最新八年级数学《平行四边形、矩形、菱形》
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定
∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900, AB=BC=CD=DA.
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步4
正方形的性质
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平 分,每条对角线平分一组对角.
已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;
∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.
驶向胜利 的彼岸
独立
作业
知识的升华
P99习题18.2 1,2,3题.
祝你成功！
独立
作业
P99习题18.2 2题.
2.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
D
A
O
C
B
独立
作业
P90习题18.2 3题.
已知:如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正
′ ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
MA
C D
C DN
定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴CO=AO,BO=DO.
PB
CQ
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.
驶向胜利 的彼岸
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾 思考 平行四边形的判定
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD,AD=BC,
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
′
∴四边形ABCD是平行四边形.
2023年八年级数学平行四边形矩形菱形正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结平行四边形：性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分；鉴定：①定义：两组对边分别平行旳四边形②措施1：两组对角分别相等旳四边形③措施2：两组对边分别相等旳四边形④措施3：对角线互相平分旳四边形⑤措施4：一组平行且相等旳四边形矩形：性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；鉴定：①有一种角是直角旳平行四边形；②对角线相等旳平行四边形；③四个角都相等菱形：性质：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④面积：则S菱形=底×高=ah；或者S菱形=12ab（对角线乘积旳二分之一）．鉴定：①有一组邻边相等旳平行四边形；②对角线互相垂直旳平行四边形；③四条边都相等．正方形：性质：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边旳夹角为450；鉴定：①有一组邻边相等且有一种直角旳平行四边形②有一组邻边相等旳矩形；③对角线互相垂直旳矩形．④有一种角是直角旳菱形⑤对角线相等旳菱形；几种特殊四边形旳常用说理措施与解题思绪分析（1）识别矩形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳任意一种角为直角．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳对角线相等．③阐明四边形ABCD旳三个角是直角．（2）识别菱形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳任一组邻边相等．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明对角线互相垂直．③阐明四边形ABCD旳四条相等．（3）识别正方形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳一种角为直角且有一组邻边相等．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明对角线互相垂直且相等．③先阐明四边形ABCD为矩形，再阐明矩形旳一组邻边相等．④先阐明四边形ABCD为菱形，再阐明菱形ABCD旳一种角为直角．。
八下数学18.2特殊的平行四边形(矩形、菱形、四边形)
BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝ 120°.
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面 积分别为S1、S2， 则二者的大小 关系是：S1___=_S2．
2.矩形的短边长为3cm,两对角线所成的角是60 °,则它
的周长是6__6___3__.
3. 已知矩形对角线长为4cm,一边长为 2 3 cm,则矩形
的面积是_4__3_c_m__2_.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
A
D
D 如果
B
C
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
边
B
C
ABCD
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四 边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分；
性质： 角
平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
平行四边形 的判定定理
两组对边分别平行的四边形；
2
A
F E
∵∠BFC=900，BM=CM
B
M
C
∴ MF= 1 BC
2
∴ME=MF
练习：如图四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900，E
是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F，
（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？
A
（2）试证明你的猜想。
E
B
F
D
C
课堂小结
一、矩形的定义： 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
活动一：
边 平行四
边形的 性质：
对角线
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
活动二：
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
人教版八年级数学下册《菱形》课件
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20、任何人都不可以随随便便的成功，它来自完全的自我约束和坚韧不拔的毅力。永远别放弃自己，哪怕所有人都放弃了你。
Hale Waihona Puke •6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
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7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。
菱形
1.什么叫做平行四边形？ 2.什么叫矩形？ 3.平行四边形和矩形之间的关系 是什么？
矩形
一 . 定义
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
感受
生活
三菱越野汽车欣赏
菱形就在我们身边
菱形是特殊的平行四边形，它具有平 行四边形的一切性质．即
边：菱形的对边平行且相等． 角：菱形的对角相等． 对角线：菱形的对角线互相平分．
求：（1）∠ABC的度数 （2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
D
C
O
A
B
E
回味无穷
这 堂 课 你 学 到 了 什 么？
作业
课本 60 页 5、11题
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1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
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2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
O
B
D
C
课堂检测
1.已知菱形的周长是12cm，那 么它的边长是______.
