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为π3π322<<，所以3π3πsin sin sin 12322=<<=，即312a <<，1π3πcos cos cos 02322=>>=，即102b <<，3πtan tan 23c =>=，所以c a b >>.故选：C5.矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令,HBG FBG αβ∠=∠=，则βα+=（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】设出正方形的边长，在Rt BGH △和Rt BEF △中，分别求出sin ,cos αα和sin ,cos ββ，从而可求出cos()αβ+的值，再利用(0,π)αβ+∈即可求出结果.【详解】不妨设正方形的边长为1，则在Rt BGH △中，3,1,BG GH BH ===，所以cosαα==，则在Rt BEF △中，2,1,BE EF BF ===，所以cosββ==，所以cos()cos cos sin sin2αβαβαβ+=-=，又易知，π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈，故π4αβ+=.故选：B.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（）A.12B.22C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由展开图得到正方体的直观图，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】由展开图可得如下直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，设正方体的棱长为1，则BD ==，BH ==所以6cos3BDHBD BH∠===，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为3.故选：D7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c B =︒且ABC 3，若6c a +=，则b =（）A.26B.5C.27D.30【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理结合面积公式可求b .【详解】因为ABC 的面积为3113sin 3222ac B ac =⨯=，故4ac =，又()2222222cos 3361224b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，故26b =，故选：A.8.已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA GB GA GB +=-，当C ∠取最大值时，cos C =（）A.45B.35C.25D.15【答案】A 【解析】【分析】由题设可得0AG BG ⋅=，结合1()3AG AC AB =+ ，1()3BG BA BC =+ 及余弦定理可得2cos ()5a bC b a=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA GB GA GB +=- ，所以22()()GA GB GA GB +=-，即222222GA GB GA GB GA GB GA GB ++⋅=+-⋅，所以0GA GB ⋅=uu r uu u r ，所以AG BG ⊥，又211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=，所以222244cos ()2555a b c a b a b C ab b a b a +-==+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，又cos y x =在()0,π上单调递减，()0,πC ∈，所以当C ∠取最大值时，cos C =45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225a b c +=，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知不重合的两条直线,m n 和不重合的两个平面,αβ，则下列命题正确的是（）A.若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβB.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则//αβD.若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理可得A 的正误，根据线面垂直的性质定理可得B 的正误，根据面面垂直的判定定理可得D 的正误，根据线面的动态关系可判断C 的正误.【详解】对于A ，当,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，且,m n 相交时才有//αβ，故A 错误.对于B ，根据线面垂直的性质定理可得B 正确.对于C ，若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，β可绕n 旋转，此时//αβ或,αβ相交，故C 错误.对于D ，因为//n β，故在β中存在一条直线s ，使得//n s ，所以//m s ，所以s α⊥，而s β⊂，故αβ⊥，故D 正确.故选：BD.10.已知复数1z 满足11iiz +=，2=+z x yi ，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，其中O 为坐标原点，则（）A.1z 的共辄复数为1i- B.当0x =时，2z 为纯虚数C.若12OZ OZ ∥，则0x y += D.若12OZ OZ ⊥，则1212z z z z +=-【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数11i z =-，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A ，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C ，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A 选项：由于11i1i iz +==-，所以1z 的共轭复数为1i +，故选项A 错误，,B 选项：当当0x =时，2i z y =，若0y =，则2z 为为实数，故选项B 错误；C 选项：易知()11,1OZ =- ，()2,OZ x y = ，又12//OZ OZ ，则11x y=-，即0x y +=，故选项C 正确;D 选项：由于12OZ OZ ⊥，则0x y -=，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x +=-++=++-=++-=+，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x -=---=-++=-++=+，故1212z z z z +=-，选项D 正确．故选：CD.11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体1A ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC.四棱锥11B A ACC -体积最大值为23D.