2018考研数学(三)真题及答案解析(无水印版)
2018考研数学三【解析版】【无水印】
= C′(Q) C= ′(Q)Q − C(Q) C= ′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) 0 ，
Q0
Q2
Q0
Q02
即 C′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) = 0 ，选 D.
（5）【答案】A
A 的特征值为 λ=1 λ=2 λ=3 1，而 r(λE − A) = r(E − A) = 2 .
所以 f (1) = 2e
13. 【答案】2.
1 0 0 【解析】 A(α1,α2 ,α3 ) = (α1,α2 ,α3 )1 1 −1 ,
1 1 1
10 0 10 0 则 A = 1 1 −1 = 0 1 −1 = 2 .
11 1 01 1
1
14.【答案】 .
3
【解答】 P( AC A ∪ B) = P[ AC( A ∪ B)] = P[ AC ∪ ABC] = P( AC)
不独立，C 和 D 不成立.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
9.【答案】=y 4x − 3
【解析】由题知：
f ′(x) =2x + 2 x
(x > 0) ，
f
′′( x)
=2
−
2 x2
=2(1 −
1 x2
)
令 f ′′(x) = 0 则 x = 1, x = −1（舍去）
x1 − x2 + x3 =0,
x2 + x3 = 0,
x1
+ ax3 = 0,
1 −1 1 1 0 2
= 系数矩阵 A 1
0
2018考研数学三真题及答案及解析
2018年考研数学三真题及答案解析选择题（4分）1•下列函数中在忑=o处不可导的是()A、/(z) = |z|sin \x\B、/(X)= |d|sill y/\x\C、/(®) = cos \x\D、/(z) = cos \Zjxj【答棊】D2.设函数/（工）在［0：l［上二阶可导»且“ f［x）dx = 0 ,则（）A、当r⑹VO时，腥）coB、当f （工）u 0时，V °C、当作）＞0B寸，f（f） voD、当『@）＞0时，九»＜0【答衰】D2 JI A.3 .设M =号血，N =点寺血，K = f舟1 + 血，则（）A、M> N> KB、M>K> NC、K > M> ND、K a N > M【答棄】C4•设某产品的成本函数C（Q）可导.具中Q为产量，若产量为Qo时平均成本最小，则（）人BQ。
)= 0B、C\(?o) = C(Q Q)C、岀(Qo) = QoC©)D、Q D C'(Q D)=C(Q O)［答秦］Dw.1 0"1 1怕似的为（）0 16设人B为蘇阶走阵，记「(X)为走阵X的秩,(X、7)表示分按矩阵，则()A、r(A,AB) = r(A)B、r(A,BA) = r(A)r(A, 3) = max {『(A), r(B)}D x r(A, B) = r(A T, B Z)【答棄］A27 •设随机遼X的概率空度/（可渎足沖4江）=/（I-X）.且人3 毗= 0.6,则P{X< 0}=（）A x 0.2艮0.3C x 0.4D、0.5【答秦】A8.设Xi,X・2,…，禺⑺> 2）为来言总体N仏,）9 > 0）的简单随机样本°令n I ■2J—~ 2戈土丈（兀一丈）用=侣刀（益一川，则（）1-1 ' 1-1 »t-1A、缙H）〜如）B、C、弓严t（n）D、上卑四〜七5 — 1）【答棄】Bw..V11聖兽>$—$= 5S 豎制12®^p (B )B ft]x曰十A &) I弋(日)==2&弋(曰>日+O (A &)>& — O)HV(O) == 2 ・眉r (l )H ____________【叫糊】B Y 2*、口一7 a2"D 37T ^〔III7Z N III 〔M ^^ *川API =D a十D 2 ・A口2===2十 口3、4占N口一4<s、建14•圈二删弃Ap、Hp£) O七(2) o p(c) o町、星p(【黑】叫川騎甯(10①)15.[11苔料^06、.^®i m i o ka&+ b )e >i<— E ==2、晋十 b【咽也I ^lr 2M世 imTO 十(a古w .1厂F r 04-R T十 Em匸十bejlimT04 ^7^十 凹咨imro十 B ^u r 2 I y、较渝血pH r乓聲、十R「I N 1 H 2 — b 、S jbH1。
