2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)
2.在平面直角坐标系中，不等式组
x
−
3y + 2≥0 表示的平面区域的面积为
y≥0
A. 3 2
B. 3
C. 2
（） D. 2 3
( ) ( ) 3.设 a,b,c 为同一平面内的三个单位向量，且 a ⊥ b .则 c − a c − b 的最大值为
A. 2 +1
B. 1− 2
C. 2 −1
的外接球 2
C. 3
D. 4
8.设非负实数 a、b、c 满足 ab + bc + ac = a + b + c 0.则 ab + bc + ac 的最小值为
（）
A. 2
B. 3
C. 3
D. 2 2
二、填空题（每题 8 分，共 4 小题，共 32 分）
9.在数列an中， a4 = 1, a11 = 9 ，且任意连续三项的和均为 15.则 a2016 = _____.
四、（本小题满分 30 分）
设函数
f
(x)
=
ln
x
+
a
1 x
−1(a R)，且
f
( x) 的最小值为
0.
（1）求 a 的值；
（2）若数列an满足 a1 =1, an+1 = f (an ) + 2(n Z+ ) ，记 Sn = a1 +a2 + + an ，m 表示不超过实数
10.设 m、n 均为正整数，且满足 24m = n4.则 m 的最小值为______.
11.设 f ( x)、g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数、偶函数，且 f ( x)+g ( x) = 2x. 若对 x 1, 2 ，不 等式 af ( x) + g (2x)≥0恒成立，则实数 a 的取值范围为_______. 12.设 x R ，则函数 f ( x) = 2x −1 + 3x − 2 + 4x − 3 + 5x − 4 的最小值为________.
已知直线 l : y = 3x + 4 ，动圆 O : x2 + y2 = r2 (1 r 2) ，菱形 ABCD 的一个内角为 60°，顶点 A、B
在直线 l 上，顶点 C、D 在 O 上.当 r 变化时，求菱形 ABCD 的面积 S 的取值范围.
三、（本小题满分 20 分） 如图， O1与 O2 交于 P、Q 两点， O1 的弦 PA 与 O2 相切， O2 的弦 PB 与 O1 相切，直线 PQ 与 △PAB 的外接圆 O 交于另一点 R.证明： PQ = QR .
（） D. 1
4.从1, 2, , 20 这 20 个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为
（）
A. 3 19
B. 1 19
C. 3 38
D. 1 38
5.已知 A、B 为抛物线 y = 3 − x2 上关于直线 x + y = 0 对称的相异两点，则 AB 等于
（）
A. 3
B. 4
2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第一试
一、选择题（每小题 6 分，共 8 小题，共 48 分）
1.已知集合 M = 1, 2, ,10，A 为 M 的子集，且子集 A 中各元素的和为 8，则满足条件的子集 A 共
有 A. 8 个
B. 7 个
C. 6 个
（） D. 5 个
3x − y≤0
C. 3 2
D. 4 2
6.设函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c （ a、b、c 均为非零整数）.若 f (a) = a3, f (b) = b3 ，则 c 的值为（ ）
A. −16
B. −4
C. 4
D. 16
7.如图，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，G 为△BCD 的重心，M 线段 AG 的中点，则三棱锥 M-BCD
第二试
一、（本小题满分 20 分）
设
x、y 均为非零实数.且满足
x sin 5
x sin
+ −
y cos 5
y cos
= tan 9 . 20
5
5
（Ⅰ）求 y 的值； x
（Ⅱ）在△ABC 中，若 tan C = y ，求 sin 2A + cos B 的最大值. x
二、（本小题满分 20 分）
m 的最大整数，求 Sn .
五、（本小题满分 30 分）
设“
”表示轮换对称和，设 a、b、c 为正实数，且满足：abc =1.对任意整数 n≥2 ，证明： a ≥ 3 .
n b+c n 2
2016年全国高中数学联赛A卷真题word版
2016年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设实数a 满足a a a a <-<1193，则a 的取值范围是__________.2. 设复数w z ,满足3=z ，()()i w z w z 47+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则()()w z w z 22-+的模为__________.3. 正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为__________.4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .5. 设P 为一圆锥的顶点，C B A ,,是其底面圆周上的三点，满足︒=∠90ABC ，M 为AP 的中点.若2,2,1===AP AC AB ，则二面角A BC M --的大小为__________.6. 设函数()10cos 10sin 44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有(){}(){}R x x f a x a x f ∈=+<<1，则k 的最小值为__________.7. 双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F .过点2F 作一直径与双曲线C 的右半支交于点Q P ,，使得︒=∠901PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆半径是__________.8. 设4321,,,a a a a 是100,,2,1Λ中的四个互不相同的数，满足()()()2433221242322232221a a a a a a a a a a a a++=++++， 则这样的有序数组()4321,,,a a a a 的个数为__________.二、解答题 9. 在ABC ∆中，已知⋅=⋅+⋅32.求C sin 的最大值.10. 已知()x f 是R 上的奇函数，()11=f ，且对任意0<x ，均有()x xf x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1. 求()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛511501981319912110011f f f f f f f f Λ的值.11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切 线，且2=PQ .圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与x 轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.2016年全国高中数学联赛A 卷二试一、设实数201621,,,a a a Λ满足21119+>i i a a ()2015,,2,1Λ=i .求()()()()212016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值.二、如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅. 设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为21,O O ，直线21O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V .证明：AUV ∆是等腰三角形.三、给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.四、设p 与2+p 均是素数，3>p .数列{}n a 的定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11，Λ,3,2=n . 这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数.证明：对1,,4,3-=p n Λ均有11+-n pa n 成立.。
全国高中数学联赛陕西赛区试卷(1)含解析
