高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案文新人教A版选修1-2

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人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_2

课题：综合法与分析法
【教学目标】
1．知识与技能
（1）了解直接证明的两种基本方法之一综合法。

（2）了解综合法得思维过程和特点。

（1）通过对实例的分析，归纳与总结，增强学生的理解思维能力。

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题，解决问题的能力。

3．情感，态度与价值观
通过本节课的学习了解直接证明的基本方法——综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。

【教学重难点】
重点：综合法的思维过程及特点；
难点：综合法的应用。

【学法指导】遵循中学生的心理特征及认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成七个小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐·
【教具准备】多媒体与投影仪
【教学过程】
ABC所在平面.
板书设计
一．导入新课五.应用举例
二．提出问题六.反馈练习
三．概念形成七.课堂小结
四．概念深化八.巩固提升。

人教版高中数学选修1-2 2.2直接证明与间接证明(教案)(共3课时) .doc

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....na a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,abc R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： ① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B为锐角，且tan tan tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.板书设计课题知识点小结例题练习教学反思第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

人教版高中数学选修1-2 教学案：直接证明与间接证明

第1课时综合法和分析法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc ”的证明过程，思考下列问题：①该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题：①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？提示：不是．③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)(2)分析法 ①分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法．②分析法的框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件[问题思考](1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立．这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法．[课前反思](1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？.讲一讲1．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [尝试解答] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2 ≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．练一练1．已知x ＋y ＋z ＝m .求证：x 2＋y 2＋z 2≥m 23.证明：∵x ＋y ＋z ＝m ，∴(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝m 2. 又∵x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，z 2＋x 2≥2xz ， ∴2(x 2＋y 2＋z 2)≥2(xy ＋yz ＋zx )，即x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋zx ，∴m 2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤3(x 2＋y 2＋z 2)． ∴x 2＋y 2＋z 2≥m 23.[思考1] 分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．[思考2] 分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是： “要证……，只需证……，只需证……， …由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．讲一讲2．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[尝试解答] 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a ＞0，故只需证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只需证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．练一练2．当a ≥2时，求证：a ＋1－a <a －1－a －2. 证明：要证a ＋1－a <a －1－a －2，只需证a ＋1＋a －2<a ＋a －1，只需证(a ＋1＋a －2)2<(a ＋a －1)2，只需证a ＋1＋a －2＋2a ＋a －<a ＋a －1＋2a a －，只需证a ＋a －<aa －，只需证(a ＋1)(a －2)<a (a －1)，即证－2<0，而－2<0显然成立，所以a ＋1－a <a －1－a －2成立．讲一讲3．已知a ，b ，c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，求证：a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m .先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明．[尝试解答] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m .只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m ＞0即可．而a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＝ab ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m.因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0，所以(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0.因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2.因为△ABC 中任意两边之和大于第三边，所以a ＋b －c ＞0，所以(a ＋b －c )m 2＞0，所以2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0，所以a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m .对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．练一练3．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明：要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )，由0<x <1知，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由基本不等式得a ＋b 2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．————————————[课堂归纳——感悟提升]———————————1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用综合法解决问题，见讲1； (2)利用分析法解决问题，见讲2； (3)利用分析综合法解决问题，见讲3.3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1 综合法的应用1．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选C 由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cos C ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．2．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B 由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.3．在锐角△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由正弦定理及条件，可得3sin B ＝23sin A sin B . ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin B ≠0.∴3＝23sin A ．∴sin A ＝32. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝cos C ，且B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴B ＝C .又B ＋C ＝2π3，∴A ＝B ＝C ＝π3.从而△ABC 是等边三角形．题组2 分析法的应用 4. 3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( )A ．ab (b －a )>0B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab (b －a )<0 解析：选D3a －3b <3a －b ，⇔(3a －3b )3<(3a －b )3， ⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ， ⇔3ab 2<3a 2b ，⇔ab 2<a 2b ， ⇔ab (b －a )<0.5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0，所以2a ＋1·2b ＋1≤a ＋＋b ＋2＝a ＋b ＋2＝2.即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．题组3 综合法与分析法的综合应用7．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：法一：要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因为a ＋b ＞0，所以只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立．即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab . 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )．所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫ab ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[能力提升综合练]1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数．2．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m ＞n B ．m ＝n C ．m ＜n D ．不能确定解析：选A 由a ＞0，b ＞0，得ab ＞0，所以a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ，所以(a ＋b )2＞(a ＋b )2，所以a ＋b 2＞a ＋b2，所以lga ＋b 2＞lg a ＋b2，即m ＞n ，故选A.3．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝3a －4a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a ＜34B ．a ＜34，且a ≠－1C ．a ＞34或a ＜－1D ．－1＜a ＜34解析：选D ∵f (x )以3为周期， ∴f (2)＝f (－1)．又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)，则f (2)＝f (－1)＝－f (1)．再由f (1)＞1，可得f (2)＜－1，即3a －4a ＋1＜－1，解得－1＜a ＜34.4．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b ＜cd ，则( )A.a b ＜a ＋c b ＋d ＜cd B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜c d C.a b ＜c d ＜a ＋c b ＋dD ．以上均可能解析：选A 先取特殊值检验，∵a b ＜cd ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b ＜a ＋c b ＋d ＜cd .要证a b ＜a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )＜b (a ＋c )，即证ad ＜bc . 只需证a b ＜c d .而a b ＜cd 成立，∴a b ＜a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d ＜c d . 故A 正确．5．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2xy ＝________.解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x y 2－5⎝⎛⎭⎫x y ＋4＝0，所以x y ＝4或x y ＝1. 又x ＞2y ，故x y ＝4，所以log 2xy ＝log 24＝4.答案：46．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________.解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答案：－7257．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(3)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，求证：T n ＜74.解：(1)当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)证明：2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n .①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)．②①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n . 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a nn＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知a nn ＝n ，即a n ＝n 2.∵1a n ＝1n 2＜1nn －＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.8．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，即只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b (中间结果)，由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b2a 关于y 轴对称．所以－b2a －1＝－⎝⎛⎭⎫－b 2a . 于是得a ＝－b (中间结果)．所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．第2课时反证法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 42～P 43的内容，回答下列问题．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？提示：反证法思想． 2．归纳总结，核心必记 (1)反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[问题思考](1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a 、b 、c 都是偶数”的否定是什么？提示：a 、b 、c 不都是偶数．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)反证法的定义是什么？；(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？.讲一讲1．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根．[尝试解答] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤练一练1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数，又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．讲一讲2．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.[尝试解答] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0. 所以－a ＋b2＞－a b ＞14＝12. 同理－b ＋c 2＞12，－c ＋a 2＞12. 三式相加得－a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c ) a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”练一练2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.讲一讲3．已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[尝试解答]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．练一练3．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A 还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．—————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1；(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2；(3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3.3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：选C根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2， S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 又p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr .(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13.答案：136．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋yx 中至少有一个小于2.解：假设1＋x y 与1＋yx 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又∵x >0，y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．所以假设不成立，所以1＋x y 与1＋y x 中至少有一个小于2.题组3 用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D 因为a 、b 、c 都是正数，则有⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6.故三个数中至少有一个不小于2. 4．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，∴不存在n 使得a n ＝b n .5．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交6．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则有a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．设a ，b 是异面直线，在a 上任取两点A 1，A 2，在b 上任取两点B 1，B 2，试证：A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．8．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的非零实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．证明：假设存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0. ∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝⎛⎭⎫k 2，3k 2.这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．所以假设不成立，故不存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_6