2018年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2018年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列函数中，在x=0处不可导的是( )A．f(x)=|x|sin|x|B．C．f(x)=cos|x|D．正确答案：D解析：对D选项，由于f+’(0)≠f-’(0)，因此f(x)在x=0处不可导．2．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )A．当f’(x)＜0时，B．当f”(x)＜0时，C．当f’(x)＞0时,D．当f”(x)＞0时，正确答案：D解析：对于A选项：．此时f’(x)=一1＜0，但对于B、D选项：，由∫01f(x)dx=0，可得当f”(x)=2a＜0时，=b＞0；当f”(x)=2a＞0时，对于C选项：取f(x)=此时f’(x)=1＞0，但故D选项正确．3．设则( )A．M＞N＞KB．M＞K＞NC．K＞M＞ND．K＞N＞M正确答案：C解析：由于而由定积分的性质，可知即K＞M＞N．故C选项正确．4．设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )A．C’(Q0)=0B．C’(Q0)=C(Q0)C．C’(Q0)=Q0C(Q0)D．Q0C’(Q0)=C(Q0)正确答案：D解析：平均成本函数其取最小值时，则导数为零，即从而C’(Q0)Q0—C(Q0)=0，即C’(Q0)Q0=C(Q0)．5．下列矩阵中，与矩阵相似的为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E一A～E一B，且r(E—A)=r(E一B)．设题中所给矩阵为A，各选项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E—B2)=r(E一B3)=r(E—B4)=1．因此A～B1，即A相似于A选项下的矩阵．6．设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )A．r(A，AB)=r(A)B．r(A，BA)=r(A)C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D．r(A，B)=r(AT，BT)正确答案：A解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系．①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7．设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1—x)，∫02f(x)dx=0．6，则P{X＜0}=( )A．0．2B．0．3C．0．4D．0．6正确答案：A解析：由于f(1+x)=f(1一x)，可知f(x)图像关于x=1对称．而∫02f(x)dx=0.6，可得8．已知X1，X2，…Xn(n≥2)为来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：解这道题，首先知道t分布的定义．假设X服从标准正态分布N(0，1)，Y服从χ2(n)分布，则的分布称为自由度为n的t分布，记为Z～t(n)．填空题9．曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_______．正确答案：y=4x一3解析：首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．求一阶、二阶导，可得f’(x)=令y”=0，得x=1．当x＞1时f”(x)＞0；当x＜1时f”(x)＜0．因此(1，1)为曲线的拐点．点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=4．因此切线方程为y一1=4(x一1)，即y=4x一3．10．正确答案：解析：本题考查分部积分法。
2018年考研数学三真题及答案解析(完整版)
(C) f x cos x
(D) f x cos x
【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（A） x0 x
x0 x
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（B） x0
x
x0 x
cos lim
x
1
lim
1 2
t 0
t 0
2= lim (1 bt)et 1 lim et 1 lim btet 1 b,
t 0
t
t t 0
t t 0
从而b 1.
综上，a 1,b 1.
(16)(本题满分 10 分)
设平面区域D由曲线y 3 1 x2 与直线y 3x及y轴围成, 计算二重积分 x2dxdy.
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ ）
(A) f x x sin x
(B) f x x sin x
x
x
x 0时，可得f (x) 2xf (x) f (x) 2xf (x) 0.
由公式得：f (x) Ce(2x)dx =Cex2 , f (0) 2 C 2. 故f (x)=2ex2 f (1) 2e.