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a ,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a +b 的值等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||f x x =+()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x -D 2x -3．若关于x 的方程323()25x aa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅>则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010A B +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D 5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sincos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<则角θ的取值范围是（ ） A ．[0,]4πB ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n ≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n ≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是 （ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos 31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ=12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围. 二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。
）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。
若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案一、选择题（每小题6分，共48分）1.已知集合{}1,2,3,10M = ，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个 答案：C ．解：元素和为8的子集A 有：{}{}{}{}{}{}8,1,7,2,6,3,5,1,2,5,1,3,4，共6个．2.在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A．2BC ．2 D．答案：B ．解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别是()()(2,0,0,0,.A O B -易知，△AOB的面积122S =⨯= 3.设,,a b c是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥ ，则()()c a c b -⋅- 的最大值是（ ）A．1 B．1 CD ．1 答案：A ．解：方法1：因为,1a b a b c ⊥===，所有0,a b a b ⋅=+=设向量c 与a b +的夹角为θ，则()()()22cos 11c a c b c c a b a bc c a b θθ-⋅-=-⋅++⋅=-⋅+=≤当且仅当cos 1θ=-，即θπ=时，等号成立．故()()c a c b -⋅-的最大值为1+方法2：依题意，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin a b c θθ===，则()()()()()22cos 1cos sin sin 1cos sin cos sin 1.4c a c b θθθθπθθθθθ-⋅-=-+-⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭故当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()()c a c b -⋅-取得最大值，最大值为1+4.从1,2,,20 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A ．15 B ．110 C ．319 D ．338答案：D ．解：从这20个数中任取3个数，不同的取法共有3201140C =种．若取出的3 个数,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，所以a 、c 同为奇数，或同为偶数，且a 、c 确定后，b 随之而定．故所求的概率为2210103203.38C C p C +== 5.,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则AB 等于（ ） A ．3 B ．4 C． D．答案：C ．解：方法1：因为点A 、B 关于直线0x y +=对称，所以 1.AB k =设直线AB 的方程为y x b =+，代入23y x =-，得230.x x b ++-=……①由()1430b ∆=-->，得13.4b <设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，则1201.22x x x +==-从而，001.2y x b b =+=-又点11,22M b ⎛⎫--⎪⎝⎭在直线0x y +=上，所以110,22b -+-=即 1.b = 将1b =代入①，得220x x +-=．解得122, 1.x x =-= 所以()()2,1,1,2.A B --故AB =6.如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，M 是线段AG 的中点，则四棱锥M -BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．π B ．32π CD解：如图，连结BG ．因为G 为正△BCD 的重心，所以AG ⊥平面BCD ，从而而.AG BG ⊥在Rt △AGB中，21,3AB BG ===AG ==于是，12MG AG ==在Rt △MGB 中，2MB =从而2MC MB ==所以22221.MB MC BC +==所以 .MB MC ⊥同理,.MC MD MD MB ⊥⊥所以三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以DAMDGBMB、MC、BD为棱的正方体的对角线的长．设三棱锥M-BCD的外接球半径为R，则2R B==故外接球的表面积234.2S Rππ==7.设函数()32f x x ax bx c=+++（,,a b c均为非零整数）．若()()33,f a a f b b==，则c的值是（）A．16-B．4-C．16答案：D．解：设()()32g x f x x ax bx c=-=++，则由()()33,f a a f b b==，得()()0.g a g b==所以a、b为方程()0g x=的两个根，则,.b ca b aba a+=-=消去b，得()()42111.11ac a aa a=-=-+--++因为c为整数，所以11a+=±，即0a=（舍去）或2a=-．故16.c=8.设非负实数,,a b c满足0ab bc ca a b c++=++>，则的最小值为（）A．2B．3CD．答案：A．解：不妨设a b c≥≥，由均值不等式，得()(((((((()2a b ca b b c c aa b b c c aab bc ca++=+++≥+++≥++当且仅当0c=且a b=时，等号成立．又0ab bc ca a b c++=++>2.≥由0,,c a b ab bc ca a b c==++=++，得2,0.a b c===故当a、b、c中有两个为2，一个为02.二、填空题（每小题8分，共32分）9.设数列{}n a中，4111,9a a==，且任意连续三项的和都是15，则2016a=．答案：5．解：依题意，对任意n N+∈，1212315.n n n n n na a a a a a+++++++=++=所以，3.n n a a +=从而，142113121,9,15 5.a a a a a a a =====--= 故201636723 5.a a a ⨯===10.设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是 ． 答案：54.解：由432423n m m ==⨯⨯，得m 的最小值为32354.⨯=11.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[]1,2x ∈，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：17,.6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解：因为()()2.xf xg x += ①所以()()2,xf xg x --+-=即()()2.xf xg x --+= ②由①、②得()()2222,.22x x x xg x h x ---+== 由()()20af x g x +≥，得()2222220.x xx x a ---++≥ ③ 令22x xt -=-，则由[]1,2x ∈，得315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且22222 2.x x t -+=+ 所以由③得2a t t -≤+对315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 因为函数2t t +在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当32t =时，min 217.6t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以176a -≤，即17.6a ≥- 12.