四面体11AC CB 为“鳖臑”【答案】ABD 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，D 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意找到四面体1A ACB 的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，ACBC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，对A 选项，∴1AA BC ⊥，又ACBC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；对C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，故C 错误；对D 选项，由ACBC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，1,BC C C ⊂平面11BB C C ，∴11A C ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ,∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，BC ∴⊥1AC ，则1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知1A BC 为直角三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，则易知1A AB △,1A AC △为直角三角形，而ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于1A B 的中点，则外接球半径11122R A B ==，则球的表面积为22448R πππ=⨯=，故B 正确.故选：ABD ．12.已知函数()()*sin cos ,Nnnn f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）A.()1f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B.若()12f x =，则()38f x =C.()4f x 的最小正周期为π2D.()4f x 的图象可以由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到【答案】ACD 【解析】【分析】A.由()1πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用这些函数的性质判断；B.由()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+-⎪⎝⎭求解判断；C.由()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-⋅31cos 444x =+判断；D.由函数()1sin44g x x =利用平移变换和伸缩变换判断.【详解】A.()1πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,34x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以πππ,4122x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，故正确；B.由()1sin cos 2f x x x =+=，则()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+，()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+- ⎪⎝⎭，22121228⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故错误；C.()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x xx x =+=+-⋅，()()222222131sin cos 2sin cos 1sin2cos 4244x x x x x x =+-⋅=-=+，则2ππ42T ==，故正确；D.由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位得到1π1π1sin 4sin 4cos 448424y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再向上平移34个单位得到31cos 444y x =+，故正确，故选：ACD第II 卷非选择题（共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点()1,3P ，则2sin sin cos θθθ=+__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用条件求出tan 3θ=，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为角θ的终边经过点()1,3P ，所以tan 3θ=，所以2sin 2tan 233sin cos tan 1312θθθθθ⨯===+++，故答案为：32.14.已知向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=__________.【答案】3±【解析】【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到2220a b λ-= ，再根据条件即可求出结果.【详解】因为()()a b a b λλ+⊥- ，所以()()2220a b a b a b λλλ+⋅-=-= ，又()()3,3,1,1a b ==-，所以21820λ-=，解得3λ=±.故答案为：3±.15.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_______（只需写出一个可能的值）【答案】6或12或12(写出其中一个即可)【解析】【分析】考虑一条边为1，两条边为1，三条边为1三种情况，如图所示，分别利用体积公式，和利用长方体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.【详解】一条边为1，其余边为2时，如图1，不妨设1AD =，BC 中点为E ，连接,AE DE ，作DHAE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知DE AE ==5cos 6DEA ∠=，故sin 6DH DEA =∠==，111233266ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯=△.当有两条边为1时，只能时对边为1，如图2，不妨设1AD BC ==设对应长方体的长宽高分别为：,,a b c ，则222222441a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2222a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，故22141122141442223222212V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.当有三条边为1时，只能是底边三条边为1，如图3所示，E 是BC 中点，连接AE ，故DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DHAE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知2DE =，2AE =，153444cos 1522DEA +-∠=，故151533sin 223DH DEA =∠=，11113322312ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.其他情况不满足.故答案为：6或12或12(写出其中一个即可)16.如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．【答案】①.π6##30︒②.1)-【解析】【分析】在ABC中，利用余弦定理求得AC =+，再由正弦定理求解；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎣⎦，，，分别在BCD △，BCE 中，利用正弦定理分别求得BD ，BE，再由BD BE +=；令sin cos [1t t θθ=+∈，，转化为()BD BE f t +===求解.