2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
Ｃ
。
Ｃ
过点 Ｐ 在 空 间 作 直 线
Ｚ使 Ｚ与 平 面 Ａ Ｃ 和 Ａ ， ＢＤ 平 面 Ａ Ｃ Ｄ．均 成 ３ ￣ Ｂ。 ０ 角 ． 这 样 的直 线 Ｚ的 则 条 数为 （ ） ．
（ ） Ｂ２ （ ） ｃ３
２ ２
，
（） ０ １ Ｃ Ａ１ ０ Ｂ
１ 、 实 ，合Ｍ ｛，，＝ ． ６ 数集 ＝ｂ ） ｎ为 １Ｐ
｛ ０ ，： ０，Ｉｆ — 表 示 把 集 合 Ｍ 中 的 元 素 映 射 到 集 合 Ｐ 中 仍 为 ． ｎ＋ｂ 的 值 等 于 则
（ ） ． （ ） （ ） Ａ 一ｌ ＢＯ （） Ｃ ｌ （） Ｄ ±Ｉ
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２０ ０６年第 ７期
２０ 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛 ０６
第 一 试
一
（吉 Ｂ （｛ Ｄ Ａ （ ） ） ｃ （吉 ） ）
６符 ｓ ． ｉ ０一ＣＳ ０ ｏ ｎ Ｏ３ ≥ｃｓ０一ｓ （ ≤０ ｉ ０Ｏ ｎ
、
选 怦 题 （ 小 题 ５分 ， ５ 每 共 ０分 ）
＜２ｃ， ０的取 值 范围是 （ ７ 则 ）
） ．
（ ｆ号 Ａｏ 】 ）＇
（ Ｂ ）
（【 ｃ 】 ） ，
（ 莩 Ｄ ） ）
７ 袋 中装 有 ｍ 个红 球 和 ｎ个 白球 （ ＞ ． ｍ ｎ ４． ＞ Ｉ ） 现从 中任取 两球 ， 取 出 的 两 个球 是 若 同色 的 概 率 等 于取 出 的 两 个 球 是 异 色 的概
的最ｓ ． ｉ ２ ＝３ｉ 设 ｎ ｎ
一
Ｉ 与 ｂ—ｎ的 大 Ｉ ＭＴ
ｔ ， ｎ ＝Ｙ， Ｙ＝ ａ ａ＝ ｔ ｎ ａ 记
） ．
小关 系 为 （
） ．
ｌ ３ 冬 ｛
（） ． ） １求 厂 的表达式 ； （
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中 等 数 学
点 为 ７， 长 刀 交 双 １延
Ｊ ｌ
，
曲线 右 支 于 点 Ｐ． 若 为线 段 Ｆ 的 中点 ， Ｐ ０ 为坐标 原点 ， Ｉ 则 Ｉ ＭＯ
—
（若 ＋ ＋￣ｙ ＝ ＋ ２ Ｙ ＞ － 老 ＋ ） ｘ， ｚ 求“
（ ） 义正 数 数 列 ｛ ｝ ｎ ＝ ， ２ ． ２定 ： ． １ ｎ ＝ ＋
．
（ Ｉ — Ｉ Ａ） ＭＯ Ｉ ＭＴＩ
＞ｂ—ｎ
（ Ｉ Ｂ） Ｉ Ｉ ７Ｉ ＭＯ — ’ ＝ｂ—ｎ
２ ｆ ０ ） １∈Ｎ＋ ． 数 列 ｛ 的通 项 公 （ （７ ， ）求 ｎ｝
（）一 （ ） 一 Ｃ ２ ｏ ｘ
３ 关 的 程 ３ ＝ 有 ． 于 方 （） ； 负 若
数根 ， 实数 ｎ的 取值 范 围是 （ 则 ） ．
８ 已知 实 系数一 元 二次方 程 ．
＋（ ＋ｎ 士ｎ＋ ｂ ｌ Ｉ ） ＋ ＝０
（（∞一 ）（＋ ） Ａ 一 ，２Ｕ５ ∞ ） 了 ， （（∞一 ）（＋ ） Ｂ 一 ，３Ｕ ，∞ ） ５ （（了５ （（了 ３ ｃ一， ） ２） Ｄ 一 ，） ）２
２ 知 数 ’）足 ’ ． 函／ 满／ 已 （ （
Ｊ ￣ ／ 厂 ， ／ ） 则 的解 析式 是 （
（ ）ｇ （ ） Ａ ｌ ２ Ｂ 一ｌ ｏ ｏ ｛
） ＝
） ．
率 ， 满足 关 系 ｍ ＋ｎ ０的数 组 （ ｎ） 则 ≤４ ｍ， 的
个数 为 （ ） ． （ ） Ａ３ （ ） Ｂ４ （ ） ｃ５ （ ６ ｏ）
四面体 形框 架 ， 铁棒 的粗 细 和焊接 误 差不 计 ． 设此 框 架能 容纳 得下 的最 大 球 的半 径 为 ． ，
／
Ｅ
一
能包 容此 框 架 的最 小球 的 半 径 为 Ｒ ． 则 等于— — ． １ ． ， ） 以 ２为 周 期 的 奇 函数 ， ３设 。 是 （ 且
鲁取范是 ） 的值围（ ． （（ｌ （（ｌ Ａ ＿＇Ｉ Ｂ ＿’ ） ） 一】 ） 一 （（２ （（２ ｃ 一，Ｉ Ｄ 一 一 ） ） 一】 ） ，Ｉ
９ 如 图 ２ 在 正 方 ． ， 体 Ａ Ｃ — Ａ Ｉ ＢＤ Ｉ Ｃ ＢＩ Ｄ。
Ｃ
） ．
中， 为棱 仙 上 一点 ， Ｐ
５ 如 图 Ｉ 设 Ｐ 为 ． ，
△ Ａ Ｃ 内一 点 ， Ｂ 且
ＡＣ ＝了 Ｂ ＋ １ ２Ａ 了
．
Ｉ２ 到
则
（ Ｉ Ａ）
（ ４ Ｄ）
Ｓ
Ｉ 战
：
一
（
） ．
／ ’
１ ． 图 ３ 从 双 曲线 一２ （ ０如 ， ２：Ｉ ０＞０ ｂ ，
ｎ Ｄ
＞Ｏ 的左 焦点 Ｆ引 圆 ＋Ｙ ＝０ ） 的切 线 ， 切
．
１ ． 知 ０ 为 锐 角 ， ｃｓ ０： １已 且 ｏ ３ １ 则
ｓ ０ ｉ３ ｎ ｓｎ ０ ’ ｉ
分别 为内切 圆ｏ ， 与边 Ｂ Ｃ Ｃ、 Ａ的切 点 ． 求 证 ： ， 、 三点 共 线 ． Ｄ、，
Ｊ
，
Ｚ
ｌ ． ６根 等 长 的细 铁 棒 焊 接 成 一 个 正 ２用
式． 四 、３ （Ｏ分 ） 图 ４ △ Ａ Ｃ 的 内 心 为 ， 如 ， Ｂ ，