设x R ∈，则函数()21324354f x x x x x =-+-+-+-的最小值为 ． 答案：1．解：()12342345234514243234253541424232535414223 1.5253f x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥---+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-=当且仅当142430,0,025354x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤--≤-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即34x =时，等号成立． 故()min 3 1.4f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan .20cos sin 55x y x y πππππ+=-（1）求y x的值；（2）在△ABC 中，若tan yC x =，求sin 22cos A B +的最大值．解：（1）由已知得tan 95tan .201tan 5y x y x πππ+=- 令tan yxθ=，则tantan 95tan201tan tan5πθππθ+=-，即9tan tan .520ππθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以9520k ππθπ+=+，即().4k k Z πθπ=+∈ 故tan tan tan 1.44y k x ππθπ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭ （2）由（1）得tan 1.C = 因为0C π<<，所以4C π=．从而，4A B π3+=，则322.2A B π=-所以223sin 22cos sin 22cos 2cos 22cos 2cos 2cos 1132cos .22A B B BB B B B B π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=-+=-++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值3.2二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆()222:12O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为60 ，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 面积S 的取值范围．解：因为菱形ABCD 有一个角为60，所以 △ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设△ACD 为等边三角形，如图所示．因为圆心O 到直线l 的距离为2r >，所以直线l 与圆相离． 设直线CD的方程为y b +，则直线l 与CD 的距离为4.2d d -=又圆心O 到直线CD 的距离为2b，所以CD =由d =，得42b -=化简得22243.b b r -+=因为12r <<，所以232412.b b <-+<解得21b -<<，或1 4.r <<又)22222224.46ACDS S d b ∆===⨯=-因为函数)246S b =-在()2,1-和()1,4上分别单调递减，所以菱形ABCD 的面积S 的取值范围为.⎛ ⎝三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与△PAB 的外接圆O 交于另一点R ．求证：.PQ QR =证法1：如图，连结12O O ，分别交PQ 、PO 于点M 、N ，则12OO PQ ⊥，且M 为PQ 的中点．连结1PO 、2PO 、1OO 、2OO 、OQ 、OR ．因为PA 与圆2O 相切，所以2.PA PO ⊥ 又PA 为圆1O 与圆O 的公切线，所以1.PA O O ⊥ 所以21//.PO OO 同理，12//.PO O O所以四边形12PO OO 为平行四边形．从而，N 为PO 的中点． 又M 为PQ 的中点，所以//MN OQ ，即12//.OO OQ 因为12OO PQ ⊥，所以OQ PQ ⊥，即.OQ PR ⊥ 又OP OR =，故Q 为PR 的中点，即.PQ QR =证法2：如图，连结AQ 、BQ 、AR 、BR ．因为PA 与圆2O 相切，PB 与圆1O 相切，所以,.APQ PBQ PAQ BPQ ∠=∠∠=∠ 所以△PAQ ∽△BPQ ，所以,PQ AQBQ PQ=即2.PQ AQ BQ =⋅ 又,AQR APQ PAQ APQ BPQ APB ∠=∠+∠=∠+∠=∠,QRA PRA PBA ∠=∠=∠所以△QAR ∽△.PAB同理，△QRB ∽△.PAB 所以△QQR ∽△.QRB所以QR QAQB QR=，即2.QR QA QB =⋅ 故22PQ QR =，即.PQ QR =四、（本题满分30分）设函数()1ln 1,f x x a a R x ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭，且()f x 的最小值为0． （1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足()()111,2n n a a f a n N ++==+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++ ，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求.n S解：（1）()221,0.a x af x x x x x-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，不合题意．当0a >时，若0x a <<，则()0f x '<；若x a >，则()0f x '>．所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．所以()()min ln 1.f x f a a a ==-+设()()ln 10g a a a a =-+>，则()111.a g a a a-'=-= 若01a <<，则()0g a '>；若1a >，则()0g a '<．所以函数()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以()()10g a g ≤=，当且仅当1a =时，等号成立．图当1a =时，()f x 取得最小值0.（2）由（1）知，()1ln 1f x x x =+-，所以()112ln 1.n n n na f a a a +=+=++由11a =得，2 2.a =从而，33ln 2.2a =+因为1ln 212<<，所以32 3.a << 下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，2 3.n a <<（Ⅰ）当3n =时，结论已成立．（Ⅱ）假设当()3n k k =≥时，23k a <<．那么，当1n k =+时，有11ln 1k k ka a a +=++ 由（1）知，()()12ln 1h x f x x x=+=++在()2,3上单调递增． 所以()()()23k h h a h <<，即()31ln 2ln 3 1.23k h a +<<++ 因为15ln 2,ln 323><，所以()23k h a <<，即12 3.k a +<< 即当1n k =+时，结论也成立． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，对一切整数3n ≥，都有2 3.n a <<所以[][]()11,22.n a a n ==≥故[][][][]()1231212 1.n n S a a a a n n =++++=+-=-五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：++≥证法1：不妨设a b c≤≤，则≤≤由切比雪夫不等式，得1.3a b c++=≤又由幂平均不等式，得≤=所以.a b c++≤所以.a b c++≤≥=由已知及均值不等式，得 3.a b c++≥=≥证法2：令A a b c=++，则0,,1a b cAA A<<，由幂级数展开式，得2121,a aA Aαα⎡⎤⎛⎫===+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦其中，1111121,1,2,.!kkn n n nkkα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==2121,b bA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121.c cA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅+⋅+⎥⎪⎝⎭⎥⎦所以()()212223122122333311133a b c a b ca b cA Aa b c a b ca b cA Aαααααα⎤++++=+++⋅+⋅+⎥⎦⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥≥+++⋅+⋅+⎥⎥⎣⎦⎫=+⋅+⋅+⎪⎭==≥=注1：切比雪夫不等式设1212,,,,,,,n nx x x y y y为任意两组实数，若12nx x x≤≤≤且12ny y y≤≤≤或12nx x x≥≥≥且12ny y y≥≥≥，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（*）若12nx x x≤≤≤且12ny y y≥≥≥或12nx x x≥≥≥且12ny y y≤≤≤，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（**）当且仅当12nx x x===或12ny y y===时，（*）和（**）中的等号成立．注2：幂平均不等式若αβ>，且0,0αβ≠≠，0,1,2,,ix i n>= ，则11.n ni ii ix xn nαβαβ11==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑。
2016年全国高中数学联赛陕西预赛试题
2021年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题〔4月24日上午 8:30—11:00〕第一试一、选择题〔每题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，那么满足条件的子集A 共有〔 〕A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是〔 〕A. 2B. C. 2D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，那么()()c a c b -⋅-的最大值是〔 〕A. 1+B. 1C.1 D. 1 4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，那么这3个数构成等差数列的概率为〔 〕 A. 15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，那么||AB 等于〔 〕A. 3B. 4C.D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，那么三棱锥M BCD -的外接球的外表积为〔 〕A. πB.32π C. D. 7、设函数32()f x x ax bx c =+++〔,,a b c 均为非零整数〕. 假设3()f a a =，3()f b b =，那么c 的值是〔 〕 A. 16- B. 4- C. 4 D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，〔 〕A. 2B. 3C.D.二、填空题〔每题8分，共32分〕9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，那么A C D B GM2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，那么m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，假设对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，那么实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，那么函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、〔此题总分值20分〕设,x y 均为非零实数，且满足sincos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-． 〔1〕求y x的值；〔2〕在ABC ∆中，假设，求sin 22cos A B +的最大值．二、〔此题总分值20分〕直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、〔此题总分值20分〕如图，圆1O 及圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 及圆2O 相切，圆2O 的弦PB 及圆1O 相切，直线PQ 及PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．A B P O Q R1O 2O ⋅⋅⋅四、〔此题总分值30分〕设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0， 〔1〕求a 的值； 〔2〕数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、〔此题总分值30分〕设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：≥．。
2016年全国高中数学联合竞赛陕西赛区预赛试卷
2016年全国高中数学联合竞赛陕西赛区预赛试卷一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（6分）已知集合{1M =，2，3，⋯，10}，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有( ) A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个2．（6分）在平面直角坐标系中，不等式组303200x y x y y ⎧-⎪⎪-+⎨⎪⎪⎩表示的平面区域的面积是( )A ．32B ．3C ．2D ．233．（6分）设a ，b ，c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b --的最大值是( ) A ．12+B ．12-C ．21-D ．14．（6分）从1，2，⋯，20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为( )A ．15B ．110C ．319D ．1385．（6分）已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于( ) A ．3B ．4C ．32D ．426．（6分）如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A ．πB ．32πC 6D 6 7．（6分）设函数32()(f x x ax bx c a =+++，b ，c 均为非零整数）．若f （a ）3a =，f （b ）3b =，则c 的值是( )A ．16-B ．4-C ．4D ．168．（6分）设非负实数a ，b ，c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，则ab bc ca ++的最小值为( ) A ．2B ．3C ．3D ．22二、填空题（每小题8分，共32分）9．（8分）在数列{}n a 中，41a =，119a =，且任意连续三项的和都是15，则2016a = ． 10．（8分）设m ，n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是 ．11．（8分）设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[1x ∈，2]，不等式()(2)0af x g x +恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（8分）设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为 ． 三、解答题（共5小题，满分120分）13．（20分）设x ，y 均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-．（1）求yx的值； （2）在ABC ∆中，若tan yC x=，求sin 22cos A B +的最大值． 14．（20分）已知直线:34l y x =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为60︒，顶点A ，B 在直线l 上，顶点C ，D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．15．（20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．16．