2014年天津理科数学试题及答案解析
2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
2014年高考理科数学天津卷-答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
2014年天津高考理科数学试题含答案(Word版)
则该几何体的体积 _______ m . 其前 n 和.若 S1 , S 2 , S 4 成等比数列 则 a1 的
3
11 设 { an }是首 值 __________.
a1 公差 -1 的等差数列 Sn
12 在 D ABC 中 内角 A, B, C 所对的边 别是 a, b, c . 知 b - c = 的值 _______. 13 在
数 a 的取值范围 __________. 解答题 15 本题共 6 道大题 13 满 80 ．解答 写出文 说明 证明过程或演算 骤．
本小题满
知函数 f ( x ) = cos x ⋅ sin x + 求 f ( x ) 的最小 周期 求 f ( x) 在 16 本小题满 区间 − 13 男
0,1,2,L, q - 1} 集合 知 q 和 n 均 给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {
D
-
17 25 + i 7 7
2 设变
x y 满足 束条
x + y − 2 ≥ 0, x − y − 2 ≤ 0, 则目标函数 z = x + 2 y 的最小值 y ≥ 1,
C 4 D 5
A 2
B
3
3 阅读右边的程序框
行相 的程序 输出的 S 的值
A 15
B 105
1
C 245
π
3 2 − 3 cos x + 3 4
x∈R .
π π , 4 4
学 4
的最大值和最小值.
某大学志愿者协会有 6
女 学. 在这 10
学中 3
学来自数学学院 其余 7 学 到希望小学
学来自物理 化学等其他互 相 的七个学院. 现从这 10 进行支教活动 求选出的 3 设X 17 如 位 学被选到的可能性相 .
2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
xy2O-221FEDCBA 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数7i34i（）（A）1i（B）1i（C）1731i2525（D）1725i77【答案】A【解析】7i34i7i2525i1i34i34i34i25，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件2012xyx yy≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，故选B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】1i时，3T，3S；2i时，5T，15S；3i时，7T，105S，4i输出105S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．（4）【2014年天津，理4，5分】函数212log4f x x的单调递增区间是（）（A）0,（B）,0（C）2,（D）,2【答案】D【解析】240x，解得2x或2x．由复合函数的单调性知f x的单调递增区间为,2，故选D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x ya b0,0a b的一条渐近线平行于直线l：210y x，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520x y（B）221205x y（C）2233125100x y（D）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b acc a b，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．（6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确 结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．（7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一：设f x x x ，则220,0,x x x x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a a b b ”的充要条件，故选C ． 解法二：若0a b >≥，则不等式a ab b 等价为a a b b 此时成立．若0a b >>，则不等式a ab b等价为a a b b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b 等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“ab ”是“a ab b ”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC ．若1AE AF ，23CE CF ，则（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD ．因为BE BC ，所以AEABAD ，AFAB AD ．因为1AE AF ，所以1ABADABAD，即3222① 同理可得23 ②，①+②得56，故选C ． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应俯视图侧视图正视图各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为 ．【答案】12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ． 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． （12）【2014年天津，理12，5分】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为 ．【答案】14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32cb ，2ac ．所以2221cos 24b c a A bc ．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a ．因为AOB一个交点坐标为,3aa ，代入圆的方程可得3a ．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数23f x x x ，x R ．若方程1f x a x 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】()()0,19,+∞ 【解析】解法一：（ⅰ）当1y a x 与23y x x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根． （ⅱ）当直线1y a x 与函数23yxx 相切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根． 结合图象可知01a 或9a ． 解法二：显然1a ，所以231x xa x ．令1tx ，则45at t． 因为,444,tt，所以45,19,tt．结合图象可得01a 或9a ．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有2133cos sin cos 3cos 224f x xx x x2133sin cos cos 224x x x133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x 1sin 223x ．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数．144f，1122f， 144f．所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P A C ． 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．346310k k C C P xk C 0,1,2,3k ． 所以，随机变量X 的分布列是X0 1 2 3 P1612 310 130 随机变量X 的数学期望1131612362103050E X ． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点． （1）证明 BE DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值． 解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ， z y xPE DA0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E ．（1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC ．所以，BE DC ．（2）向量1,2,0BD，1,0,2PB．设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB，即2020x y x z ，不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD 的一个法向量，223cos ,36n BE n BEn BE．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）向量1,2,0BC，2,2,2CP，2,2,0AC ，1,0,0AB ．由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01．故12,22,2BF BCCFBCCP．由BF AC ，得0BF AC ，因此，2122220，解得34．即113,,222BF ．设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF，即01130222x x y z ．不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB的一个法向量．取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则1212113310cos ,10101n n n n n n ． 易知，二面角FAB P 是锐角，所以其余弦值为31010． 解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC ，又由已知，可得//EM AB 且EM AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA 底面ABCD ，故PA CD ，而 CD DA ，从而CD 平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD AM ，又 //BE AM ，所以BE CD ． （2）连接BM ，由（1）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM ．又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PD AM ，可得PD BE ，所以PD 平面BEM ，故平面BEM 平面PBD ． 直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM，进而2BE ．故在直角三角形BEM 中，tan 12EM AB EBMBEBE，因此3in 3s EMB． 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA 底面ABCD ，故FH 底面ABCD ，从而FH AC ．又BF AC ，得AC 平面FHB ，因此AC BH ．