（ ） ＭＯ Ｉ Ｉ Ｃ Ｉ — ＭＴＩ ＜ｂ—ｎ
（ 不 确定 Ｄ） 二 、 空题 （ 小题 ６分 ， ３ 填 每 共 ０分 ）
过 点 Ａ作直 线 的垂线 ， 足 为 ，． Ｄ、 垂 ，设
４ 已知数 列 ｛ 、ｂ ｝ ． ａ ｝ ｛， 的前 ｎ项 和 分别 ．
为 Ａ 、 ， 记 Ｃ ＝“ ，，一ａｂ （ ≥ Ｉ ． Ｂ． ， ， ，＋６Ａ． ． ｎ ） ． 则数 列 ｛ 的 前 ｌ 和 为（ ｃ｝ ０项
（ Ａ１ Ｂｌ Ａ） ０＋ Ｉ ｌ
的两 个实根 为 Ｉ ， ０＜ ＜Ｉ ＞Ｉ则 、 且 ２ Ｉ ， ２ ．
2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案[1]
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2006年全国高中数学联赛试题第一试（考试时间：上午8：00—9：20）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2B AC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1C C 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段A C 和A B 上的动点（不包括端点）. 若G D E F ⊥，则线段D F 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006联赛1试参考答案
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ C ）【解】令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D 。
由BA ≥-，推出22222BA tBA BC t BC AC -+≥,令2BA BC t BC=，代入上式，得2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥，即 222sin BA AC α≥, 也即 sin BA AC α≥。
从而有AD AC ≥。
由此可得 2ACB π∠=。
2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为20,1210x x x x >≠⎧⎨+->⎩，解得 1,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->-32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 320122x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<； 或 32122x x x x >⎧⎨+->⎩解得 1x >，所以x 的取值范围为 1, 12x x >≠且. 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为A. 20B. 25C. 30D. 42 【答】 （ C ） 【解】 50x a -≤5a x ⇒≤；60x b ->6bx ⇒>。
2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）以0B 和1B 为焦点的椭圆与△01A B B 的边i A B 交于i C （0,1i =）. 在0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00B P 为半径作圆弧 00P Q 交10C B 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，10C Q 为半径作圆弧 01Q P 交1B A 的延长线于1P ；以1B 为圆心，11B P 为半径作圆弧 11P Q 交10B C 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，01C Q 为半径作圆弧 10Q P '，交0AB 的延长线于0P '. 试证：（1） 点0P '与点0P 重合，且圆弧 00P Q 与 01P Q 相内切于0P ； （2） 四点0011,,,P Q Q P 共圆.【证明】（1）显然0000B P B Q =，并由圆弧 00P Q 和 01Q P ， 01Q P 和 11P Q ， 11P Q 和 10Q P '分别相内切于点011,,Q P Q ，得1000C B B Q C P +=,11111001B C C P B C C Q +=+以及0100.C Q C B B P '=+ 四式相加，利用11101000B C C B B C C B +=+以及0P '在00B P 或其延长线上，有0000B P B P '=.从而可知点0P '与点0P 重合。
