2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《几何变换问题》(含答案)
中考数学压轴题分类试题(2020江苏版)专题06 几何综合探究变化型问题
中考数学压轴题分类试题（2020江苏版）专题06 几何综合探究变化型问题【真题再现】1．（2019年宿迁中考第28题）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．2．（2019年连云港中考第27题）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C 重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=52，请直接写出FH的长．3．（2019年无锡中考副卷第28题）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．4．（2019年盐城中考第25题）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．5．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．6．（2019年南京中考第26题）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【专项突破】【题组一】1．（2020•海门市校级模拟）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；（2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB＝4，BP＝a，若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值．2．（2019秋•青龙县期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是．3．（2019秋•张家港市期末）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．4．（2020•兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．（1）求证：PM＝PN；（2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．【题组二】5．（2019秋•娄星区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是三角形；（2）若∠BAC＜60°．①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．6．（2019秋•东海县期末）已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC′的长度．7．（2019秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25，点D为斜边AB上动点．（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；（2）如图2，当AD＝AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．8．（2019秋•泰兴市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E 是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）若点E在线段CB上．①求证：AF＝CE．②连接EF，试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由．（2）当EB＝3时，求EF的长．【题组三】9．（2019秋•镇江期末）△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，点D、E分别在AB、AC上，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案）（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连结BD、CE，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（3）如图3，点D、E都在△ABC外部，连结BD、CE、CD、EB，BD与CE相交于H点．已知AB＝4，AD＝2，设CD2＝x，EB2＝y，求y与x之间的函数关系式．10．（2019秋•射阳县期末）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝°，若△AMN的周长为9，则BC＝．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．11．（2019秋•溧水区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE 与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．12．（2019•邗江区校级一模）阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.4，AC＝3.6，求BC得长．小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形（2）求BC的长为多少？（3）参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD=4√3，BC=3√3，求AD的长．【题组四】13．（2019•鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？探究思考：几位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三角形．（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：①图一中AD的长度图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）②等边三角形ADE经过图形变化．AD可以更小．请描述图形变化的过程．（2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由．（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长．经验运用：（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值．14．（2019•南京二模）【概念提出】如图①，若正△DEF的三个顶点分别在正△ABC的边AB、BC、AC上，则我们称△DEF是正△ABC的内接正三角形．（1）求证：△ADF≌△BED；【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图②，正△ABC的边长为a，作正△ABC的内接正△DEF，使△DEF的边长最短，并说明理由；（3）如图③，作正△ABC的内接正△DEF，使FD⊥AB．15．（2020•河南一模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB 的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．16．（2019•亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4，求PB的长．小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到△ABD ；由等边三角形的性质，可证△ACP ≌△ABD ，得PC ＝BD ；由已知∠APC ＝150°，可知∠PDB 的大小，进而可求得PB 的长． （1）请回答：在图1中，∠PDB ＝ °，PB ＝ ． 【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在△ABC 内，且P A ＝1，PB =√17，PC ＝2√2，求AB 的长． 【灵活运用】（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝α，且tan α=43，点P 在△ABC 外，且PB ＝3，PC ＝1，直接写出P A 长的最大值．【题组五】17．（2019秋•海安市期末）（1）如图①，小明同学作出△ABC 两条角平分线AD ，BE 得到交点I ，就指出若连接CI ，则CI 平分∠ACB ，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，Rt △ABC 中，AC ＝5，AC ＝12，AB ＝13，△ABC 的角平分线CD 上有一点I ，设点I 到边AB 的距离为d ．（d 为正实数）小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：d 的最大值为6013．小何发现：当d ＝2时，连接AI ，则AI 平分∠BAC ． 请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由．18．（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD ＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．19．（2019秋•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB＝AC．（1）求点B的坐标；（2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A 匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）；①若△OME的面积为2，求t的值；②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M 的坐标；若不能，请说明理由．20．（2019秋•崇川区期末）已知△ABC 中，AB ＝AC ．（1）如图1，在△ADE 中，AD ＝AE ，连接BD 、CE ，若∠DAE ＝∠BAC ，求证：BD ＝CD ；（2）如图2，在△ADE 中，AD ＝AE ，连接BE 、CE ，若∠DAE ＝∠BAC ＝60°，CE ⊥AD 于点F ，AE ＝4，AC =√7，求BE 的长；（3）如图3，在△BCD 中，∠CBD ＝∠CDB ＝45°，连接AD ，若∠CAB ＝45°，求AD AB的值．【题组六】21．（2018秋•崇川区校级期末）如图，锐角△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作△ADE ，使AE ＝AD ，∠EAD ＝∠BAC ．（1）过点E 作EF ∥DC 交AB 于点F ，连接CF （如图1）， ①请直接写出∠EAB 与∠DAC 的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若∠BAC ＝60°，过点C 作CF ∥DE 交AB 于点F ，连接EF （如图2），那么（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．22．（2019秋•淮阴区期末）A ，B ，C ，D 是长方形纸片的四个顶点，点E 、F 、H 分别是边AB 、BC 、AD 上的三点，连结EF 、FH ．（1）将长方形纸片ABCD 按图①所示的方式折叠，FE 、FH 为折痕，点B 、C 、D 折叠后的对应点分别为B '、C '、D '，点B '在FC '上，则∠EFH 的度数为 ；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为．23．（2019秋•丹阳市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN=12AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当ANAB=35且AMAC=67时，求CP的长．24．（2020春•鼓楼区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF ＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．。
2020年江苏中考数学填空压轴题专题(含解析)
