现代信号处理教程 - 胡广书(清华)
320第11章 正交小波构造我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。
)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。
同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。
本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。
所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。
Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。
本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。
11.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。
1.Haar 小波我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数)(t φ如图10.1.1(a)所示。
重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们321是正交的。
同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。
很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e -=Φ注意式中ω实际上应为Ω。
由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。
但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。
上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,21)(0n h ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,21)(1n h (11.1.5)它们是最简单的两系数滤波器。
2.Shannon 小波令t t t ππφsin )(=(11.1.6)则⎩⎨⎧=Φ01)(ω 其它πω≤ (11.1.7)由于⎰ΦΦ=--ωωωπφφd k t k t k k )()(21)(),(',0*,0')(21')('k k d e k k j -==⎰---δωπππω (11.1.8)所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。
)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。
由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此⎩⎨⎧=Φ-01)(,1ωk其它πω2≤ (11.1.9)这样，对0)(W t ∈ψ，有322⎩⎨⎧=ψ01)(ω其它πωπ2≤< (11.1.10)于是可求出)2/3cos()2/2/sin ()(t t t t πππψ=(11.1.11)读者可很容易验证)()(),(''k k k t k t -=--δψψ(11.1.12)也即}),({Z k k t ∈-ψ构成0W 中的正交归一基。
其实，从频域可以看到，)(,ωk j ψ和)(,ωk j Φ图11.1.1 Shannon 小波及其尺度函数度频域波形323显然，Shannon 小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能。
但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为Sinc 函数。
这样，Shannon 小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。
Haar 小波和Shannon 小波是正交小波中两个极端的例子。
自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。
9.4节给出了能作为小波的函数)(t ψ的基本要求，即：)(t ψ应是带通的；由于⎰=0)(dt t ψ，因此它应是振荡的；)(Ωψ应满足(9.3.9)式的容许条件；)(Ωψ还应满足(9.4.4)式的稳定性条件；此外，)(t ψ、)(Ωψ最好都是紧支撑的。
由二尺度差分方程，)(ωΦ、)(ωψ均和)(0ωH 、)(1ωH 有着内在的联系。
重写(10.4.14)式和(10.4.15)式，有∏∏∞=∞=-==Φ110'0)2(2)2/()(j j j j H H ωωω (11.1.13))2()2/(2)2/(2)2/()(2'0'1201ωωωωωj j j j H H H H -∞=∞=∏∏==ψ (11.1.14) 这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。
这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(11.1.13)和(11.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如11.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。
为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(11.1.13)和(11.1.14)式递推求解)(ωΦ和)(ωψ的问题，并说明其中可能存在的问题。
