第2章 离散系统的振动微分方程讲解
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机械振动与噪声学
Ⅰ 畅 机 … Ⅱ 畅 赵 … Ⅲ 畅 ① 机械振动 高等学校 教材 ② 噪声 高等学校 教材 Ⅳ 畅 ① TH１１３畅１ ② TB５３
中国版本图书馆 CIP 数据核字（２００４）第 ０８８８１９ 号
责任编辑 ： 段博原 贾瑞娜／责任校对 ： 鲁 素 责任印制 ： 钱玉芬／封面设计 ： 陈 敬
本书是在部分作者和课程组的任课教师总结教学经验的成果 ， 改进原教材的 部分内容和讲述方式的基础上完成的 。 书中振动部分坚持了紧凑的振动微分方程 唱自由振动唱受迫振动唱应用结构体系 ， 在某些章的第 １ 节简述相关力学与数学基础 知识的特色时 ， 增加了振动控制的基本概念 ； 噪声部分首先强调了机械噪声控制 的声学基础 ， 然后介绍了机械噪声的测量 、 评价与控制 。 总体上 ， 全书突出了振 动与噪声基本概念的阐述 ， 注重对学生分析解决问题能力的培养 ， 精简了练习 题 ， 以引导学生进行创新的思维 。
蒋伟康教授在百忙之中为本书审稿 ， 在此表示真诚的谢意 。 本书由上海交通大学赵玫 （第 １ ～ ３ 章） 、 周海亭 （第 ４ ～ ６ 章） 、 朱蓓丽和陈 光冶 （第 ７ ～ ９ 章） 编著 。 全书由赵玫统稿 。 由于编者水平有限 ， 书中错误之处在所难免 ， 敬请读者批评指正 。
编 者
２００４ 年 ５ 月
· iv · 机械振动与噪声学
３畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅１ 无阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅２ 具有黏性阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … ５２ ３畅２畅３ 带摩擦 （库仑） 阻尼的系统 … … … … … … … … … … … … … … ５６ ３畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５９ ３畅３畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ６０ ３畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６２ ３畅３畅３ 坐标的耦合和主坐标 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６６ ３畅３畅４ 特殊系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６９ ３畅３畅５ 有阻尼系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７３ ３畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ７９ ３畅４畅３ 基频估算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８０ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８３ 第 4 章 线性离散系统的受迫振动 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１ 数学基础 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅１ 二阶非齐次常系数线性微分方程的解 … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅２ 二阶非齐次常系数线性微分方程组的解 … … … … … … … … … ８８ ４畅１畅３ 拉普拉斯变换 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８９ ４畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅１ 简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅２ 实际系统的阻尼 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０１ ４畅２畅３ 周期激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０４ ４畅２畅４ 瞬态激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０７ ４畅２畅５ 拉普拉斯变换法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１２ ４畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１４ ４畅３畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … １１５ ４畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … １１６ ４畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１７ ４畅４畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 （直接法） … … … … … … … １１７ ４畅４畅２ 阻尼系统对简谐激励的响应 （模态法） … … … … … … … … １１９ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １２１ 第 5 章 线性离散系统振动理论的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … １２４ ５畅１ 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定 … … … … … … … … … … … １２４
