高二数学开学考(含答案)

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福建省泉州市部分地区2024-2025学年高二上学期开学联考试题数学含答案

2024-2025学年福建省泉州市部分地区高二上学期开学考试数学试卷（答案在最后）【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.复数2023i 12iz =-在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a ,b 满足3a =,5a b ⋅=- ,则()2a b a -⋅= ()A.-1B.2C.15D.193.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为()A.6.8B.6.9C.7D.7.24.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是()A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥C.若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD.若m α⊥，m n ⊥，则//n α5.为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党,知史爱国的热情,某校举办了“学党史,育文化的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为()A.a 的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分C.估计这组数据的第85百分位数为85分D.估计成绩低于60分的有250人6.在ABC △中,2AE EB = ,12AF FC =,M ,N 为线段BC 上（不包含端点）不同的两个动点.若(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R,则2λμ+=()A.3B.4C.6D.77.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件A =“出现的点数为奇数”,B =“出现的点数不大于3”,事件C =“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是()A.A 与B 互为对立事件 B.()()()P A B P A P B =+ C.()23P C =D.()()P A P C =8.在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,123AA =O 为BC 的中点,M ,N 分别为线段11B C ,AM 上的动点,且MN MOMO MA=,则线段MN 的长度的取值范围为()A.31513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.)15,4⎡⎣C.115,47⎡⎢⎣⎦D.1513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.9.已知圆22:(1)(2)25C x y ++-=,直线()():311420l m x m y m +++--=,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则()A.直线l 恒过定点()1,1B.当15m =时,AB 最长C.当35m =-时,弦AB 最短D.最短弦长AB =10.已知向量(,1)x =a ，(4,2)=b ，则下列结论正确的是()A.若//a b ，则2x =B.若⊥a b ，则12x =C.若3x =，则向量a 与向量b 的夹角的余弦值为10D.若1x =-，则向量b 在向量a 上的投影向量为11.在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 折起,使点A 至点P （P 在平面ABCD 外）的位置,则()A.在折叠过程中,总有BD PC ⊥B.存在点P ,使得2PC =C.当1PC =时,三棱锥P BCD -的外接球的表面积为3π2D.当三棱锥P BCD -的体积最大时,32PC =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知()5,2,1A ，()4,2,1B -，()0,1,0C -，()1,0,1D ，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为______.13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为x ，y ，z ，6.若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为________.14.在圆台12O O 中,圆1O 的半径是2,母线2PC =,圆2O 是ABC △的外接圆,60ACB ∠=︒,AB =则三棱锥P ABC -体积最大值为___________．四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）如图,在ABC △中,25AD AB =,点E 为AC 中点,点F 为BC 上的三等分点,且靠近点C ,设CA a = CB b = .(1)用a ,b 表示EF ,CD ;(2)如果60ACB ∠=︒,2AC =,且CD EF ⊥,求||CD.16.（15分）甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为12,负的概率为13,且每局比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜的概率;（2）求甲获胜的概率.17.（15分）如图,在三棱台111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,4AB AC ==,1112A A A B ==,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ;（2）求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值.18.（17分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数：（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率：（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.19.（17分）在①b a =,②2sin tan b A a B =,③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若___________.（1）求角B ;（2）若2,3a c ==,点D 在ABC △外接圆上运动,求BD BC ⋅的最大值.答案以及解析1.答案：D解析：因为20233i i i ==-,所以()()()i 12i i 2i12i 12i 12i 5z -+--===--+,所以,复数z 在复平面内所对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以,复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选:D.2.答案：D解析：因为3a = ,5a b ⋅=-,所以()()22292519a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯-= .