（30分）设函数1()(1)f x lnx a x =+-，a R ∈，且()f x 的最小值为0，（1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2()n n a f a n N ++=+∈，设123[][][][]n n S a a a a =+++⋯+，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．17．（30分）设a ．b ．c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ， 32n++．2016年全国高中数学联合竞赛陕西赛区预赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（6分）已知集合{1M =，2，3，⋯，10}，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有( ) A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个【分析】利用列举法能求出满足条件的子集A 的个数．【解答】解：集合{1M =，2，3，⋯，10}，A 是M 的子集，A ∴中各元素的和为8的集合A 有：{8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{1，2，5}，{1，3，4}，共6个．故选：C ．【点评】本题考查集合的满足条件的子集的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集性质的合理运用．2．（6分）在平面直角坐标系中，不等式组303200x y x y y ⎧-⎪⎪-+⎨⎪⎪⎩表示的平面区域的面积是( )A ．32B ．3C ．2D ．23【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求得三角形三个顶点的坐标，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件303200x y x y y ⎧-⎪⎪-+⎨⎪⎪⎩作出可行域如图，不等式组表示的平面区域是一个三角形内部（包括边界）． 其中三个顶点的坐标分别为(2,0)A -，3)B ，(0,0)O ，∴122AOB S ∆=⨯ 故选：B ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．（6分）设a ，b ，c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b --的最大值是( ) A．1B．1C1D ．1【分析】利用向量的数量积个数以及向量的模，夹角转化求解即可．【解答】解：a ，b ，c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，所以，0a b =，||2a b +=，设c 与a b +的夹角为θ，则2()()()1||cos 1212c a c b c c a b a b a b θθ--=-++=-+=-+， 当且仅当cos 1θ=-时取等号， 故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的应用，考查计算能力．4．（6分）从1，2，⋯，20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为( )A ．15B ．110C ．319D ．138【分析】先根据等差中项确定数列一定是同奇同偶，然后将20个数分成奇数和偶数两种情况讨论．【解答】解：从1，2，⋯，20这20个数中，任取3个不同的数，不同的取法共有3201140C =种，若取出的数a ，b ，c 成等差数列， 则2a c b +=，故a ，c 同是奇数，或同是偶数且a ，c 确定后，b 随之而定，故所求的概率为331010320138C C P C +==， 故选：D ．【点评】本题主要考查等差中项的性质．等差数列在数列中占很大的地位，对分析问题和解决问题都很重要．5．（6分）已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于( ) A ．3B ．4C ．32D ．42【分析】先设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而可求AB 中M 的坐标，代入直线0x y +=中求得b ，进而由弦长公式求得||AB ． 【解答】解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又11(,)22M b --+在直线0x y +=上，代入可得，1b =， 220x x ∴+-=，由弦长公式可求出22||1114(2)32AB =+-⨯-=． 故选：C ．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 6．（6分）如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A ．πB ．32πC 6D 6 【分析】求出AG ，MG ，利用勾股定理建立方程，求出R ，即可求出三棱锥M BCD -外接球的表面积．【解答】解：连接BG ，四面体ABCD 中，由G 为BCD ∆的重心， 可得AG ⊥面BCD ，M 是线段AG 的中点，3BG =，226AG AB BG =-=M 为线段AG 的中点，MG ∴=设三棱锥M BCD -外接球的半径为R ，则2R =22)(R +，R ∴=， ∴三棱锥M BCD -外接球的表面积为2342R ππ=． 故选：B ．【点评】本题考查三棱锥M BCD -外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出三棱锥M BCD -外接球的半径是关键．7．（6分）设函数32()(f x x ax bx c a =+++，b ，c 均为非零整数）．若f （a ）3a =，f （b ）3b =，则c 的值是( )A ．16-B ．4-C ．4D ．16【分析】由f （a ）3a =，f （b ）3b = 列出等式化简即111b a a =--+，因为b 为整数，得出2a =-，从而求出b 与c 值．【解答】解：由已知得3333223a a abc a b ab b c b ⎧+++=⎨+++=⎩， 两式相减，化简得：()()()0a a b a b b a b +-+-=， 即()b a a b =-+， 即111b a a =--+， a ，b ，c 均为非零整数且a b ≠，得11a +为整数，所以2a =-， 所以2a =-，4b =， (2)816fc -=-⇒=．故选：D ．【点评】本题主要考查了函数的基本运算化简，以及对题意的充分理解，属中等题．8．（6分）设非负实数a ，b ，c 满足0ab bc ca a b c ++=++>值为( )A ．2B ．3C D ．【分析】不妨设a b c ，由均值不等式，得(a b c ++，化简整理可得当且仅当0c =时，且a b =2ca【解答】解：不妨设a b c ，由均值不等式，得(a b c ++((((a b b c c a =+++，()((a b ab b c c a +++ 2222()abab bcbc caca ab bc ca ++=++，当且仅当0c =时，且a b =时等号成立，0ab bc ca a b c ++=++>2ca ，由0c =，a b =，ab bc ca a b c ++=++得2a b ==，0c =，故当a ，b ，c 中的两个为2，一个为02， 故选：A ．【点评】本题考查了均值不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于中档题 二、填空题（每小题8分，共32分）9．（8分）在数列{}n a 中，41a =，119a =，且任意连续三项的和都是15，则2016a = 5 ． 【分析】将1215n n n a a a ++++=中n 换为1n +，可得数列{}n a 是周期为3的数列．求出29a =，11a =，即可得到2016a ．【解答】解：由题意可得1215n n n a a a ++++=， 将n 换为12315n n n a a a +++++=， 可得3n n a a +=，可得数列{}n a 是周期为3的数列． 41a =．119a =，即有11a =，1129a a ==，可得201636713315195a a a ⨯+===--=； 故答案为：5．【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（8分）设m ，n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是 54 ． 【分析】利用已知条件，转化表达式为方次相等关系，求解即可．【解答】解：m ，n 均为正整数，且满足424m n =，可得43423(23)n m =⨯⨯=⨯．所以32354m =⨯=．故答案为：54．【点评】本题考查函数与方次的应用，考查转化思想，是基础题．11．（8分）设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[1x ∈，2]，不等式()(2)0af x g x +恒成立，则实数a 的取值范围是 176a -． 【分析】先根据函数奇偶性定义，解出奇函数()f x 和偶函数()g x 的表达式，将这个表达式不等式()(2)0af x g x +，令22x x t -=-，则31524t，通过变形可得2()a t t--+，可以得出实数a 的取值范围． 