2020年江苏中考数学填空压轴题专题一．填空题1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为cm2．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为cm．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为．21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE 沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．三．解答题39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==2，∴AP=4，∴m2+（2m）2=（4）2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=×2=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P （3，﹣2）．故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．【解答】解：如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．故答案为：3＜x＜7．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为和．【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB==6，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD与△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，∵EM平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′=，∴，解得：x=，∴EM=PM=；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM=，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．故答案为：和．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为或或．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，∴BQ=BD=，QM=﹣2=，∴∠3=90°﹣∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，∴PN=，∴AP=+=；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，∴CP=，∴AP=3﹣=；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，∴AP=．故答案为或或．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′E2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=．故答案为：．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM===10，①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=，∴BN=BC﹣NC=1﹣=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（）2=，所以，A′N==．故答案为：．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD、APEF是正方形，∴A、E、C共线，①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，∴AE=AC﹣EC=1，∴AP=AE=．∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．故答案为﹣1或．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60度，阴影部分的面积为．【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D==，=×CD×DB′=×1×=，∴S△CDB′S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4﹣2、2或2．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵DC=AB=2，∴DH=2．在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH==2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣2、2或2．故答案为：4﹣2、2或2．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为2或cm2．【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2，如图2，等腰三角形的高为：=，则其面积为：×2×=．故答案为：2或．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=或1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则PP'=a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴CP'==，∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，AP=CP'=，当a=2时，AP=CP'=1，故答案为：或1．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或4．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF，所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′F，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF的长度是或4．故答案为：或4．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′P，∴FP=B′P，∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=5，∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴B′C==4，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′=．故答案为：．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2﹣2．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，∴AB=2，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，∵∠B=45°，∴A′C⊥AB，∴BH=BC=，DH=A′D=x，∴x+=2，∴x=2﹣2，∴AD=2﹣2；②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，∵∠A′DC=∠ACD，∴∠A′DC=∠A′CD，∴A′D=A′C，∴AD=AC=2，综上所述：AD的长为：2或2﹣2．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A2014（2014，2016）．故答案为：（2014，2016）．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为2πcm．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=3cm，设⊙I的半径为x，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，故3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，故⊙I的周长为2πcm．故答案为：2π．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为或﹣1．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=；②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=﹣1；故答案为：或﹣121．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6﹣π．【解答】解：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S 扇形AEF ==π，S △ABC =AD•BC=×2×6=6，∴S 阴影部分=S △ABC ﹣S 扇形AEF =6﹣π．故答案为：6﹣π．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=4，点E 是边BC 上一动点，把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，射线DF 交直线CB 于点P ，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长为 或 ．【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6，∴AD ＜DF ，故分两种情况：①如图所示，当FA=FD 时，过F 作GH ⊥AD 与G ，交BC 于H ，则HG ⊥BC ，DG=AD=2，∴Rt△DFG中，GF==4，∴FH=6﹣4，∵DG∥PH，∴△DGF∽△PHF，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=；②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16；Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36；联立两式，解得FG=，∴FH=6﹣，∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH，∴△DFG∽△PFH，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=，故答案为：或．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD==5，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=cos∠ODC===．故答案为：．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为或．【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为或．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，∴∠DCD′=∠ABD′，在△DD′C和△AD′B中，，∴△DD′C≌△AD′B，∴DD′=AD′，∴DD′=AD′=AD，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=AE，设DE=x，则AE=2x，（2x）2﹣x2=42，解得：x=，即DE=．②：当CD'=CB时，如图，连接AC，由于AD'=4，CD'=4，而AC==＞4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，从而由勾股定理求得D'F===，又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，∴，即；解得x=综上，故答案为：或．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．③当BD=AB=2时，E（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或．【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，设AN=x，则CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案为：7或．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为2或1．【解答】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故答案为：2或1．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是2．【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）．将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣得：x=﹣2．即G的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．故答案为：2．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为或．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴FN==，∴CN=CF+NF=+=；②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴NF==，∴CN=NF﹣CF=﹣=，综上所述，CN的长为或．故答案为：或．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE 交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为≤CF≤3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x=，∴≤CF≤3．故答案为≤CF≤3．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2 ，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2 ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC=，=××2 =，∴S△CEF故答案为．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，。
