人教版七年级上册期末点对点攻关训练：一元一次方程应用之数轴动点问题(三)
七年级上册期末点对点攻关训练：
一元一次方程应用之数轴动点问题（三）
1．如图①，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）；
（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是﹣20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．
2．如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别是﹣2，3x﹣4，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
3．某公路检修小组早上从A地出发，沿东西方向的公路上检修路面，晚上到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：﹣5，﹣3，+6，﹣7，+9，+8，+4，﹣2．
（1）请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）距A地最远的距离是多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，问这个小组从出发到收工共耗油多少升？
4．如图，数轴上，点A表示的数为﹣7，点B表示的数为﹣1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”
速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
（1）动点P从点A运动至D点需要时间为秒；
（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；
（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数．
5．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是﹣3，3和1．动点P，Q两同时出发，动点P 从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A→B→A往返运动，回到点A停止运动；动点Q 从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t （s）．
（1）当点P到达点B时，求点Q所表示的数是多少；
（2）当t＝0.5时，求线段PQ的长；
（3）当点P从点A向点B运动时，线段PQ的长为（用含t的式子表示）；
（4）在整个运动过程中，当P，Q两点到点C的距离相等时，直接写出t的值．
6．如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴上一点，且AB＝15．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t（t＞0）秒．
发现：
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
探究：
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P．Q 同时出发，问，为何值时点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？
（3）若M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？在备用图中画出图形，并说明理由．
拓展：
（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请直接写出|x+6|+|x﹣9|的最小值是．
7．已知多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．
（1）a＝，b＝；
（2）若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．（写出解答过程）
（3）若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t（s）时的速度为v（mm/s），v与t之间的关系如下图．（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米）
t（s）0＜t≤2 2＜t≤5 5＜t≤16
v（mm/s）10 16 8
①当2＜t≤5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t的代数式表示）；
②当t为时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．（请直接写出答案）
8．阅读理解：
【探究与发现】
如图1，在数轴上点E表示的数是8，点F表示的数是4，求线段EF的中点M所示的数对于求中点表示数的问题，只要用点E所表示的数﹣8，加上点F所表示的数4，得到的结果再除以2，就可以得到中点M所表示的数：即M点表示的数为：．
【理解与应用】
把一条数轴在数m处对折，使表示﹣20和2020两数的点恰好互相重合，则m＝．【拓展与延伸】
如图2，已知数轴上有A、B、C三点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是8．AC＝18．（1）若点A以每秒3个单位的速度向右运动，点C同时以每秒1个单位的速度向左运动设运动时间为t秒．
①点A运动t秒后，它在数轴上表示的数表示为（用含t的代数式表示）
②当点B为线段AC的中点时，求t的值．
（2）若（1）中点A、点C的运动速度、运动方向不变，点P从原点以每秒2个单位的速度向右运动，假设A、C、P三点同时运动，求多长时间点P到点A、C的距离相等？
