线性代数课件-1.1引言
54321 3142
5级 排 列 4级 排 列
214
不是 排列
13243
不是 排列
1314
不是 排列
n 级排列的三要素 由n 个自然数组成 n个数中不能有重复数 不能有大于n的数
n级排列的总数= n!个 例如 由1,2,3,4这四个数可构成四级排列 4级排列的总数=4!个=24 个
2134 2143 4213
(k1 , k 2 , k n ) = (0,0, 0) 零解 解 非零解 (k1 , k 2 , k n ) ≠ (0,0, 0)
唯一解 有解 无穷多解 解的结构
无解
第一章
§11 §12 §13 §14 §15
行列式
排列与逆序 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 Cramer法则
定理11
一次对换改变排列的奇偶性
(3,5)
例如 23154
25134 奇排列 偶排列
τ (23154 ) = 3 τ (25134 ) = 4
【定理12】在所有的n 级排列中(n>1), n! 奇排列与偶排列的个数相等,各为 2 个.
证明: 设在n!个n级排列中(n>1), 奇排列共有p个,偶排列共有q个, 则p+q= n ! 现对每一个奇排列施行一次对换,即
τ (52341 ) = 7
(3)1234567 逆序:无
τ (1234567
)= 0
逆序数的计算方法:
τ ( j1 j 2 j n ) = j1 后面比j1小的数的个数
+ j2后面比j2小的数的个数 +… + jn-1后面比jn-1小的数的个数
【例2(补)】 求排列 n n 1n 2 321 的逆序数 解
τ (nn 1n 2321)
= (n 1) + (n 2) + + 2 + 1
n(n 1) = 2
排列
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列
【例3(补)】判断 (2k 1)246 (2k )]
i=1,2…m
(**)
则称(**)为齐次线性方程组
例如
x1 + x 2 + x 3 = 1 2 x1 + x 2 x 3 = 0
2×3 线性方程组
x1 + 5 x 2 = 4 3x2 = 2 x1 + x 2 + x 3 = 0 2 x1 + x 2 x 3 = 0 x1 + 5 x 2 = 0 3x2 = 0
对换:
在一个n级排列j1 j2 … ji … jk…jn 中,若仅将其 中两个数ji, jk对调,其余不动,可得一个新的排列 j1 j2 … jk … ji…jn ,对排列所施行的这样一次对 调称为一个对换. 记为(
ji, jk )
相邻两个数码的对换称为相邻对换 例如 23154 23154
(*)
若m=n,则(*)称为n元线性方程组 若m≠n,则(*)称为m×n线性方程组
在线性方程组(*)中,若bi=0 即
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 a x + a x ++ a x = 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
a 11 x1 + a 12 x 2 = b1 对 a 21 x1 + a 22 x 2 = b 2
k (k 1) = 1 + 2 + 3 + + (k 1) = =t 2 当k=4n时, t = 2n(4n-1)为偶数
当k=4n+1时, t =2n(4n+1)为偶数 (2k)的前一个数是(2k-2),因此,(2k-1)与 当k=4n+2时, t =(2n+1)(4n+1)为奇数 246… (2k-2)这些数构成逆序,共(k-1)个 当k=4n+3时, t =(2n+1)(4n+3)为奇数 因此:当k=4n或k=4n+1时,该排列为偶排列 当k=4n+2或k=4n+3时,该排列为奇排列
(*)
若 x1 , x2 , xn 分别用 k1 , k 2 , k n 代替时, (*)中的每一个方程都成为恒等式,则称
(k1 , k 2 , k n ) 为方程组(*)的一个解.