【详解】在ABC中，由余弦定理得)2222··cos 162AC AB BC AB BC ABC =+-∠=，28(48(1=+=+，则AC =+，根据正弦定理有7πsin sin 12AC ABACB =∠所以1πsin 022ACB ACB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭，，，π6ACB ∠=∴；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，则5π2π63BDC BEC θθ∠=-∠=-，，在BCD △中，由正弦定理得πsin sin 6BC BD BDC ==∠5πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BCE中，由正弦定理得π·sin 2πsin 6sin 3BC BE BEC θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2222BD BE ⎛⎫⎪+==⎝⎭令sin cos [1t t θθ=+∈，，则21sin cos 2t θθ-=则()BD BE f t +===易知分母()20g t t =-，且是一个单调递增的函数，则()f t 是一个单调递减的函数，当t =时，()f t有最小值，min ()1)f t ==-．故答案为：π6；1)-.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（1）在①8z z +=-，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.已知复数()()222334i(i z m m m m =--+--为虚数单位)，若__________，求实数m 的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.（2）已知1i x =-是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，求,a b 的值.【答案】（1）答案见解析；（2）2,2a b =-=【解析】【分析】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（2）将1i x =-代入方程求得,a b .【详解】选条件①：因为()()222334i z m m m m =-----，又8z z +=-，所以，()22238m m --=-，解得1m =.选条件②：z 为纯虚数22230340m m m m ⎧--=∴⎨--≠⎩，解得 3.m =选条件③：z 为非零实数，22230340m m m m ⎧--≠∴⎨--=⎩，解得4m =.（2）因为1i x =-为实系数一元二次方程：20x ax b ++=的一个根，()2(1i)1i 0a b ∴-+-+=，即(2)i 0a b a +-+=，所以020a b a +=⎧⎨+=⎩，解得，2,2a b =-=.18.已知,a b是同一平面内的两个向量，其中()()1,2,,1a b λ== .（1）当1λ=时，求a 与b的夹角的余弦值；（2）若2a b + 与22a b - 共线，求实数λ的值.【答案】（1）10（2）12【解析】【分析】（1）由两向量余弦的夹角公式，根据条件，利用数量积的坐标运算和模长公式即可求出结果；（2）根据条件，先求2a b + 与22a b - 的坐标，再利用共线的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】当1λ=时，()1,1b = ，又()1,2a =，所以cos ,10a b a b a b⋅==⋅.【小问2详解】因为()()1,2,,1a b λ== ，所以2(12,4)a b λ+=+，22(22,2)a b λ-=- ，又2a b + 与22a b - 共线，所以(12)24(22)0λλ+⨯-⨯-=，解得12λ=.19.如图，在圆锥PO中，已知PO O =的直径2AB =，点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点.（1）证明：平面POD ⊥平面PAC ；（2）求二面角B AC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由圆锥的性质可得PO AC ⊥，由圆的性质可得AC OD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POD ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）利用（1）条件得到PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，再利用条件求出Rt POD 的三边长即可求出结果.【小问1详解】连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面O ，AC ⊂底面O ，所以PO AC ⊥，又OD PO O = ，,PO OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC．【小问2详解】由（1）知AC ⊥平面POD ，,OD PD ⊂面POD ，所以,AC OD AC PD ⊥⊥，故PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，在Rt POD中，PO =，又点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点，所以1222OD BC ==，故2PD ==，所以22cos 5OD PDO PD ∠===，即二面角B AC P --的余弦值为5.20.已知锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()sin ,cos m A A =，()2sin cos ,sin n B C C =-- ，且m n ⊥ .（1）求角A 的值；（2）若2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）π6A =（2）3,2++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得1sin 2A =，故可求π6A =.（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得1tan2a c B +=+，据此可求周长的取值范围.【小问1详解】因为m n ⊥，故()()sin 2sin cos cos sin 0A B C A C -+-=，整理得到：2sin sin sin cos cos sin 0A B A C A C --=，故2sin sin sin A B B =，而π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 0B >，所以1sin 2A =，而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6A =.【小问2详解】22(sin sin )(sin sin )sin a c R A C A C B+=+=+215π211sin()cos sin sin 26sin 222B B B B B ⎛⎫⎡⎤=+-=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭1cos 1sin tan 2B B B +=+=+,因为ABC 为锐角三角形，故π025ππ062B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ32B <<，所以ππ624B <<，故3tan 132B<<1a c +<+<，故周长的取值范围为3,2++.21.如图是一个以111A B C △为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC .已知1114,2,3AA BB CC ===.（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得//OC 平面111A B C ？若存在，求出AOOB的值；若不存在，请说明理由；（2）若112A B =，求几何体111A B C ABC -的体积.【答案】（1）存在，此时1AOOB=，理由见解析（2）33【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，从而得到四边形1ODC C 为平行四边形，即可得到1//OC C D ，从而得证；（2）将几何体转化为一个四棱锥和正三棱柱的体积进行计算.