故选：D.3.答案：A解析：男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3:2.则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为1(610415)1210⨯⨯+⨯=.所以这10人答对题目的方差为22641(1012)0.5(1512) 6.81010⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.故选：A.4.答案：D解析：对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα= ，则//n l ，因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质知B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误.故选D.5.答案：C解析：根据频率分布直方图可知:10(23365)1a a a a a a +++++=,即0.005a =,故A 正确;由图易得在区间[70,80)的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B 正确;100.005(23)1000250⨯⨯+⨯=,故成绩低于60（分）的有250人,即D 正确;由图中前四组面积之和为:(2336)0.005100.7+++⨯⨯=,图中前五组面积之和为:(23365)0.005100.95++++⨯⨯=,故这组数据的第85百分位数在第五组数据中,设这组数据的第85百分位数为m ,则有0.750.005(80)0.85m +⨯-=,故86m =,即估计这组数据的第85百分位数为86分,故C 错误.故选:C.6.答案：C解析：因为2AE EB = ,12AF FC =,所以23AE AB = ,13AF AC = ,设()()101AM a AB a AC a =+-<< ,()()101AN bAB b AC b =+-<<,则()()11AM AN a AB a AC bAB b AC +=+-++- 3()(2)()3(2)2a b AB a b AC a b AE a b AF =++--=++--,又(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R ,且AE ,AF不共线,则()()3232a b a b λμ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩,所以26λμ+=.7.答案：C解析：抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数构成的样本空间为()()()()()(){}1,2,3,4,5,6,则()()(){}()()(){}()(){}1,3,5,1,2,3,6,3A B C ===,对于A,事件A ,B 可同时发生,故不是对立事件,A 错误,对于B,()()()(){}1,2,3,5A B = ,()23P A B = ,()()1P A P B +=,故B 错误,对于C,()()213P C P C =-=,C 正确,对于D,()12P A =,()13P C =,D 错误,故选:C 8.答案：D解析：取11B C 的中点Q ,连接OQ ,如图,以O 为坐标原点,OC ,OA ,OQ的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则()0,0,0O ,(0A ,(11,0,B -,(11,0,C .因为M 是棱11B C 上一动点,设(,0,M a ,且[]1,1a ∈-,所以(,0,OM a = ,(MA a =--.因为MN MOMO MA =,所以222MO MN MA ===.令t =4t ⎤∈⎦,则2233t t t t -==-,4t ⎤∈⎦.又函数3y t t =-在4⎤⎦上为增函数,所以线段MN 的长度的取值范围为13,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.9.答案：AC解析：直线方程可化为()3420x y m x y +-++-=,当340120x y x x y +-=⎧⇒=⎨+-=⎩,1y =,故直线l 恒过定点()1,1P ,A 正确;易知圆心()1,2C -,半径=5r ,显然当直线l 过圆心时,AB 最长,则()()()1311124205m m m m +⨯-++⨯--=⇒=-,故B 错误;当CP l ⊥时,此时弦AB 最短,即()3112311115m m m +--⨯=-⇒=-+--,故C 正确;当35m =-时,则弦长AB ==故D 错误.故选:AC 10.答案：AC解析：若//a b ，则240x -=，解得2x =，故A 正确；若⊥a b ，则420x +=，解得12x =-，故B 错误；若3x =，则(3,1)=a .又(4,2)=b ，所以向量a 与向量b的夹角的余弦值为10⋅==a b a b ，故C 正确；若1x =-，则(1,1)=-a .又(4,2)=b ，所以向量b 在向量a上的投影向量为(1,1)||||⋅⋅=-a b a a a ，故D 错误.故选AC.11.答案：AC解析：如图所示,取PC 的中点E ,连接BE ,DE ,则BE PC ⊥,DE PC ⊥,因为BE DE E = ,BD ,DE ⊂平面BDE ,所以PC ⊥平面BDE ,又BD ⊂平面BDE ,所以BD PC ⊥,A 项正确;在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,所以AC =,当ABD △沿对角线BD 折起时,0PC <<,所以不存在点P ,使得2PC =,B 项错误;当PC =1时,将正四面体补成正方体,根据正方体的性质可知,三棱锥P BCD -的外接球就是该正方体的外接球,因为正方体的各面的对角线长为1.所以正方体的棱长为2,设外接球的半径为R ,则22234122R ⎛=+= ⎝⎭,所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2342S R ππ==球,C 项正确;当三棱锥P BCD -的体积最大时,取BD 的中点O ,连接PO ,OC ,易知PO ⊥平面BCD,则PO OC ⊥,又122PO OC AC ===,所以2PC ==,D 项错误.故选:AC.12.答案：5解析：因为()1,0,2AB =-- ，()1,1,1CD =，所以cos ,5AB CD AB CD AB CD⋅===-，所以直线AB 与CD 所成角的余弦值为155.13.答案：4.5/92解析：易知这4个数据的极差为6x -，中位数为2y z+，即可得622y zx +-=⨯，所以6x y z ++=；又因为正整数x ，y ，z 互不相等且16x y z ≤<<<，可得1x =，2y =，3z =；由475%3⨯=为正数，因此这4个数据的第75百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即364.52+=，则这4个数据的第75百分位数为4.5.故答案为：4.514.答案：34解析：如图,设圆1O ,2O 的半径分别为1r ,2r ,则12r =,由正弦定理,232sin 60r =︒,解得21r =,设圆台的高为h ,则12h O O ===,在ABC △中,取AC b =,BC a =,由余弦定理,222cos 603a b ab +-︒=,即得2232a b ab ab +=+≥,即得3ab ≤,当且仅当a b ==.因三棱锥P ABC -的体积为11113sin 6033244ABC V S h ab ab =⋅=⨯=≤△,即a b ==,三棱锥P ABC -的体积的最大值为34.