11.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
(10.4.4)式给出了由)(),(10n h n h 递推求解)(t φ和)(t ψ的方法。
即∑∞-∞=-=n n t n h t )2()(2)(0φφ (11.2.1a)∑∞-∞=-=n n t n h t )2()(2)(1φψ(11.2.1b)此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(11.1.13)和(11.1.14)式给出。
324假定)(t φ和)(t ψ事先是未知的，当然(11.2.1)式无法利用，这时可用(11.1.13)式或(11.1.14)式递推求解)(t φ和)(t ψ。
若令∏-==120)(0)()(J j J jz H z H(11.2.2a)并用它来近似)(ωΦ，那么(11.2.2a)式对应的时域关系是)(**)(*)()()1(0)1(0)0(0)(0n h n h n h n h J J -=(11.2.2b)式中)()(0)0(0n h n h =,)()1(0n h 是由 )()0(0n h 每两点插入一个点所得到的新序列。
同理，)()2(0n h 是将)()0(0n h 每两点插入3122=-个零所得的新序列。
假定)()(0)0(0n h n h =的长度为N ，则 )()1(0n h 的长度为12-N ，)(*)()1(0)0(0n h n h 的长度为23-N ，)()2(0n h 的长度为13+N ， ,其余可类推。
由此可以看出，(11.2.2)式卷积的结果将使 )()(0n h J 的长度急剧增加。
例如，若令{}1,3,3,182)(0=n h ，则{}{}1,0,3,0,3,0,1*1,3,3,1)82()(2)1(0=n h{}1,3,6,10,12,12,10,6,3,1)82(2={}{}1,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,1*1,3,6,10,12,12,10,6,3,1)82()(2)2(0=n h325如此，当J 趋近于无穷时，)()(0ωJ H 逼近)(ωΦ，)()(0n h J “逼近”连续函数)(t φ，但这一“逼近”，需要将接近于无限长的)()(0n h J 压缩回到有限的区间内。
由于)(0n h 的长度为N ，我们假定)(t φ的“长度”也为N ，只不过此处范围1~0-N 代表的是连续时间t 的序号。
也即，)(t φ的时间持续区间是1~0-N ，在这一范围内应包含)()(0n h J 的所有点，压缩比等于)()(0n h J 的长度/N 。
MATLAB 中的wavefun.m 文件可以实现上述的递推算法。
对(11.2.1a)式，若令∑∞-∞=+-=n i i n t x n h t x )2()(2)(01(11.2.3)并令⎩⎨⎧=01)(0t x其它10<≤t(11.2.4)则当∞→i 时，)(t x i 逼近尺度函数)(t φ。
若给定{}1,3,3,182)(0=n h ，则利用(11.2.3)式递推的结果如图11.2.1所示。
由该图可以看出，)(1t x ,)(2t x 都是阶梯状的分段连续曲线，当8=i 时，)(8t x 已是一光滑的连续曲线。
这说明，按给定的)(0n h ，(11.1.13)式求出的)(ωΦ是收敛的。
假定将)(0n h 改为{}1,3,3,142)(0--=n h ，则由(11.2.3)和(11.2.4)式递推的结果示于图11.2.2[10,21] 。
这时的)(8t x 产生了较强的振荡，它不会收敛于一个连续的、平滑的且是低通的尺度函数)(t φ。
总之，二尺度差分方程及其频域关系给出了由滤波器组递推求解正交尺度函数和正交小波的方法。
但是，这种递推并不保证总是收敛的，它涉及到离散情况下的正则性条件等问题。
对此，我们将在下一节给以讨论。
326图11.2.1 令{}1,3,3,182)(0=n h 和0()x t 递推的结果图11.2.2 令{}1,3,3,142)(0--=n h 和0()x t 递推的结果11.3 消失矩、规则性及支撑范围1．消失矩(Vanishing moments)令⎰∞∞-=dt t t m k k )(ψ(11.3.1)为小波函数)(t ψ的k 阶矩。
由傅里叶变换的性质，我们很容易得到)()(=-ψ-=ωωωkk kk d d j m (11.3.2)如果)(ωψ在0=ω处有p 阶重零点，即327)()(0ωωωψ=ψp ,0)(00≠ψ=ωω(11.3.3)则⎰∞∞-==0)(dt t t m kk ψ ，1,,1,0-=p k(11.3.4)我们说小波函数)(t ψ具有p 阶消失矩。
显然，若0=k ，这即是容许条件。
假定信号)(t x 为一个1-p 阶的多项式，即∑-==1)(p k k k t t x α(11.3.5)再假定)(t ψ有p 阶消失矩，由(11.3.4)式，显然0)(),(=t t x ψ也即，)(t x 的小波变换恒为零。
若)(t x 可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如N 阶，p N >。
那么其中阶次小于p 的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中的只是阶次大于P 的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。
胡广书《现代信号处理教程》第一章
1. 傅里叶变换在时间、频率“定位”的不足
如果我们想求一个信号，如 x(t ) ，在某一个频 率，如 0 处的值，则
X ( j0 ) x(t )e j 0t d t
需要
t ~
；
反之，如果我们想求某一个时刻，如 t 0
处的值，需要 ~
1 x(t0 ) 2
a: 是尺度定标常数，决定频率中心及带宽; b: 是位移，决定分析位置； (t ) : 又称为基本小波或母小波。
方法四、信号的子带分解