【小问1详解】存在，此时1AOOB=，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，则11////OD BB CC ，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形11AA B B 的中位线，所以()111132OD BB AA CC =+==，所以四边形1ODC C 为平行四边形，所以1//OC C D ，又1C D ⊂平面111A B C ，OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C ，即在边AB 上是存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 且1AOOB=.【小问2详解】如图在1AA 上取点D 使得112A D BB ==，在1CC 上取点E 使得112C E BB ==，连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱111DBE A B C -为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ，取11A C 的中点G ，连接1B G ，则BF DE ⊥，111B G A C ⊥，又平面BDE ⊥平面11ACC A ，平面BDE ⋂平面11ACC A DE =，BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面11ACC A ，又22213BF =-=，11112332A B C S =⨯=!，()12232ADEC S +⨯==，所以13333B ADEC V -=⨯=，11111113DBE C A C B B A V S A D -⋅== 所以1111113A B C ABC B ADEC BE A D B C V V V ---+==22.已知函数()π4sin cos 33f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间；（2）若对于()()20303π,,x gx mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的范围.【答案】（1）ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可将()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭，因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，后由sin y x =在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间可得答案；（2）由题可得()236πsin g xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，后利用sin y x =在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性可得()[]1,2g x ∈-.方法1：令()12,g xt ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤，后分)(10002,,,,t t t ⎡⎤∈-=∈⎣⎦三种情况，利用分离参数结合函数3=-y t t单调性可得答案；方法2：令()12,g xt ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()230h t t mt =--≤，则()()2010h h ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即可得答案.【小问1详解】()1344322πsin cos sin cos f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21222223πsin cos sin sin x x x x x ⎛⎫=--+=+=+ ⎪⎝⎭.因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又sin y x =分别在πππ2π,,,6223⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增和递减，则22323126πππππ,,x ⎡⎤⎡⎤+∈⇒⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间为ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为32223233ππsin sin x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为23231836πππsin sin x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则73666πππ,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.又sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则13162πsin ,x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()23126πsin ,g x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤.当0=t 时，23030t mt --≤⇔-≤，则此时m 可取任意值；当(]0,2t ∈时，23330max t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≥-⇒≥- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在(]0,2上单调递增，则函数1y t t=-在(]0,2上单调递增，则33112222maxt m t ⎛⎫-=-=⇒≥ ⎪⎝⎭；当[)1,0t ∈-时，23330min t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≤-⇒≤- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在[)1,0-上单调递增，则函数1y t t=-在[)1,0-上单调递增，则331221min t m t ⎛⎫-=--=⇒≤ ⎪-⎝⎭；综上可得：122m ≤≤.方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()()()21013030204230h m h t t mt h m ⎧-≤+-≤⎧⎪=--≤⇒⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩.则122m ≤≤.【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.。
河南省濮阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
高中一年级学业质量监测数学（答案在最后）本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数()11iz m m =++-纯虚数，则实数m =（）.A.0 B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义列方程求m 即可.【详解】∵复数()11i z m m =++-为纯虚数，10m ∴+=，10m -≠，1m ∴=-.故选：B.2.下列说法正确的是（）A.若a b =，则a b= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D.单位向量都相等【答案】C 【解析】【分析】根据向量的相关性质逐项分析.【详解】对于A ，若a b=，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A 错误；对于B ，如果0b =，结论B 不正确；对于C ，根据平行向量的定义，C 正确；对于D ，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D 错误；故选：C.3.直线l 与平面α不平行，则（）A.l 与α相交B.l ⊂αC.l 与α相交或l ⊂αD.以上结论都不对【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系的概念，结合题意，即可得到答案.