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
(精典整理)人教版数学八年级下册 平行四边形、矩形、菱形、正方形 知识点复习总结(无答案)
OA平行四边形、矩形、菱形、正方形 知识方法总结一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形一般 性质1．边：且 ； 2．角： ；； 3．对角线 ；1．边：且 ； 2．角： ；； 3．对角线 ；1．边：且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ；1．边：且 ； 2．角： ；； 3．对角线 ；面积二. 判断（识别）方法小结：(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠Y 一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕Y 对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ）④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（ ⊕对角线互相平分对角线 =）(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕Y 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥Y 对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边）④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕Y 一组邻边一个 ） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ⊕⊕⊥=Y 对角线 对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线）⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
华师大版数学八年级下第3讲 平行四边、形矩形、菱形、正方形
第3讲平行四边、形矩形、菱形、正方形模块一平行四边形的定义及性质【例1】 ⑴在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，如果115∠=︒A ，则∠BCE =______；⑵在平行四边形ABCD 中，若周长为54cm ，5AB BC -=cm ，则____AB =cm ；⑶在平行四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，则对角线AC 与BD 的位置关系为_________；⑷平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB △的周长比BOC △的周长多8cm ，则AB 的长度为cm ．【例2】 ⑴如下左图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．24 ⑵ 如下右图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 且与AB CD 、分别相交于点EF 、，则图中的全等三角形共有______对．⑶在平行四边形ABCD 中，若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S +=△△，则__________ABCD S =平行四边形．⑷平行四边形ABCD 中，P 是平行四边形内任意一点，ABP △、BCP △、CDP △和ADP △的面积分别为1S 、2S 、3S 和4S ，则一定成立的是（ ） A ．1234S S S S +>+ B ．1234S S S S +=+ C ．1234S S S S +<+D ．1324S S S S +=+【例3】 如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A=45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE=DF ，连接EF 交BD 于O ． （1）求证：BO=DO ；（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG=1时，求AE 的长。
C B A OF E A D C B S 4S 3S2S 1P D CB ADC BA A BCDA BCDA BCDA BCDOOD C FBAE 模块二 平行四边形的判定判 定示 例 剖 析① 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形}AD BCAB CD⇒∥∥四边形ABCD是平行四边形② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}AB CDAB CD⇒∥=四边形ABCD是平行四边形③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形}AB CDAD BC=⇒=四边形ABCD是平行四边形④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形}A CB D∠=∠⇒∠=∠四边形ABCD是平行四边形⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形1212OA OC AC OB OD BD ⎫==⎪⇒⎬⎪==⎭四边形ABCD 是平行四边形【例4】 ⑴ 已知AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，需要添加的条件 （只需填一个你认为正确的即可）⑵A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥；②AB CD =；③BC AD =；④BC AD ∥，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种⑶已知三角形ABC ，若存在点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点D 有 个．若已知ABC △的周长为3，则以所有D 点围成的多边形周长为 ．【例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． ⑴ 求证：四边形AFCE 是平行四边形．⑵ 若去掉已知条件的“∠DAB =60°”，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【例6】 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD ，等边△ABE ．已知∠BAC =30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．求证：四边形ADFE 是平行四边形．模块三 矩形的定义、性质及判定【例7】 ⑴ 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．⑵ 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC △的周长比 AOB △的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．⑶ 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______．⑷ 矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交BC 边于点E ，若点E 分BC 的长为3和4两部分，则矩形ABCD 的周长为_______．EODCBA【例8】如图，在ABC△中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF BD=，连接BF．⑴求证：BD CD=．⑵如果AB AC=，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．模块四菱形的定义、性质及判定FED CBA【例9】 ⑴ 如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．⑵ 如图1所示，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm⑶ 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥， AF CD ⊥，那么EAF ∠的度数为 ．⑷ 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为另一条对角线的长为 ．【例10】 如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD CE AD ∠，∥交AB 于E ．⑴ 求证：四边形AECD 是菱形；⑵ 若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．模块三 正方形的定义、性质及判定HO DCBAEDCBA图1DCBA⑵如图2，将一张边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =， 折痕为PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．12B ． 13C ． 14D ．15【例12】 如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE△是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 如图2，若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．O ED CBA图1E D C B AQP 图2E D C BA OEDCBA【例13】 操作与探究：邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二操作；……依此类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形．如图1，ABCD 中，若1AB =，2BC =，则ABCD 为1阶准菱形．图1D CBA⑴判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形（填空）；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ．请证明四边形ABFE 是菱形．图2F EABCD⑵操作、探究与计算：①已知ABCD 的邻边长分别为1，()1a a >，且是3阶准菱形，请画出ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值；②已知ABCD 的邻边长分别为a ，()b a b >，满足6a b r =+，5b r =，则ABCD 是 阶准菱形（填空）．一．选择题（共5小题）2．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y=（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ） A ．﹣12 B ．﹣27 C ．﹣32 D ．﹣363．如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC 相交于点F ，连接BF ，下列结论：①S △ABF =S △ADF ；②S △CDF =4S △CEF ；③S △ADF =2S △CEF ；④S △ADF =2S △CDF ，其中正确的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．55．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm二．填空题（共4小题）6．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形的边长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2．点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是．8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G、F，AC=10，则EG+EF=．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（10，0）、C的坐标为（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为．三．解答题（共3小题）10．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．12．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．。
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八年级《特殊四边形》复习学案（平行四边形、矩形、菱形） 1 知识点一：平行四边形的性质与判定：
2 1、如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在
3 CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长
4 为 .
