拓扑学课件34647
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拓扑学课件
定义 7.2.2 设 ( X ,T ) 是一个拓扑空间,如果对 于 X 中 任 意 一 对 满 足 条 件 F1 F2 的 闭 集 F1 , F2 , 存 在 X 中 互 不 相 交 的 开 集 U1 ,U 2 使 得
F1 U1 , F2 U 2 ,则称拓扑空间 X 是一个正规空
8. 设 X 是一个满足第一可数性公理的空间， 证明:X 是 Hausdorff 空间当且仅当 X 中每一个收敛的序列只 有一个极限点. 9. 设 Y 是一个 Hausdorff 空间， 是一个拓扑空间， X g，f:X→Y 是连续映射，D X，证明如果 f |D=g|D. 则 f |D = g |D . 10. 设 Y 是一个 Hausdorff 空间， 是一个拓扑空间， X g，f:X→Y 是连续映射，证明： {x X | f ( x) g ( x)} 是 X 中的一个开集. 11. 设 X 是一个拓扑空间，证明 X 是 Hausdorff 空 2 {( x, x) X 2 | x X } 间当且仅当积空间 X 的对角线 是一个闭集.
必要性.设 x X ，并设 x 是 A 的一个极限点,但 x 有一 个 开邻 域 U 使得 U A 是 一个 有 限集 ， 则 集合 B U ( A {x}) 也是一个有限集. B U ( A {x}) = {x1, x2 , , xn } ， 令
则 B {x1 , x2 ,, xn } {x1} {x2} {xn } = i1{x1} ,又由于 X 是 { T1 空间， 因此由定理 7.1.2 知对于 i {1,2,, n} ，xi } {xi } ,
Hausdorff 空间必定是 T1 空间，但 T1 空间不必
图形拓扑的关系的构建课件共28页PPT资料
地图要素可以抽象为点、线、面来表示，这种归纳正好 适合于建立拓扑关系和建立拓扑表示。
1.若地图平面上反映一定意义的零维图形的附近没有其它图形 与之联系，则称这个零维图形为独立点（Point）。如水井
2.若在某个有一定意义的零维图形附近还存在另外有意义的 零维图形与之联系，则称这个零维图形为结点（Node）。
左右多边形表
弧线 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10
左多边形 右多边形
A
E
A
D
A
C
A
B
E
D
B
E
B
D
B
F
D
C
C
B
3.Arc/Info中左右多边形拓扑结构（存储在Arc文件中）
1.6 Arc／Info拓扑结构小结
Arc/Info利用拓扑结构在两个简单的坐标要素——弧线 和结点的基础上表示附加的地理信息。也就是说：地理数据 作为X，Y坐标对序列来存储，分别代表点、线、多边形。这 些地理特征之间的关系通过拓扑结构来表达。相关的表格数 据存储在表格中，通过内部标识号连接到地理特征上。
Polygon－arc表
多边形 弧 段
B 4－6－7－10－8
C 3－10－9
D 7－5－2－9
E 1－5－6
Arc坐标表
F 8（一条弧线组成）
弧线
坐标序列
e1
5,3 5,5 8,5
…
…
e6
7,4 6,3 …
…
…
2.Arc/Info多边形与弧线拓扑结构
弧线 e1 … e6 …
Arc坐标表 坐标序列 5,3 5,5 8,5 … 7,4 6,3 … …
1.7 拓扑关系是空间数据处理
1.若地图平面上反映一定意义的零维图形的附近没有其它图形 与之联系，则称这个零维图形为独立点（Point）。如水井
2.若在某个有一定意义的零维图形附近还存在另外有意义的 零维图形与之联系，则称这个零维图形为结点（Node）。
左右多边形表
弧线 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10
左多边形 右多边形
A
E
A
D
A
C
A
B
E
D
B
E
B
D
B
F
D
C
C
B
3.Arc/Info中左右多边形拓扑结构（存储在Arc文件中）
1.6 Arc／Info拓扑结构小结
Arc/Info利用拓扑结构在两个简单的坐标要素——弧线 和结点的基础上表示附加的地理信息。也就是说：地理数据 作为X，Y坐标对序列来存储，分别代表点、线、多边形。这 些地理特征之间的关系通过拓扑结构来表达。相关的表格数 据存储在表格中，通过内部标识号连接到地理特征上。
Polygon－arc表
多边形 弧 段
B 4－6－7－10－8
C 3－10－9
D 7－5－2－9
E 1－5－6
Arc坐标表
F 8（一条弧线组成）
弧线
坐标序列
e1
5,3 5,5 8,5