2、2、1综合法与分析法教案结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法了解综合法的思考过程、特点；培养学生逻辑推理能力六、教学内容分析：本节课是选修1—2中第二章第一课时，本章是重点，可以和其他知识联系在一起。

学习重点：综合法证明数学问题的方法为主一. 引入合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义二.新知探索1、综合法的定义2、框图表示()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论三、典型例题1、证明不等式教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用不等式证明不等式问题变式训练学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。

设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想)(2:,,,,,1222zx yz xy z c b a y b a c x a c b Rc b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证、已知：例4)11)(( ,, ≥++++∈+c b a c b a R c b a 求证：已知222222c c a a b x x y y z z a b b c c+++++若不等式左边分解成b a证明有关三角问题教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用综合法证明三角问题教师活动：老师分析题目，引导学生找到解题思路学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。

2013-2014学年高二数学教案：第二章 2.2 直接证明与间接证明 5 (新人教A版选修1-2)

§2.2.1 综合法和分析法【教学目标】加强不等式证明的训练，要求学生初步掌握用综合法和分析法证明不等式．【教学重点】综合法和分析法证明不等式．【教学难点】综合法和分析法证明不等式．【教学过程】一、复习引入：1.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性.常见的直接证明方法有综合法与分析法.2.综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维模式。