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本书是在部分作者和课程组的任课教师总结教学经验的成果 ， 改进原教材的 部分内容和讲述方式的基础上完成的 。 书中振动部分坚持了紧凑的振动微分方程 唱自由振动唱受迫振动唱应用结构体系 ， 在某些章的第 １ 节简述相关力学与数学基础 知识的特色时 ， 增加了振动控制的基本概念 ； 噪声部分首先强调了机械噪声控制 的声学基础 ， 然后介绍了机械噪声的测量 、 评价与控制 。 总体上 ， 全书突出了振 动与噪声基本概念的阐述 ， 注重对学生分析解决问题能力的培养 ， 精简了练习 题 ， 以引导学生进行创新的思维 。
蒋伟康教授在百忙之中为本书审稿 ， 在此表示真诚的谢意 。 本书由上海交通大学赵玫 （第 １ ～ ３ 章） 、 周海亭 （第 ４ ～ ６ 章） 、 朱蓓丽和陈 光冶 （第 ７ ～ ９ 章） 编著 。 全书由赵玫统稿 。 由于编者水平有限 ， 书中错误之处在所难免 ， 敬请读者批评指正 。
编 者
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· iv · 机械振动与噪声学
３畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅１ 无阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅２ 具有黏性阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … ５２ ３畅２畅３ 带摩擦 （库仑） 阻尼的系统 … … … … … … … … … … … … … … ５６ ３畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５９ ３畅３畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ６０ ３畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６２ ３畅３畅３ 坐标的耦合和主坐标 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６６ ３畅３畅４ 特殊系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６９ ３畅３畅５ 有阻尼系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７３ ３畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ７９ ３畅４畅３ 基频估算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８０ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８３ 第 4 章 线性离散系统的受迫振动 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１ 数学基础 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅１ 二阶非齐次常系数线性微分方程的解 … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅２ 二阶非齐次常系数线性微分方程组的解 … … … … … … … … … ８８ ４畅１畅３ 拉普拉斯变换 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８９ ４畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅１ 简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅２ 实际系统的阻尼 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０１ ４畅２畅３ 周期激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０４ ４畅２畅４ 瞬态激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０７ ４畅２畅５ 拉普拉斯变换法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１２ ４畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１４ ４畅３畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … １１５ ４畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … １１６ ４畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１７ ４畅４畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 （直接法） … … … … … … … １１７ ４畅４畅２ 阻尼系统对简谐激励的响应 （模态法） … … … … … … … … １１９ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １２１ 第 5 章 线性离散系统振动理论的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … １２４ ５畅１ 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定 … … … … … … … … … … … １２４
第3章 线性离散系统的自由振动
n t
cos( d t )
可见上式表示的运动为振动，频率为常值 d ，相角 为 ，而幅值为 Ae t ，以指数形式衰减。常数 A 、 由 初始条件决定。 1 称为弱阻尼或欠阻尼情况。 0