由于圆弧 10Q P 的圆心0C ,圆弧 00P Q 的圆心0B 以及0P 在同一直线上，所以圆弧 10Q P 和 00P Q 相内切于点0P . （2）现在分别过点0P 和1P 引上述相应相切圆弧的公切线0P T 和1P T 交于点T.又过点1Q 引相应相切圆弧的公切线11R S ，分别交0P T 和1P T 于点1R 和1S .连接01P Q 和11P Q ，得等腰三角形011P Q R 和111P Q S . 基于此，我们可由()()0110111111010101110 P Q P P Q R P Q S P P T Q P P P PT Q P P ππ∠=-∠-∠=-∠-∠-∠-∠而 011101110P Q P Q P P Q P P π-∠=∠+∠，代入上式后，即得()011100112P Q P P P TP P Tπ∠=-∠+∠.同理可得()001100112P Q P P P T P P T π∠=-∠+∠.所以四点0011,,,P Q Q P 共圆.二、（本题满分50分）已知无穷数列{}n a 满足y a x a ==10,，1111--+++=n n n n n a a a a a ,,2,1=n .1) 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数0n ，使当0n n ≥时n a 恒为常数？ 2) 求通项n a . 【解】1) 我们有2111111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -+--+--=-=++，1,2,.n = （2.1）所以，如果对某个正整数n ，有1n n a a +=，则必有 21n a =, 且 10n n a a -+≠.如果该1n =，我们得1y = 且 x y ≠-.（2.2）如果该1n >，我们有121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------+---=-=++, 2n ≥ （2.3）和121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------++++=+=++, 2.n ≥ （2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得222121212111n n nn n n n a a a a a a a ---------=⋅++, 2.n ≥ （2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或1x = 且 y x ≠-. （2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当2n ≥时，必有n a =常数，且常数是1或－1. 2）由（2.3）和（2.4），我们得到1212111111n n n n n n a a a a a a -------=⋅+++, 2.n ≥ （2.7）记11n n n a b a -=+, 则当2n ≥时，2232122322334334()()n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b ------------======由此递推，我们得到12111111n n F F n n a y x a y x --⎛⎫---⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 2,n ≥（2.8）这里12n n n F F F --=+，2n ≥, 011F F ==. （2.9）由（2.9）解得111122n n n F ++⎛⎫⎛⎫⎛+-⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. （2.10） 上式中的n 还可以向负向延伸，例如120,1F F --==.这样一来，式（2.8）对所有的0n ≥都成立.由（2.8）解得21212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n F F F F n F F F F x y x y a x y x y --------+++--=++---, 0n ≥. （2.11）式（2.11）中的12,n n F F --由（2.10）确定.