故答案为：3.415.答案：(1)3255CD a b =+ ,1132EF b a=-(2)635解析：(1)因为25AD AB =,所以()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ ,11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=-;(2)因为CD EF ⊥,所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以222301510b a -= ,由2a = ,可得3b = ,又60ACB ∠=︒,所以12332a b ⋅=⋅⋅= ,所以635CD === .16.答案：（1）427（2）265432解析：（1）设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知,乙每局获胜的概率为13,不获胜的概率为23.若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=（2）设事件B 为“甲获胜”.若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率1111224P =⨯=.若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=.若第四局结束甲以积分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=17.答案：（1）见解析（2）3015解析：（1）证明：以A 为坐标原点,以AB ,AC ,1AA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,根据题意可得()0,0,0A ,()4,0,0B ,()0,4,0C ,()12,0,2B ,()10,2,2C ,()0,3,1D ,∴()12,0,2BB =- ,()0,4,0AC = ,()12,0,2,AB =设平面1AB C 的法向量为(),,n d e f =,则140220n AC e n AB d f ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1d =,即1f =-,0e =,则()1,0,1n =- ,12BB n ∴=- ,1//BB n ∴,1BB ∴⊥平面1AB C .（2）由（1）知()4,4,0BC =- ,()0,1,1CD =- ,设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =,则4400m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,令1y =,即1x =,1z =,即()1,1,1m = ,由（1）知,()4,0,0AB = ,()0,3,1AD = ,设平面ABD 的法向量为(),,e a b c =,则4030e AB a e AD b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1b =,即0a =,3c =-.即()0,1,3e =- ,设平面BCD 与平面ABD 的夹角为θ,则1330cos cos ,15310m e m e m e θ⋅-====⨯,∴平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值为3015.18.答案：（1）0.030t =，85；（2）35；（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.解析：（1）由题意得：10(0.010.0150.0200.025)1t ⨯++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得85x =，第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220⨯=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320⨯=人，设为a 、b 、c .则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=.设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A a A b A c B a B b B c =，()6n M =，因此()63()()105n M P M n ===Ω，所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35.（3）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028⨯⨯=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312⨯⨯=个.记在区间[70,80)的数据分别为1x ，2x ，，8x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1y ，2y ，，12y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s .由题意，75x =，85y =，26.25xs =，20.5ys =，且8118i i x x ==∑，121112j j y y ==∑，则8128751285812020x y z +⨯+⨯===.根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()88812121222221111111()2((2(20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ======⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ====-=-=-=-=∑∑∑∑，可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑2222188(1212(20x y s x z s y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦222223(()55x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦22236.25(7581)0.5(8581)26.855⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.19.答案：（1）π3（2）213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（1）选①,由正弦定理得sin sin B A =sin 0A ≠,cos 1B B -=,即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0πB << ,ππ5π666B -<-<∴,ππ66B ∴-=,π3B ∴=.选②,2sin tan b A a B = ,sin 2sin cos a Bb A B=,由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B =⋅,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.选③,sin()sin(π)sin A B C C +=-=,由已知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=,222a cb ac ∴+-=,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.（2）π2,3,3a c B ===,,,根据余弦定理2222cos 4967b a c ac B =+-=+-=,b ∴=ABC∴△外接圆的直径2sin 2bR B===过D 作DG BC ⊥,垂足为G ,而cos BC BD BC BD DBC ⋅=∠,若BC BD ⋅取到最大值,则cos BD DBC ∠ 取最大值,故可设DBC ∠为锐角,故此时BC BD BC BG ⋅=,当BG取最大值时,DG 与圆相切且G 在BC 的延长线上（如图所示）,设此时切点为H ,垂足为F ,取BC 的中点E ,外接圆圆心为O ,连接OE ,OH ,则//OE FH 且OH FH ⊥,故四边形OHFE 为矩形,故3EF OH R ===,故1123BF BC R =+=+,()max21213BC BD⎛⎫∴⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭ .。