【详解】由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，因为直线l 与平面α不平行，所以l 与α相交或l ⊂α.故选：C.4.在ABC 中，若45,30,3A B BC =︒=︒=，则边AC 的长为（）A.62B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理即可.【详解】因为45,30,3A B BC =︒=︒=，所以由正弦定理得：sin 3sin 30sin sin sin sin 45BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒=== ，故选：B.5.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B 【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B6.已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1c a a b b c+=++，则()sin A C +的大小为（）A.2B.2C.3D.12【答案】A 【解析】【分析】由已知得222c a b ac +-=，利用余弦定理求得cos B ，得到角B ，从而由sin()sin A C B +=求出结果.【详解】c a1a b b c+=++，∴整理可得222c a b ac +-=，cos 222c a b ac 1B 2ac 2ac 2+-∴===，0πB << ，π3B ∴=，()sin()sin πsin 2A CB B +=-==∴，故选：A ．7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p ，12，23，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为38，则p 的值为（）A.14B.13C.23D.34【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ，则()()()12,,23P A p P B P C ===，可知恰好投中两次为事件,ABC ABC ABC ，故恰好投中两次的概率()121212113111232323368P p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =．故选：A.8.点,,O G P 为ABC 所在平面内的点，且有222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，0GA GB GC ++=，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅= ，则点,,O G P 分别为ABC的（）A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】A 【解析】【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.【详解】由2222||||||||OA BC OB CA +=+ ，得2222OA OB CA BC -=- ，即()()()()OA OB OA OB CA BC CA BC +⋅-=+⋅-，则()()OA OB BA BA CA CB +⋅=⋅+ ，得()0OA OB CA CB BA +--⋅= 所以20OC BA ⋅= ，则OC AB ⊥ ，同理可得OA BC ⊥ ，OB AC ⊥，即O 是ABC 三边上高的交点，则O 为ABC 的垂心；由0GA GB GC ++=，得GA GB GC +=- ，设AB 的中点为M ，则2G GA M GC GB ==-+，即G ，M ，C 三点共线，所以G 在ABC 的中线CM 上，同理可得G 在ABC 的其余两边的中线上，即G 是ABC 三边中线的交点，故G 为ABC 的重心；由()0PA PB AB +⋅= ，得20PM AB ⋅= ，即PM AB ⊥，又M 是AB 的中点，所以P 在AB 的垂直平分线上，同理可得，P 在BC ，AC 的垂直平分线上，即P 是ABC 三边垂直平分线的交点，故P 是ABC 的外心，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（）A.9i i=B.复数32i z =-的虚部为2iC.若()21i z =-，则复平面内z 对应的点位于第二象限D.复数z 为实数的充要条件是z z =【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的定义判断B ，根据复数的几何意义判断C ，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A ：2941i i i ⨯+==，故A 正确；对于B ：复数32i z =-的虚部为2-，故B 错误；对于C ：()2221i 12i i 2i z =-=-+=-，所以2i z =，则复平面内z 对应的点为()0,2位于虚轴，故C 错误；对于D ：若复数z 为实数则z z =，设i z a b =+，(),R a b ∈，若z z =，即i i a b a b =+-，所以0b =，则复数z 为实数，故复数z 为实数的充要条件是z z =，故D 正确；故选：AD10.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与B 对立B.B 与C 互斥C.A 与C 互斥D.B 与C 对立【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断作答.【详解】事件A ：三件产品都是正品，事件C ：三件产品包含一件正品两件次品，两件正品一件次品，三件正品，事件A 与B 互斥不对立，事件A 与C 不互斥，事件B 与C 互斥，又对立，所以A ，C 都不正确；B ，D 都正确.故选：BD11.下列说法中正确的有（）A.若AB 与CD是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B.若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b∥C.若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC= D.若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB 与CD是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC= ，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()2221322cos 2a b a a a b a a b θ+⋅+==⋅+ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.12.已知三棱锥S ABC -中,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，则下列结论正确的是（）A.二面角S AB C --B.三棱锥S ABC -的内切球的半径为33C.E 是线段AC 上一动点，则SEB △D.Q 是三棱锥S ABC -的外接球上一动点，则点Q 到面ABC 距离的最大值为433【答案】ACD 【解析】【分析】将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，对于A ：可证SD AB ⊥，CO AB ⊥，结合二面角可知：二面角S AB C --的平面角为COS ∠，运算判断；对于B ：根据三棱锥内切球的半径公式3Vr S =表，运算判断；对于C ：根据正方体可证：SB SE ⊥，结合三角形面积分析可得：当E 是线段AC 的中点时，SEB △面积取到最小值，运算判断；对于D ：结合正方体可知：三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，且SN 为外接球的直径，可证SN ⊥平面ABC ，则点Q 到面ABC 距离的最大值为NG ，运算判断．