5 2、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
6 A. 一组对边相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对角相等 D. 对角线互相垂直
7 3、如图所示，在
ABCD 中，E 、F 分别AB 、CD 的中点，
8 连结DE 、EF 、BF ，则图中平行四边形共有（ ） 9 A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
10 4、下列条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是11 （ ） A ．AB 平行且等于CD B. 12 ∠A=∠C ，∠B=∠D
13 C ．AB=AD ，BC=CD D. AB=CD ，AD=BC 14 5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于15 点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF=CE ，BH=DG ． 16 求证：GF ∥HE ． 17 18 19
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6、如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，
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F
A
B
D
C
E
A D
E
F
CE AF
，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。
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7、有一位农民有一个菜园，如图是一平行四边形，记为□ABCD，地里有一口井，位30
置在图中的O点，老人在临终前对两个儿子说：“这块地你们弟
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兄俩平均分开，但水井不能分（不在任何一家的菜地里），两家
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公用。
”老人死后，弟兄俩却不知道怎么分，你能帮助这弟兄俩
按要求分开吗？
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知识点二：矩形的性质与判定
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◆知识讲解归纳
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一、矩形的定义：有一个角是的平行四边形叫做矩形.
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二、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性之外，
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还具有（1）矩形的四个角都是 . （2）矩形的对角线 .
40
三、议一议：矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,那么BO是Rt
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⊿ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有怎样的大小关系？为什么有
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这样的大小关系？因此，我们得到一个性质定理的推论：
43
直角三角形斜边上的中线等于．
四、矩形的判定方法：（1）有一个角是的平行四边形叫做矩形.
44
45
（2）对角线_________的平行四边形是矩形．（3）有三个角是________的四边形是矩
形． 46 ◆对应练习：
47 1、 一矩形两对角线之间的夹角有一个是600, 且这角所对的边长5cm,
48 则对角线长为 ( ) A. 5 cm B. 10cm C. 52cm D. 无法确49 定
50 2、如图在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则以下51 说法错误的是( )
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A ．AB=
2
1
AD B ．AC=BD 53 C ． 90===∠=∠CDA BCD ABC DAB D ．AO=OC=BO=OD
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3、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，55 PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为：_________。
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57 4、矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm 和3cm ，则这个矩形的面积58 为 。
59 5、如图,在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•60 若矩形ABCD•的周长为48cm ，•求矩形ABCD 的面积。
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
6、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩
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形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE
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的长．
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7、如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．
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(1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE．
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知识点三：菱形的性质与判定
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◆知识讲解归纳
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1.菱形的概念：一组相等的平行四边形叫做菱形.
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2.菱形的性质：边：；
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角：；
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对角线：。
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对称性：。
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3.菱形的面积：⑴；⑵。
4.菱形的判定：（1）．四条边都相等的_____________是菱形．97
（2）．邻边相等的_____________是菱形．
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（3）．对角线互相垂直的______________是菱形
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对应练习：
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1、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方101
形的面积分别为S
1，S
2
，则S
1
＋S
2
的值为（）
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A、16
B、17
C、18
D、19
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2、如图，菱形ABCD的周长为16，∠A＝60º，则对角线BD的长
104
度是（）A．2 B．2 3 C．4 D．4 3
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3．菱形的边长为5，一条对角线长为8，那么它的另一条对角线长为________
106
4.已知菱形的两条对角线的长分别为4cm，8cm，那么边长为_________
107
5.已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长108
分别为( ）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，109
32cm
110
6．在下列性质中，平行四边形具有的是_______________，菱形具有的是111
_____________,矩形具有的是，正方形具有的是。
112
（1）四条边都相等；（2）对角线互相平分；（3）对角线相等；（4）对角线113
互相垂直；（5）四个角都是直角；（6）每一条对角线平分一组对角；（7）对边114
相等且平行；（8）有两条对称轴；
115
7．已知菱形的两条对角线的长分别为10cm与24cm，则边长为________，此菱形的116
面积为_________。
117
8．在□ABCD中，AC=21cm，BE⊥AC于E，且 BE=5cm，AD=7cm，则两平行线AD与BC 118
间的距离是________________。
119
9．一个四边形边长依次是a、b、c、d，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边120
形为：____________。
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10．菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6cm，则菱形的边长为________，122
另一条对角线的长为___________。
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11. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个
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菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，
125
菱形周长的最大值是．
126
12.如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分127
别交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
128
129
130
131
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13.（6分）如图，在□ABCD中，BE平分ABC
∠交AD于点E，133
DF平分∠ADC交BC于点F.
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求证：（1）ABE CDF
△≌；
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（2）若BD EF
⊥，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，136
请证明你的结论。
137
D
E
C
F
A
B。