…
…
e6
7,4 6,3 …
…
…
2.Arc/Info多边形与弧线拓扑结构
弧线 e1 … e6 …
Arc坐标表 坐标序列 5,3 5,5 8,5 … 7,4 6,3 … …
1.7 拓扑关系是空间数据处理
计算机网络拓扑结构公开课学习PPT课件
银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴 蝶结。 嫩绿的 叶子上 有一根 根的叶 茎，叶 子摸起 来软绵 绵的， 非常舒 服。在 初春的 时候， 银杏树 还是光 秃秃的 。冬天 的寒风 使它褪 去了黄 黄的叶 子。 银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴 蝶结。 嫩绿的 叶子上 有一根 根的叶 茎，叶 子摸起 来软绵 绵的， 非常舒 服。在 初春的 时候， 银杏树 还是光 秃秃的 。冬天 的寒风 使它褪 去了黄 黄的叶 子。
经常用到的以太网就是这种结构，
不过以太网早期是以总线型结构
为
主
，
但 是 由 于 银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴蝶结。嫩绿的叶子上有一根根的叶茎，叶子摸起来软绵绵的，非常舒服。在初春的时候，银杏树还是光秃秃的。冬天的寒风使它褪去了黄黄的叶子。
它
容
易
造
成
拥
塞
银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴 蝶结。 嫩绿的 叶子上 有一根 根的叶 茎，叶 子摸起 来软绵 绵的， 非常舒 服。在 初春的 时候， 银杏树 还是光 秃秃的 。冬天 的寒风 使它褪 去了黄 黄的叶 子。
银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴 蝶结。 嫩绿的 叶子上 有一根 根的叶 茎，叶 子摸起 来软绵 绵的， 非常舒 服。在 初春的 时候， 银杏树 还是光 秃秃的 。冬天 的寒风 使它褪 去了黄 黄的叶 子。
请同学们画网络拓扑图， 将五台计算机组成网络。
银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴 蝶结。 嫩绿的 叶子上 有一根 根的叶 茎，叶 子摸起 来软绵 绵的， 非常舒 服。在 初春的 时候， 银杏树 还是光 秃秃的 。冬天 的寒风 使它褪 去了黄 黄的叶 子。 银杏树的叶子是扇形的，颇像一个蝴 蝶结。 嫩绿的 叶子上 有一根 根的叶 茎，叶 子摸起 来软绵 绵的， 非常舒 服。在 初春的 时候， 银杏树 还是光 秃秃的 。冬天 的寒风 使它褪 去了黄 黄的叶 子。
计算机网络拓扑结构公开课内容PPT演示
状
结
构
它生活在沙漠里，不需要水源也可以 生存， 它的形 状像手 掌一样 ，并且 满身长 着细细 的像针 一样的 刺。记 得上次 妈妈刚 买回的 仙人掌 ，不知 道是谁 把它放 在凳子 上了， 我也没 注意一 屁股坐 上去了 疼得我 嗷嗷大 叫。
它生活在沙漠里，不需要水源也可以 生存， 它的形 状像手 掌一样 ，并且 满身长 着细细 的像针 一样的 刺。记 得上次 妈妈刚 买回的 仙人掌 ，不知 道是谁 把它放 在凳子 上了， 我也没 注意一 屁股坐 上去了 疼得我 嗷嗷大 叫。
A．总线型 B．树型 C．环型
D．星型
例题：
例3：所有计算机都连接到一个中心节点上，传输数据时，节点
首先将数据传输到中心节点上，然后由中心节点转发到目的节
点 的 网 络 拓 扑 结 构 是 （C ）
A．总线结构
B．环形结构
C
．
星
型
结
构 D ． 网 它生活在沙漠里，不需要水源也可以生存，它的形状像手掌一样，并且满身长着细细的像针一样的刺。记得上次妈妈刚买回的仙人掌，不知道是谁把它放在凳子上了，我也没注意一屁股坐上去了疼得我嗷嗷大叫。
容
易
造
成
拥
塞
它生活在沙漠里，不需要水源也可以 生存， 它的形 状像手 掌一样 ，并且 满身长 着细细 的像针 一样的 刺。记 得上次 妈妈刚 买回的 仙人掌 ，不知 道是谁 把它放 在凳子 上了， 我也没 注意一 屁股坐 上去了 疼得我 嗷嗷大 叫。 它生活在沙漠里，不需要水源也可以 生存， 它的形 状像手 掌一样 ，并且 满身长 着细细 的像针 一样的 刺。记 得上次 妈妈刚 买回的 仙人掌 ，不知 道是谁 把它放 在凳子 上了， 我也没 注意一 屁股坐 上去了 疼得我 嗷嗷大 叫。
拓扑学课件
莫比乌斯带
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
有趣游戏
图片欣赏
拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
网络应用
图片欣赏
克莱因瓶
趣味游戏
• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
有趣游戏
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拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
网络应用
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克莱因瓶
趣味游戏
• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
拓扑结构1 ppt课件
计算机网络技术教程
----第三章 计算机网络技术基础
知识回顾
计算机网络技术基础
拓扑学
物理实体——点 连接路线——线 研究对象——点、线、面间的关系
计算机网络的拓扑结构
概念：网络节点和通信链路的几何位置关系
2
计算机网络技术基础
常见的拓扑结构类型及其示意图
星形
环形
总线形
网格形
总线型拓扑结构
计算机网络技术基础
2．最容易引起全网故障的网络拓扑结构是（ ） Ａ．星型拓扑结构 Ｂ．环型拓扑结构 Ｃ．总线型拓扑结构 Ｄ．星型总线型拓扑结构 3．最容易处理网络故障的网络拓扑结构是（ ） Ａ．星型拓扑结构 Ｂ．环型拓扑结构 Ｃ．总线型拓扑结构 Ｄ．星型总线型拓扑结构
网络的拓扑结构
计算机网络技术基础
1、总线型拓扑结构
缺点 1、网络扩展配置困难 2、节点故障引起全网故障 3、故障诊断困难 4、拓扑结构影响访问协议
控制方式 Token-Ring
计算机网络技术基础
拓扑结构的选择原则
• 可靠性
• 扩充性
• 费用高低
课堂练习
计算机网构是 （ ） A．星形结构 B、环形结构 C、总线结构 D、树形结构
以中央结点为中心，把若干外围结点连接起来的幅射式
互连结构。
工作站
工作站
服务器
集线器
工作站
工作站
特点：结构简单。建网容易，但可靠性差，中心节 点是网络的瓶颈，一旦出现故障则全网瘫痪。
网络的拓扑结构
计算机网络技术基础
3、 环型拓扑结构 环型拓扑结构将所有网络结点通过点到点通信线
路连接成闭合环路,数据将沿一个方向逐站传送，每个
分类： 单总线结构： 采用单根传输线作为传输介质 双总线结构： 采用多根传输线作为传输介质
----第三章 计算机网络技术基础
知识回顾
计算机网络技术基础
拓扑学
物理实体——点 连接路线——线 研究对象——点、线、面间的关系
计算机网络的拓扑结构
概念：网络节点和通信链路的几何位置关系
2
计算机网络技术基础
常见的拓扑结构类型及其示意图
星形
环形
总线形
网格形
总线型拓扑结构
计算机网络技术基础
2．最容易引起全网故障的网络拓扑结构是（ ） Ａ．星型拓扑结构 Ｂ．环型拓扑结构 Ｃ．总线型拓扑结构 Ｄ．星型总线型拓扑结构 3．最容易处理网络故障的网络拓扑结构是（ ） Ａ．星型拓扑结构 Ｂ．环型拓扑结构 Ｃ．总线型拓扑结构 Ｄ．星型总线型拓扑结构
网络的拓扑结构
计算机网络技术基础
1、总线型拓扑结构
缺点 1、网络扩展配置困难 2、节点故障引起全网故障 3、故障诊断困难 4、拓扑结构影响访问协议
控制方式 Token-Ring
计算机网络技术基础
拓扑结构的选择原则
• 可靠性
• 扩充性
• 费用高低
课堂练习
计算机网构是 （ ） A．星形结构 B、环形结构 C、总线结构 D、树形结构
以中央结点为中心，把若干外围结点连接起来的幅射式
互连结构。
工作站
工作站
服务器
集线器
工作站
工作站
特点：结构简单。建网容易，但可靠性差，中心节 点是网络的瓶颈，一旦出现故障则全网瘫痪。
网络的拓扑结构
计算机网络技术基础
3、 环型拓扑结构 环型拓扑结构将所有网络结点通过点到点通信线
路连接成闭合环路,数据将沿一个方向逐站传送，每个
分类： 单总线结构： 采用单根传输线作为传输介质 双总线结构： 采用多根传输线作为传输介质
一般拓扑学PPT模板
集子集余集并与交关系关系的运算等价关系函数序有序完备集链保序函数的扩张代数概念实数整数用归纳法定义b进展开可数集子集并实数的集基数schroederbernstein定理序数第一不可数序数笛卡儿乘积hausdorff极大值原理极大值原理kuratowskizorn引理选择公理良序原理拓扑与领域拓扑的比较点的领域系闭集聚点闭包kuratowski子内部边界基子基有可数基的拓扑lindelof定理相对化分离性连通集连通区
问题
m连续收敛
otietze扩张定理
q关于banach代数的 平方根引理
n线性赋范空间的共轭 空间