2020年中考数学5.几何综合选择填空压轴题(含解析)
几何综合-填空选择压轴题51、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为__4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为____ .p5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AE L BD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AH L CD交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)EF.其中正确结论的个数为（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 26 已知O 0的半径为10cm AB CD是O O的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是cm513 13 13 7 77、如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .8、如图，？ABCD 勺对角线相交于点 0,且A 》CD 过点0作OM L AC,交AD 于点 M.如果△ CDM 勺周长为8,那么？ABCD 勺周长是 _____ .9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sin a - COS a =( ) A 13 B10、如图，P是厶ABC的内心，连接PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积分别为S、S、S.则Si ____ S2+S3.（填“v” 或“二”或“〉”）11、如图，△ ABC中, AB=AC AD L BC 于D点，DEL AB 于点E, BF 丄AC 于点F,DE=3cryi 则BF= ______ cm12、如图，已知半圆O与四边形ABCD勺边AD AB BC都相切，切点分别为DE、C,半径OC=1 则AE?BE=_.13、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，冋该直角二角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____________ 步.14、如图，以AB为直径的。
专题2-7 图形几何变换填空题专题-决胜2020年中考最难压轴题大挑战(解析版)
决胜2020年中考最难压轴题大挑战模块二填空题篇专题2-7 图形的几何变换点睛导航1．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．2．轴对称-最短路线问题（1）最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．（2）凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．4．坐标与图形变化-平移在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）挑战突破1．（2020•双流模拟）如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC＝6cm，∠ACB＝90°，∠B＝30°，则△ADC的周长是18cm．【点睛】根据折叠前后角相等可证△ADC是等边三角形求解．【解析】解：根据折叠前后角相等可知，∠B＝∠DCB＝30°，∠ADC＝∠ACD＝60°，∴AC＝AD＝DC＝6，∴ADC的周长是18cm．2．（2020•黄冈模拟）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，OP n（n为正整数），则点P6的坐标是（0，﹣64）；△P5OP6的面积是512√2．【点睛】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心原点，旋转方向逆时针，旋转角度．【解析】解：过P 5作P 5N ⊥轴于N ，P 5M ⊥y 轴于M ，∵线段OP 0按逆时针方向每次旋转45°，∴旋转6次是45°×6＝270°，∴P 6在y 轴的负半轴，OP 5＝25，OP 6＝26，由勾股定理得：ON ＝P 5N ＝16√2=P 5M ，∴P 5（﹣16√2，﹣16√2），P 6（0，﹣64），∴△P 5OP 6的面积是12OP 6×P 5M =12×64×16√2=512√2． 3．（2020•仁寿县校级模拟）如图将△ABC 沿x 轴的正方向平移4单位得到△A ′B ′O ′，再绕O ′点按顺时针旋转90°得到△A ″B ″O ″，若A 的坐标为（﹣2，3），B 点坐标为（﹣3，0）；①在图中画△A′B′O′和△A″B″O″；②直接写出A′和A″点的坐标；③△ABO的顶点A在变换过程中所经过的路径长为多少？【点睛】①根据网格结构找出平移与旋转变换后的对应点的位置，然后顺次连接即可；②根据平面直角坐标系写出点A′和A″的坐标即可；③根据勾股定理列式求出O′A′的长度，再根据弧长公式求出A′旋转的路径长，然后加上平移的距离即可得解．【解析】解：①△A′B′O′和△A″B″O″如图所示；②A′（2，3）、A″（7，2）；③根据勾股定理，O′A′=√22+32=√13，所以，弧A′A″的长度=90⋅π⋅√13180=√132π，又∵△ABC沿x轴的正方向平移4单位得到△A′B′O′，∴点A在变换过程中所经过的路径长＝4+√132π．4．（2020•宜宾模拟）（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，P A＝1，PB＝2，PC=√5，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P´外，则sin∠PCP′的值是√55（不取近似值）．【点睛】根据题意，旋转角度为60°．易证明△APP′是等边三角形，PP′＝1；由CP′＝BP＝2，PC=√5可证明△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．根据三角函数的定义求解．【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°．根据旋转的性质，有∠P AP′＝60°，AP′＝AP＝1，CP′＝BP＝2．∴△APP′是等边三角形，PP′＝1．在△PCP′中，PC=√5，PP′＝1，CP′＝2．∴PC2＝P′P2+P′C2．∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．∴sin∠PCP′=5=√55．5．（2020•海淀区模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE＝4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是192cm2．【点睛】由题意知，△AEH，△DHG，△CGF，△EFB是全等三角形，所以EH＝HG＝FG＝EF，即四边形EFGH 为菱形，四边形EFGH的周长是40cm，可知边长为10，根据勾股定理可求得AH和AE，即AD和AB的值就可求出，从而求矩形面积．【解析】解：在△AHE和△DHG中，∵AH＝DH=12AD，∠A＝∠D＝90°，AE＝DG=12AB，∴△AHE≌△DHG，∴EH＝GH，同理EH＝GH＝GF＝EF，即四边形EFGH为菱形．又∵四边形EFGH的周长是40cm，∴EH＝10．∵AH：AE＝4：3，设AH＝4x，则AE＝3x．由勾股定理得，EH2＝AE2+AH2，∴x＝2，AH＝8，AE＝6，∴矩形ABCD的面积＝16×12＝192（cm2）．勾股定理，有一定难度．6．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为81088．【点睛】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解析】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088，故答案为81088．7．（2020•碑林区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，∠DAC＝30°，AC＝2，设Q，R 分别是AB、AD上的动点，则△CQR的周长最小值是√2+√6．【点睛】根据轴对称性分别作点C关于AD和AB的对称点E、F，连接EF交AB和AD于点Q和R，进而求得△CQR的最小周长．【解析】解：如图所示：分别作点C关于AB、AD的对称点E、F，连接EF与AB、AD交于点Q、R，此时△CQR的周长最小．根据对称性得：CR＝ER，CQ＝FQ，∴CR+CQ+QR＝ER+FQ+QR＝EF，∴△CQR的周长即为EF的长．在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AC＝2，∴CD＝1，∵∠ABC＝90°，AB＝BC∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴BC＝AC•sin45°=√2∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CBD＝∠CAD＝30°，在△CBD中，作CH⊥DB于H，BD＝DH+BH＝1×cos45°+√2cos30°=√22+√62=√2+√62．∵CD＝DE，CB＝BF，∴EF＝2BD=√2+√6．故答案为√2+√6．8．（2020•崇川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系内，点A 、点B 的坐标分别为A （﹣7，0），B （5，0），现将线段AB 向上平移9个单位，得到对应线段DC ，连接AD 、BC 、AC ，若AC ＝15，动点E 从C 点出发，以每秒3个单位的速度沿C →D →C 作匀速移动，点F 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿B →A →B 作匀速运动，点G 从点A 出发沿AC 向点C 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t 秒．在移动过程中，若△CEG 与△AFG 全等，则此时的移动时间t 的值为 127或277或367．【点睛】根据三角形的全等、平移，分情况讨论进行计算即可求解．【解析】解：设G 点移动距离为y ，当△CEG 与△AFG 全等时有：∠F AG ＝∠ECGCE ＝AF ，CG ＝AG ，或CE ＝AG ，CG ＝AF当F 由B 到A ，即0＜t ≤3时，则有{3t =12−4t y =15−y 解得{t =127y =152或{3t =y12−4t =15−y 解得{t =−3y =−9（舍去）当F 由A 到B 时，即3＜t ≤4（E 由C 到D ）时，有{3t =4t −12y =15−y 解得{t =12y =152（舍去）或{3t =y 4t −12=15−y 解得{t =277y =817当4＜t ≤6（E 由D 到C ）时，12﹣（3t ﹣12）＝4t ﹣12，解得t =367．所以移动时间t 的值为127或277或367．故答案为127或277或367．9．（2020•新都区模拟）如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为 2√5−√2 ．【点睛】连接AF ，CF ，AC ，根据长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1，可得AC ＝2√5，AF =√2，再根据CF ≥AC ﹣AF ，可得当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小．