在底面ABCD 内，可得3CH HA ，从而3CF FP ．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP ．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ， AB AD ，得AB 平面PAD ，故AB AG ．所以PAG 为二面角F AB P 的平面角．在PAG 中，2PA ，1242PG PD，45APG ，由余弦定理可得102AG ，3os 10c 1PAG．所以，二面角F AB P． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切． 求 直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232AB F F ，可得2223a b c ，又222b a c ，则2212c a ． 所以，椭圆的离心率22e ．223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e ．（2）由（1）知222a c ，22b c ．故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ．由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有00x y c． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ． ② 由①和②可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c．设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221153rx y cc ． 设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为ykx ．由l 1121y r ，即22233531c c kc k ， 整理得2810k k ，解得415k ．所以，直线l 的斜率为415或415． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合0,1,2,1,Mq ，集合112,,1,2,,n n iA x xx x x q x M in q．（1）当2q，3n 时，用列举法表示集合A ；（2）设,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，其中,i ia b M ，1,2,,n i ．证明：若n n a b ，则st ．解：（1）当2q ，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i ．可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2）由,s tA ，112n n s a a q a q ，112n n t b b qb q ，,i i a b M ，1,2,,n i 及n n a b ，可得21111122nn n nnn sta b a b q a b q a b q21111n n q q qq qq11111nnq q q q10．所以，s t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数x f xx ae a R ，x R ．已知函数y f x 有两个零点12,x x ，且12x x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x 随着a 的减小而增大． 解：（1）由x f xx ae ，可得1x fx ae ．下面分两种情况讨论：1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意． 2）0a时，由0fx，得ln xa ．当x 变化时，fx ，f x 的变化情况如下表：ln axxln 1a↘ x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a ．于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）ln 0f a ；（2）存在1,ln a s ，满足10f s ；3）存在2ln ,a s ，满足20f s ．由ln 0f a，即ln 10a ，解得10a e ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa．所以，a 的取值范围是10,e ．（2）由0xf x x ae ，有x xae ．设xxg x e ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减． 并且，当,0x 时，0g x；当0,x 时，0g x ．由已知，12,x x满足1ag x ，2ag x ．由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x ．对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中121；122gga ，其中121．因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22．又由11,0，得222111．所以，21x x 随着a 的减小而增大． （3）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax ．故221211ln ln lnx x x x x x ． 设21x t x ，则1t ，且2121ln x tx x x t，解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t ．所以，121ln 1tt x x t ． ①令1ln 1x x h x x ，1,x ，则212ln 1x xx h x x ．令12ln u xx xx， 得21x u xx．当1,x 时，0u x．因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x，10u x u ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增．因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理科)解析版
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 【答案】A 【解析】.∴-12525-2525)4-3)(7(437A i ii i i i 选，==+=++（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】此题区域不是封闭区域，属于陷阱题.∴2)1,1(B 选代入目标函数取最小值，顶点为画出条件区域为三角形（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 【答案】B【解析】.∴1057*5*3*1B S 选==解：B 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）【答案】DED CBA（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -=（C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=（6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D【解析】（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C 【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】俯视图侧视图正视图第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）9455．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=6．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）7．设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的 （ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要又不必要条件 【答案】C ．【解析】第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60．【解析】试题分析：应从一年级抽取4604556300?+++名．考点：等概型抽样中的分层抽样方法．10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．俯视图侧视图正视图【答案】203p． 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233pp p 鬃+鬃=（3m ）． 考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．11．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S =，∴()()21112146a a a -=-，解得112a =-页眉页脚换．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式． 12．在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 【答案】14-． 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．22T pp ==． （Ⅱ）∵()f x 在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数，144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫，∴函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．16．（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．()()3463100,1,2,3,k k C C P x k k C -×===\随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．公式121211cos ,n n n n n n ×=×来求二面角F AB P --的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角F AB P --的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值． 试题解析：（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．C（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．∵PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，∵AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，∴BE CD ^．（Ⅱ）连结BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．又∵AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，∴PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ．∴直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =，进而BE =．