p关于c（x）的线性子 空间的稠密性引理
rstone-weierstrass 定理
第七章函数空间
问题
01
sc（x）的构造
02
t群的紧扩张； 殆周期函数
22
附录初等集论
附录初等 集论
分类公 理图式
集的存 在性
0 2
b关于函数的 收敛的习题
0 5
edini定理
0 3
c在稠密子集 上的点式收敛
0 6
f一种诱导映射 的连续性
第七章函数空 间
问题
1 g一致同等 连续性
h关于一致
2 结构 | 的习题
3 i计值映射 的连续性
jk空间的子
4 空间，乘 积空间和 商空间
5 k拓扑的k 扩张
6 l齐-连续性 的刻划
第七章函数空间
收敛类
03
子网和聚
04
点
序列和子序 列
第二章mooresmith收敛
第二章moore-smith收敛
有向集和网
极限的唯一性，累次极限
第二章moore-smith收敛
问题
m连续收敛
otietze扩张定理
q关于banach代数的 平方根引理
n线性赋范空间的共轭 空间
p关于c（x）的线性子 空间的稠密性引理
rstone-weierstrass 定理
第七章函数空间
问题
01
sc（x）的构造
02
t群的紧扩张； 殆周期函数
22
附录初等集论
附录初等 集论
分类公 理图式
集的存 在性
0 2
b关于函数的 收敛的习题
0 5
edini定理
0 3
c在稠密子集 上的点式收敛
0 6
f一种诱导映射 的连续性
第七章函数空 间
问题
1 g一致同等 连续性
h关于一致
2 结构 | 的习题
3 i计值映射 的连续性
jk空间的子
4 空间，乘 积空间和 商空间
5 k拓扑的k 扩张
6 l齐-连续性 的刻划
第七章函数空间
收敛类
03
子网和聚
04
点
序列和子序 列
第二章mooresmith收敛
第二章moore-smith收敛
有向集和网
极限的唯一性，累次极限
第二章moore-smith收敛
ppt拓扑学起源
拓扑学概貌之连续变换
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
连续变换就是你可以捏、拉一个东西，但不能将其 扯破，也不能把原先不在一起的两个点粘在一起。 比如，对于26个（大写）英文字母，一些拓扑学家 就认为可将其分成3类 ： 类 第一类：A,D,O,P,O,R; 第二类：C,E,F,G,H,l,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z; 第三类： B; 第一类在连续变换下都可以变成 O，第二类则都可 变成 I 。
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
七桥问题之问题的提出与解决
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
问是 否可能 从这四 块陆地 中任一块出发 ，恰好 通过每 是 座桥一次，再回到起点？ 欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为图 的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。他不仅解 决了这个问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件 是它们的奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数 为0或2。
庞加莱猜想之之七个“千禧难题”之一
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会 把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学 难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问 题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定 建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解 决都可获得百万美元的奖励。 另外六个“千年大奖问题”分别是：NP完全问题，霍奇猜 想，黎曼假设，杨-米尔斯理论，纳维-斯托克斯方 程，BSD猜想。 提出这个猜想，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但 没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑 学家们开始了证明它的努力。