【解析】解：如图，连接AF ，CF ，AC ，∵长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1，∴AC ＝2√5，AF =√2，∵AF +CF ≥AC ，∴CF ≥AC ﹣AF ，∴当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为2√5−√2，故答案为：2√5−√2．10．（2020•北碚区校级模拟）正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点．连接BE ，在BE 上找一点F ，连接AF ，将AF 绕点A 顺时针旋转90°到AG ，点F 与点G 对应．AG 、BD 延长线交于点H ．若AB ＝4，当F 、E 、G 三点共线时，求S △BFH ＝ 125 ．【点睛】连接DG ，过H 作HP ⊥BG ，交BG 的延长线于P ，判定△ABF ≌△ADG ，得出BF ＝DG ，∠AFB ＝∠AGD ，根据12×BE ×DG =12×DE ×AB ，即可得到DG =45√5，BG =√BD 2−DG 2=125√5，再设PH ＝x ，则PG ＝x ，根据DG ∥PH ，可得△BDG ∽△BHP ，根据BG BP =DG PH ，可得方程，即可得到PH =65√5，最后根据S △BFH =12BF ×PH 进行计算即可．【解析】解：如图所示，连接DG ，过H 作HP ⊥BG ，交BG 的延长线于P ，AF 绕点A 顺时针旋转90°到AG ，则AF ＝AG ，∠F AG ＝90°，即△AFG 是等腰直角三角形，又∵AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠BAF ＝∠DAG ，∴△ABF ≌△ADG ，∴BF ＝DG ，∠AFB ＝∠AGD ，∵Rt △ABE 中，AB ＝4，AE ＝2，∴BE ＝2√5，∵∠AFG ＝∠AGF ＝45°，∴∠AFB ＝135°＝∠AGD ，∴∠DGE ＝135°﹣45°＝90°，即DG ⊥BE ，∵12×BE ×DG =12×DE ×AB ，∴DG =AB×DE BE=45√5， ∴Rt △BDG 中，BG =√BD 2−DG 2=125√5， ∵∠HGP ＝∠AGF ＝45°，∠P ＝90°，∴△GPH 为等腰直角三角形，设PH ＝x ，则PG ＝x ，∵DG ∥PH ，∴△BDG ∽△BHP ，∴BG BP =DG PH ，即125√5125√5+x =45√5x ，解得x =65√5，∴PH =65√5，又∵BF ＝DG =45√5， ∴S △BFH =12BF ×PH =12×45√5×65√5=125．故答案为：125．11．（2020•南岗区校级模拟）如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，tan ∠A =12，D 是AC 中点，∠ABD ＝∠FBD ，BC ＝6，CF∥AB，则DF＝2√2．【点睛】根据已知条件证明∠EBC＝∠A，再根据锐角三角函数和勾股定理即可求解．【解析】解：如图：过点F作FG⊥AC于点G，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴GF∥BC．∵tan∠A=BCAC=12，D是AC中点，∴BC＝CD＝AD，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABD+∠A＝45°，∠FBD+∠FBC＝45°，∵∠ABD＝∠FBD，∴∠FBC＝∠A，∴tan∠EBC＝tan∠A=1 2，即在Rt△CBE中，tan∠EBC=CEBC=12，∴CE6=12，∴CE＝3．根据勾股定理，得BE=√CB2+CE2=√62+32=3√5．∵CF∥AB，∴EFBE=CEAE，即3√5=39，∴EF=√5．∵GF∥BC．∴FGBC=EFBE=GEEC=13，∴FG6=13=GE3，∴FG＝2，EG＝1．∴DG＝DE﹣EG＝3﹣1＝2．∴Rt△FGE中，根据勾股定理，得DF=√DG2+FG2=√22+22=2√2．故答案为2√2．12．（2020•香坊区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点K，若EC＝10，tan∠AED=12，则AK＝√5．【点睛】过点K作KM⊥EC，过点D作DH⊥AC，设KM＝m，∠BAE＝∠α，由边角关系推导出tCM＝2m，KC=√5m；再证明DH是△ABC的中位线，得到AB＝AC=4√53m，在Rt△AEC中，利用勾股定理求得m＝3，进而得到AK=4√53m﹣KC=4√53m−√5m=√5；【解析】解：过点K作KM⊥EC，过D作DN∥AC，设KM＝m，∠BED＝∠α∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC＝∠B+∠α，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠ECA＝∠AED，∵tanα=1 2，∴CM＝2m，KC=√5m，∵DN∥AC，D是BC的中点，∴ND=12AC，∠EAC＝∠END，EC＝ED，∴△EAC≌△DNE（AAS），∴AE＝ND，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴ND=12AB＝AN＝BN，∴4AK＝AC，∴AK=√53m，∴K是ED的中点，∴EK＝5，在Rt△EKM中，EM＝10﹣2m，KM＝m，∴52＝m2+（10﹣2m）2，∴m＝3或m＝5（舍）∴AK=√5；故答案为√5；13．（2020•新泰市模拟）如图，是由几个小立方体所搭成的几何体从上方看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，已知小立方体边长为1，求这个几何体的表面积．（列式子表示计算过程）【点睛】由已知条件画出主视图和左视图，表面积根据三视图分类计算，进而求出表面积即可．【解析】解：主视图和左视图如图所示：上下表面：5×2＝10，左右表面：5×2＝10，前后表面：7×2＝14，整个几何体的表面积是10+10+14+2＝36．故这个几何体的表面积是36．14．（2020•合肥校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有5个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．【点睛】根据轴对称图形的性质，可先确定对称轴，不同的对称轴有不同的对称图形，找出这样的5个．【解析】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形如图：共5个．15．（2020•内江模拟）如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是10．【点睛】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO 交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．【解析】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1，由{y=−x+7y=x−1解得{x=4y=3，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″=√82+62=10．故答案为10．16．（2020•青羊区模拟）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（2，2），C为y轴上一点，连接PC，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y ＝x 交于点A ，连接CD ，直线CD 与直线y ＝x 交于点Q ，当△OPC ≌△ADP 时，则C 点的坐标是 （0，4+2√2） ，Q 点的坐标是 （2√2+2，2√2+2） ．【点睛】过P 点作x 轴的平行线交y 轴于M ，交AB 于N ，如图，设C （0，t ），OP ＝2√2，OM ＝BN ＝PM ＝2，CM ＝t ﹣2，利用旋转性质得PC ＝PD ，∠CPD ＝90°，再证明△PCM ≌△DPN 得到PN ＝CM ＝t ﹣2，DN ＝PM ＝2，于是得到D （t ，4），接着利用△OPC ≌△ADP 得到AD ＝OP ＝2√2，则A （t ，4+2√2），于是利用y ＝x 图象上点的坐标特征得到t ＝4+2√2，所以C （0，4+2√2），D （4+2√2，4），接下来利用待定系数求出直线CD的解析式为y ＝（1−√2）x +4+2√2，则通过解方程组{y =x y =(1−√2)x +4+2√2可得Q 点坐标． 【解析】解：过P 点作x 轴的平行线交y 轴于M ，交AB 于N ，如图，设C （0，t ），∴P （2，2），∴OP ＝2√2，OM ＝BN ＝PM ＝2，CM ＝t ﹣2，∵线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，∴PC ＝PD ，∠CPD ＝90°，∴∠CPM +∠DPN ＝90°，而∠CPM +∠PCM ＝90°，∴∠PCM ＝∠DPN ，在△PCM 和△DPN 中{∠PMC =∠DNP ∠PCM =∠DPN PC =DP，∴△PCM ≌△DPN ，∴PN ＝CM ＝t ﹣2，DN ＝PM ＝2，∴MN ＝t ﹣2+2＝t ，DB ＝2+2＝4，∴D （t ，4），∵△OPC ≌△ADP ，∴AD ＝OP ＝2√2，∴A （t ，4+2√2），把A （t ，4+2√2）代入y ＝x 得t ＝4+2√2，∴C （0，4+2√2），D （4+2√2，4），设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，4+2√2），D （4+2√2，4）代入得{b =4+2√2(4+2√2)k +b =4，解得{k =1−√2b =4+2√2，∴直线CD 的解析式为y ＝（1−√2）x +4+2√2，解方程组{y =xy =(1−√2)x +4+2√2得{x =2√2+2y =2√2+2，∴Q （2√2+2，2√2+2）．故答案为（0，4+2√2），（2√2+2，2√2+2）．17．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 120 cm 3．【点睛】根据题意，该几何体是由两个大小不同的长方体所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解析】解：根据图中三视图可得出其体积＝上下两个长方体的体积和＝4×1×5+4×5×5＝120cm3．21。
2020年部编人教版江苏省各市中考数学分类精析专题4图形的变换
专题4：图形的变换江苏泰州锦元数学工作室编辑一、选择题1. （2020年江苏常州2分）如图所示圆柱的左视图是【】2. （2020年江苏常州2分）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为【】A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b3. （2020年江苏连云港3分）将一包卷卫生纸按如图所示的方式摆在水平桌面上，则它的俯视图是【】4. （2020年江苏南京2分）如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm。
圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是【】(A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含5. （2020年江苏南京2分）如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是【】6. （2020年江苏南通3分）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为【】A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm7. （2020年江苏宿迁3分）如图是由六个棱长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是【】A．3 B．4 C．5 D．6故选C。
8. （2020年江苏泰州3分）由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是【】9. 2020年江苏无锡3分）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是【】A．30cm2 B．30πcm2 C．15cm2 D．15πcm210. （2020年江苏盐城3分）下面的几何体中，主视图不是．．矩形的是【】11. （2020年江苏扬州3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是【】A．三棱柱 B．圆柱 C．正方体 D．三棱锥二、填空题1. （2020年江苏连云港3分）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度．按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为▲ 秒．2. （2020年江苏南京2分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α (0︒<α<90︒)。