9．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣12．点B是数轴上位于点A右侧的一点，且A，B 两点间的距离为32．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）点B表示的数是．
（2）①点P表示的数是（用含t的代数式表示）．
②当点P将线段AB分成的两部分的比为1：2时，求t的值．
（3）若点P从原点出发，沿数轴移动．第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动3个单位长度，第3次向左移动5个单位长度，第4次向右移动7个单位长度，……
①点P第9次移动后，表示的数是．
②点P在运动过程中，（填“能”或“不能”）与点A重合．当点P与B重合时，
移动了次．
10．已知数轴上顺次有A、B、C三点，分别表示数a、b、c，并且满足（a+12）2+|b+5|＝0，b与c互为相反数．一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，速度为2个单位/秒．
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，那么点P所表示的数是．
参考答案
1．解：（1）由于一条线段的中点将原线段分成相等的两部分，则原线段是这条线段一半的2倍，根据巧点的定义可知，线段的中点是这条线段的巧点．
故答案为：是；
（2）设点C在数轴上表示的数为x，由题意得：AC＝x﹣（﹣20）＝x+20，BC＝40﹣x，
AB＝40﹣（﹣20）＝60，
根据巧点的定义可知：①当AB＝2AC时，有60＝2（x+20），解得x＝10；
②当BC＝2AC时，有40﹣x＝2（x+20），解得x＝0；
③当AC＝2BC时，有x+20＝2（40﹣x），解得x＝20．
综上，点C在数轴上表示的数为0或10或20．
2．解：∵点A，B到原点的距离相等，点A表示的数是﹣2，点B在原点的右侧，∴点B表示的数为2，
即：3x﹣4＝2，
解得，x＝2，
答：x的值为2．
3．解：（1）∵﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2＝10，
答：B地在A地的东边10千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
|﹣5|＝5（千米）；
|﹣5﹣3|＝8（千米）；
|﹣5﹣3+6|＝2（千米）；
|﹣5﹣3+6﹣7|＝9（千米）；
|﹣5﹣3+6﹣7+9|＝0（千米）；
|﹣5﹣3+6﹣7+9+8|＝8（千米）；
|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4|＝12（千米）；
|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2|＝10（千米）；
12＞10＞9＞8＞5＞2＞0，
∴最远处离出发点12千米；
（3）这一天走的总路程为：|﹣5|+|﹣3|+|+6|+|﹣7|+|+9|+|+8|+|+4|+|﹣2|＝44（千米），
应耗油44×0.2＝8.8（升），
答：问这个小组从出发到收工共耗油8.8升．
4．解：（1）动点P从点A运动至D点需要时间t＝（﹣1+7）÷2+（9+1）÷（2÷2）+（13﹣9）÷2＝15（秒）．
答：动点P从点A运动至D点需要时间为15秒；
（2）①当点P，点Q相遇时，则
（t﹣6÷2﹣1÷1）+6+1+4（t﹣4÷2）+4＝20，
解得t＝，
故动点P在数轴上所对应的数是t﹣6÷2﹣1÷1＝；
②当点P，点Q相遇后．
（t﹣6÷2﹣1÷1）+6+1﹣7＝4（t﹣4÷2）+4﹣13，
解得t＝，
故动点P在数轴上所对应的数是t﹣6÷2﹣1÷1＝．
综上所述，故动点P在数轴上所对应的数是或；
（3）4÷2＝2（秒），
10÷4＝2.5（秒），
6÷2＝3（秒），
2+2.5+3＝7.5（秒），
6÷（2+1）＝2（秒），
10÷（1+1）＝5（秒），
依题意有（2+1）（t﹣7.5﹣2﹣5）＝2（t﹣3﹣10），
解得t＝17.5．
9+2（t﹣3﹣10）＝18．
故它们在数轴上对应的数是18．
故答案为：15．
5．解：（1）[3﹣（﹣3）]÷6×1+1＝2．
故点Q所表示的数是2；
（2）（1×0.5+1）﹣（﹣3+6×0.5）＝1.5．
故线段PQ的长是1.5；
（3）①点P在点Q的左边时，即t＜0.8s时，PQ＝1+t﹣（﹣3+6t）＝4﹣5t；
②点P在点Q的右边时，即0.8s≤t＜1s时，PQ＝﹣3+6t﹣（1+t）＝5t﹣4；
综上所述，线段PQ的长为4﹣5t或5t﹣4．
（4）①第一次相遇前，依题意有
1﹣（﹣3+6t）＝t，
解得t＝；
②第一次相遇，依题意有
（6﹣1）t＝3﹣（﹣1），
解得t＝；
③第二次相遇，依题意有
（6+1）t＝3﹣（﹣3）+3﹣1，
解得t＝；
④第二次相遇后，依题意有
6t﹣（3+3+3﹣1）＝t，
解得t＝．
综上所述，t的值为或或或s．
故答案为：4﹣5t或5t﹣4．
6．解：（1）设点B表示的数为x，则有：
AB＝9﹣x＝15
解得：x＝﹣6；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动∴经t秒后点P走过的路程为5t
∴点P表示的数为：9﹣5t
故答案为：﹣6；9﹣5t；
（2）设点P运动t秒时，在点C处追上点Q，如图
则AC＝5t，BC＝2t，
∵AC﹣BC＝AB
∴5t﹣2t＝15
解得：t＝5，
∴点P运动5秒时，在点C处追上点Q．
当t＝5时，9﹣5t＝9﹣25＝﹣16．此时P点表示的数是﹣16．
（3）没有变化．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，∴PM＝AP，PN＝BP．
分两种情况：
