全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法

全等三角形问题中常见的辅助线一一倍长

中线法

△ ABC中,AD是BC边中线

方式1 :直接倍长，（图1）:延长AD到E,使DE=AD连接BE

方式2 :间接倍长

1）（图2）作CF丄AD于F,作BE X AD的延长线于E,连接BE

2）（图3）延长MD到N,使DN=MD连接CD

【经典例题】

例1已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3

贝忡线AD的取值范围是___________ .

（提示：画出图形，倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边）例2 :已知在厶ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上, DE 交BC于F, 且DF=EF.

A

例4:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延

长BE交AC于F,求证：AF=EF

求证：BD=CE.（提示：方法 1 :过D作DG/ AE交BC于G 证明△ DGF^A

CEF

方法2 :过E作EG// AB交BC的延长线于G,证明A EFG^A DFB

方法3 :过D作DGL BC于G,过E作EH丄BC的延长线于H,证明A BDG^A ECH

例3、如图，△ ABC中, E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+与EF的大小.

B

变式：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于 F. A求证:

（提示：方法1:在DA上截取DG=BD连结EG FQ 证明A BDE^A GDE A4A DGF所以BE=EG

EF CF=FG

利用三角形两边之和大于第三边方法2:

倍长ED至H,连结CH FH,证明

FH=EF

C

D

C

E E CF

B

（提示：方法1:倍长AD至G,连接BG证明△ BDG^A CDA三角形BEG是等腰三角形。

方法2 :倍长ED.试一试，怎么证明？）

例5、如图，△ ABC中, BD=DC=AC E是DC的中点，

求证：AD平分/ BAE.（提示：倍长AE至M,连接DM

变式一：已知CD=AB / BDA H BAD AE是厶ABD的中线,

求证：/ C=Z BAE

提示：倍长AE至F,连结DF,证明A ABE^A FDE （SAS ,进而证明A

ADF^A ADC（ SAS

变式二：已知CD=AB / BDA H BAD AE是厶ABD的中线，

求证：2AE= ACo

（提示：借鉴变式一的方法）

例6:已知：如图，在ABC中，AB

求证：AE平分BAC

提示：

方法1 :倍长AE至G,连结DG

方法2:倍长FE至H,连结CH

【练习】

A

1、在四边形ABCD中, AB// DC E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC

的延长线相交于点F。试探究线段AB 与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

例4:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF

・

-

B D E

提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GC AF=GF所以AB=AF+FC

“

*

2、已知：如图，？ABC中，？C=90?, CM?ABF M AT平分?BAC交CM于D,交BC于T,过E D作DE//AB C交BC于E,

求证：CT=BE.

提示：过T作TN^ AB于N, 证明△ BTN^A ECD 3、在厶ABC中，AD平分/ BAC CM L AD于M,若AB= AD,求证：2AM F=

AB

△△ ABC中，AD是边BC上的中线，DAI AC于点A,Z BAC=120 ,求证:

5、如

图, C

AC +