概率论与数理统计第14讲
29
二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩(设它 们都存在)，分别记为 c11=E{[X1−E(X1)]2}, c12=E{[X1−E(X1)][X2−E(X2)]} c21=E{[X2−E(X2)][X1−E(X1)]} c22=E{[X2−E(X2)]2} 将它们排成矩阵的形式： c11 c12 c 21 c22 称它为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵 协方差矩阵。 协方差矩阵
P{6800 < X < 7200} =
7199 k =6801
∑C
k 10000
× 0.7 × 0.3
k
10000−k
显然这是比较困难的.
7
例9 设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一 盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间 彼此独立，估计夜晚同时使用的灯的盏数在 6800与7200之间的概率. 解 用切比雪夫不等式估计： E(X)=np=10000×0.7=7000, D(X)=np(1−p)=10000×0.7×0.3=2100, P{6800 < X < 7200 |= P{| X −0 ≥ 1− ≈ 0.95 2 200 只要有供应7200盏灯的电力就以相当大的概 率保证够用 8
学习了中心极限定理之后，不难求出这个概 率约为0.99999. 尽管切比雪夫不等式估计的 精度不高，但它在理论上具有重大意义.
9
第三节 协方差与相关系数
10
一、协方差 在上一节方差性质3°的证明中，我们已经看 到，如果两个随机变量X和Y是相互独立的， 则E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0. 这意味着当E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}≠0时，X与Y 不是相互独立的，而是存在一定关系的。
= E( X Y )
* *
(5)
17
可以证明相关系数有如下性质： 1° |ρXY|≤1; 2° |ρXY|=1的充要条件为，存在常数a,b, 使得 P{Y=aX+b}=1. 不相关；当|ρXY|=1时，称X与 当ρXY=0, 称X与Y不相关 不相关 Y完全相关 完全相关. 完全相关
18
从性质1°可知：相关系数定量地刻画了X与Y 的相关程度，即|ρXY|越大，相关程度越大， ρXY=0对应相关程度最低；又从性质2°知，X 与Y完全相关的含义是在概率为1的意义下存 在线性关系。于是ρXY是一个可以表征X,Y之 间线性关系紧密程度的量. 当|ρXY|较大时，我 们通常说X,Y线性相关程度较好; 当|ρXY|较小 时，我们说X,Y线性相关程度较差. 因此，若X 与Y不相关，通常我们认为X,Y之间不存在线 性关系，但并不能排除X,Y之间可能有其他关 系.
3
σ P{| X − µ |≥ ε } ≤ 2 ε
f(x)
2
(12)
µ− ε O µ
µ+ ε
x
4
证 只就连续型随机变量的情况来证明. 设X的 概率密度为f(x), 则有
P{| X − µ |≥ ε } = ≤
| x − |≥
∫ε µ
2
f ( x)d x
| x − |≥
∫ε µ
| x−µ|
ε
2
f ( x)d x
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第四节 矩 协方差矩阵
27
定义 设X和Y是随机变量，若 µk=E(Xk), k=1,2,… (1) 存在,称它为X的k阶原点矩 原点矩,简称k阶矩. 若 原点矩 νk=E{[X−E(X)]k},k=2,3,…, (2) 中心矩. 存在, 称它为X的k阶中心矩 若 中心矩 E(XkYl), k, l=1,2,… (3) 存在，称它为X和Y的k+l混合原点矩 若 混合原点矩. 混合原点矩 E{[X−E(X)]k[Y−E(Y)]l},k,l=1,2,… (4) 存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩 混合中心矩。 混合中心矩
14
二、相关系数 协方差cov(X,Y)在一定程度上描述了随机变量 X与Y的相关性，但是，协方差cov(X,Y)是具 有量纲的量. 下面，我们引入一种与量纲无关的能够描述 随机变量之间的相关性的数字特征----相关系 数.
15
定义2 定义 设随机变量X,Y的数学期望，方差都存 在，称 cov( X ,Y ) ρ XY = (4) D( X ) D(Y ) 为随机变量X与Y的相关系数，ρXY是一个无量 纲的量.