(13) 设A为3阶矩阵, a1, a2, a3是线性无关的向量组,若Aa1 a1 a2, Aa2 a2 a3, Aa3 a1 a3,
2018年考研数学三试题与答案解析(完整版)
M 2 (1
2
2x ) dx 22 1dx 1 x2
x - , 时， 1 cos x 1, 所以K M 2 2 令f ( x) 1 x e x , f (0) 0, f ( x) 1 e x 当x 0, 时，f ( x ) 0; 当x , 0 时，f ( x ) 0 2 2 1 x 所以x - , 时，有f ( x ) 0，从可有 x 1，由比较定理得N<M, 故选C e 2 2
B. f ( x ) x sin( D. f ( x ) cos(
x) x)
f - 0 lim
x 0
x sin x x x sin x x
lim
x 0
x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x
0 2
B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
【解析】特殊值法：由已知可将 f ( x ) 看成随机变量 X N 1, 布的对称性， P X 0 0.2
2
的概率密度，根据正态分
1 n Xi ， n i 1
Born to win
2018 年考研数学三试题与答案解析（完整版)
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． 1. 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ A. f ( x ) x sin( x ) C. f x cos( x ) 【答案】D 【解析】 A 可导： ） 。
2018考研数学三参考答案
√
1 n ( Xi − µ ) 2 n i∑ =1
( ) ) ) ) ) √ ( √ ( √ ( √ ( n X−µ n X−µ n X−µ n X−µ ∼ t (n) D. ∼ t ( n − 1) A. ∼ t (n) B. ∼ t (n − 1) C. ∗ S S S S∗ ( ) √ ( ) n ( ) ( )2 n X−µ σ2 1 【解析】首先 X ∼ N µ, σ2 ⇒ X ∼ N µ, ⇒ ∼ N (0, 1). 而样本方差 S2 = Xi − X 满足的 ∑ n σ n − 1 i =1 √ ( ) √ n( X −µ) n X−µ ( n − 1) 2 2 σ √ 分布为 S ∼ χ (n − 1), 根据 t 分布的定义知 ∼ t (n − 1), 选 B. = ( n −1) 2 σ2 S S
P { X < 0} =
∫ 1
f ( x )d x =
−∞
f ( x )d x −
f ( x )dx = 0.5 − 0.3 = 0.2
选 A. ( ) 8. 设 X1 , X2 , · · · , Xn (n ⩾ 2) 为来自总体 X ∼ N µ, σ2 (σ > 0) 的简单随机样本, 令 1 n X = ∑ Xi , S = n i =1 则 √
∫
10.
1 − e2x dx = . √ sin t du, 原积分化为 【解析】令 arcsin 1 − e2x = t, 则 ex = cost, dx = − cos t ex arcsin
√
−
∫
t cos t
sin t dt = − cos t
2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018年考研数学三真题与答案解析
B. r( A BA) r( A).
C. r( A B) max{r( A)，r(B)}.
D. r( A B) r( AT BT ).
【答案】（A）
【解析】 r(E, B) n r( A, AB) r[ A(E, B)] r( A)
故选（A）
7.设 f (x) 为某分布的概率密度函数，f (1 x) f (1 x) ， 2 f xdx 0.6 ，则 P{X 0} 0
B. M K N D. K N M
【答案】C
【解析】
cos x dx, 则
M
2 2
(1
2x 1 x2
)dx
2
1dx
2
x
-
2
,
2
时，1
cos x 1, 所以K M
令f (x) 1 x e x, f (0) 0, f (x) 1 e x
当x
0,
2
时，f
(
x)
0;
0
【答案】D 【解析】
D.
当
f x
0 时，
f
1 2
0
Born to win
A 错误：
f
x
x
1 2
,
1 0
f
x dx
1 0
x
1 2
dx
0,
f
x 1 0, f
1 2
0
B 错误：
f
x
x2
1 , 1
30
f
xdx
1 0
x
2
1 3
dx
0,
f
x
2
0,
f
1 2
1 4
1 3
数3--18真题答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分． （1）【答案】D.【解答】选项A 和C ，函数sin sin x x x x =，cos cos x x =，可导；B 选项，00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==，可导； 对于D选项，由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−；112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠，所以不可导. 故选D. （2）【答案】D.【解答】由条件可知对函数()f x 在12x =点处二阶泰勒展开可得， 2111()1()()()()()2222!2f f x f f x x ξ'''=+−+−，其中ξ在x 与12之间，则11200111()1()d [()()()()]d 2222!2f f x x f f x x x ξ'''=+−+−⎰⎰1201()1()()d 022!2f f x x ξ''=+−=⎰，其中积分110011()d d 022x x x x −=−=⎰⎰.所以当()0f x ''>时，积分120()1()d 02!2f x x ξ''−>⎰，从而1()02f <； 当()0f x ''<，有1()02f >，选项B 错误； 取11(),()0,()022f x x f x f '=−+<=，选项A 错误；取11(),()0,()022f x x f x f '=−>=，选项C 错误. 故选D.（3）【答案】C. 【解答】因为，πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰，11cos x + 所以，K M >. 设()e 1x f x x =−−，则()e 1xf x '=−，所以当0x <时，()0f x '<，()f x单调递减；当0x 时，()0f x '，()f x 单调递增，故(0)0f =是其最小值，即11e xx +. 所以M N >，即N M K <<，故选C. （4）【答案】D.【解答】平均成本函数()()C Q C Q Q=，则2()()()C Q Q C Q C Q Q '−'=. 由题设产量为0Q 时平均成本最小，所以0()C Q '=00020()()0C Q Q C Q Q '−=，即000()()C Q Q C Q '=. 故选D. （5）【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M ， 所以特征值为1231λλλ===，且()()2r r λ−=−=E M E M ；对于A 选项：记矩阵为A ，解得特征值均为1，且()()2r r λ−=−=E A E A ； 同理对于B 、C 、D 选项：分别记矩阵为,,B C D ，计算可得其特征值均为1，而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似，则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似，故秩相等. 