将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分， 每一个部分都对应一个时间信号，我们称它们为 原信号的子带信号 。
H0 ( z)
x ( n)
x0 (n)
M
v0 (n)
“分辨率（resolution）”是信号处理中的基本概念， 能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨
细胞）。频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察 频谱时所看到的频率的宽度，时间分辨率是通过一个 时域的窗函数来观察信号时所看到的时间的宽度。显 然，这样的窗函数越窄，相应的分辨率就越好。分辨
能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于信号
（二）多抽样率信号处理； （三）小波变换； （四）高阶统计量分析； （五）独立分量分析（ICA）； （六）压缩感知理论（CS）；
现代信号处理这十多年来的新进展
一、Hilbert－Huang变换 二、信号的稀疏表达 （sparse representations） －1998；
－1998；
三、压缩感知 （ compressed sensing，CS） －2006
g ( , ) 1 then
Cohen类分布变成Wigner-Ville分布
现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础
150第6章 滤波器组基础6.1 滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。
图6.1.1 滤波器组示意图，（a ）分析滤波器组，（b ）综合滤波器组。
假定滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（a ）所示，)(n x 通过这些滤波器后，得到的)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -将是)(n x 的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。
若)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（b ）所示，那么，)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -的频谱相互之间将有少许的混迭。
由于)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的作用是将)(n x 作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。
将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。
例如，若图6.1.1中的2=M ，那么，在图6.1.2中，)(0z H 的频率特性将分别占据2~0π和ππ~2两个频段，前者对应低频段，后者对应高频段。
这样得到的)(0n x 将是)(n x 的低频成份，而)(1n x 将是其高频)(0n x )(1n x )(1n x M -)(n x(ˆ0x (ˆ1x)(ˆ1n xM -)(ˆn x151成份。
我们可依据实际工作的需要对)(0n x 和)(1n x 作出不同的处理。
例如，若我们希望对)(n x 编码，设)(n x 的抽样频率为20KHz ，若每个数据点用16bit ，那么每秒钟需要的码图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a ）无混迭，（b ）稍有混迭流为320Kbit 。
若)(n x 是一低频信号，也即)(n x 的有效成份（或有用成份）大都集中在)(0n x 内，)(1n x 内含有很少的信号能量。
这样，我们可对)(0n x 仍用16bit ，对)(1n x 则用8bit ，甚至是4bit ，由于)(0n x 和)(1n x 的带宽分别比)(n x 减少了一倍，所以，)(0n x 和)(1n x 的抽样频率可降低一倍。
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- 230 -第8章 M 通道滤波器组8．1 M 通道滤波器组的基本关系图8.1.1是一个标准的M 通道滤波器组。
图8.1.1 M 通道滤波器组由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： ()()()k k X z X z H z = (8.1.1)1101111()()1 ()() (8.1.2)M lMk kM l M l lMMMk M l V z XW z M X Wz H W z M-=-===∑∑及 101()()()() M l lMk k Mk M l U z V z X zWH zW M-===∑ (8.1.3)滤波器组的最后输出111ˆ()()()1()()() (8.1.4)M k kk M M llM k M k l k X z G z U z X zW H zW G z M-=--====∑∑∑. . . ˆ()z (X- 231 -令 101()()() (8.1.5)M ll kM k k A z HzW G z M-==∑则 10ˆ()()() (8.1.6)M l l Ml X z A z X zW -==∑ 这样，最后的输出ˆ()X z 是()lMX zW 的加权和。
由于 (2/)()()j lj l M M z e X zW X e ωωπ-== (8.1.7)在0l ≠时是()j X e ω的移位，因此，ˆ()j Xe ω是()j X e ω及其移位的加权和。
由上一章的讨论可知，在0l ≠时，(2/)()j l M X e ωπ-是混迭分量，应想办法去除。