第14讲
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1
三、切比雪夫(Chebyshev)不等式
2
定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=µ, D(X)=σ2, 则对于任意正数ε, 不等式
σ P{| X − µ |≥ ε } ≤ 2 ε
2
(12)
成立 这一不等式称为切比雪夫(Chebyshev)不等式。
12
按cov(X,Y)的定义展开，易得 cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) 一般用(3)式计算协方差。 其中，计算E(XY)的方法： 对于离散型随机变量，有
(3)
E( XY ) = ∑∑xi y j pij
j =1 i =1
∞
∞
对于连续型随机变量有
E( XY ) = ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
2
( y − µ2 ) + 2 σ1σ 2 σ 2 (−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞),
( x − µ1 )( y − µ2 )
(1)
其中µ1,µ2,σ12,σ22,ρ都是常数，且σ1>0,σ2>0, −∞<µ1,µ2<+∞,−1<ρ<1. 称(X,Y)服从参数为 µ1,µ2,σ12,σ22,ρ的二维正态分布，记作
X Y 0 1
−1 0 1/3
0 1/3 0
1 0 1/3
证 计算协方差
2 E( X ) = 0,E(Y ) = ,E( XY ) = 0 3 cov( X ,Y ) = E( XY ) − E( X ) E(Y ) = 0 因此X与Y不相关，但是，X与Y满足函数关系 Y=X2, 所以不是相互独立的 .
−∞
+∞
1 π = ∫−π sin xcosxdx = 0, 2π
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例 2 设 X 服从(−π,π)上的均匀分布, X1=sinX, X2=cosX, 求 ρ X1X 2 解 E(X1)=E(X2)=E(X1X2)=0 所以 cov(X1,X2)=E(X1X2)−E(X1)E(X2)=0 2 2 于是 ρ X1X 2 = 0即 X1,X2 不相关，但 X1 + X 2 = 1. 由此例可知，X1,X2 之间虽然没有线性关系， 但可能有另外的函数关系.
31
一般, n维随机变量的分布是不知道的，或者 太复杂，以致在数学上不易处理，因此在实 际应用中协方差矩阵就显得重要了。
32
第五节 二维正态分布
33
34
一、二维正态分布及其边缘分布 定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密 度为： 2
f ( x, y) = 1 2πσ1σ 2 ( x − µ1 ) 1 exp− − 2ρ 2 2 1− ρ 2 2(1 − ρ ) σ1
21
X Y 0 1
−1 0 1/3
0 1/3 0
1 0 1/3
证 计算协方差
1 1 1 E( X ) = (−1) × 0 + (−1) × + 0 × + 0 × 0 + 1× 0 + 1× = 0 3 3 3 1 1 1 2 E(Y ) = 0 × 0 + 1× + 0 × + 1× 0 + 0 × 0 + 1× = 3 3 3 3 1 1 E( XY ) = 0 × (−1) × 0 + 1× (−1) × + 0 × 0 × + 1× 0 × 0 3 3 1 +0 ×1× 0 + 1×1× = 0 3 22
30
设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的二阶混合中心 矩 cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n 都存在，则称矩阵
c11 c12 L c1n c c22 L c2n 21 C = M M M c n1 cn2 L cnn 为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵 由于 协方差矩阵. 协方差矩阵 cij=cji(i≠j,i,j=1,2,…,n), C是对称矩阵.
19
此外，还要注意到，显然X与Y独立包含了 ρXY=0, 因而不相关；但反过来，X,Y不相关， X与Y可以不独立. 因此，“不相关”是一个 比“独立”要弱的概念.
20
例1 设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如 下：
X Y 0 1 −1 0 1/3 0 1/3 0 1 0 1/3
证明：X与Y不相关，但不是相互独立.
23
例 2 设 X 服从(−π,π)上的均匀分布, X1=sinX, X2=cosX, 求 ρ X1X 2 解 随机变量 X 的概率密度为 1 , x ∈ (−π ,π ), f ( x) = 2π 0, 其它. 1 π E( X1 ) = E(sin X ) = ∫−π sin xdx = 0, 2π 1 π E( X 2 ) = E(cos X ) = ∫−π cosxdx = 0, 2π
6
例9 设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一 盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间 彼此独立，估计夜晚同时使用的灯的盏数在 6800与7200之间的概率. 解 令X表示在夜晚同时使用的灯的盏数，它 服从参数n=10000，p=0.7的二项分布, 若要准 确计算, 应该用如下公式来计算：
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例 2 设 X 服从(−π,π)上的均匀分布, X1=sinX, X2=cosX, 求 ρ X1X 2 解 随机变量 X 的概率密度为
概率论与数理统计课件ppt
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
《概率论与数理统计》高教版PPT
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第35页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
第30页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
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第一章 随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
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第一章 随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
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第一章 随机事件与概率
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15
概率论与数理统计教程-第五版-课件
会出现.