专题12 图形的变换(解析版)
2020年江苏中考数学试题汇编——图形的变换一．选择题（共7小题）1．（2020•无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆B．等腰三角形C．平行四边形D．菱形【解答】A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、菱形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°【解答】∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故选：C．3．（2020•扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）=12（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；故选：C．5．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．6．（2020•盐城）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】A．此图形不是中心对称图形，不符合题意；B．此图形是中心对称图形，符合题意；C．此图形不是中心对称图形，不符合题意；D．此图形不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．7．（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cos B 的值等于（）A ．25B ．12C ．35D ．710【解答】∵AM ∥BN ，PQ ∥AB ， ∴四边形ABQP 是平行四边形， ∴AP ＝BQ ＝x ，由图②可得当x ＝9时，y ＝2， 此时点Q 在点D 下方，且BQ ＝x ＝9时，y ＝2，如图①所示， ∴BD ＝BQ ﹣QD ＝x ﹣y ＝7，∵将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上， ∴BC ＝CD =12BD =72，AC ⊥BD ，∴cos B =BC AB =725=710，故选：D ．二．填空题（共2小题）8．（2020•盐城）如图，已知点A （5，2）、B （5，4）、C （8，1）．直线l ⊥x 轴，垂足为点M （m ，0）．其中m ＜52，若△A ′B ′C ′与△ABC 关于直线l 对称，且△A ′B ′C ′有两个顶点在函数y =k x （k ≠0）的图象上，则k 的值为 ﹣6或﹣4 ．【解答】∵点A （5，2）、B （5，4）、C （8，1），直线l ⊥x 轴，垂足为点M （m ，0）．其中m ＜52，△A ′B ′C ′与△ABC 关于直线l 对称， ∴A ′（2m ﹣5，2），B ′（2m ﹣5，4），C ′（2m ﹣8，1）， ∵A ′、B ′的横坐标相同，∴在函数y =kx（k ≠0）的图象上的两点为，A ′、C ′或B ′、C ′，当A ′、C ′在函数y =kx （k ≠0）的图象上时，则k ＝2（2m ﹣5）＝2m ﹣8，解得m ＝1， ∴k ＝﹣6；当B ′、C ′在函数y =k x （k ≠0）的图象上时，则k ＝4（2m ﹣5）＝2m ﹣8，解得m ＝2， ∴k ＝﹣4，综上，k 的值为﹣6或﹣4， 故答案为﹣6或﹣4．9．（2020•镇江）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于72．【解答】取AC 的中点M ，A 1B 1的中点N ，连接PM ，MQ ，NQ ，PN ， ∵将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1， ∴B 1C 1＝BC ＝3，PN ＝5，∵点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点， ∴NQ =12B 1C 1=32， ∴5−32≤PQ ≤5+32， 即72≤PQ ≤132， ∴PQ 的最小值等于72， 故答案为：72．三．解答题（共6小题）10．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，∴CA＝CA'，∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，∵A'B＜A'C'+C'B，∴AC+BC＜AC'+C'B；（2）如图③，在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB ，（其中点D 是正方形的顶点）； 如图④，在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD +DE ̂+EB ，（其中CD ，BE 都与圆相切） 11．（2020•徐州）如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ． （1）求证：AE ＝BD ； （2）求∠AFD 的度数．【解答】（1）∵AC ⊥BC ，DC ⊥EC ， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BCD ， 在△ACE 和△BCD 中， {AC =BC∠ACE =∠BCD CE =CD， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE ＝BD ；（2）设BC 与AE 交于点N ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A +∠ANC ＝90°， ∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠A ＝∠B ， ∵∠ANC ＝∠BNF ，∴∠B +∠BNF ＝∠A +∠ANC ＝90°， ∴∠AFD ＝∠B +∠BNF ＝90°．12．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB=AB AC，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 （10√5−10） cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】（1）∵点B 为线段AC 的黄金分割点，AC ＝20cm ， ∴AB =√5−12×20＝（10√5−10）cm ．故答案为：（10√5−10）． （2）延长EA ，CG 交于点M ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴DM ∥BC ， ∴∠EMC ＝∠BCG ，由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ， ∴∠EMC ＝∠ECM ， ∴EM ＝EC ， ∵DE ＝10，DC ＝20，∴EC =√DE 2+DC 2=√102+202=10√5， ∴EM ＝10√5， ∴DM ＝10√5+10，∴tan ∠DMC =DC DH =10√5+10=√5+1=√5−12． ∴tan ∠BCG =√5−12，即BG BC=√5−12， ∵AB ＝BC ，∴BGAB =√5−12， ∴G 是AB 的黄金分割点； （3）当BP ＝BC 时，满足题意． 理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠ABE +∠CBF ＝90°， 又∵∠BCF +∠BFC ＝90°， ∴∠BCF ＝∠ABE ， ∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴BF ＝AE ， ∵AD ∥CP ， ∴△AEF ∽△BPF ， ∴AE BP=AF BF，当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时， ∵AE ＞DE ， ∴AF BF=BF AB，∵BF ＝AE ，AB ＝BC ， ∴AF BF =BF AB =AE BC，∴AE BP=AE BC，∴BP ＝BC ．13．（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是1；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为π12；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【解答】（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠ACF＝30°，∴FC平分∠ACE又FD⊥AC,FE⊥CE，∴FD＝FE＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC=√3EF=√3，EH=√32，CH=√3EH=32，在Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=√1+x2，∴OH＝CH﹣OC=32−√1+x2，在Rt△EOH中，则有x2＝（√32）2+（32−√1+x2）2，解得x=√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC=√1+(√73)2=43，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2−43=23．14．（2020•淮安）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为AM＝BM；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值；[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．【解答】（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ，∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC BA =BM BC ， ∴610=BM6， ∴BM =185，∴AM ＝AB ﹣BM ＝10−185=325，∴AMBM =325185=169．（3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC AB =BM BC =CM AC ∴69=BM 6，∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴69=5AC ，∴AC =152．②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PF A ′＝∠MFC ，P A ＝P A ′，∴△PF A ′∽△MFC ，∴PFFM =PA′CM ，∵CM ＝5，∴PFFM =PA′5，∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC =154，AB ′=152−6=32，∴32≤P A ′≤154， ∴310≤PFFM ≤34． 15．（2020•南通）矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12．将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．（1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求APDE 的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【解答】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴POPM =CDPD=812=23，∴APDE =2PO2PM=23．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EG PH =PG DH =EP PD =412=13， ∴PH ＝3EG ＝3x ，DH ＝AG ＝4+x ， 在Rt △PHD 中，∵PH 2+DH 2＝PD 2， ∴（3x ）2+（4+x ）2＝122， 解得x =165（负值已经舍弃）， ∴BG ＝4−165=45， 在Rt △EGP 中，GP =√EP 2−EG 2=125，∵GH ∥BC ，∴△EGP ∽△EBF ，∴EG EB =GP BF ， ∴1654=125BF， ∴BF ＝3．。
2020年江苏中考数学考前压轴题冲刺练习(含参考答案解析)