河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学含答案

高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A.22i+ B.22i-- C.2i- D.2i2.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（）A.2B.3C.4D.53.若{},,a b c是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2a b a b +B.,,a a b a c++C.,,a a c c-D.,,2b c a c a b c++++4.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =- ，则点M 到平面α的距离d =（）A.1B.2C.3D.25.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan B b ==，则2()a c ac+=（）A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35 D.9208.已知圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n α⊂或n ∥αD.若m ∥,,m n α相交，则n ∥α10.已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（）A.()12P B C ⋂= B.()18P B =C.()724P B C ⋃=D.()16P C =11.已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m 的正方体B.底面半径和高均为1.9m 的圆锥C.棱长均为2m 的四面体D.半径为0.75m 的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为__________.14.在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC 的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.（1）证明：1cos C b=.（2）若2,a ABC = 的面积为1，求c .17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .（1）证明：BC ⊥平面PBE .（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.（1）若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD ∥l .（2）若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值.19.（17分）给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P ，如果对于D 上任意的点P ，21ni i PP =∑为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P 为关于图形D 的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P 为图形D ，判断点123,,P P P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；（2）若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++- 的取值范围；（3）若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑的值.高二数学考试参考答案1.C 因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.2.D 因为()()2,1,2,1,BA BC m BA BC =-=-⊥ ，所以()410BA BC m ⋅=-+-=，解得5m =.3.B 因为()22a a b b =+- ，所以,,2a b a b + 共面；{},,a b c 是空间的一个基底，假设,,a a b a c ++ 共面，则存在不全为零的实数,s t ，使得()()a s a b t a c =+++ ，即()a s t a sb tc =+++，则1,0s t s t +===，无解，故,,a a b a c ++不共面；因为()a a c c =-+ ，所以,,a a c c - 共面；因为()()2a b c b c a c ++=+++ ，所以,,2b c a c a b c ++++ 共面.4.A 14213MN n d n ⋅--+===.5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6⨯=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan B =，所以2π3B =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++=，即2()4a c ac +=，故2()4a c ac+=.7.B 设{i A =第i 次拨号拨对号码},1,2i =.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112A A A +，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545P A A A P A P A A +=+=+⨯=.8.C 如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，分别记为M ，,,,,N E F P G ，连接111,,,,,,,B D BD EF FP PG GM MN NE .根据正方体的性质易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 为该正六边形的中心，且1A C ⊥平面MNEFPG ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为r，因为11B D ==，所以1112FP B D ==，所以22r FP ==，圆锥的底面积23ππ2S r ==，圆锥的高1122AO ==，所以圆锥的体积1113π3322V S A O =⋅=⨯=.9.BC 对于A ，若m ∥,n α∥α，则直线,m n 可能相交或平行或异面，故A 错误.