n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
有阻尼自由振动方程 当系统存在阻尼时，自由振动方程也可以写 为如下形式: c
2 ( t ) 2 n x ( t ) n x ( t ) 0 x
2
m
n
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。设上式的解有如 下形式:
A v0 x0 n
2 2
tan
1
v0 x 0 n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发热、发声。因此在一般情况 下，碰撞过程中会有动能损失，即 动能不守恒，动量守恒，碰后两物 体分离，这类碰撞称为非弹性碰撞 (inelastic collision)。碰撞后物体结合 在一起，动能损失最大，这种碰撞 叫做完全非弹性碰撞。
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
江苏科技大学
振动噪声研究所
2012年9月4日10时5分
第2章 单自由度系统的振动
机械振动基础
3.1 无阻尼单自由度系统的特性 3.2 有阻尼单自由度系统的特性 3.3 无阻尼二自由度系统的特性
2012年9月4日10时5分
cos( d t )
可见上式表示的运动为振动，频率为常值 d ，相角 为 ，而幅值为 Ae t ，以指数形式衰减。常数 A 、 由 初始条件决定。 1 称为弱阻尼或欠阻尼情况。 0
n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
有阻尼自由振动方程 当系统存在阻尼时，自由振动方程也可以写 为如下形式: c
2 ( t ) 2 n x ( t ) n x ( t ) 0 x
2
m
n
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。设上式的解有如 下形式:
A v0 x0 n
2 2
tan
1
v0 x 0 n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发热、发声。因此在一般情况 下，碰撞过程中会有动能损失，即 动能不守恒，动量守恒，碰后两物 体分离，这类碰撞称为非弹性碰撞 (inelastic collision)。碰撞后物体结合 在一起，动能损失最大，这种碰撞 叫做完全非弹性碰撞。
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
江苏科技大学
振动噪声研究所
2012年9月4日10时5分
第2章 单自由度系统的振动
机械振动基础
3.1 无阻尼单自由度系统的特性 3.2 有阻尼单自由度系统的特性 3.3 无阻尼二自由度系统的特性
2012年9月4日10时5分
第2章 离散系统的振动微分方程
θ (R-r) R
转动时，圆柱体绕质心轴转动，由 于无滑动，角速度为：
ω = v = 1 (R − r)θ&
rr
r φ
0
第2章 离散系统的振动微分方程
任一瞬时位置，圆柱体动能为
：T = 1 mv2 + 1 Iω 2 = 1 w [(R − r)θ&]2 + 1 w r 2 [1 (R − r)θ&]2 = 3 w (R − r)2θ&2
第2章 离散系统的振动微分方程
解：振动微分方程为：
[M ]{&x&} + [C]{x&} + [K ]{x} = 0
⎡m1 0 0 ⎤
[M
]
=
⎢ ⎢
0
m2
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 m3 ⎥⎦
第2章 离散系统的振动微分方程
⎡k1 + k2
[
K
]
=
⎢ ⎢
−k2
⎢⎣ 0
−k2 k2 + k3
−k3
0⎤
−k3
第2章 离散系统的振动微分方程
(2). 汽车前轮横梁，具有一定的质量和转动惯量， 在垂直方向，具有两自由度。
方法一：建立垂直方向和绕质心旋转方向的坐标
图1.2-8 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
方法二：在两个前轮位置分别建立垂直方向的坐标
图1.2-9 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
=
0
——常系数齐次微分方程
设 ωn2
=
g l
，则可以整理标准形式：
θ&& + ωn2 ⋅θ = 0
第2章-2.2系统的微分方程描述
信号与系统分 系统的微分方程描述
一、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
ˆ ˆ y(t ) y(t ) 6 y(t )
y (t ) e
2 t
2e2t e3t 1 (t )
1 2t 1 3t 1 e (t ) 6 e e (t ) 3 6 2
3t
作业
习题2（P53） 2-16；2-18；
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
n阶常系数微分方程，一般有n>m（实际的系统）
d n y (t ) dy(t ) an a1 a0 y (t ) b0 x(t ) n dt dt
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应 的齐次解
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
ci
ci
与
c xi
不相同
由初始状态和激励共同确定 由初始状态确定
c xi
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
yb (t ) e 2t e 3t (t )
一、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
ˆ ˆ y(t ) y(t ) 6 y(t )
y (t ) e
2 t
2e2t e3t 1 (t )
1 2t 1 3t 1 e (t ) 6 e e (t ) 3 6 2
3t
作业
习题2（P53） 2-16；2-18；