【详解】根据题意将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，如图所示：连接SD 交AB 于点O ，在正方体SADB 中，∴SD AB⊥∵AB AC BC ==，点O 为AB 的中点，则CO AB ⊥∴二面角S AB C --的平面角为COS ∠，则tan CSCOS SO∠==，A 正确；三棱锥S ABC -的表面积为113226222S =⨯⨯⨯+⨯=+表114222323V =⨯⨯⨯⨯=∴三棱锥S ABC -的内切球的半径为313V r S ==-表，B 错误；根据题意可知：SB ⊥平面ASCM ，则SB SE⊥∴SEB △面积为12S SB SE SE =⨯=当E 是线段AC 的中点时，SE 取到最小值∴SEB △面积的最小值为，C 正确；三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，显然SN 为外接球的直径，设SN CO G= ∵SD AB ⊥，CO AB⊥SD CO O = ，则AB ⊥平面SDNC∴SN AB ⊥同理可证：SN AC⊥AB AC A ⋂=，则SN ⊥平面ABC点Q 到面ABC 距离的最大值为NG∵SC DN ∥且SC DN =，则CSDN 为平行四边形∴SD CN ∥，则2GN CNSG SO==∴233NG SN ==，D 正确；故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是_____【答案】19【解析】【分析】高一(1)班的总人数乘以该班“运动与健康”评价等级为A 的所占的百分比，即可得该班“运动与健康”评价等级为A 的人数．【详解】该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是：50×38%=19人．故答案为19【点睛】本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比．14.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据，那么该壶的容量为______．（结果用圆周率表示）【答案】244π3##244π3【解析】【分析】利用圆台体积公式可得，也可以看成为两个圆锥体积相减.【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，则222221244π(4π5π45π433V =⨯+⨯⨯⨯=.方法2：如图，设大圆锥的高为h ，则4810h h -=，解得：20h =，所以2211244ππ520π416333V =⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：244π3.15.若{}1,3,4,6,7m ∈-，则方程240x x m ++=有实根的概率为________．【答案】35##0.6【解析】【分析】先利用判别式求出m 的范围，然后根据m 可取的值得概率.【详解】 方程240x x m ++=有实根,1640m ∴∆=-≥，解得4m ≤，又{}1,3,4,6,7m ∈-，m ∴可取的值的集合为{}1,3,4-，则方程240x x m ++=有实根的概率为35.故答案为：35.16.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，90ACB ∠= ，11BC CC ==，32AC =，P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，若要1CP PA+取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，即可求出满足条件的P 点位置，然后应余弦定理求解.【详解】由题设可知1CC B 为等腰直角三角形，且11A C ⊥平面11BCC B ，故1190A C B ∠= ，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，如图所示，若要1CP PA +取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，∵11CC =、11AC AC ==，145CC B ∠= ，1190BC A ∠= ，∴11135CC A ∠= ，∴当1CP PA +最小值时，由余弦定理得(22112cos13525A C =+-⨯= ，∴15A C =，即1CP PA +的最小值为5．故答案为：5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数3i 2iz -=+（i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数.（1）求复数z 的模；（2）若21i az z b ++=+（a ，b ∈R ），求a ，b 的值.【答案】（1（2）32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模的定义，直接计算z 的模长即可（2）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数相等即可求解【小问1详解】∵3i (3i)(2i)55i 1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-，∴z ==【小问2详解】∵21i az z b ++=+，∴2(1i)(1i)1i-+++=+a b ∴()(2)i 1i ++-=+a b a ，∴1,21,a b a +=⎧⎨-=⎩∴3,2.a b =⎧⎨=-⎩18.仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm ）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，26，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：（1）哪种玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？【答案】（1）乙种玉米苗长得高（2）甲种玉米苗长得齐【解析】【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.【小问1详解】()()11293130322815030cm 55x =⨯++++=⨯= 甲，()()11274440264318036cm 55x =⨯++++=⨯=乙，x x ∴<甲乙．∴乙种玉米苗长得高．【小问2详解】()()()()()()22222221293031303030323028302cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲，()()()()()()222222212736443640362636433662cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，22s s ∴<甲乙．∴甲种玉米苗长得齐．19.已知平面向量a 、b ，若2a = ，3b =，a b -= .（1）求向量a 、b 的夹角；（2）若c a tb =+ 且c a ⊥ ，求c r.【答案】（1）2π3（2）c = 【解析】【分析】（1）在等式a b -= 两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量a 、b 的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得0c a ⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出t 的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得c r.【小问1详解】解：因为a b -= ，则()2222222cos ,a b a a b b a a b a b b-=-⋅+=-⋅+ 412cos ,919a b =-+= ，所以，1cos ,2a b =- ，又因为0,πa b ≤≤ ，因此，2π,3a b = ，即向量a 、b 的夹角为2π3.【小问2详解】解：因为c a tb =+ 且c a ⊥ ，则()222πcos 3c a a tb a a ta b a t a b ⋅=+⋅=+⋅=+⋅ 430t =-=，解得43t =，因此c == .20.某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】（1）70.5（2）110【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．【小问2详解】在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．