对于B ，若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥，故B 正确.对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 正确.对于D ，若m ∥,,m n α相交，则n ∥α或n 与α相交，故D 错误.10.BCD因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()0P B C P A B P A C ⋂=⋂=⋂=，故A 错误.由()()()()1348P A B P A P B P B ⋃=+=+=，得()18P B =，故B 正确.由()()()()15412P A C P A P C P C ⋃=+=+=，得()16P C =，故D 正确.因为()()()1178624P B C P B P C ⋃=+=+=，所以C 正确.11.AC 设扇形所在圆的半径为R ，对于A ，设正方体的棱长为a ，如图1，则可容纳的最长对角线max 2OA R ===，解得max 1.15 1.1a =≈>，故A 正确.对于C ，如图2，取三段14圆弧的中点,,B C D ，则四面体OBCD 的棱长均为2m ，所以可以容纳，故C 正确.对于B ，如图2，同选项C 的分析，BCD 的外接圆半径为1.93<，所以不可以容纳，故B 错误.对于D ，如图3，4，设球的半径为r ，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆O '与圆O 内切，2O M OO r r r =+=++''10.7320.75r=-≈<，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133AB A B==，所以方亭1111ABCD A B C D-的体积()()221111331333V h S S h=⋅+=⋅+⨯+=下上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4D OD BC==-，则1cos,5BC ODBC ODBC OD⋅==-，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC∠θ=，因为BAD CAD∠∠=，所以BAD CAD∠∠θ==.由ABC ABD ADCS S S=+，得111sin2sin sin222AB AC AD AB AD ACθθθ⋅=⋅+⋅，即()sin2sinAB AC AD AB AD ACθθ⋅=⋅+⋅，又AB AC AD AB AC AD⋅=⋅+⋅，所以sin2sinθθ=，即2sin cos sinθθθ=，又02πθ<<，所以π2θ<<，所以sin0θ>，则1cos2θ=，所以π3θ=，所以2π23BAC∠θ==，则ABC外接圆的半径232sin3BCRBAC∠===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b+++⨯+⨯=，解得0.03b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++⨯=<前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+⨯=>，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5x+-⨯=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+⨯+⨯+⨯++⨯=分钟. 16.（1）证明：因为()sin cos 1cos sin C B a C B =-，所以sin cos cos sin cos sin C B C B a C B +=，即()cos sin sin a C B C B =+.根据πB C A +=-，得()sin sin C B A +=，所以cos sin sin a C B A =，由正弦定理得cos ab C a =，所以cos 1b C =，从而1cos C b=.（2）解：由（1）可得1sin C b==.因为ABC 的面积为1，所以1sin 12ab C b b=⋅=，解得22b C ==.又2a =，所以由余弦定理得c ==.17.（1）证明：连接,DE BD ，因为PA PB PD PE ===⊥平面ABCD ，所以EA EB ED ==.又四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，所以ABD 是正三角形，所以30EBD ∠= .由AB BD BC CD ===，得BCD 是正三角形，60DBC ∠= .所以90EBC EBD DBC ∠∠∠=+= ，即BC BE ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，可得BC PE ⊥.因为PE BE E ⋂=，所以BC ⊥平面PBE .（2）解：以E 为坐标原点，,EB EP的方向分别为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AB =，所以2,3BE AE PE ====则())()(()(()0,2,0,1,0,2,0,0,0,,,0,2,,B AC P BC BP AC --=-=-=-.设(),,m x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得()m =.设直线AC 与平面PBC 所成的角为θ，则sin 6m AC m AC θ⋅=== ，即直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为6.18.（1）证明：连接EG ，因为,,90AE AG AB AD ABE ADG ∠∠==== ，所以ABE ADG ≅ ，则BE DG =.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知BE ∥DG ，所以四边形BDGE 是平行四边形，从而BD ∥GE .又BD ⊄平面AEFG ，所以BD ∥平面AEFG .又BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEFG l =，所以BD ∥l .（2）解：易证四边形AEFG 为平行四边形.以A 为坐标原点，AB ，1,AD AA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.()()1,0,tan ,0,1,tan E G αβ，则()()1,0,tan ,0,1,tan AE AG αβ==，cos AE AG EAG AE AG ∠⋅==，sin S AE AG EAG ∠==S =因为π4αβ+=，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-.由()tan tan 1tan tan tan ,tan 0,1αβαβαβ+=-∈ ，可得0tan tan 3αβ<- .S =，易知()2f x x =-42x +在(0,3-上单调递减，所以当tan tan 3αβ=-min S =，当且仅当tan tan 1αβ==-时，S .19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.理由如下：当P 与()10,0P 重合时，有2221238PP PP PP ++= ，当P 与()22,0P 重合时，有222123128PP PP PP ++=≠ ，故()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.（2）因为12233411414PP P P P P PP PP PP PP ++-=-= ，所以12233414PP P P P P PP PP ++-=，当P 与2P 重合时，4PP取得最大值，当P 与4P 重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PP P P P P PP ++-的取值范围为0,⎡⎣.（3）设单位圆E 的圆心为O ，所以()2024202420242222221220241112024||2.i l i i i PP OP OPOP OP OP OP OP OP ====-=++++-⋅∑∑∑因为多边形122024PP P 是正2024边形，所以20242024110,0.i l i i OP OP OP ===⋅=∑∑又1i OP OP == ，所以2024214048i i PP ==∑ ，故122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，且.2024214048l i P ==∑.。