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
n阶常系数微分方程，一般有n>m（实际的系统）
d n y (t ) dy(t ) an a1 a0 y (t ) b0 x(t ) n dt dt
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应 的齐次解
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
ci
ci
与
c xi
不相同
由初始状态和激励共同确定 由初始状态确定
c xi
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
yb (t ) e 2t e 3t (t )
第2章 多自由度系统振动
2 M K )u 0 ( n
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
《离散系统理论》课件
Hale Waihona Puke 状态方程0102
03
状态方程是描述离散时间动态系 统的一种方式，它包含了系统的 当前状态和未来状态之间的关系 。
状态方程通常表示为 x(n+1) = Ax(n) + Bu(n), 其中 x(n) 表示系 统在时刻 n 的状态向量，A 和 B 是系统的状态矩阵和控制矩阵， u(n) 是系统在时刻 n 的输入向 量。
对于能控性和能观性的判定，通常采用Gramian矩阵方法 ，通过计算系统的Gramian矩阵来判断系统的能控性和能 观性。
03
离散控制系统
离散控制系统的基本概念
离散控制系统
由离散输入信号和离散输出信号组成的控制系统，通 常由离散状态变量描述。
离散时间
离散控制系统中状态变量随时间变化的步长，通常以 时间间隔表示。
离散系统理论的最新研究进展
01
离散系统理论的数学基础研究
深入探讨离散系统的数学性质，包括离散函数的性质、离散微积分、离
散概率论等。
02
离散系统在计算机科学中的应用
研究离散系统在计算机科学中的实际应用，如离散算法设计、离散数据
结构、离散概率计算等。
03
离散系统在物理和工程领域的应用
探讨离散系统在物理、工程、生物等领域的应用，如离散物理模型、离
3
如果一个离散系统是稳定的，那么它的所有解都 是有界的，并且随着时间的推移，系统的状态会 逐渐收敛到平衡状态。
离散系统的能控性和能观性
能控性和能观性是离散系统理论中的两个重要概念，它们 决定了系统是否可以通过控制输入和观测输出实现特定的 控制目标。
能控性是指系统是否可以通过控制输入将状态从任意初始 状态转移到任意目标状态，能观性是指系统是否可以通过 观测输出准确地估计系统的初始状态。
4二自由度系统振动
)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)
机械振动 第二章(多自由度系统的运动微分方程)
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
m1 0
0 u1 ( t ) k m 2 u 2 (t ) k
k u1 ( t ) k 0 K k u 2 (t ) k
k11
u2 0
k2
k2
k 21
m1
k11 k1 k 2
k 21
k11 K k2 k 21
m2
k12 k 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1 k2
m2
u2
k3
令
u1 0, u 2 1
u1 0
u2 1
k12 m1
k2
k2
k 22
见理论力学范钦珊主编lagrange方程的产生背景隔离体3的受力分析lagrange方程的产生背景隔离体的受力分析将未知约束力引入到动力学方程中导致动力学方程中未知变量急剧增加lagrange方程的产生背景法国科学家法国科学家lagrangelagrange1736173618131813返回返回lagrange方程的产生背景2lagrange方程的产生背景18世纪机器工业的发展迫切需要对受约束的机械系统进行动力学分析1788年在分析力学中对力学提出了全新的叙述方式lagrange力学lagrange方程避开了处理系统内部的约束反力lagrange方程的产生背景利用lagrange方程建立系统的运动微分方程约束方程不包含质点的速度或者包含质点的速度但约束方程是可以积分的约束称为完整约束
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单自由度系统
1 力法 例2-8
建立单摆作微小振动的微分方程。
建立广义坐标。单摆偏离平衡位置
的转角θ，坐标零位在铅垂位置，
逆时针方向为正。
隔离体受力分析
由动量矩原理得到
单摆
m l 2 m g l sin 0
sin
（ g l ） 0
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
单自由度系统
2 能量法 例2-12 建立系统在铅垂方向振动的微分方程。
系统的动能V 势能U
耗散能P
V
1 2
m1
a2
2
2
m
2
a
2
2
1 2
m3
a
2
2
U
1 2
k
1
a
2
2
1 2 k2
4a 2
2
1 2 k3
9 a 2
4
2
P0
由能量守恒原理得到
[（ m 1 a 2 4 m 2 a 2 m 3 a 2 ）
n
ki
i 1
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
1 等效刚度
计算方法：1 从刚度的定义。
2 等效前后系统势能不变。
串联弹簧
等效弹簧刚度
k
e
Fx x
1 n1
x
n
n
xi
i 1
i 1
Fx ki
n
Fx
i 1
1 ki
k i 1 i
串联弹簧
平动： Fm m x
转动： Tm J
力、质量和加速度的单位分 别为N、kg和m / s 2。
力矩、转动惯量和角加速度 的单位分别为Nm、kg m 2和 rad / s 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 弹性元件
无质量、不耗能，储存势能的元件
得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振 动微分方程。