【解答】解：()f x 为定义在R 上的奇函数，()g x 为定义在R 上的偶函数()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=又由()()2x f x g x +=，结合()()()()2x f x g x f x g x --+-=-+=，1()(22)2x x f x -∴=-，1()(22)2x x g x -=+不等式()(2)0af x g x +，化简为221(22)(22)022x x x x a ---++12x ∴3152224x x-- 令22x x t -=-， ∴31524t， 2a t t∴-+． 2t t +在3[2，15]4上单调递增，∴当32t =时，27()6min t t +=176a ∴-． 故答案为：176a -． 【点评】本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法的技巧，是解决本题的关键． 12．（8分）设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为 1 ． 【分析】根据绝对值三角形不等式即可求出【解答】解：1234()|21||32||43||54|2||3||4||5||2345f x x x x x x x x x =-+-+-+-=-+-+-+-，142432(||||)3(||||)4||25354x x x x x =-+-+-+-+-，14242||3||2535x x x x --++--+， 41422||3||15253=-+-=， 当且仅当14()()025x x --，24()()035x x --，304x -=，即34x =时等号成立，故3()()14min f x f ==，故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值三角形不等式，属于中档题 三、解答题（共5小题，满分120分）13．（20分）设x ，y 均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-．（1）求yx的值； （2）在ABC ∆中，若tan yC x=，求sin 22cos A B +的最大值． 【分析】（1）令tan y xθ=，利用两角和的正切公式化简条件可得9tan()tan 520ππθ+=，可得9520k ππθπ+=+，k Z ∈，由此求得tan yxθ= 的值． （2）在ABC ∆中，若tan 1yC x==，利用三角恒等变换化简sin 22cos A B +为2132(cos )22B --+，再利用二次函数的性质，求得它的最大值．【解答】解：（1）x ，y 均为非零实数，且满足sincostan9555tan 20cos sin 1tan 555yx y x y x y xπππππππ++==--， 令tan y x θ=，则tantan 95tan201tan tan 5πθππθ+=-，即9tan()tan 520ππθ+=， ∴9520k ππθπ+=+，k Z ∈，即4k πθπ=+，tan 1yxθ∴==． （2）在ABC ∆中，若tan 1y C x ==，则4C π=，34A B π∴+=， 22313sin 22cos sin 2()2cos cos2cos 2cos 2cos 12(cos )422A B B B B B B B B π∴+=-+=-+=-++=--+，故当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B + 取得最大值为32．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，三角恒等变换，二次函数的性质，属于中档题．14．（20分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为60︒，顶点A ，B 在直线l 上，顶点C ，D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．【分析】直接利用直线和圆的位置关系的应用建立等量关系，进一步利用垂径定理及相关的函数的性质的应用求出结果．【解答】解：因为菱形ABCD 有一个内角为60︒， 所以：ACD ∆和BCD ∆为等边三角形． 不妨设ACD ∆为等边三角形， 由于圆心O 到直线l 的距离为2r >， 所以直线l 与圆O 相离，设直线CD 的直线方程为：y b =+则：直线l 到CD 的距离|4|2b d -=， 又圆心O 到直线CD 的距离为2b，所以：||2CD ==由于d =所以：|4|2b -=， 化简得：22243b b r -+=． 由于12r <<，则：232412b b <-+<，解得：21b -<<，或14r <<， 又223322||(4)46ACD S S CD b ∆==⨯=-． 由于函数23()(4)6S b b =-在(2,1)-和(1,4)上单调递减， 所以菱形ABCD 的面积S 的取值范围是：3333(0,)(,63)22． 【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用．垂径定理得应用．及相关的函数的性质的应用．15．（20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．【分析】方法一：连结12O O ，分别交PQ ，PO 于M ，N ，运用相交弦性质，连结1PO ，2PO ，1OO ，OQ ，OR ，由圆的切线的性质，可得四边形12PO OO 为平行四边形，则N 为PO的中点，运用数形结的中位线定理即可得证．方法二：连结AQ ，BQ ，AR ，BR ，运用圆的弦切角定理，结合三角形的相似的判定定理和性质定理，即可得证． 【解答】证法一：连结12O O ， 分别交PQ ，PO 于M ，N ， 则12O O PQ ⊥，M 为PQ 的中点， 连结1PO ，2PO ，1OO ，OQ ，OR ，由PA 为圆1O 与圆O 的公共弦，可得1PA O O ⊥， 圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，可得2PA PO ⊥， 可得21//PO O O ，同理12//PO O O ， 则四边形12PO OO 为平行四边形，则N 为PO 的中点，又M 为PQ 的中点， 则//MN OQ ，即有12//O O OQ ，由12O O PQ ⊥，OQ PQ ⊥，即OQ PR ⊥， 又OP OR =，故Q 为PR 的中点，即PQ QR =． 证法二、连结AQ ，BQ ，AR ，BR ，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切， 可得APQ PBQ ∠=∠，PAQ BPQ ∠=∠， 则PAQ BPQ ∆∆∽， 可得PQ AQBQ PQ=，即2PQ AQ BQ =， 又AQR APQ PAQ APQ BPQ APB ∠=∠+∠=∠+∠=∠， QRA PRA PBA ∠=∠=∠，可得QAR PAB ∆∆∽，同理可得QRB PAB ∆∆∽，QAR QRB ∆∆∽， 可得QR QAQB QR=，可得2QR QA QB =， 即有22PQ QR =，即PQ QR =．【点评】本题考查圆的切线定理和圆的弦切角定理，以及两圆的相交弦性质，考查三角形的相似的判断和性质，考查推理能力，具有综合性，属于难题．16．（30分）设函数1()(1)f x lnx a x =+-，a R ∈，且()f x 的最小值为0，（1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2()n n a f a n N ++=+∈，设123[][][][]n n S a a a a =+++⋯+，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，求出a 的值即可；（2）求出11a =，求出23n a <<，求出n S 的值即可． 【解答】解：（1）由已知得()f x 定义域为(0,)+∞，221()a x af x x x x-'=-=， 当0a 时，()0()f x f x '>∴的增区间是(0,)+∞，无减区间． 当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '< (,)x a ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a ，故当0a 时，()f x 无最小值，当0a >时，()min f x f =（a ）10lna a =-+=， 1a ∴=；（2）由（1）1()1f x lnx x =+-， 故11()21n n n n a f a lna a +=+=++，由11a =，得22a =，从而3322a ln =+， 1212ln <<．323a ∴<<， 下面用数学归纳法证明：当3n 时，23n a <<， （Ⅰ）3n =时，结论成立，（Ⅱ）假设(3)n k k =时，23k a <<， 则1n k =+时，有： 111k k ka lna a +=++， 由（1）知，1()()21h x f x lnx x=+=++在(2,3)递增， 故h （2）()k h a h <<（3），即312()3123k ln h a ln +<<++， 122ln >，533ln <，2()3k h a ∴<<，即123k a +<<，即当1n k =+时，结论成立，由（Ⅰ）（Ⅱ）知对一切整数3n ，都有23k a <<， 故1[]1a =，[]2(2)n a n =，故123[][][][]12(1)21n n S a a a a n n =+++⋯+=+-=-．