故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBMBEBE ?==，因此in s EMB ?，∴直线BE 与平面PBD 所C18．（本小题满分13分）设椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B．已知12AB F=．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r，整理得2810kk -+=，解得4k=?l的斜率为4+或4-．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 19．（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++．（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,,1,2,,.i i a b M in ?证明：若n n a b <，则s t <．20．（本小题满分14分） 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î．已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大．（2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥．∴()121ln 1t tx x t ++=-． ①令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ??，则()()212ln 1x x xh x x -+-¢=-．令()12ln u x x x x=-+-，得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫．当()1,x ??时，()0u x ¢>．因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增，因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大，而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，∴12x x +随着a 的减小而增大．考点：1．函数的零点；2．导数的运算；3.．利页眉页脚换用导数研究函数的性质．。
2014天津高考数学(理)试题及标准答案解析
绝密 ★ 启用前20１4年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：１.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
２本卷共8小题,每小题5分,共４0分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么ﻩﻩ•如果事件A ,B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =+ﻩﻩ()()()P AB P A P B =． •圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高．ﻩ一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（１)i 是虚数单位，复数734ii ( ）（A ）1i （B)1i （C)17312525i (D ）172577i （２)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( ）(A ）２ (B)3 (C ）4 (D)５（3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序，输出的S 的值为( )学科网(A)15 （Ｂ）105E D C BA (Ｃ)24５ （D ）945(4)函数212log 4f xx 的单调递增区间是( ) (A)0,(B),0 (C)2, （Ｄ),2(５)已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l :210y x ,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为（ ) (A)221520x y (Ｂ)221205x y （C ）2233125100x y (D ）2233110025x y （6)如图,ABC 是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ；②2FBFD FA ；③AE CE BE DE ;④AF BD AB BF ． 则所有正确结论的序号是( )(A ）①② (B)③④ (C ）①②③ (Ｄ）①②④(7)设,a b R ,则|“a b ”是“a a b b ”的( ） (Ａ)充要不必要条件 （B ）必要不充分条件（C)充要条件 （D)既不充要也不必要条件（8)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上,BE BC ,DF DC ．若1AE AF ，23CE CF ，则( ）（A ）12 (Ｂ）23 （Ｃ)56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项:学科网ﻩ1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014天津市高考理科数学试卷(含答案)
2014天津市高考理科数学试卷(含答案)绝密★ 启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件，互斥，那么•如果事件，相互独立，那么. •圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式 . 其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高. 表示圆锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）是虚数单位，复数（）（A）（B）（C）（D）（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945 （4）函数的单调递增区间是（）（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点 .在上述条件下，给出下列四个结论：① 平分；② ；③ ；④ . 则所有正确结论的序号是（）（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ （7）设，则|“ ”是“ ”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，， .若，，则（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
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绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
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祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：A()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-.xED CBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：B 作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945解：B 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥（D ）(),2-?解：D 240x ->，解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(),2-?.（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：A 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=.（6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CE BE DE ? ；④AF BD AB BF ? .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：D 由弦切角定理得FBDEAC BAE ?? ，又BFD AFB ? ，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ? ，排除A 、C .又FBDEAC DBC ?? ，排除B .（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件解：C 设()f x x x =，则()220,0,x x x x f x ìï³-=í<ïïïî，所以()f x 是R 上的增函数，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712解：C 因为120BAD ?，所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-.因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+，AF AB AD m =+. 因为1AE AF?，所以()()1AB AD ABAD l m +?=，即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=-②，①+②得56l m +=. 第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.解：60 应从一年级抽取4604556300?+++名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m . 解：203p该几何体的体积为212042233p p p ?鬃=3m . （11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.（12）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______.解：14-因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32c b =，2a c =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-. （13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________.解：3 圆的方程为()2224x y +-=，直线为y a =.俯视图侧视图正视图因为AOB D是等边三角形，所以其中一个交点坐标为a 骣÷÷÷，代入圆的方程可得3a =. （14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 解：01a <<或9a > 显然0a >.（ⅰ）当()1y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()10f x a x --=恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线()1y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时()10f x a x --=恰有2个互异的实数根. 结合图象可知01a <<或9a >.解2：显然1a ¹，所以231x xa x +=-.令1t x =-，则45a t t =++.因为(][),,444t t ?? ++， 所以(][)45,19,t t?