21.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin sin A B C B C --=.（1）求角A ；（2）若6a =，求△ABC 周长的取值范围.【答案】（1）2π3A =（2）(12,6+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得222a b c bc --=，由余弦定理即可求解，（2）根据正弦定理得b B =，由内角和关系以及和差角公式可得31cos sin 22c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【小问1详解】由正弦定理可得：222a b c bc --=，2221cos 22c b a A bc +-∴==-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=【小问2详解】因为πA B C ++=，2π3A =，所以π3B C +=，故ππ(0)33C B B =-<<由正弦定理得：62πsin sin sin sin 3a b c A B C ====所以b B =，π1cos sin 322c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以ABC周长1π6cos sin 6223a b c B B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为π03B <<，则ππ2π<333B <+，所以πsin 123B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求ABC周长的取值范围为(12,6+.22.如图，在几何体ABCDE 中，AD ⊥面ABE ，AD BC ∥，2AD BC =，AB BE =．（1）求证：平面DCE ⊥平面DAE ；（2）AB =1，2AE =14ABCDE V =，求CE 与平面DAE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）根据线线平行证得//CN BM ，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）首先确定直线CE 与平面DAE 所成角的平面角为CEN ∠，再应用棱锥体积公式求52CE =、22CN =，即可得解.【小问1详解】如图，取AE DE 、的中点M 、N ，连接BM 、MN 、CN ，则知MN AD ∥，且2AD MN =，又AD BC ∥，且2AD BC =，所以MN BC ∥，且MN BC =，则四边形BMNC 为平行四边形，所以CN BM ∥．∵AB BE =，M 为AE 的中点，∴BM AE ⊥，∵AD ⊥平面ABE ，BM ⊂平面ABE ，∴BM AD ⊥．又AD AE A ⋂=，AD ⊂平面DAE ,AE ⊂平面DAE ，∴BM ⊥平面DAE从而可得CN ⊥平面DAE ，由于CN ⊂平面DCE ，所以平面DCE ⊥平面DAE ，命题得证．.【小问2详解】由（1）知，CN ⊥平面DAE 于N ，则CEN ∠为CE 与平面DAE 所成角.且在Rt CEN △中，sin CN CEN CE∠=，由1AB BE ==且2AE =AB BE ⊥，又已知AD ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，∴AD BE ⊥，∵,,AD AB A AD AB ⋂=⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ，设(0)BC t t =>，则2AD t =，那么有322ABCD AD BC t S AB +=⋅=，则11324ABCDE ABCD t V S BE =⋅==，解得12t =，即有12BC =．从而易得，在Rt CBE △中，52CE =；又在Rt ABE △中，22BM =，则知22CN BM ==；∴210sin 55CN CEN CE ∠==，即CE 与平面DAE 所成角的正弦值为105．。
河南省郑州市高一下期末考试数学试题有答案
下期期末考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ． 2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3.的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+ 4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ） A ． B ． C. D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C. 8.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy =．15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=-+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()23)(2)44cos 5a ab bb b θ-⋅+-⨯===-- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-=()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x ⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=，解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人． 记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
河南郑州高一下学期期末考试数学试题含答案
2019一2020学年下期期末考试高一数学试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交秒时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平行四边形ABCD 中，向量AD →=(3，7)，AB →=(－2，3)，则向量=A.(1，5)B.(－2，7)C.(5，4)D.(1，10). 2. sin(－103 π)的值等于A.2B.C.D.-. 3.某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12：21，则该样本中来自第四组的学生的编号为 A.30 B.31 C.32 D.33 4.下列函数中是偶函数且最小正周期为14的是A.y=cos 24x-sin 24xB.y=sin4xC.y=sin2x+cos2xD.y=cos2x5.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s 2为 A. B.3 C.32 D.46.已知cos θ=45，且θ∈(－12 π，0)，则tan(π+θ)= A. －7 B.7 C. －17 D. 177.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为I(a)，按从大到小排成的两位数记为D(a)(例如a=75，则I(a)=57，D(a)=75).执行如图所示的程序框图，若输人的a=97，则输出的b=A.45B.40C.35D.307；8；8.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心园的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概事为A.45B.40C.35D.309.在△ABC 中，|AB →|=||=2。