显然，若保证()0 1~1l A z l M ==- (8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.再定义1001()()()()M kk k T z A z Hz G z M-==∑ (8.1.9)显然，()T z 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。
这时，ˆ()Xz 是否对()X z 产生幅度失真和相位失真就取决于()T z 的性能。
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69第3章 Wigner 分布3.1 Wigner 分布的定义我们在第一章讨论了对非平稳信号作时－频联合分析的必要性，在第二章介绍了具有线性形式的时－频分布，如STFT 及Gabor 变换。
这一类形式的时－频分布还有小波变换，我们将在第九章以后详细讨论。
本章及下一章集中讨论具有双线性形式的时－频分布，主要是Wigner 分布及具有更一般形式的Cohen 类分布。
所谓双线性形式，是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。
在有的文献中又称为非线性时－频分布。
令信号()t x ，()t y 的傅立叶变换分别是()Ωj X ，()Ωj Y ，那么，()t x ，()t y 的联合Wigner分布定义为：()()(),,22j x y W t x t y t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰＊ （3.1.1）信号()t x 的自Wigner 定义为 ()()(),22j x W t x t x t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰＊ （3.1.2）Wigner 于1932年首先提出了Wigner 分布的概念［120］，并把它用于量子力学领域。
在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。
直到1948年，首先由Ville 把它应用于信号分析。
因此，Wigner 分布又称Wigner －Ville 分布，简称为WVD 。
1973年，DE ．Bruijn 对WVD分布作了评述，并给出了把WVD 用于信号变换的新的数学基础［32］。
1966年，Cohen 给出了各种时－频分布的统一表示形式［46］，1980年，Classen 在Philips ．J ．Res ．上连续发表了三篇关于WVD 的文章［38,39,40］，对WVD 的定义、性质等作了全面的讨论。
由于这些工作，使得80年代后对WVD 的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。
由下面的讨论可知，在已提出的各种时－频分布中，WVD 具有最简单的形式，并具有很好的性质。
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33及 ∑+==NL n nx x d 122),(α（1.7.8）此即信号正交分解的最小平方近似性质。
我们在有限项傅立叶级数的近似中曾经遇到过[19]。
现推导（1.7.7）及（1.7.8）两式。
将（1.7.6）式展开，有∑∑∑∑+-==jj Li i i nnn n x n x x x d 2122))()()((2|)(|),(βϕβ （1.7.9）将上式对k β求偏导，并使之为零，则有02)()(2),(2=+-=∑∂∂k n k x x d n n x kβϕβ及k nk k n n x αββ==∑)()(将此结果代入（1.7.9）式，即得（1.7.8）式。
若空间X 由向量N ϕϕϕ,......,,21张成，即},......,,{21N span X ϕϕϕ=，并有},......,,{211L span X ϕϕϕ=及},......,,{212N L L span X ϕϕϕ++=，我们称1X 和2X 是X 的子空间。
如果：1．021=X X ，即1X 和2X 没有交集；2．21X X X =，即X 是1X 和2X 的并集；这时，我们称X 是1X 和2X 的直和，记作：21X X X ⊕=（1.7.10）这些概念我们将在小波变换中用到。
性质5：将原始信号x 经正交变换后得到一组离散系数N ααα,......,,21。
这一组系数具有减少x 中各分量的相关性及将x 的能量集中于少数系数上的功能。
相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数}{n ϕ的性质。
这一性质是信号与图像压缩编码的理论基础。
有关这一点，我们在本节还要继续讨论。
作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：定理 1.2：)(t ϕ是一个原型函数，其傅立叶变换为)(ΩΦ，若)}({k t -ϕ，Z k ∈是一组正交基，则34∑=+ΩΦkk 1|)2(|2π（1.7.11）若)(1k t -ϕ，)(2k t -ϕ是两组正交基，即0)(),(2211>=--<k t k t ϕϕ 21,k k ∀则0)2()2(*21=+Φ+Φ∑kk k πωπω（1.7.12）证明[13,21,8]：因为}),({Z k k t ∈-ϕ是一正交基，设x 是它构成空间中的一个元素，则x 可表示为)(k t -ϕ的线性组合，即∑-=kk k t a x )(ϕ（1.7.13）由性质3，有∑=kkax 22||||||，对（1.7.13）式两边作傅立叶变换，有∑∑⎰Ω-Ω-ΩΦ=-=Ωkjk k ktj k e a j dt ek t a j X )()()(ϕ（1.7.14）注意，该式是傅立叶变换（FT ）和离散时间傅立叶变换（DTFT ）的混合表达式。