2020年江苏中考数学考前压轴题冲刺练习一、选择题（共6题）1．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+1 D．y＝x+2．如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD 交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（）A．S1+S2＝CP2B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝3．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD 绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．B．C．﹣1 D．2﹣5．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°6．如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，AQ＝OA＝1，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR．则线段OR的最大值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题（共6题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是（只填序号）．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P 是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．第3题第4题4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．5．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为．第5题第6题6．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题（共6题）1．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx与x轴交于点A（10，0），点B （1，2）是抛物线上点，点M为射线OB上点（不含O，B两点），且MH⊥x轴于点H．（1）求直线OB及抛物线解析式；（2）如图1，过点M作MC∥x轴，且与抛物线交于C，D两点（D位于C左边），若MC＝MH，点Q为直线BC上方的抛物线上点，求△BCQ面积的最大值，并求出此时点Q的坐标；（3）如图2，过点B作BE∥x轴，且与抛物线交于E，在线段OA上有点P，在点H从左向右运动时始终有AP＝2OH，过点P作PN⊥x轴，且PN与直线OB交于点N，当M 与N重合时停止运动，试判断在此运动过程中△MNE与△BME能否全等，若能请求出全等时的HP长度，若不能请说明理由．3．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s 的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．4．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接P A，点P在运动过程中，P A﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．6．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14；求出CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有7＝×（3﹣）×（+1），即可求k；【解答】解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），∴AC＝7，DO＝3，∴四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14，可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，∴直线CD与该直线的交点为（，），直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（，0），∴7＝×（3﹣）×（+1），∴k＝或k＝0（舍去），∴k＝，∴直线解析式为y＝x+；故选：D．【点评】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．2．【分析】根据勾股定理可判断A；连接CF，作FG⊥EC于G，易证得△FGC是等腰直角三角形，设EG＝x，则FG＝2x，利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG＝2x，CF＝2x，EC＝3x，BC＝x，FD＝x，即可证得3FD＝AD，可判断B；根据平行线分线段成比例定理可判断C；求得cos∠HCD可判断D．【解答】解：∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，∴S1＝CD2，S2＝PD2，在Rt△PCD中，PC2＝CD2+PD2，∴S1+S2＝CP2，故A结论正确；连接CF，∵点H与B关于CE对称，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，∴△BCE≌△HCE（SAS），∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，∴∠ECH+∠FCH＝∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴＝＝，∴FG＝2EG，设EG＝x，则FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2x，∴EC＝3x，∵EB2+BC2＝EC2，∴BC2＝9x2，∴BC2＝x2，∴BC＝x，在Rt△FDC中，FD＝＝＝x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴＝，∵PD＝ND，AE＝CD，∴CD＝4PD，故C结论正确；∵EG＝x，FG＝2x，∴EF＝x，∵FH＝FD＝x，∵BC＝x，∴AE＝x，作HQ⊥AD于Q，HS⊥CD于S，∴HQ∥AB，∴＝，即＝，∴HQ＝x，∴CS＝CD﹣HQ＝x﹣x＝x∴cos∠HCD＝＝＝，故结论D错误，故选：D．3．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．4．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣故选：D．5．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．6．【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2，由直角三角形的性质可得EO＝RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP ＝3，即可求解．【解答】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2∴EO＝RO，∵EO≤PO+EP＝3∴RO≤3∴OR的最大值＝故选：A．二、填空题1．【分析】连接CD．证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB；在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED＝DF，故①正确；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②错误，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正确，∵AE＝CF，AC＝BC，∴EC＝BF，∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，∵EF2＝2DE2，∴AE2+BF2＝2ED2，故④正确．故答案为①③④．2．【分析】方法1、过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论；方法2、先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．【解答】方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴，∴＝×PE∵＝＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故答案为3．方法2、解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG 都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，∴B′H＝OE＝2.5，∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故答案为：4．4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，5．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，∵CG＝DG，CF＝FB，∴GF＝BD＝，∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°，∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，∴＝，∴＝，∴b2＝2a2，∵a＞0．b＞0，∴b＝a，在Rt△GCF中，3a2＝，∴a＝，∴AB＝2b＝2．故答案为2．6．【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC 为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．三、解答题1．【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．2．【分析】（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，可求y＝﹣x2+x，直线OB的解析式为y＝2x；（2）设M（m，2m），由已知可求C（3m，2m），将点C代入抛物线解析式可得m＝，即可求BC的直线解析为y＝x+，设Q（n，﹣n2+n），过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），QT＝|n2﹣8n+7|，当QT最大时，则△BCQ的面积最大；（3）函数对称轴x＝5，E（9，2），设P（t，0），则依次可求N（t，2t），H（5﹣t，0），M（5﹣t，10﹣t），BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，此时△BEN是等腰三角形，M是BN的中点，BN⊥ME，t+1＝10﹣t，，此时不成立；当BE＝MN，BM＝EN时，t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，由于△＜0，t不存在．【解答】解：（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x，直线OB的解析式为y＝2x；（2）设M（m，2m），∵MC＝MH，∴C（3m，2m），∴2m＝﹣×9m2+×3m，∴m＝，∴C（7，），M（，），∴BC的直线解析为y＝x+，设Q（n，﹣n2+n），∴过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），∴QT＝|n2﹣8n+7|，∴当n＝4时，△BCQ面积的最大值，∴Q（4，）；（3）函数对称轴x＝5，∴E（9，2），设P（t，0），∴N（t，2t），∵AP＝2OH，∴H（5﹣t，0），∴M（5﹣t，10﹣t），∴BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，此时△BEN是等腰三角形，M是BN的中点，BN⊥ME，∴t+1＝10﹣t，，∴t＝，t＝，∴此时不成立；当BE＝MN，BM＝EN时，t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，∴△＜0，∴t不存在；综上所述：在此运动过程中△MNE与△BME不能全等．3．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B＝BC、A′B＝A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形AP A′D为平行四边形，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC，∵AP＝5x，∴A′P＝AD＝4x，PC＝4﹣5x，∵∠A′PD＝∠ADP，∴A′P∥AB，∴△A′PC∽△ABC，∴，即＝，解得：x＝，∴当点A′落在边BC上时，x＝；（2）当A′B＝BC时，（5﹣8x）2+（3x）2＝32，解得：．∵x≤，∴；当A′B＝A′C时，x＝．