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h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
《高等数学导数概念》PPT课件
零点定理 yf(x(1) )
f
C[
a
f
,
(bb])；(2)f (a) f (b)0 ，
则至少 (a, b) ，使 f ( ) 0 ．
o a c b x f (a)
o ac1 c2 c 3 b x
例 9 证明方程 x a sin x b （ a 0, b 0 ） 至少有一个实根．
例 10 证：实系数三次方程 x3 px2 qx r 0 必有实根．
若函数 f ( x) 在区间 I 上的每一点处都可导，则得到
一个新函数 f ( x) ， 称之为 f ( x) 在 I 上的导函数，
简称为导数．记为 f ( x) 或 y 或 dy ． dx
注意 导 函 数 f ( x ) 与 导 数 f ( x ) 的 区 别 和 联 系
例 2 求 y cos x 在 x0 (, ) 处的导数．
零点T定 hm理7（(介1)值f定理C）[a, b] ； 设(f2) Cf[(aa, b)]，f (mb)0m[a， ,ibn] f ( x),
则M至少max f ((xa),．b则) ，对使f()[m ,0 M．] ，至少存在 [a, b]
一点 [a, b] ，使 f ( ) ．
y
y
yf(x)
f(
讨论 x0 )
f (x) lim
x 0
f
(s0xi,0nx,xxxx)00, f在( xx0
0处的可导性．
)
f (x) f (
lim
x x0
x x0
x0
)
f
( x0 )
lim
x 0
f
( x0 x) x
f
( x0 ) lim x x0
高中数学-导数的概念课件
15
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
《高等数学教学课件》04导数
2 变化率
导数可以表示物理量的变化率，如颜色的变化率、温度的变化率等。
3 斜率
导数还可以表示曲线的斜率，用于研究物理问题中的质点运动轨迹。
利用定义求导数的导数可以通过定义求导数的极
限计算得到。
3
直线函数
对于直线函数，根据导数的定义可以直 接求得导数为常数值。
三角函数
三角函数的导数可以利用导数的基本运 算法则和公式进行推导。
《高等数学教学课件》 04导数
数学导数是高等数学重要的概念之一，本课件将介绍导数的基本概念、数学 定义、几何意义、物理意义以及导数的运算法则等内容，展示导数在各领域 的应用。
导数的基本概念简介
1 定义
导数是函数对自变量变化的敏感程度，表示了函数在某一点的瞬时变化率。
2 重要性
导数是研究函数性质与变化规律的基础，广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域。
高阶导数可以与曲率半径 相关联，描述了曲线在某 一点的弯曲程度。
2 性态判断
3 局部特征
高阶导数可以判断函数的 拐点、极值点，以及函数 在不同区间上的具体性态。
高阶导数揭示了函数在局 部区间上的更加细致的特 征，如凸性、凹性。
利用高阶导数判断函数的性态
1 单调性判断
利用高阶导数可以判断函数在不同区间上的单调性，找到函数的自增区间和自减区间。
高阶导数的数学定义
1 迭代求导
高阶导数可以通过重复利 用导数的定义进行迭代求 导。
2 表示法
高阶导数通常用Leibniz记 号或Euler记号表示，如 d^ n(f)/dx^ n或f(n)(x)。
3 计算技巧
高阶导数的计算可以利用 运算法则和已知函数的高 阶导数进行简化。
高阶导数的几何意义
导数可以表示物理量的变化率，如颜色的变化率、温度的变化率等。
3 斜率
导数还可以表示曲线的斜率，用于研究物理问题中的质点运动轨迹。
利用定义求导数的导数可以通过定义求导数的极
限计算得到。
3
直线函数
对于直线函数，根据导数的定义可以直 接求得导数为常数值。
三角函数
三角函数的导数可以利用导数的基本运 算法则和公式进行推导。
《高等数学教学课件》 04导数
数学导数是高等数学重要的概念之一，本课件将介绍导数的基本概念、数学 定义、几何意义、物理意义以及导数的运算法则等内容，展示导数在各领域 的应用。
导数的基本概念简介
1 定义
导数是函数对自变量变化的敏感程度，表示了函数在某一点的瞬时变化率。
2 重要性
导数是研究函数性质与变化规律的基础，广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域。
高阶导数可以与曲率半径 相关联，描述了曲线在某 一点的弯曲程度。
2 性态判断
3 局部特征
高阶导数可以判断函数的 拐点、极值点，以及函数 在不同区间上的具体性态。
高阶导数揭示了函数在局 部区间上的更加细致的特 征，如凸性、凹性。
利用高阶导数判断函数的性态
1 单调性判断
利用高阶导数可以判断函数在不同区间上的单调性，找到函数的自增区间和自减区间。
高阶导数的数学定义
1 迭代求导
高阶导数可以通过重复利 用导数的定义进行迭代求 导。
2 表示法
高阶导数通常用Leibniz记 号或Euler记号表示，如 d^ n(f)/dx^ n或f(n)(x)。
3 计算技巧
高阶导数的计算可以利用 运算法则和已知函数的高 阶导数进行简化。
高阶导数的几何意义
《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高中数学导数的概念 PPT课件 图文
导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单 过位 :m 的 3)时 水间 x(量 单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作 生产的食品数 y(单 量位:kg)是其工作时x(间 单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处 的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意. 义
如 其 解 4kg:果 生 的 f (保 产 1食) 持 速 品.4(表 这 度 即示 一 工该 生 作工 产 效,人 速 )那 率 为上 4度 么kg班 他/h后 .每 也1工 h时 就的作 可 是时以 说 ,候, 生一 其 产 f(3生 生 )3产 产 .5表 速 速 ,那 示 3.度 度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每 人 就时 上 是可 ,如 班 说 33h.以 5的 果 k后g的 生 时 保 工食 产 ,候 持 作 .品 这
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
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备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
;.;
1
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密 度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即 导数。