chapter04 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书
1.幅度是中心在（0，0）的高斯信号； 2.在 θ , τ 两个方向上是振荡的，振荡频率 由 Ω 0 , t0 决定 ；注意，Ω 0 , t0 并不影响
AF的中心位置； 3. AF是复函数。
例2
α 2 x(t ) = ∑ exp − α (t − t i ) 2 + jΩ i t i =1 π
结论：Cohen 类的任一成员都可由Wigner分布 得到。
（5）用广义模糊函数表示
M x (θ，τ ) = Ax (θ，τ )g(θ，τ )
Cx (t，Ω) = ∫∫ M x (θ，τ )e
− j (θt +Ωτ )
dτdθ
（6）用广义时间相关表示
− jtθ ′ 定义： g ( t，τ ) = ∫ g (θ，τ ) e dθ
上一例已求出，中心在 (θ , τ ) = (0, 0) 处；
互项：
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu 2π 4 4α
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu ) 2π 4 4α
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ
WVD定义为瞬时自相关对 时间延迟 的傅里叶正变换
τ
rx ( t，τ ) = ∫ Ax (θ ，τ ) e − jθ t dθ
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ = ∫∫ Ax (θ ，τ ) e
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- 352 -
a1 (n)
a 0 ( n)
H0 (z-1)
′ ( n) a1
↑2
H0(z)
↓2
ˆ 0 ( n) a
d 1 2
H1(z)
↓2
图 12.1.1 双正交滤波器组
a1 ( n ) = a0 ( n ) ∗ h0 ( 2n )
= ∑ a0 ( k )h0 ( k − 2n ) = a0 ( k ), h0 ( k − 2n )
- 355 -
(12.1.14a)
ˆ 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H 0 ( − z −1 ) H
假定 l = 0 ，它们对应的时域关系是
(12.1.14b)
ˆ (1 − n ) h1 ( n ) = ( −1) n +1 h 0
ˆ ( n ) = ( −1) n +1 h (1 − n ) h 1 0
重建的充要条件是：
* ˆ 0 (ω ) + H 1* (ω + π ) H ˆ 1 (ω ) = 0 H 0 (ω + π ) H
(12.1.6a) (12.1.6b)
及
ˆ 0 (ω ) + H 1 (ω ) H ˆ 1 (ω ) = 2 H 0 (ω ) H
* *
证明：仿照(7.1.5)式的导出，有
ˆ ∗ (ω + π ) H 1 (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H 0 ˆ (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H ∗ (ω + π ) H 1 0
或
(12.1.13a) (12.1.13b)
ˆ 0 ( − z −1 ) H 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H
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81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。
图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD例3.3.5 令 ()2142t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.3.5）可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，，且是恒正的，如图3.3.5所示。
()Ω,t W x 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在处，峰值为2。
参数控()()0,0,=Ωt α制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。
越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反α之亦然。
其WVD 的等高线为一椭圆。
当WVD 由峰值降到时，该椭圆的面积。
1-e π=A 它反映了时－频平面上的分辨率。
如果令 ，，则的谱图()2142t h t e ααπ-⎛⎫=⎪⎝⎭()2142t x t eββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭()t x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω2221exp 2,βαβααββααβt t STFT x82（3.3.7）图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD它也是时－频平面上的高斯函数。
当其峰值降到时，椭圆面积。
这一结果说明，1-e π2=A WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。
如果令 ()()tj et t x t x 001Ω-=（3.3.8）式中是（3.3.5）式的高斯函数。