（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，∴DH＝P A'＝AD，HE＝B′Q＝EB，∵AB＝2AD+2EB＝2×4x+2×3x＝5，∴x＝，∴A′B′＝QE﹣PD＝x＝；Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，∴B′E＝5x，DE＝5﹣7x，∴cos B＝，∴x＝，∴A′B′＝B′D﹣A′D＝；Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，由（1）有，x＝，∴A′B′＝P A′sin A＝；当A′B′⊥AB时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥BC时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥AC时，x＝，A′B′＝．4．【分析】（1）①由∠ABO＝90°和DB⊥PB可得∠DBA＝∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB＝90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB＝90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长，③由△ADB∽△OPB可知，可求AD＝，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案．（2）在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，构造△BOP～△POB′，可得＝P A﹣PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值．【解答】解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP～△POB′，∴，∴＝P A﹣PB′≤AB'，∴∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，P A﹣有最大值为，5．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设CD＝k，BC＝2k，根据勾股定理得到BD＝＝k＝10，求得＝2，BC＝AC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠F AC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．6．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．。
江苏省无锡地区精编数学中考选择填空压轴题专题8几何变换问题
专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝6，AC ＝6 3 ， ∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6，∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″，∴四边形B ″C ″CB ′是矩形，∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ，∴△AB ″B ′∽△ABC ，∴AB ′AC ＝B ″B ′BC， 即：63－663＝B ″B ′6 ， 解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ）A ．是一个确定的值B ．有两个不同的值C ．有三个不同的值D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7．综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12×4×4＝8， 将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8， 所以S 1＝S 2 ．选B ．同类题型1.3同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ）A ． 2 ：1B ．2：1C ． 5 ：2D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°，又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°，∴∠ABP ＝∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32P ′A ， 连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ，∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32x ， 根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52 x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52 x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度，∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度，∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°－60°＝60°，∴DC平分∠BDA；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BA C．④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE＋A D．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB＋B A．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN＋∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM＋∠DCN＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°，∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ，又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ，又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD 是等腰直角三角形，∴△OMN ∽△OAD ，故③正确；∵AB ＝BC ，CM ＝BN ，∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2 ，∴AN 2＋CM 2＝MN 2 ，故④正确；∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2 ＋x ， ∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12， 此时S △OMN 的最小值是1-12=12，故⑤正确； 综上所述，正确结论的个数是5个，选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ，∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ，∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4 ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4， ∴直线AB 解析式为y ＝－43 x ＋4，∴直线OD 解析式为y ＝34 x ，联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x，解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ），∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225）， 设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4， 解得：m ＝－724，n ＝4， 则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4． 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2 ＝4， ∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ， ∵BA BC ＝BG BE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ，∴CE AG ＝BC AB ＝35， 解得，CE ＝3105， ∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°，∴△BCM ∽△BGC ，∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125， ∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35， ∴EN ＝CE 2－CN 2＝95， ∴FN ＝EF －EN ＝5－95＝165， ∴tan α﹒tan β＝CN EN ﹒CN FN ＝3595×35165＝116． 同类题型2.5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．解：如图连接P C ．在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝4，∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12A ′B ′＝2， ∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤PC ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM ⊥BC 于M ，设HM ＝a ，则CM ＝HM ＝a ．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12，在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ， ∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ，∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE ＝PC ，设PC ＝x ，则PE ＝x ，PD ＝4－x ，EQ ＝4－x ，∴PD ＝EQ ，∵∠DPE ＝∠EQF ＝90°，∠PED ＝∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF ，∴DE ＝EF ，∵DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，易证明△DEC ≌△BEC ，∴DE ＝BE ，∴EF ＝BE ，∵EQ ⊥FB ，∴FQ ＝BQ ＝12 BF ，∵AB ＝4，F 是AB 的中点，∴BF ＝2，∴FQ ＝BQ ＝PE ＝1，∴CE ＝ 2 ，PD ＝4－1＝3，Rt △DAF 中，DF ＝42＋22＝2 5 ，DE ＝EF ＝10 ，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG ＝DC AF ＝DG FG ＝42 ＝2，∴CG ＝2AG ，DG ＝2FG ，∴FG ＝13×25＝253 ，∵AC ＝42＋42＝4 2 ，∴CG ＝23×42＝823 ，∴EG ＝823－2＝523， 连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE ＝45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH ＝FH ＝2532＝103 ， ∴EH ＝EF －FH ＝10－103＝2103， 由折叠得：GM ⊥EF ，MH ＝GH ＝103 ， ∴∠EHM ＝∠DEF ＝90°，∴DE ∥HM ，∴△DEN ∽△MNH ，∴DE MH ＝EN NH ， ∴10103＝EN NH ＝3，∴EN ＝3NH ，∵EN ＋NH ═EH ＝2103 ， ∴EN ＝102， ∴NH ＝EH －EN ＝2103－102＝106 ， Rt △GNH 中，GN ＝GH 2＋NH 2＝(103)2＋(106)2＝526， 由折叠得：MN ＝GN ，EM ＝EG ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法二：如图3，过G 作GK ⊥AD 于K ，作GR ⊥AB 于R ，∵AC 平分∠DAB ，∴GK ＝GR ，∴S △ADG S △AGF ＝12AD ﹒KG 12AF ﹒GR ＝AD AF ＝42 ＝2， ∵S △ADG S △AGF ＝12DG ﹒h12GF ﹒h ＝2， ∴DG GF＝2， 同理，S △DNF S △MNF ＝DF FM ＝DN MN ＝3， 其它解法同解法一，可得：∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法三：如图4，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP∴NI EP ＝FI FP∴y 3＝2－y 1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝562 ， ∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°，所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°，∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1，∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52 ，∵12﹒BC ﹒AH ＝12 ﹒AB ﹒AC ，∴AH ＝125 ，∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形， ∵12﹒AD ﹒BO ＝12 ﹒BD ﹒AH ，∴OB ＝125 ，∴BE ＝2OB ＝245 ，在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75 ．。