二、讲解新课：综合法1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法. 分析法1.分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.例题分析例1. 已知：c b a ,,是不全相等的正数,求证: ()()()abc ba c a cbc b a 6222222>+++++证明：综合法 ()abcc b a a bc c b 20,22222≥+∴>≥+Θ 同理：()()abcb ac abcc a b 222222≥+≥+ 因为c b a ,,是不全相等的正数,所以上述三个等号不会同时成立. ()()()abc b a c a c b c b a 6222222>+++++∴ .3)2cot()2tan(4sin 22sin .2=-+=οοοααα，求证已知例证明：综合法 )]2()2sin[(2)]2()2sin[(οοοο--+=-++αααα由已知得73+525273<+()()225273<+2021210<+10212<521<2521<证明:因为和都是正数,所以为了证明只需证明展开得因为成立,所以成立2521<5273<+ )2cos()2sin()2sin()2cos(3οοοο-+=-+αααα展开整理得3)2sin()2cos()2cos()2sin(=-+-+∴οοοοαααα,即3)2cot()2tan(=-+οοαα 小结:（结论）（已知）综合法证题步骤：nP P P P ⇒⇒⇒⇒Λ210.5273.3<+例证明：分析法(略)小结 .21（已知）（结论）分析法证题步骤：nB B B B ⇐⇐⇐⇐Λ.11114c b a c b a abc c b a ++<++=求证：，为互不相等的正数且、、已知例 .222222.ab ac bc c b a ab ac bc c b a ++<++++<++也就是证明立，即证证明：要证原不等式成..2222222222221222所以，原不等式成立相加得；；；所以，为互不相等的正数且、、因为ab ac bc c b a b c ab bc ab a bc a ab ac c abc ac bc abc c b a ++<++=>+=>+=>+=三、课堂练习： .313tan )tan(0cos 5)2cos(8.1=+=++αβαββα求证，已知 .3213.2---<--≥a a a a a ，求证：已知四、课堂小结：综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，常把它们结合起来使用.即当遇到较难的新命题时，应当先用分析法来探求解法，然后将找到的解法用综合法叙述出来.五、作业：（略）。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_16

《教学设计之综合法和分析法》设计背景：基于学生在学习的过程当中也不同程度接触学习了证明题。

一、复习梳理推理的几种形式（归纳、类比、三段论）和提及证明的几种方法。

设计意图：为了让学生形成知识的体系，道出推理的不足，从而引出证明的必要性，并且让他们明了常用的有几种证明方法。

二、直接证明的概念设计意图：直接给出直接证明的概念是因为本节课的重点不是直接证明，而是直接证明的细化：综合法和分析法，因此化简处理。

三、探究综合法首先来一条实例，再综合法的相关内容，最后紧跟着例题和练习题设计意图：实例是为让学生养成在学习的过程要善于观察，勤于思考和懂得总结，也让概念性的新知有一个实例的背景支撑着。

简易化、图示化及幽默化综合法的相关内容，只是让学生不会觉得新知的烦琐与无味。

例题多是为了加强学习对于概念的理解，不断地强化这种证明方法在证明中的运用，并有深刻地体会。

再给一道几何证明练习，我们知道几何证明是高考的必考内容，我们目前所学的内容都是为了那时做好铺垫的，所以现在拿来练习也是不错的。

四、探究分析法首先一道实例，再分析法的相关内容，最后一道例题和一道练习题。

设计背景：实例的目的是让学生由具体到抽象，再到后面具体的习题。

在分析法的相关内容中重点注意分析法的证明格式。

减少例题的数目是因为在证明的过程中用得比较多的证明方法是综合法，而分析法是分析问题的重要方法，它能够锻炼学生分析问题，解决问题的能力，可以为综合法服务。

五：区别综合法和分析法设计意图：既然学习了两种方法，那么就需要区别它们的相同点和不同点，不能混淆。

如果混淆那么那么这节课的学习将会失去了意义，还不如不学。

六：跟踪练习设计意图：强化所学的内容，遵循人的记忆的遗失规律。

人教版高中选修1—2数学2.2直接证明与间接证明教案(3)

导学案：2.2分析法与综合法
教学目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
教学重点、难点：分析法与综合法的应用
知识链接：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为和
2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，
公里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。

而分析法是一种从
追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。

综合法是由导，分析法是执索。

例题讲解：
例1．已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）。

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湖南省蓝山二中2014年高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教
案文新人教A 版选修1-2
教学任务分析：
（1）在以前的学习中，学生已经能应用分析法证明数学命题，但学生对分析法的内涵和特点不一定非常清楚.本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析，再总结这类证法的特点：要证明结论成立，逐步寻求退证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
（2）“逆推证法”或“执果索引法”，是分析法的两种形象说法.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.教学中，应强调分析过程和思考过程，让学生明白为什么要采用分析法，以及运用分析法进行证明的书写格式. 教学重点：
（1）了解分析法的思考过程和特点；（2）运用分析法证明数学问题. 教学难点：对分析法的思考过程和特点的概括.
教学过程
).0,0(≥2
>>+b a ab b a 证明：
分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的成分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做分析法.
例1. . 5273 <+求证：
例2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证AF ⊥SC .
课堂练习
. )()( 00 .131332122y x y x y x +>+>>，求证：，已知：
2. 是否存在常数C ，使得不等式
y
x y y x x C y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数x 、y 恒成立？试证明你的结论. .0 ,0 .3b a b a b a a b b a b b a a ≠≥≥+>+且应满足的条件是、，则实数如果
.82121 210 .4≥-+<<a
a a ，证明已知： .111 .5222也成等差数列，，成等差数列，求证：，，已知b
a a c c
b
c b a +++ .)()( .6222222
d b c a d c b a d c b a +++≥+++均为正数，求证：，，，设课堂小结
分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的成分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做分析法.
课后作业
《习案》作业(十三).。

高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案 文 新人教A版选修1-2

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人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_2