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
单自由度系统 2 能量法 例2-12 建立系统在铅垂方向振
动的微分方程。
建立广义坐标。 选θ为 广义坐标，逆时为负， OB静止时θ 为零，则
x1=a θ ，x2=2a θ 。
多质量系统
第2章 离散系统的振动微分方程
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别 为N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的 单位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
ct1e=ct1 / i 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-15
弹簧-杠杆-质量系统
求图示系统对A点的等效质量
等效前系统的动能
V
1 2
m a x 2
1 2
m
b
x l
2
l 2
1 2
ma
4
mb
x 2
等效后系统的动能
Ve
1 2
m
e
x 2
∵ Ve V
me ma 4mb
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-16 把轴Ⅰ等效到轴Ⅱ时盘1的等效惯量J1e
等效前系统的动能
V
1 2
J1
2 1
1 2
J2
2 2
1 2
建立广义坐标。取质量元件沿铅垂 方向的位移作为广义坐标x。原点 在系统的静平衡位置，向下为正。
有阻尼单自由度系统
隔离体受力分析
k(x ) cx mg F(t) mx
由力学原理得到
mx cx kx F(t)
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
原则
•弹性较小而质量较大的构件 → 质量元件
•质量较小而弹性较大的构件 → 弹性元件
•阻尼较大的部分
→ 阻尼元件
•质量、弹性和阻尼均布 → 质量、弹性、阻尼均有的单元
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-1
机组质量集中 为一个质量元 件，弹性支承 简化成并联的 弹簧和阻尼器。
机械振动噪声学
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础 2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
实际系统的离散化
依据
简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和 分析结果的精度要求等
多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
1 等效刚度
计算方法：1 从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。
斜向布置的弹簧
等效弹簧刚度
Fx F cos
x方向的力 k x e x方向的位移
情况 1 m>>ms：
等效前
xs xs
/
x
l
y y
(0 yl) dV Ad y
dU dV /2 E2 dV /2
U
l 0
1
x2
EA
2
l2
dy
1 E A x 2 2 l
弹性杆系统
V
1 mx 2 2
l 0
1 2
ms l
d y x y 2 l
1 2
m
ms 3
x 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
情况 1
m>>ms：
xs
x l
y
(0 yl)
等效后
Ve
1 2
m
e
x 2
Ue ke x2 / 2
Ve
1 2
m
e
x 2
Ue ke x2 / 2
Ve V
∵
Ue U
me m ms / 2
ke
2
8
k
弹性杆系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
多自由度系统 1 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
例 2-18
n个自由度的系统
（1）建立广义坐标。 质量mi 的位移xi，质 量mi静平衡位置为原 点，方向向右为正。
( i 2, 3, , n 1)
Fn (t) c n (x n x n1 ) c n1 x n k n (x n x n1 ) k n1 x n m n xn
整理后用矩阵形式表示为 M x Cx Kx F t
图 2.1 弹性安装的柴油发电机组
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-3
图2.3 柴油机推进轴系 1. 活塞 2. 连杆 3. 曲轴 4. 飞轮 5. 中间轴 6. 螺旋桨
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 质量元件
无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
J1
i
2 2
2
1 2
J
2
2 2
等效后系统的动能
Ve
1 2
J1e
2 2
1 2
J2
2 2
∵ Ve V
J1e J1 / i 2
传动系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
Ve V
∵
Ue U
me m ms / 3 ke k
弹性杆系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
情况 2 m<<ms： xs
等效前
x sin
y
2l
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位 分别为N、N s/ m和m/s。
力矩、扭转阻尼系数和角速 度的单位分别为Nm、 Nms / rad和rad/s
第2章 离散系统的振动微分方程
2.2 力学基础 (自学）
自由度和广义坐标 动力学的基本原理
•牛顿第二定律 •质系动量矩定理 •机械能守恒定律 •D’Alembert原理 •Lagrange方程