由此可以排除选项B ，C ，D ，故选A. （6）【答案】A.【解答】选项A ，易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法，可知()()=A AB A E B ，因此()min{(),()}r r r A AB A E B ，从而 ()()r r A AB A ， 所以 ()()r r =A AB A ， 则选项A 正确. B 选项，令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()1,()2r r ==A A BA ；C 选项，令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()()1,()2r r r ===A B A B ；D 选项，令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则T T()1,()2r r ==A B A B ；故选A. （7）【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−，所以()f x 的图像关于1x =对称，因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰，所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=，从而{0}0.2P X =，故选A. （8）【答案】B.【解答】根据单个正态总体的分布的性质可知2222(1)~(,),~(0,1),~(1)X n S X N N n nσμχσ−−，且X 与2S~()X t n，即)~(1)X t n S μ−−. 故选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． （9）【答案】43y x =−.【解答】由题可知，2222,2y x y x x−'''=+=+. 令2220y x−''=+=，解得1x =.所以曲线的拐点为(1,1). 又(1)4y '=即为切线斜率，所以切线方程为，43y x =−.所以拐点为(1,1)，斜率()14k y '==，切线方程为43y x =−.（10）【答案】e xC .【解答】e arcsin arcsin x xx =⎰⎰2e 2e )d xxx x =−2e x x x =21e arcsin e )2x x=−−e arcsin x C =+.（11）【答案】25x x y C =⋅−.【解答】2121121()()()2x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y ++++++∆=∆∆=∆−∆=−−−=−+，所以原方程可化为 2125x x y y ++−=.易知，对应齐次方程2120x x y y ++−=的通解为2x x y C =⋅.设原方程的特解为*x y A =，代入原方程中得5A =−. 所以原方程的通解为25x x y C =⋅−.（12）【答案】2e .【解答】由()()2()()(0)f x x f x xf x x o x x +∆−=∆+∆∆→，可得()()2()()f x x f x xf x o x x+∆−=+∆∆.等式两边取极限可得微分方程()2()f x xf x '=，解得2()e x f x C =，再由(0)2f =得=2C ，所以 2()2e x f x =， 所以 (1)2e f =. （13）【答案】2.【解答】由题得123123123200(,,)(,,)(,,)111121⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭A A A =A ααααααααα.因为123(,,)ααα可逆，所以矩阵A 与矩阵200111121⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，故特征值相同. 而 2200111(2)[(1)2]0121λλλλλλ−−=−−=−−+=−−−E B ， 所以A 的实特征值为2. （14）【答案】31. 【解答】由,,A B C 相互独立可得，()()(),()()()P AB P A P B P AC P A P C ==.而，(())(()())(|)()()()()P AC A B P ACA ACB P AC AB P A B P A P B P AB ==+− ()()()()()P AC P A P B P A P B =+−，又因为1()()()2P A P B P C ===，所以 (|)P AC A B =11122111132222⋅=+−⋅. 三、解答题：15～23小题，共94分.（15）【解】111+++lim [()e ]lim (e 1)lim e xxxx x x ax b x x a b →∞→∞→∞+−=−+1+lim (e 1)xx x a b →∞=−+，因为极限存在，所以1+lim (e 1)0xx a →∞−=，即1a =.而，11++e 1lim (e 1)lim121xxx x x a b b b x→∞→∞−−+=+=+=，所以1b =.综上可得1a =，1b =.（16）【解】积分区域如右图阴影部分所示， 且曲线与直线的交点为3(22. 则，223(1)2203d d d x xDx x y x x y −=⎰⎰⎰22203(1)d x x x x =−−222303(1d d )xx x x x =−−，其中，22240sin 1d sin cos d(sin )x txx xt t t π=−⋅⎰2440011sin 2d (1cos 4)d 48t t t t ππ==−⎰⎰ 401sin 4()8432t t ππ=−=， 2242301d 416x x x ==， 所以2π13(π2)d d 3()321632Dx x y −=−=⎰⎰. （17）【解】设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数222222133π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 构造拉格朗日函数2223(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−，对参数求导并令导函数为零，则0,20,20,1620.xyzLLzLL x y zλλπλλ'=+=⎪⎪⎪'==⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x=y=，z=此时面积和有最小值为2)S=.（18）【解】根据函数的幂级数展开有2200(1)(1)cos2(2)4(2)!(2)!n nn n nn nx x xn n∞∞==−−==∑∑，11201011()[()](1)(1)(1)(1)1n n n n nn n nx nx n xx x∞∞∞−+===''−==−=−=−+++∑∑∑，所以，2110000(1)4(1)(1)[(1)(1)](2)!nn n n n n n nn nn n n nx a x n x a n xn∞∞∞∞++====−=−−+=−−+∑∑∑∑.因为左边缺奇数项，因此n为奇数时，1(1)(1)0nna n+−−+=，即1na n=+；此时，1212222000[(1)(1)][(1)(21)][(21)]n n n n n n n nn n na n x a n x a n x∞∞∞++===−−+=−−+=++∑∑∑，即22(1)(1)(21)4,4(21)(2)!