三、 （本题满分50分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-.66,20,6,2444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x 【解】 令 ,,p x z q xz =+=我们有222333444222,3,42,p x z q p x z pq p x z p q q =++=++=++-同样，令 ,,s y w t yw =+=有222333444222,3,42.s y w t s y w st s y w s t t =++=++=++-在此记号系统下，原方程组的第一个方程为2p s =+. （3.1）于是2233244344,6128,8243216,p s s p s s s p s s s s =++=+++=++++现在将上面准备的234,,p p p 和234,,s s s 的表达式代入，得2222333324422442232244,336128,42428243216,x z q y w t s x z pq y w st s s x z p q q y w s t t s s s ++=++++++=+++++++-=++-++++利用原方程组的第二至四式化简，得222223221, (3.2)244, (3.3)224121625, q t s pq st s s p q q s t t s s s =+-=++--=-+++- (3.4)将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得 1.2s t =- （3.5）将（3.5）代入（3.2），得5 2.2q s =- （3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得 2.s = 所以有 0,4, 3.t p q === 这样一来，,x z 和,y w 分别是方程2430X X -+=和220Y Y -=的两根 即3,1x z =⎧⎨=⎩ 或 1,3x z =⎧⎨=⎩且2,0y w =⎧⎨=⎩ 或 0,2.y w =⎧⎨=⎩详言之，方程组有如下四组解：3,2,1,0x y z w ====；或 3,0,1,x y z w ====；或 1,2,3,0x y z w ====；或 1,0,3,2x y z w ====.。
2006年全国高中数学联合竞赛加试试题与参考答案
2006-10-152006-10-152006年全国高中数学联合竞赛一、（本题满分50i（0,1i=）. 在AB的延长线上任取点P00P为半径作圆弧P10C B的延长线于Q；以1C为圆心，10C Q为半径作圆弧q01Q P交1B A的延长线于1P；以1B为圆心，11B P为半径作圆弧q11PQ交10B C的延长线于1Q；以C为圆心，01C Q为半径作圆弧q10Q P′，交AB的延长线于P′. 试证：（1） 点P′与点P重合，且圆弧q00P Q与q01P Q相内切于P；（2） 四点0011,,,P Q Q P共圆.【证明】（1）显然0000B P B Q=，并由圆弧q00P Q和q01Q P，q01Q P和q11PQ，q11PQ和q10Q P′分别相内切于点011,,Q P Q，得100011C B B Q C P+=,11111001B C C P B C C Q+=+以及010000.C Q C B B P′=+四式相加，利用11B C+00B P′=.从而可知点P′10Q P的圆心C,000P在同一直线上，所以圆弧q10Q P和q00P Q相内切于点P.（2）现在分别过点P和1P引上述相应相切圆弧的公切线PT和1PT交于点T.又过点1Q引相应相切圆弧的公切线11R S，分别交PT和1PT于点1R和1S.连接01P Q和11PQ，得等腰三角形011P Q R和111PQ S. 基于此，我们可由()()0110111111010101110P Q P P Q R PQ SPPT Q P P P PT Q PPππ∠=−∠−∠=−∠−∠−∠−∠2006-10-152006-10-15而011101110P Q P Q P P Q PPπ−∠=∠+∠，代入上式后，即得1P Q Pπ∠=−同理可得001P Q P∠二、（本题满分50}n a满足a xa=1,1−nn, ",2,1=n. 1) 对于怎样的实数x与y，总存在正整数0n，使当0nn≥时na恒为常数？2) 求通项na.【解】1) 我们有2111111n n nn n nn n n na a aa a aa a a a−+−−+−−=−=++，1,2,.n="（2.1）所以，如果对某个正整数n，有1n na a+=，则必有21na=, 且1n na a−+≠.如果该1n=，我们得1y=且x y≠−. （2.2）如果该1n>，我们有2n≥（2.3）和121212121(1)(1)11n n n nnn n n na a a aaa a a a−−−−−−−−++++=+=++, 2.n≥（2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得222121212111n nnn n n na aaa a a a−−−−−−−−−=⋅++, 2.n≥（2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或1x=且y x≠−. （2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当2n≥时，必有na=常数，且常数是1或－1.2）由（2.3）和（2.4），我们得到1212111111n n nn n na a aa a a−−−−−−−=⋅+++, 2.n≥（2.7）2006-10-152006-10-15记11nnnaba−=+, 则当2n≥时，122(n n n nb b b b−−−==11111nFny xy x−⎛⎞−−⎛⋅⎜⎟⎜++⎝⎝⎠（2.8）这里12n n nF F F−−=+，2n≥,011F F==. （2.9）由（2.9）解得111122n nnF++⎛⎞⎛⎞⎛⎞+⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎠. （2.10）上式中的n还可以向负向延伸，例如120,1F F−−==.