是的时移加调制，其WVD 是：()t x ()t x 1()t x （3.3.9）()12200,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω它将（3.3.6）式的由移至处。
其WVD 图形请读者()Ω,t W x ()()0,0,=Ωt ()()00,,Ω=Ωt t 自己画出。
83例3.3.6令 ()2201422j tt j t z t ee e αβαπΩ-⎛⎫=⎪⎝⎭（3.3.10）它是由（3.3.5）式的与()t x ()202j t j t y t Aee βΩ=（3.3.11）相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。
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98第4章 Cohen 类时－频分布4.1 前言除了Wigner 分布和谱图以外，近几十年来人们还提出了很多其它具有双线性行式的时－频分布。
1966年，Cohen 给出了时－频分布的更一般表示形式［44］： ()()()()() ，：，⎰⎰⎰-Ω+-*-+=Ωθττθττπθτθd dud eg 2u x 2u x 21g t C u t j x （4.1.1）该式中共有五个变量，即t ，Ω，τ，θ和u ，它们的含义我们将在下一节解释。
式中()τθ，g 称为时－频分布的核函数，也可以理解为是加在原Wigner 分布上的窗函数。
给出不同的()τθ，g ，就可以得到不同类型的时－频分布。
通过后面的讨论可知，目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时－频分布都可以看作是Cohen 类的成员。
通过对Cohen 类分布的讨论有助于我们更全面地理解时－频分布，深入地了解它们的性质，并提出改进诸如交叉项这些不足之处的方法。
在Cohen 类时－频分布的讨论及抑制交叉项的方法中，在雷达信号处理中广泛应用的模糊函数（Ambiguity Function, AF ）起着重要的作用。
因此，本章首先给出模糊函数的定义及其与Wigner 分布的关系，然后讨论Cohen 类分布及其不同的成员。
在4.4节讨论为确保Cohen 类分布具有一系列好的性质而对()τθ，g 所提出的要求。
最后，在4.5节讨论核的设计问题。
文献[47]对非平稳信号的联合时－频分布给出了较为详细且是较为权威性的论述。
4.2 Wigner 分布与模糊函数令()t x 为一复信号，我们在第三章已定义()()()22τττ-+=*t x t x t r x ， （4.2.1）为()t x 的瞬时自相关函数，并定义()τ，t r x 相对τ的傅立叶变换 ()()⎰Ω-=Ωτττd t r t W j x x ，， （4.2.2）为()t x 的WVD 。
除去特别说明，该式及以下各式中的积分均是从∞+∞-～。
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203⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=----)()()()(~01011010z H z z H z z H z H N N m Η (7.6.4b)利用（7.4.9b ）的关系，有I ΗΗ210012~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m(7.6.5)这样，由(7.6.3)式，CQMFB 的分析滤波器组可以构成仿酉矩阵，其对应的系统也是仿酉系统。
由（7.6.4a ）及(7.4.1)式有)1(2det ---=N m z Η(7.6.6)将这一结果代入(7.2.12)式，并令式中的k ＝0，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=--)()()()(0101)1(z H z H z H z H zN m G⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--------)()()()(2010)1(010)1()1(z H z H zz H z H z zN N N （7.6.7） 将(7.6.4a)及(7.6.7)代入(7.2.10)式，有X ΗG X T m m 21ˆ=X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--------------)()()()()()()()(10)1(10)1(00010)1(010)1()1(z H z z H z z H z H z H z H zz H z H z zN N N N N X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--10012)1(2N z(7.6.8) 因此，实现了对X 的准确重建。
上面的结论说明，仿酉的调制矩阵m Η直接引出了对)(n x 的准确重建系统，也即CQMFB 。
由(7.6.7)式，可导出0G ，1G 和0H 的关系，即(7.4.2)式。
由上面的讨论可以看出，仿酉滤波器组总是包含了功率互补的关系。
需要指出的是，仿酉系统等效CQMFB ，可以实现准确重建。
但可实现准确重建的系统却并不一定是仿酉的。
现在利用上述讨论的结果来给出仿酉系统的多相表示形式。
记204)()()(20112000z E z z E z H -+= （7.6.9a ） )()()(21112101z E z z E z H -+=（7.6.9b ） )()()(20120010z R z R z z G +=- （7.6.9c ） )()()(21121011z R z R z z G +=-（7.6.9d ）式中)(ij ij R E 的下标i 代表0H ，1H 的序号，j 代表多相结构的序号。