(2)!n nn nn na n a nn n−−++==−+，综上可得21,1,3,5,;(1)21,0,2,4,.!nnnn nan nn+=⎧⎪=⎨−⎪−−=⎩（19）【证】设()e1,0xf x x x=−−>，则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>，从而 221e 1,0x x x =>>.猜想0n x >，现用数学归纳法证明:1n =时，10x >，成立；假设(1,2,)n k k ==时，有0k x >，则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>；因此0n x >，有下界. 再证单调性，1e 1e 1ln ln e ln en n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−，0x >时，()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<，所以()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即有e 1e xxx −<，因此1e 1ln ln10en nx n n x n x x x +−−=<=， 即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=，则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =，所以0A =，即lim 0n n x →∞=.（20）【解】（Ⅰ）由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，所以，当2a ≠时，()3r =A ，方程组有唯一解，1230x x x ===.当2a =时，()2r =A ，方程组有无穷解，21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. （Ⅱ）当2a ≠时，令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换，此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时，2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+， 此时规范形为2212y y +.（21）【解】（Ⅰ）由题设条件可知矩阵A 与B 等价，则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ，所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ，因此 2a =.（Ⅱ）设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，对增广矩阵作初等变换可得， 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ，解得，11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆，因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P ， 即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ，其中123,,k k k 为任意常数，且23k k ≠.（22）【解】（Ⅰ）因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=， 所以，2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为，Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===，所以，()E Y λ=.因为，2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−，且X 与Y 相互独立， 所以，(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. （Ⅱ）利用全概率公式有，{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−，再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时，{0}{0}e P Z P Y λ−====；当k 为正整数时，1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅；当k 为负整数时，1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述，有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩（23）【解】（Ⅰ）似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏， 取对数： 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑，求导： 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑，解得 1nii xnσ==∑，所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.（Ⅱ） 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰；2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。
2018考研数学三试题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()sin f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x →→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx x→→--==可导；（D）000122limlim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。
(2)()[]()10,10,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时(B)1()0,()02f x f ''<<当时(C)1()0,()02f x f '><当时(D)1()0,(02f x f ''><当时【答案】（D ）【解析】2111()11()()()()(,2222!22f f x f f x x x ξξ'''=+-+-介于，之间，故1111220000120111()11()10=()()(()((2222!222!2()11()0()0,()0..2!22f f f x dx f f x dx x dx f x dxf f x x dx f D ξξξ'''''=+-+-=+-''''>⇒-><⎰⎰⎰⎰⎰由于所以，应选(3)设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xxxxx e x N dx dx Mee πππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ-->==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。