这样一来，式（2.8）对所有的0n≥都成立.由（2.8）解得21212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n nn n n nF F F Fn F F F Fx y x yax y x y−−−−−−−−+++−−=++−−−, 0n≥. （2.11）式（2.11）中的12,n nF F−−由（2.10三、 （本题满分⎪⎪⎩⎪⎪⎨=−+−=−+−=−+−.66,20,6444433332222wzyxwzyxwzyx【解】令,,p x z q xz=+=我们有222333444222,3,42,p x z qp x z pqp x z p q q=++=++=++−同样，令,,s y w t yw=+=有222333444222,3,42.s y w ts y w sts y w s t t=++=++=++−在此记号系统下，原方程组的第一个方程为2p s=+. （3.1）于是2006-10-152006-10-1522332444,p s sp=++现在将上面准备的2233442244223243642428243216,y w t sy w st sx z p q q y w s t t s s s++++++++−=++−++++利用原方程组的第二至四式化简，得222223221, (3.2)244, (3.3)224121625,q t spq st s sp q q s t t s s s=+−=++−−=−+++− (3.4)将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得1.2st=−（3.5）将（3.5）代入（3.2），得52.2q s=−（3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得 2.s=所以有0,4, 3.t p q===这样一来，,x z和,y w分别是方程的两根, 即⎩z⎩且2,yw=⎧⎨=⎩或0,2.yw=⎧⎨=⎩详言之，方程组有如下四组解：3,2,1,0x y z w====；或3,0,1,2x y z w====；或1,2,3,0x y z w====；或1,0,3,2x y z w====.注：如果只得到一组解，或者不完整，最多得40分。
2006年全国高中数学联赛试题及答案(一试)
, a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2 a3
C． 10
2006
a2006 的个数为
【答】 （ B ）
1 2006 2006 1 (10 + 8 ) B． (102006 − 82006 ) 2 2
+ 82006 D． 102006 − 82006
2005 3 + C2006 92003 +
-1-
4. 在直三棱柱 A1 B1C1 − ABC 中， ∠BAC =
π
2
， AB = AC = AA1 = 1 . 已知Ｇ与Ｅ分别为 A1 B1 和
CC1 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点）. 若 GD ⊥ EF ，则线段 DF 的
长度的取值范围为 A. ⎢
⎡ 1 ⎞ , 1⎟ ⎣ 5 ⎠
3. 已知集合 A = x 5 x − a ≤ 0 ， B = x 6 x − b > 0 , a, b ∈ N ，且 A ∩ B ∩ N = {2,3, 4} ，则整数 对 (a, b ) 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）
{
}
{
}
【解】
5x − a ≤ 0 ⇒ x ≤
+ x 2004 ) = 2006 x 2005 的实数解的个数为 1 . + x 2004 ) = 2006 x 2005
2006
+ 1)(1 + x 2 + x 4 +
⇔ (x +
1
x
2005
)(1 + x 2 + x 4 +
+ x 2004 ) = 2006
2006年全国高中数学联赛试题及答案