例如
x1 + x 2 + 2 x 3 = 0 3 x2 + x3 = 0
(0,0,0)为一个解 (5,1,-3)为一个解 (5c, c, -3c)为一个解(c为任意常数)
即当ji, jk为相邻两个数时
( jk ) j1 j2 ji1 ji jk jk +1 jn ji , j1 j2 ji 1 jk ji jk +1 jn →
排列
j1 j2 ji 1 ji jk jk +1 jn 与排列
j1 j2 ji 1 jk ji jk +1 jn 奇偶性不同
2元线性方程组
2×3齐次线性方程组 2元齐次线性方程组
线性方程组的解:
a11 x1 + a12 x 2 + + a 1 n x n = b1 a x + a x + + a x = b 2n n 2 对线性方程组 21 1 22 2 a m 1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = b m
再证 设 ji, jk为任两个数时结论成立
j1j2ji1ji ji+1ji+mjk jk+1jn → j1 j2 ji1 jk ji+1ji+m ji jk+1jn
( ji , jk )
先将ji依次与ji+1, ji+2,… ji+m做相邻对换, 得排列j1j2…ji–1 ji+1…ji+m ji jk jk+1…jn 再将jk依次与ji, ji+m… ji+1做相邻对换 得排列j1 j2 …ji–1 jk ji+1…ji+m ji jk+1 …jn 共做了m+(m+1)=2m+1次相邻对换 由于一次相邻对换改变排列的奇偶性,而 2m+1相邻对换为奇数次,故改变了排列的奇偶性. 故 一次对换改变排列的奇偶性
引言
线性方程组:由一次方程构成的方程组称为 线性方程组. 例如
x1 + x 2 + x 3 = 1 2 x1 + x 2 x 3 = 0 x1 + 5 x 2 = 4 3x2 = 2
方程组
x1 + x 3 2 + x 3 = 1 2 x1 + x 2 x 3 = 0
为非线性方程组
500 240 160
400 180 100 100 100 120 180 40
解:设A,B,C,D四种产品的单位成本分别为 x1,x2, x3, x4,则
线性方程组的一般表达式:
a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 a x + a x ++ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = bm
【例1】求下列排列的逆序 (1)3241 逆序:32,31,21, 41 (2)52341 21, 逆序:52,53,54,51, 31,41 (3)1234567 逆序:无
逆序数:
一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 序数 . 记为 τ ( j1 j 2 j n ) 例如 (1)3241 逆序:32,31,21,41 τ (3241 ) = 4 21, (2)52341 逆序:52,53,54,51, 31,41
(3,5)
25134 21354
(3,1)
相邻对换
定理11 即:
一次对换改变排列的奇偶性
若 j1 j2 ji jk jn → j1 j2 jk ji jn
则
( ji , j k )
τ ( j1 j2 ji jk jn ) 与
τ ( j1 j2 jk ji jn )
奇偶性不同
二,三阶行列式
a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
对二元线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1
a 11 a 21 x1 + a 12 a 21 x 22 = b11a 21 22 22 x = b a 22 11 12 x 12 a 21 a 12 x1 + a 22 a 11 x 22 = b 22a 11
排列的记号: j1 j2 j3…jn ——— 一个n级排列
{ j1 j2 j3…jn }——— 所有n级排列 例如:{ j1 j2 j3 }表示所有3级排列 当j1=2,j2=3,j3=1时,j1 j2 j3代表三级排列231 当j1=3,j2=1,j3=2时,j1 j2 j3代表三级排列312
逆序:
在一个排列中,如果两个数的前后位置与它们的 大小顺序相反(即排在前面的数大于排在后 面的数),则称这两个数构成排列的一个逆序.
即 对n级排列 j1 j2 … ji… jk… jn,, 若ji> jk,则称ji与 jk构成一个逆序, 记为 ji jk
.
例如:在三级排列312中 逆序:31 ,32 在四级排列4231中 逆序:42,21,31…
【实例】 设在一次投料生产中能获得四种产品, 通过四次测试,每次测试的总成本如下表所示, 试求每种产品的单位成本.
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数PPT全集
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大 为标准次序.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
基础 基本内容
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
线性代数课件1-1n阶行列式的定义
03
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数课件-1.1引言
逆序:
在一个排列中,如果两个数的前后位置与它们的 大小顺序相反(即排在前面的数大于排在后 面的数),则称这两个数构成排列的一个逆序.
即 对n级排列 j1 j2 … ji… jk… jn,, 若ji> jk,则称ji与 jk构成一个逆序, 记为 ji jk
.