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专题: 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE 的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12 AB ＝6，AC ＝6 3 ， ∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6，∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″，∴四边形B ″C ″CB ′是矩形，∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ，∴△AB ″B ′∽△ABC ，∴AB ′AC ＝B ″B ′BC， 即：63－663＝B ″B ′6 ， 解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ）A ．是一个确定的值B ．有两个不同的值C ．有三个不同的值D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7．综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12 ×4×4＝8， 将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8， 所以S 1＝S 2 ．选B ．同类题型1.3同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ）A ． 2 ：1B ．2：1C ． 5 ：2D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°，又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°，∴∠ABP ＝∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32 P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ，∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32 x ， 根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52 x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52 x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度，∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度，∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝60°，∴△CDE 为等边三角形，∴∠E ＝60°，∴∠BDC ＝∠E ＝60°，∴∠CDA ＝120°－60°＝60°，∴DC 平分∠BDA ；③∵∠BAC ＝60°，∠E ＝60°，∴∠E ＝∠BA C ．④由旋转可知AE ＝BD ，又∵∠DAE ＝180°，∴DE ＝AE ＋A D ．∵△CDE 为等边三角形，∴DC ＝DB ＋B A ．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2 ；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解：∵正方形ABCD 中，CD ＝BC ，∠BCD ＝90°，∴∠BCN ＋∠DCN ＝90°，又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM ＋∠DCN ＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°，∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ，又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ，又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD 是等腰直角三角形，∴△OMN ∽△OAD ，故③正确；∵AB ＝BC ，CM ＝BN ，∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2 ，∴AN 2＋CM 2＝MN 2 ，故④正确；∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2 ＋x ， ∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12，此时S △OMN 的最小值是1-12=12 ，故⑤正确； 综上所述，正确结论的个数是5个，选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ，∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ，∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4 ， ∴直线AB 解析式为y ＝－43x ＋4， ∴直线OD 解析式为y ＝34x ， 联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x ， 解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ）， ∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225）， 设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4， 解得：m ＝－724，n ＝4， 则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4． 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2 ＝4，∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ，∵BA BC ＝BG BE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ，∴CE AG ＝BC AB ＝35 ， 解得，CE ＝3105， ∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°，∴△BCM ∽△BGC ，∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125， ∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35，∴EN＝CE2－CN2＝95，∴FN＝EF－EN＝5－95＝165，∴tanα﹒tanβ＝CNEN﹒CNFN＝3595×35165＝116．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．解：如图连接P C．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝12A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF ＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12， 在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ，∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ，∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE ＝PC ，设PC ＝x ，则PE ＝x ，PD ＝4－x ，EQ ＝4－x ，∴PD ＝EQ ，∵∠DPE ＝∠EQF ＝90°，∠PED ＝∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF ，∴DE ＝EF ，∵DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，易证明△DEC ≌△BEC ，∴DE ＝BE ，∴EF ＝BE ，∵EQ ⊥FB ，∴FQ ＝BQ ＝12BF ， ∵AB ＝4，F 是AB 的中点，∴BF ＝2， ∴FQ ＝BQ ＝PE ＝1，∴CE ＝ 2 ，PD ＝4－1＝3，Rt △DAF 中，DF ＝42＋22＝2 5 ，DE ＝EF ＝10 ，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG ＝DC AF ＝DG FG ＝42 ＝2， ∴CG ＝2AG ，DG ＝2FG ，∴FG ＝13×25＝253， ∵AC ＝42＋42＝4 2 ，∴CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， 连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE ＝45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH ＝FH ＝2532＝103 ， ∴EH ＝EF －FH ＝10－103＝2103 ，由折叠得：GM ⊥EF ，MH ＝GH ＝103 ， ∴∠EHM ＝∠DEF ＝90°， ∴DE∥HM ，∴△DEN ∽△MNH ， ∴DE MH ＝EN NH， ∴10103＝EN NH ＝3， ∴EN ＝3NH ，∵EN ＋NH ═EH ＝2103 ， ∴EN ＝102， ∴NH ＝EH －EN ＝2103－102＝106， Rt △GNH 中，GN ＝GH 2＋NH 2＝(103)2＋(106)2＝526， 由折叠得：MN ＝GN ，EM ＝EG ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法二：如图3，过G 作GK ⊥AD 于K ，作GR ⊥AB 于R ，∵AC 平分∠DAB ，∴GK ＝GR ，∴S △ADG S △AGF ＝12AD ﹒KG 12AF ﹒GR ＝AD AF ＝42 ＝2， ∵S △ADG S △AGF ＝12DG ﹒h12GF ﹒h ＝2， ∴DG GF＝2， 同理，S △DNF S △MNF ＝DF FM ＝DN MN ＝3， 其它解法同解法一，可得：∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法三：如图4，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP ∴NI EP ＝FI FP ∴y 3＝2－y1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝56 2 ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°，所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°，∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1， ∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75 ．。