ゥ+++.结合图象可得01a <<或9a >.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）t已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有()21cos sin 224f x x x x x 骣÷ç÷=诅+-+÷ç÷ç桫21s i n c o s c o s 224x x x =?+)1s i n 21c o s 2444x x =-++1sin 244x x =- 1s i n 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==. （Ⅱ）解：因为()f x 在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数.144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫. 所以，函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ? ==. 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960. 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.()346310k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =.所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望()12362103050E X ? =+??.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（Ⅰ）证明 BE DC ^；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分. （方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC的中点，得()1,1,1E .（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ?. 所以，BE DC ^.（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则0,0,n BD n PBìï?ïíï?ïî即20,20.x y x z ì-+=ïïíï-=ïî不妨令1y =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,36n BE n BE n BE×===× 所以，直线BE 与平面PBD . （Ⅲ）解：向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =. 由点F 在棱PC 上，设CF CP l =，01l＃.故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--. 由BF AC ^，得0BF AC?，因此，()()2122220l l -+-=，解得34l =.即113,,222BF 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. C设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则110,0,n ABn BFìï?ïíï?ïî即0,1130.222x x y z ì=ïïïíï-++=ïïî 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则121211cos ,1010n n nn n n ×===-×. 易知，二面角F AB P --. （方法二）（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM . 由于,E M 分别为,PC PD 的中点， 故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM . 因为PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，因为AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，所以BE CD ^.（Ⅱ）解：连接BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^. 又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，所以PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD.所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBMÐ为锐角，故EBM Ð为直线BE与平面PBD 所成的角.依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =BE =.故在直角三角形BEM 中，tan EM AB EBMBEBE ?==，因此in s EMB ?. 所以，直线BE与平面PBD . （Ⅲ）解：如图，在PAC D 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA ^底面ABCD ，故FH ^底面ABCD ，从而FH AC ^.又BF AC ^，得AC ^平面FHB ，因此AC BH ^.在底面ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =.由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面. 由AB PA ^，AB AD ^，得AB ^平面PAD ，故AB AG ^. 所以PAG Ð为二面角F AB P --的平面角.在PAG D 中，2PA =，142PG PD ==，45APG ?，由余弦定理可得2AG =，os 0c 1PAG ?.所以，二面角F AB P --的斜率值为10. （18）（本小题满分13分）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以，椭圆的离心率2e =. ，所以22223a c c -=，解得a =，2e =. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =. 由已知，有110FP FB ?，即()000x c c y c ++=.又0c ¹，故有000x y c ++=. ①又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫. 设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r =. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.由l r ==， 整理得2810k k-+=，解得4k =所以，直线l的斜率为4+4-（19）（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++.（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M Î，1,2,,i n =. 证明：若n n a b <，则s t <.（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =. （Ⅱ）证明：由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M Î，1,2,,i n =及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-()()()21111n n qq q q q q --?+-++--()()11111n n q q q q----=--10=-<. 所以，s t <.（20）（本小题满分14分） 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （Ⅰ）解：由()xf x x ae =-，可得()1xf x ae ¢=-.下面分两种情况讨论： （1）0a £时()0f x ¢>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意. （2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-.当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥.于是，“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°()ln 0f a ->；2°存在()1,ln a s ??，满足()10f s <；3°存在()2ln ,a s ?+ ，满足()20f s <.由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得10a e-<<，而此时，取10s =，满足()1,ln a s ??，且()10f s a =-<；取222ln s a a=+，满足()2ln ,a s ?+ ，且()22222ln 0a a f s e e a a 骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫.所以，a 的取值范围是()10,e -.（Ⅱ）证明：由()0xf x x ae =-=，有xxa e =. 设()x x g x e =，由()1xxg x e -¢=，知()g x 在(),1-¥上单调递增，在()1,+¥上单调递减. 并且，当(],0x ?时，()0g x £；当()0,x ? 时，()0g x >.由已知，12,x x 满足()1a g x =，()2a g x =. 由()10,a e -Î，及()g x 的单调性，可得()10,1x Î，()21,x ? .对于任意的()1120,,a a e -Î，设12a a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；()()122g g a h h ==，其中1201h h <<<.因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似可得22x h <. 又由11,0x h >，得222111x h h x x h <<. 所以，21x x 随着a 的减小而增大. （Ⅲ）证明：由11x x ae =，22xx ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故221211ln ln lnx x x x x x -=-=. 设21x t x =，则1t >，且2121,ln ,x tx x x t ì=ïïíï-=ïî解得1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-.所以， ()121ln 1t tx x t ++=-. ①令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ? ，则()()212ln 1x x x h x x -+-¢=-.令()12ln u x x x x=-+-，得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫.当()1,x ? 时，()0u x ¢>.因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的()1,x ? ，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增.因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大.而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.。