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及数学归纳法的证明，是一道中档题．17．（30分）设a ．b ．c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ，32n++．【分析】不妨设a b c ，则nncc aa b ++，可得nnbcc a a b++．可得1(3n n n nnnabca b c cc aa bbc b cc aa b++++++++++，()nb c++及其均值不等式可得：333a b c abc ++=．即可证明．【解答】证明：不妨设a b c nncc aa b ++，∴nnbcca a b++．1(3n n n nnnabca b c cc aa bb c b cc aa b∴++=++++++++，()nb c++2(3na b a b c+∴+++，∴2(na b a b +++333a b c abc ++=． ∴32n++．【点评】本题考查了均值不等式的性质与解法、幂值不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。
）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。
若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛及解析
2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个.A. 8B. 7C. 6D. 52.在平面直角坐标系中，不等式组{√3x−y≤0,x−√3y+2≥0,y≥0表示的平面区域的面积是A. √32B. √3C. 2D. 2√33.设a、b、c为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为（）.A. 1+√2B. 1-√2C. √2-1D. 14.从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A. 319B. 119C. 338D. 1385.已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（）.A. 3B. 4C. 3√2D. 4√26.设函数f(x)=x3+ax2+6x+c(a、b、c均为非零整数).若f(a)=a3，f(b)=b3，则c的值为（）.A. -16B. -4C. 4D. 167.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为△BCD的重心，M为线段AG的中点.则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为（）.A. πB. 3π2C. √6π4D. √6π88.设非负实数a 、b 、c 满足ab +be +ca =a +b +c >0.则√ab +√bc +√ca 的最小值为（ ）. A. 2 B. 3 C. √3 D. 2√2第II 卷（非选择题）二、填空题9.在数列n 4=1，a 11=9，且任意连续三项的和均为15.则a 2016=________. 10.设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.11.设函数f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x ，若对x∈[1,2]，不等式af(x)+g(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．12.设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______. 三、解答题13.设x y 、均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-.（Ⅰ）求yx的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，若tan yC x=，求sin 22cos A B +的最大值. 14.已知直线l ：y =√3x +4，动圆⊙O ：x 2+y 2=r 2(1<r <2)，菱形ABCD 的一个内角为60°，顶点A 、B 在直线l 上，顶点C 、D 在⊙O 上.当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围. 15.如图，⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，⊙A 的弦以与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切，直线PQ 与△P AB 的外接圆⊙O 交于另一点R .证明：PQ =QR .16.设函数f(x)=lnx +a(1x−1)（a ∈R ）， 且f (x )的最小值为0.（1）求a 的值；（2）若数列{a n }满足a 1=1，a n +l =f (a n )+2(n ∈Z +)，记S n =[a 1]+[a 2]+…+[a n ]，[m ]表示不超过实数m 的最大整数，求S n .17.记“∑”表示轮换对称和.设a 、b 、c 为正实数，且满足abc =1.对任意整数n ≥2，证明：∑√b+cn≥2n.参考答案1.C【解析】1.注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.2.B【解析】2.由不等式组绘制可行域如图所示，则A(−2,0),B(1,√3)，不等式组表示的平面区域的面积是S=12×2×√3=√3 .本题选择B选项.3.A【解析】3.由a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，知a·b=0，|a+b|=√2.设向量c与a+b的夹角为θ.则 (c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)+a·b=|c|2-|c||a+b|cosθ=1-√2cosθ≤1+√2，当且仅当cosθ=-1，即0=π时，上式等号成立.故(c-a)·(c-b)的最大值为1+√2.选A.4.D【解析】4.从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有A 203个. 若取出的三个数a 、b 、c 成等差数列，则a +c =2b . 故a 与c 的奇偶性相同，且a 、c 确定后，b 随之而定. 从而，所求概率为p =2A 102A 203=138. 选D.5.C【解析】5.因为点A 、B 关于直线x +y =0对称，所以，设点A (a ，b )，B (-b ，-a ). 又点A 、B 在抛物线y =3-x 2上，则{b =3−a 2，−a =3−b2⇒{a =−2，b =−1 或{a =1，b =2.不妨设点A (-2，-1)，B (1，2).则|AB |=3√2. 选C. 6.D【解析】6.设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒ g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba ，ab =ca⇒ c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D. 7.B【解析】7.因为G 为正△BCD 的重心，所以，AG ⊥平面BCD ⇒AG ⊥BG . 在Rt △AGB 中， AB =1，BG =23×√32=√33⇒AG =√AB 2−BG 2=√63⇒MG = 12AG =√66. 在Rt △MGB 中，MB =√MG 1+BG2=√22⇒MC =MB =√22.则MB 2+MC 2=12=BC 2⇒MB ⊥MC .类似地⊥Ml )，MD ⊥MB .于是，三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以MB 、MC 、MD 为棱的正方体的体对角线长. 设三棱锥M -BCD 的外接球半径为R . 则2R =√3MB =√62.故外接球的表面积S =4πR 2=3π2. 选B. 8.A【解析】8.不妨设a ≥b ≥c .由均值不等式得(a+b +c)(√ab +√bc +√ca)≥(a +b)√ab +(b +c)√bc +(c +a)√ca ≥2√ab √ab +2√bc √bc +2√ca √ca =2(ab +bc +ca)，当且仅当c =0且a =b 时，上式等号成立.又ab +bc +ca =a +b +c >0，则√ab +√bc +√ca ≥2. 由c =0，a =b ，ab +bc +ca =a +b +c ，得a =b =2.故当a 、b 、c 中有两个为2、一个为0时，√ab +√bc +√ca 取得最小值为2. 选A. 9.5【解析】9.依题意，对任意n ∈Z +，有a n +a n +1+a n +2=a n +1+a n +2+a n +3=15⇒a n +3=a n . 