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题+答案

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题：学军中学温岭中学（审校）审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学次命题兼审校：温岭中学审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分（Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分（Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期数学开学联考试题 (含解析)

2023级高二上学年入学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，且，则（）A. 10B. 6C. 4D. 2.若，则（）A. B. C D. 3. 若向量，且，则（）A. −8B. 8C. −2D. 24. 某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的.()()1,3,5,2,,a b x y =-=a∥b x y +=4-32i i z=+z =12i -12i -+12i--12i+()()1,2,1,2a b m =-=+()a b a +⊥ m =[]70,100[)[)[]70,80,80,90,90,100[)70,80,αβl m α//l β//m β//αβ（）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（）A. B. C. D.7. 图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（）A. 平面B. 平面C. 平面平面D. 平面平面8. 如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（）A. 10B. 15C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A. 丙组数据的中位数为5B. 甲组数据的分位数是230πV =29π31π87π93πABCDEFGH AGF ⊥ABCDEF AGF ∥,HCD AG GF CH HD AB ====ABCDEF GH ∥ABCDEF GH ⊥AFGHCD ⊥ABCDEF ABG ⊥ABCDEF1111ABCD A B C D -,E F 11,C D BC 1A EF 1CC N NF=4,3,26,7,870%C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（）A. 8B. C. 9D. 11. 已知边长为的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A. 球的表面积为B. 的最大值为10C. 三棱锥体积的最大值为D. 当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12. 已知空间向量，若共面，则__________.13. 已知数据的极差为6，且分位数为，则__________.14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++ABC V ABC V 5+5+ABC O P O P ABC P ABC -PA ABC O 64πPA P ABC -P ABC -Q P O Q ABC -()()()1,0,0,0,1,0,1,1,a b c m === ,,a b cm =1,1,3,,4,7m 80%220m -m =1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EF重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：分数频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.16. 记的内角的对边分别为.已知.（1）求；（2）若，在边上存在一点，使得，求长.17. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．的[]90,100[)90,92[)92,94[)94,96[]98,100ABC V ,,A B C ,,a b c 222,a b c a =++=B a =BC D DA AC ⊥AD P ABC -O AC POB ⊥,ABC ABC △,AB BC AC PA PB ⊥===PA PC =C PA B --M 60o N N 60o P H（1）求的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19. 将菱形绕直线旋转到位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且.（1）证明：平面；（2）求长；（3）当长度最小时，求直线到平面的距离.的的的PN ABCD AD AEFD E AD B --π3,BE CF ABE FDC -π4,,,3AB DAB M N ∠==,AF BD (01)AM BNAF BDλλ==<<MN ∥CDF BE MN MN CDF2023级高二上学年入学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，且，则（）A. 10B. 6C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为，所以,即，则.故选：C.2. 若，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】运用复数乘除，结合乘方计算即可.【详解】由题意得.故选：A.3. 若向量，且，则（）()()1,3,5,2,,a b x y =-=a∥b x y +=4-a∥b 352xy-==16,10x y =-=4x y +=32i iz=+z =12i -12i -+12i --12i+()i 2i 12i z =-+=-()()1,2,1,2a b m =-=+()a b a +⊥ m =A. −8B. 8C. −2D. 2【答案】B 【解析】【分析】运用向量坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得.