例如:在三级排列312中 逆序:31 ,32 在四级排列4231中 逆序:42,21,31…
再证 设 ji, jk为任两个数时结论成立
j1j2ji1ji ji+1ji+mjk jk+1jn → j1 j2 ji1 jk ji+1ji+m ji jk+1jn
( ji , jk )
先将ji依次与ji+1, ji+2,… ji+m做相邻对换, 得排列j1j2…ji–1 ji+1…ji+m ji jk jk+1…jn 再将jk依次与ji, ji+m… ji+1做相邻对换 得排列j1 j2 …ji–1 jk ji+1…ji+m ji jk+1 …jn 共做了m+(m+1)=2m+1次相邻对换 由于一次相邻对换改变排列的奇偶性,而 2m+1相邻对换为奇数次,故改变了排列的奇偶性. 故 一次对换改变排列的奇偶性
k (k 1) = 1 + 2 + 3 + + (k 1) = =t 2 当k=4n时, t = 2n(4n-1)为偶数
当k=4n+1时, t =2n(4n+1)为偶数 (2k)的前一个数是(2k-2),因此,(2k-1)与 当k=4n+2时, t =(2n+1)(4n+1)为奇数 246… (2k-2)这些数构成逆序,共(k-1)个 当k=4n+3时, t =(2n+1)(4n+3)为奇数 因此:当k=4n或k=4n+1时,该排列为偶排列 当k=4n+2或k=4n+3时,该排列为奇排列
线性代数-序言优秀PPT
线性代数
ห้องสมุดไป่ตู้Linear Algebra
1
序言：代数的起源与发展
一、代数的定义
以字母代替数，并以数的运算为依据进行数、字 母以及字母表达式的运算。
提示: “ 代 数 学 ” 一 词 来 源 于 阿 拉 伯 学 者 阿 尔 ·花 拉 子 密 ( A l -
khowarizmi，约780～850)的一本数学著作《Al-jabr w’al muqabala》。当这本书于12世纪被翻译成拉丁文时，书中的Aljabr 变成了algebrae，到14世纪，这门学科在欧洲被正式简称为 “algebra”。1859年清朝数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译 英国德·摩根的《Elements of Algebra》时，才正式定名为“代数学”
• [1] 华中科技大学数学系．线性代数．高等教育出版社 • [2] 梁保松等. 线性代数．中国农业出版社 • [3] 林升旭等编．线性代数．华中科技大学出版社 • [4] 王长群等编．线性代数．高等教育出版社
11
注意
本课程期末总评成绩满分100分，计算公式为：
期末考试卷面成绩（满分100分）×70﹪+平时成绩（满分30分）
该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象 出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强 化人们的思维，开发科学智能是非常有用的。
6
如何学好运筹学
学习线性代数要把重点放在分析、 理解有关的概念、思路上。在自学过 程中，应该多向自己提问，例如一个 方法的实质是什么，为什么这样进行， 怎么进行等。
线性代数基本上出现于十七世纪，主要理论成熟于十九世纪，而第 一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。我国 在公元七世纪，已经得到了三次方程的近似解法，这在唐朝数学家王 孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九 韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高 次方程的求正根法。
ห้องสมุดไป่ตู้Linear Algebra
1
序言：代数的起源与发展
一、代数的定义
以字母代替数，并以数的运算为依据进行数、字 母以及字母表达式的运算。
提示: “ 代 数 学 ” 一 词 来 源 于 阿 拉 伯 学 者 阿 尔 ·花 拉 子 密 ( A l -
khowarizmi，约780～850)的一本数学著作《Al-jabr w’al muqabala》。当这本书于12世纪被翻译成拉丁文时，书中的Aljabr 变成了algebrae，到14世纪，这门学科在欧洲被正式简称为 “algebra”。1859年清朝数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译 英国德·摩根的《Elements of Algebra》时，才正式定名为“代数学”
• [1] 华中科技大学数学系．线性代数．高等教育出版社 • [2] 梁保松等. 线性代数．中国农业出版社 • [3] 林升旭等编．线性代数．华中科技大学出版社 • [4] 王长群等编．线性代数．高等教育出版社
11
注意
本课程期末总评成绩满分100分，计算公式为：
期末考试卷面成绩（满分100分）×70﹪+平时成绩（满分30分）
该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象 出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强 化人们的思维，开发科学智能是非常有用的。
6
如何学好运筹学
学习线性代数要把重点放在分析、 理解有关的概念、思路上。在自学过 程中，应该多向自己提问，例如一个 方法的实质是什么，为什么这样进行， 怎么进行等。
线性代数基本上出现于十七世纪，主要理论成熟于十九世纪，而第 一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。我国 在公元七世纪，已经得到了三次方程的近似解法，这在唐朝数学家王 孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九 韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高 次方程的求正根法。