2021/3/10
讲解：XX
6
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
2021/3/10
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
2021/3/10
讲解：XX
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事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
2
第一章 事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
3
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
2021/3/10
讲解：XX
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一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
2021/3/10
讲解：XX
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二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
概率论与数理统计14讲
10
它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使 用钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一 个指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉 强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量 差.
11
可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值) 不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必 须研究期离散程度. 通常人们关心的是随机 变量X对期望值E(X)的离散程度.
27
(2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个 随机变量的方差本身
证 D(X+c)=E[X+cE(X+c)]2=E[X+cEXc)]2 =E(XEX)2=D(X)
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(3) 常量与随机变量乘积的方差, 等于这常 量的平方与随机变量方差的乘积.
证 D(cX)=E[cXE(cX)]2=E{c[XE(X)]}2 =E{c2[XE(X)]2}=c2DX
)2]
2 2
1
52
D( X
*)
E(X
*2 )
[E(X
* )]2
E
X
2
1
2
E[( X
)2]
2 2
1
53
即对于任何方差不为零的随机变量 X,
X * X 的数学期望为 0, 方差为 1, X*称
为 X 的标准化变量.
54
例6 设随机变量X服从几何分布, 概率函数 P{X=k}=p(1p)k1, k=1,2,…
23
例 计算本节开始所举甲乙两炮射击中D(X1), 及D(X2)
X1 80 85 90 95 100 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 X2 85 87.5 90 92.5 95 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案【篇一：概率论与数理统计教案】《概率论与数理统计》课程教案第一章随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2）注意让学生理解事件a?b,a?b,a?b,a?b,ab??,a…的具体含义，理解事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题a) 注意分布函数f(x)?p{x?x}的特殊值及左连续性概念的理解； b)构成离散随机变量x的分布律的条件，它与分布函数f(x)之间的关系；c) 构成连续随机变量x的密度函数的条件，它与分布函数f(x)之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数f(x)关于x处处连续，且p(x?x)?0，其中x为任意实数，同时说明了p(a)?0不能推导a??。
《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率
《概率论与数理统计教程》教案第一章随机事件与概率教材：《概率论与数理统计教程》总安排学时：90本章学时：14第一讲：随机事件及其运算教学内容：引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
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时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
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概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。
概率论与数理统计
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章
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4．设 P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB)
解 由于 AB = A – AB, P(A)=0.7 所以 P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3,
所以 P(AB)=0.4, 故 P(AB) = 10.4 = 0.6.
（4） 取到三颗棋子颜色相同的概率.
解
(1) 设 A={取到的都是白子} 则
P( A) C83 14 0.255. C132 55
(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子}
P(B)
C82C41 C132
0.509 .
(3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子}
P( C) 1 P (A ) 0 . 7. 4 5
P( A2
|B
) P( Ai )P B( P(B )
A| i
) 0 . 1 5 0 .39 0
0.1268
0.8624
P( A3
|B
) P( Ai )P B( P(B )
A| i
) 0 . 0 5 0 .31 0 0 . 0 0 0 1 0.8624
由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.
2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
概率论与数理统计.第2版
概率论与数理统计.第2版
《概率论与数理统计第二版》是2007年高等教育出版社出版的图书，作者是王明慈、沈恒范。
本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。
第一版是按工科院校概率论与数理统计课程第Ⅱ类(概率少、统计多)教学基本要求编写的,第二版参照最新修订的概率论与数理统计课程教学基本要求进行修订,但仍保留了“概率少、统计多”的特色。
前4章是概率论的基本内容,为数理统计准备必要的理论基础;后5章在概率论基础上侧重分析介绍如何用统计方法分析、解决带有随机性的实际问题。
两部分内容配合紧密。
每章末的综合例题是全面运用该章理论与方法解决问题的范例。
全书讲解清楚,文字通顺;内容安排重点突出,难点分散,由浅入深,便于接受;对于用统计方法对随机变量的概率特征作出科学推断的基本思想、推断方法,分析透彻,归纳总结方法条理清楚。
本书可作为工科院校本科各专业的教材或教学参考书。