2024届河南省名校数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届河南省名校数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()sin()sin ((0,))2f x x x παααπ⎛⎫=+++-∈⎪⎝⎭的最大值是2，则α的值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π2．已知14sin 225αα+=,则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．5-B ．5C ．45-D ．453．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18 B ．24C ．60D ．904．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a>- B ．a b <C ．a b >D ．22a b >5．已知点()2,0A -，点()0,4B ，点P 在圆()()223420x y -+-=上，则使得APB ∆为直角三角形的点P 的个数为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．46．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．197．已知()3,3a =，()1,0b =，则()2a b b -=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．38．设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）A ．B ．0或C ．0D ．69．若,a b R +∈，24ab a b ++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．2B ．61-C ．262-D ．263-10．已知直线()21:3120l x a y +--=，()21:103l x a y a +--=，若12//l l ，则a 的值为（ ） A ．1a =或2a =B ．1a =C ．2a =D ．2a =-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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河南省高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2018·吉林模拟) 已知集合，集合B为整数集，则A∩B＝（）
A . {－1，0}
B . {0，1}
C . {－2，－1，0，1}
D . {－1，0，1，2}
2. （2分）(2019·恩施模拟) 已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（）
A . 1
B .
C .
D . 2
3. （2分） (2018高三上·湖南月考) 已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为，则（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
4. （2分） (2016高二上·公安期中) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分
为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）
A . 588
B . 480
C . 450
D . 120
5. （2分） (2016高二上·红桥期中) 以下四个命题中，正确命题是（）
A . 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B . 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C . 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D . 依次首尾相接的四条线段必共面
6. （2分） (2019高二上·青岛月考) 已知，是椭圆的两个焦点，是
上一点.若，则的面积为（）
A .
B .
C .
D . 与有关
7. （2分）(2018·许昌模拟) 平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则
（）
A . 1
B . 2
C . 3
D .
8. （2分） (2020高一下·天津期中) 已知等边的边长为1，则
（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）函数 (a,b为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,则在
上有（）
A . 最大值10
B . 最小值－5
C . 最小值－4
D . 最大值9
10. （2分） (2019高一上·安平月考) 函数的值域为R，则实数a的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2019高三上·海淀月考) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinC＝2sinA，b2﹣a2 ac，则sinB等于________．
12. （1分） (2018高二下·临汾期末) 已知实数，满足约束条件，且的最小值为3，则常数 ________．
13. （1分） (2019高三上·浙江月考) 若数列满足，且对任意，有，则的取值范围是________.
14. （1分） (2019高二上·吉林期中) 不等式的解集是________
15. （1分） (2017高二上·南昌月考) 若命题“ ”是假命题，则的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共60分)
16. （10分） (2020高一下·天津期中) 已知向量 , .
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数的值.
17. （10分） (2016高一下·汕头期末) 设函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1．
（1）若不等式f（x）＜mx的解集为{x|1＜x＜2}，求实数a、m的值；
（2）解不等式f（x）＜0．
18. （10分） (2018高二下·湖南期末) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单
位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。
对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份201320142015201620172018
年宣传费（万元）384858687888
年销售量（吨）16.818.820.722.424.025.5经电脑拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。
对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
75.324.618.3101.4
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。
现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。
（其中为自然对数的底数，）
附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别
为
19. （10分） (2019高三上·西安月考) 已知在ΔABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且
.
（1）求角B的大小；
（2）若，求ΔABC周长的最大值.
20. （10分）已知等差数列中,公差 , ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
21. （10分） (2019高二上·林州月考) 已知数列中，， .
（1）求数列的通项公式:
（2）设，求数列的通项公式及其前项和 .
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
考点：
解析：
答案：10-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、
答案：16-2、
考点：
解析：
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、答案：18-2、
考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：。