线性代数ppt课件同济
05
向量空间及其性质
向量空间的定义与性质
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合， 其中每个向量都可以表示为一组基向 量的线性组合。
向量空间的性质
向量空间具有一些重要的性质，例如 封闭性、加法和数量乘法封闭性、加 法和数量乘法的结合律和分配律等。
向量空间的基底与维数
向量空间的基底
一个向量空间可以由一组不相关的基向量构成，这些 基向量是线性无关的，并且可以生成整个空间。
行列式的计算方法
要点一
总结词
行列式的计算方法包括高斯消元法、拉普拉斯展开式和递 推法等。
要点二
详细描述
高斯消元法是一种常用的计算行列式的方法，它通过初等 行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求解出阶梯形矩阵的 行列式即可。拉普拉斯展开式是一种基于二阶子式和代数 余子式的展开式，它可以用来计算高阶行列式。递推法是 一种利用低阶行列式的值递推高阶行列式的方法，它适用 于计算n阶行列式。
线性代数的背景
线性代数起源于17世纪，随着科学技术的不断发展和进步，线性代数的应用领域越来越广泛。它不仅 在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，还在计算机科学、经济学、生物医学等领域发挥着重要 的作用。
线性代数的应应用，例如求解线性方程组、 计算矩阵的秩和特征值等。
现代发展
随着科学技术的发展，线性代数的应用领域越来越广泛，同时它也得到了不断的发展和完善。现代线性代数已经 形成了一套完整的理论体系，为解决实际问题提供了更加有效的工具。
02
矩阵及其运算
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，通 常表示为二维表格。矩阵的行数和列数 可以分别为m和n。每个元素用a(i,j)表示 ，其中i表示行号，j表示列号。
线性代数课件-1.1引言
正交矩阵
设 $A = (a_{ij})_{n times n}$ 是复数 域上的矩阵，若 $A^HA = AA^H = I$，则称 $A$ 为正交矩阵。其中 $A^H$ 表示 $A$ 的共轭转置。
正交基和正交矩阵
性质
正交矩阵的逆矩阵等于其 共轭转置矩阵。
正交矩阵的列向量组是标 准正交基。
正交矩阵的行列式值为 $pm 1$。
正交变换和最小二乘法
性质
正交变换的逆变换也是正交 变换。
正交变换保持向量的长度和 夹角不变。
最小二乘解是唯一的，且可以 通过求解正规方程组得到。
07
CATALOGUE
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
行列式的定义与性质
矩阵的基本运算
加法、数乘、乘法、转置等。
行列式的计算、克拉默法则等。
线性方程组的解法
灵活运用高斯消元法、克拉默法则等方法， 注意方程组的解的存在性与唯一性。
特征值与特征向量求解题
掌握特征值与特征向量的求解方法，注意特 征向量的线性无关性与正交性。
拓展延伸：应用领域探讨
• 计算机图形学：在计算机图形学中，线性代数被广泛应用于三维图形的变换、 渲染和动画等方面。例如，通过矩阵运算可以实现图形的旋转、缩放和平移等 操作。
内积空间定义及性质
三角不等式
$||a + b|| leq ||a|| + ||b||$。
VS
Schwarz 不等式
$|(a, b)| leq ||a|| cdot ||b||$。
正交基和正交矩阵
正交基
设 $B = {alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_n}$ 是内积空间 $V$ 的一个基，若 $forall i neq j, (alpha_i, alpha_j) = 0$，则称 $B$ 为 $V$ 的 一个正交基。若还满足 $||alpha_i|| = 1$，则 称 $B$ 为标准正交基。
设 $A = (a_{ij})_{n times n}$ 是复数 域上的矩阵，若 $A^HA = AA^H = I$，则称 $A$ 为正交矩阵。其中 $A^H$ 表示 $A$ 的共轭转置。
正交基和正交矩阵
性质
正交矩阵的逆矩阵等于其 共轭转置矩阵。
正交矩阵的列向量组是标 准正交基。
正交矩阵的行列式值为 $pm 1$。
正交变换和最小二乘法
性质
正交变换的逆变换也是正交 变换。
正交变换保持向量的长度和 夹角不变。
最小二乘解是唯一的，且可以 通过求解正规方程组得到。
07
CATALOGUE
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
行列式的定义与性质
矩阵的基本运算
加法、数乘、乘法、转置等。
行列式的计算、克拉默法则等。
线性方程组的解法
灵活运用高斯消元法、克拉默法则等方法， 注意方程组的解的存在性与唯一性。
特征值与特征向量求解题
掌握特征值与特征向量的求解方法，注意特 征向量的线性无关性与正交性。
拓展延伸：应用领域探讨
• 计算机图形学：在计算机图形学中，线性代数被广泛应用于三维图形的变换、 渲染和动画等方面。例如，通过矩阵运算可以实现图形的旋转、缩放和平移等 操作。
内积空间定义及性质
三角不等式
$||a + b|| leq ||a|| + ||b||$。
VS
Schwarz 不等式
$|(a, b)| leq ||a|| cdot ||b||$。
正交基和正交矩阵
正交基
设 $B = {alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_n}$ 是内积空间 $V$ 的一个基，若 $forall i neq j, (alpha_i, alpha_j) = 0$，则称 $B$ 为 $V$ 的 一个正交基。若还满足 $||alpha_i|| = 1$，则 称 $B$ 为标准正交基。