①当点P在点A、B两点之间运动时（如图）：
∴MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝10；
②当点P运动到点B的左侧时（如图）：
∴MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝10
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为10．
（4）①当x＜﹣6时，|x+6|+|x﹣9|＝﹣（x+6）﹣（x﹣9）＝﹣x﹣6﹣x+9＝3﹣2x ∵x＜﹣6
∴3﹣2x＞15；
②当﹣6≤x≤9时，|x+6|+|x﹣9|＝x+6﹣（x﹣9）＝15
③当x＞9时，|x+6|+|x﹣9|＝x+6+x﹣9＝2x﹣3
∵x＞9
∴2x﹣3＞15
综上，当﹣6≤x≤9时，|x+6|+|x﹣9|取得最小值15．
故答案为：15．
7．解：（1）∵多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，
∴b＝8；
∵4a与b互为相反数，
∴4a+8＝0，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2，8；
（2）分两种情况讨论：
①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA＝2+3t，OB＝8﹣4t；
∵OA＝OB，
∴2+3t＝8﹣4t，
解得：t＝；
②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA＝2+3t，OB＝4t﹣8；
∵OA＝OB，
∴2+3t＝4t﹣8，
解得：t＝10；
∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为秒或10秒；（3）①∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，
∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：
10×2+16×3+8×11＝156（mm），
∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，
∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，
∴甲乙之间的距离为：8﹣（﹣2）+10×2×2+16×（t﹣2）×2＝32t﹣14；
②设a秒时小蚂蚁甲和乙开始返程，由（3）①可知：
10×2+16×3+8（a﹣5）＝78，
解得：a＝；
以下分情况讨论：
当8﹣（﹣2）+10t×2＝42，
解得：t＝1.6；
当32t﹣14＝42时，解得：t＝；
当t＝时，小蚂蚁甲和乙还没有开始返程，故舍去t＝；
当t＞时，8﹣（﹣2）+78×2﹣8（t﹣）×2＝42，
解得：t＝14；
综上所述，当t＝1.6秒或14秒时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．
故答案为：1.6秒或14秒．
8．解：m＝＝1000；
故答案为：1000；
（1）①点A向右移动的距离为3t，因此点A从数轴上表示﹣6的点向右移动3t的单位后，所表示的数为3t﹣6，
故答案为：3t﹣6，
②当点B为线段AC的中点时，
Ⅰ）当移动后点C在点B的右侧时，此时t＜4，如图1，
由BA＝BC得，8﹣（3t﹣6）＝（12﹣t）﹣8，
解得，t＝5＞4（舍去）
Ⅱ）当移动后点C在点B的左侧时，此时t＞4，如图2，
由BA＝BC得，（3t﹣6）﹣8＝8﹣（12﹣t），
解得，t＝5，
答：当点B为线段AC的中点时，t的值为5秒．
（2）根据运动的方向、距离、速度可求出，
点P、C相遇时间为12÷（2+1）＝4秒，
点A、C相遇时间为18÷（3+1）＝秒，
点A追上点P的时间为6÷（3﹣2）＝6秒，
当点P到点A、C的距离相等时，
①如图2﹣3所示，此时t＜4，
由PA＝PC得，2t﹣（3t﹣6）＝（12﹣t）﹣2t，
解得，t＝3；
②当A、C相遇时符合题意，此时，t＝，
③当点A在点P的右侧，点C在点P的左侧时，此时t＞6，
∵点A追上点P时用时6秒，之后PA距离每秒增加1个单位长度，而PC每秒增加4个单位长度，
∴不存在点P到点A、C的距离相等的情况，
因此：当点P到点A、C的距离相等时，t＝3或t＝．
9．解：（1）﹣12+32＝20．
（2）①p的运动路程2t，则P为（2t﹣12）；
②因为P为（2t﹣12），所以PA为2t，PB为（32﹣2t）
当时，，所以t＝
当时，，所以t＝
∴t的值为，
（3）①规定向左运动记为﹣，向右运动记+，则记为：﹣1，+3，﹣5，+7，﹣9，+11，
﹣13，+15，﹣17，
（﹣1）+（+3）+（﹣5）+（+7）+（﹣9）+（+11）+（﹣13）+（+15）+（﹣17）＝﹣9
②因为运动量加起来不等于0，所以不能；P与B重合时则加起来等于20，经计算总共运
动了20次
10．解：（1）∵（a+12）2+|b+5|＝0，
∴a+12＝0，b+5＝0，
解得：a＝﹣12，b＝﹣5，
又∵b与c互为相反数，
∴b+c＝0，
∴c＝5；
（2）若小蜗牛运动到B前相距1个单位长度时，
运动时间为x秒，
∵AB的距离为|﹣12﹣（﹣5）|＝7，
∴2x+1＝7，
解得：x＝3；
若小蜗牛运动到B后相距1个单位长度时，
运动时间为y秒，依题意得：
2y＝7+1，
解得：y＝4，
综合所述：经过3秒或4秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P表示数为z，
∵AC的距离为|﹣12﹣5|＝17，
BC的距离为|5﹣（﹣5）|＝10，
∴点P只能在AC之间，不可能在点C的右边；又∵PA+PC＝17，PA+PB+PC＝20，
∴|PB|＝3
∴|z﹣（﹣5）|＝3，
解得：z＝﹣8或z＝﹣2．