则a 1=a 4=1，a 2=a 11=9，a 3=15-a 1-a 2=5. 故a 2016=a 3×672=a 3=5. 10.54【解析】10.由n 4=24m =23×3m ，知m min =2×33=54. 11.[−176，+∞)【解析】11. 由f (x )+g (x )=2x ①⇒ f (-x )+g (-x )=2-x⇒-f (x )+g (x )=2-x . ②由式①、②得，g (x )=2x +2−x 2 ，f (x )=2x −2−x2.由af (x )+g (2x )≥0⇒a (2x -2-x )+22x +2-2x ≥0. ③令t =2x -2 –x ，由x [1，2]，得t ∈[32，154] ，且22x +2-2x =t 2+2.则对t ∈[32，154]由式③得−a ≤t +2t.因为函数t +2t在区间[32，154]内单调递增，所以t =√32时，(t +2t)min=176. 故−a ≤176，即a ≥−176.12.1【解析】12. 注意到，f(x)=2|x −12|+3|x −23|+4|x −34|+5|x −25|=2(|x −1|+|x −4|)+3(|x −2|+|x −4|+4|x −3|)≥2|(x −12)−(x −45)|+3|(x −23)−(x −45)| =2|45−12|+3|45−23|=1当且仅当(x −12)(x −45)≤0，(x −23)(x −45)≤0，x −34=0，即x =34时，等号成立. 故f （x ）min=f(34)=113.（Ⅰ）1；（Ⅱ）23.【解析】13.（Ⅰ）先对已知条件左右两边同除以x ，得到tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，再令tan y x θ=，即可得到9tan()tan520ππθ+=，从而得到θ的表达式，进而可求出yx的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出C 的值，从而可得到)(B A +的值，用B 表示A ，代入到sin 22cos A B +中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值.试题分析：（Ⅰ）由已知得tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，令θtan =xy ，则tan tan 95tan201tan tan 5πθππθ+=-，即9tan()tan 520ππθ+= 所以9520k ππθπ+=+，即()4k k Z πθπ=+∈. 故tan tan()14y k x πθπ==+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan 1C =，因为0C π<<， 所以4C π=，从而34A B π+=， 则3222A Bπ=-.所以3sin 22cos sin(2)2cos 2A B B Bπ+=-+2cos 22cos 2cos 2cos 1B B B B =-+=-++2132(cos )22B =--+故当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值为32. 14.(0，3√32)∪(2√32，6√3)【解析】14.因为菱形ABCD 有一个内角为60°，所以，△ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设为等边三角形，如图3.因为圆心O 到直线l 的距离为2>r ，所以，直线l 与⊙O 相离. 设l CD :y =√3x -b .则直线l 与CD 的距离d =|b−4|2.又圆心O 到直线CD 的距离为|b|2，故|CD|=2√r 2−(|b|2)2=√4r 2−b 2.由d=√32|CD|⇒|b−4|2=√32√4r 2−b 2⇒b 2−2b +4=3r 2.因为1<r <2，所以，3<b 2-2b +4<12⇒-2<b <1或1<b <4. 又S=2S ΔACD =2×√34|CD|2=2×√34(√3)2d 2=√36(b −4)2，而函数S 在区间(-2，1)、区间(1，4)内分别单调递减，故菱形ABCD 的面积S 的取值范围是(0，3√32)∪(2√32，6√3).15.见解析【解析】15.联结O 1O 2，分别与PQ 、PO 交于点M 、N ，则O 1O 2⊥PQ ，且M 为PQ 的中点.联结PO 1、PO 2、OO l 、OO 2、OQ 、OR . 因为P A 与⊙O 2相切，所以，P A ⊥PO 2. 又P A 为⊙O 1与⊙O 的公共弦，则P A ⊥O 1O . 于是，PO 2∥O 1O . 类似地，PO 1∥O 2O .所以，四边形PO 1OO 2为平行四边形. 从而，N 为PO 的中点.由M 为PQ 的中点，知MN ∥OQ ，即O 1O 2∥OQ . 因为O 1O 2⊥OQ ，所以，OQ ⊥PR .又OP =OR ，故Q 为PR 的中点，即PQ =QR . 16.(1) 当a =1时，f (x )取得最小值0. (2) S n =2n -1【解析】16. （1）f ′(x)=1x −a 2=x−a 2(x >0).当a ≤0时，f ′(x)>0，则f (x )在区间(0，+∞)内单调递增，无最小值，不符合题意. 当a >0时，若0<x <a ，则f ′(x)<0； 若x >a ，则f ′(x)>0.所以，函数f (x )在区间(0，a )内单调递减，在区间(a ，+∞)内单调递增. 故f (x )min =f (a )=ln a -a +1.设g (a )=ln a -a +1(a >0).则g ′(a)=1a −1=1−aa . 若0<a <1，则g ′(a)>0； 若a >1，则g ′(a)<0.所以，函数g (a )在区间(0，1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减. 故g (a )≤g （1）=0.当且仅当a =1时，上式等号成立. 从而，当a =1时，f (x )取得最小值0. （2）由（1）知f(x)=lnx +1x−1.则a n +1=f (a n )+2=lna n +1a n+1.由a 1=1，得a 2=2. 从而，a 3=ln 2+32.因为12<ln 2<1，所以，2<a 3<3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，2<a n <3. 当n =3时，结论已成立. 假设n =k (k ≥3)时，2<a k <3. 当n =k +1时，有a k+1=lna k +1a k+1.由（1）知 h (x )=f (x )+2=lnx +1x+1 在区间(2，3)内单调递增. 所以，h （2）<h (a k )<h （3），即ln2+32<ℎ(a k )<ln3+13+1.由ln 2>12，ln 3<53⇒2<h (a k )<3⇒2<a k +1<3， 即当n =k +1时，结论也成立.由归纳假设，知对一切整数n ≥3，均有2<a n <3. 于是，[a 1]=1，[a n ]=2(n ≥2).故S n =[ a 1]+[a 2]+…+[a n ] =1+2(n -1)-2n -1. 17.见解析【解析】17.不妨设a ≤b ≤c .则√b +c n ≥√c +b n ≥√a +b n ，b+c n ≤√c+a n ≤a+bn . 由切比雪夫不等式得∑a =∑(√b +c n ·√b+c n)≤13(∑√b +c n )(∑√b+c n ). 又由幂平均不等式得13∑√b +c n ≤√13∑(b +c)n =√23∑a n . 故∑a ≤√23∑a n (∑√b+c n ) ⇒√b+c n≥√23∑a n =√32(∑a)n−1n 由已知及均值不等式得∑a≥3√abc 3=3. 故√b+c n ≥√2n .。
2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
共3页 第2页
五, (本题满分 30 分) 设 ������, ������, ������ 为正实数, 且满足 ������������������ = 1, 对任意整数 ������ ≥ 2, 证明: ������ + ������ + ������ ≥ 3 . √������ ������ + ������ √������ ������ + ������ √������ ������ + ������ √������ 2
A. ������
B.
3 2
������
C.
√6 4
������
D.
√6 8
������
7. 设函数 ������ (������) = ������3 + ������������2 + ������������ + ������(������, ������, ������ 均为非零整数). 若 ������ (������) = ������3, ������ (������) = ������3, 则 ������ 的值是 ( ).
均为非零实数,
且满足
������
sin
������ 5
������
cos
������ 5
+ ������ cos − ������ sin
������ 5 ������ 5
=
t
an
9������ 20
(1)
求
������ ������
的值;
(2)
在
△������������������
中,
若
tan ������
A. 2