(e x ) e x .
;.;
17
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
;.;
6
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
;.;
15
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
;.;
16
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
重点 导数与微分的定义及几何解释
导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导
难点 导数的实质，用定义求导，链式法则
;.;
3
第一节 导数的概念
问题的提出 导数的定义 利用导数定义求导数 左、右导数
导数的几何意义与物理意义
可导与连续的关系
小结
;.;
4
一、引出导数概念的两个实例
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
;.;
8
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
;.;
9
y f (x) f (x0) x x x0
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
;.;
10
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I内可导.
;.;
11
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
;.;
2
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步
深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。
★ 导数定义式中的△x必修连续地趋于零。
;.;
13
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
h0
h
h0 h
即 (C ) 0.
;.;
14
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) c 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
;.;
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
5
2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: f ( x0 ) f ( x) . xx0
;.;
12
★ 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映 了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导 无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的 函数。
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
;.;
7
二、导数的定义
定义1 . 设函数
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
;.;
1
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密 度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即 导数。
(e x ) e x .
;.;
17
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
;.;
6
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
;.;
15
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
;.;
16
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
重点 导数与微分的定义及几何解释
导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导
难点 导数的实质，用定义求导，链式法则
;.;
3
第一节 导数的概念
问题的提出 导数的定义 利用导数定义求导数 左、右导数
导数的几何意义与物理意义
可导与连续的关系
小结
;.;
4
一、引出导数概念的两个实例
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
;.;
8
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
;.;
9
y f (x) f (x0) x x x0
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
;.;
10
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I内可导.
;.;
11
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
;.;
2
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步
深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。
★ 导数定义式中的△x必修连续地趋于零。
;.;
13
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
h0
h
h0 h
即 (C ) 0.
;.;
14
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) c 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
;.;
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
5
2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: f ( x0 ) f ( x) . xx0
;.;
12
★ 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映 了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导 无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的 函数。
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
;.;
7
二、导数的定义
定义1 . 设函数