2006年全国高中数学联合竞赛试题1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则△ABC 一定为( )A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为( )A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x <<3. 已知集合{}50A x x a =-≤，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为( )A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为( )A ．200620061(108)2+B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-二.填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为______.9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为_______. 10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_______.11.方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++= 的实数解的个数为12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三. 解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点.试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.15. 设 2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n = ，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2006年全国高中数学联合竞赛全国获奖名单
深圳实验学校高中部
黄璐
M065b297
深圳
深圳市高级中学
刘冰
M065b298
广州
广东仲元中学
彭杰康
M065b299
广州
华南师大附中
罗知地
M065b300
深圳
深圳市高级中学
刘千石
M065b301
广州
华南师大附中
黎明嘉
M065b302
韶关
广东北江中学
黄广山
M065b303
湛江
湛江第一中学
蔡国全
M065b304
茂名市第一中学
黄河
M065c415
深圳
深圳市宝安中学
邱杰
M065c416
阳江
阳江一中
黄思儒
M065c417
广州
华南师大附中
张文耀
M065c418
深圳
深圳市高级中学
徐龙
M065c419
佛山
顺德区国华纪念中学
付国领
M065c420
惠州
惠州一中
李仲达
M065c421
湛江
遂溪县第一中学
潘羽龙
M065c422
李东煜
M065c485
广州
广东实验中学
李小科
M065c486
广州
广州市执信中学
吴泳康
M065c487
广州
华南师大附中
杨昉
M065c488
广州
华南师大附中
颜琛
M065c489
惠州
惠州八中
赵炜
M065c490
清远
清远市第一中学
傅大武
M065c491
M065b201
2007年全国高中数学联赛陕西省高中数学竞赛预赛试题(附详细答案)
D. 8
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2006年全国高中数学联赛试题及解答
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1． 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2． 答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． ⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
全国高中数学联赛陕西赛区预选赛
62
582
邢光正
258
895
姚越
63
584
张浩天
259
896
姚焱遐
64
585
雷媛媛
260
897
宋昊泽
65
587
董尔群
261
898
曹浩
66
589
高航
262
900
黄旭东
67
591
刘天舒
263
901
李松锜
68
592
王嘉田
264
903
潘博远
69
593
许凡
265
905
商阳
70
595
张翔
266
906
石磊
71
596
赵越
267
907
杨建知
72
598
肖庸
268
908
尹明皓
73
601
胡晓辉
269
910
张威
74
602
贾鑫
270
911
张汉梓
75
604
牛泽林
271
913
张津锐
76
606
刘一树
44
550
阮钰泽
240
869
罗毅
45
551
王李韬
241
870
孟闻哲
46
552
薛昕哲
242
871
孟宪东
47
553
张成
243
872
乔经宇
48
555
张楚芊
244
875