因为，所以，即.故选：B.4. 某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合给定的频率分布直方图中的数据，即可求解.【详解】根据题意得，体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为.故选：A.5. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由面面平行的判定与性质即可判断．的(),4a b m +=()a b a +⊥ ()80a b a m +⋅=-+=8m =[]70,100[)[)[]70,80,80,90,90,100[)70,80[)70,800.22040.30.20.5⨯=++,αβl m α//l β//m β//αβ【详解】若，，则不一定平行（缺少条件相交）；若，，则，且，故“，且”是“”的必要不充分条件，故选：C ．6. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设出母线，根据侧面积列出方程，求出母线，进而得到圆台的高，得到圆台的体积.【详解】设该圆台的母线长为，根据题意可得，解得，由题意得，，所以该圆台的高为，则．故选：B7. 图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（）A. 平面B. 平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】D 【解析】的//l m //m β,αβl m ,//αβ,l m α⊂//l β//m β//l m //m β//αβ30πV =29π31π87π93πl ()π1530πl +=5l =5AD =22514DF DO O F =-=-=3AF ==()22π3115531π3V =⨯⨯+⨯+=ABCDEFGH AGF ⊥ABCDEF AGF ∥,HCD AG GF CH HD AB ====ABCDEF GH ∥ABCDEF GH ⊥AFGHCD ⊥ABCDEF ABG ⊥ABCDEF【分析】运用面面垂直，结合面面平行得到面面垂直，判定C ；证明平面.同理可得平面，则，运用线面平行判定判断A ；证明平面，结合，得到平面，判断B ；利用反证法，得到平面，不成立，判断D.【详解】取的中点的中点，连接.因为平面平面，平面平面，所以平面平面，C 正确.因为，所以，面，平面平面，又平面平面，所以平面.同理可得平面，则，因为所以四边形为平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面正确.连接，易得，则平面，面，则.因为且都在面内，所以平面.因为，所以平面，B 正确.连接，则，若平面平面成立，根据面面垂直的性质易得平面，再由线面垂直的性质有.因为，根据线面垂直的判定得平面，这显然不成立，所以平面平面不成立，D 错误.故选：D.8. 如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（）GM ⊥ABCDEF ⊥HN ABCDEF //HN GM MN ⊥AFG //MN GH GH ⊥AFG AE ⊥AGF AF ,M CD N ,,GM HN MN AGF ⊥ABCDEF //AGF HCD HCD ⊥ABCDEF AG GF AB AF ===GM AF ⊥GM ⊂AFG AGF ⊥ABCDEF AGF ABCDEF AF =GM ⊥ABCDEF ⊥HN ABCDEF //HN GM HN GM =HNMG //GH MN GH ⊄,ABCDEF MN ⊂ABCDEF //GH ,A ABCDEF ,AN FN AN FN =,MN AF GM ⊥⊥ABCDEF MN ⊂ABCDEF GM MN ⊥GM AF M ⋂=AFG MN ⊥AFG //MN GH GH ⊥AFG AE AE AB ⊥ABG ⊥ABCDEF AE ⊥ABG AE AG ⊥GM AE ⊥AE ⊥AGF ABG ⊥ABCDEF 1111ABCD A B C D -,E F 11,C D BC 1A EF 1CC N NF =A. 10B. 15C. D. 【答案】A 【解析】【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可．【详解】分别在棱上取点，使得，连接，根据正方体特征及平行公理，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.由题中数据，知道，，可得.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A. 丙组数据的中位数为5B. 甲组数据的分位数是2C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差1,,C AD C B C ,,M N G 1,3,2AM C MD C N N G C B G ===1////ME AG A F 1//NF A M 1A EF 1A MENF 1,,C AD C B C ,,M N G 1,3,2AM C MD C N N G C B G ===1,,,,A M ME EN NF AG 1////ME AG A F 1//NF A M 1A EF 1A MENF 16C F =18C N=10NF ==4,3,26,7,870%D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合中位数，百分位数，方差，平均数的公式求解即可.【详解】将丙组数据从小到大排列为，可得丙组数据的中位数为，A 正确．将甲组数据从小到大排列为，因为，所以甲组数据的分位数是B 错误．易得甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，C 正确．甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，D 正确．故选：ACD 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（）A. 8B. C. 9 D. 【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得，即可求解．【详解】由正弦定理得，得，则，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以，所以的周长为8或故选：AB ．11. 已知边长为的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在2,3,4,6,7,84652+=2,3,4370% 2.1⨯=70%4,232343233++=6787,373++=<ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++ABC V ABC V 5+5+5b c +=sin A =1cos 3A =±3a =5ab ac a +=5b c +=16bc b c =++=1sin 2ABC S bc A ==V sin A =1cos 3A ==±2222cos a b c bc A =+-22()22cos 9a b c bc bc A =+--=3a =ABC V 5+ABC O P O P平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A. 球的表面积为B. 的最大值为10C. 三棱锥体积的最大值为D. 当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为【答案】BCD【解析】【分析】画出草图，设正三角形的外心为，当三棱锥的体积最大时，三点共线.找出直线与平面所成的角，求出.进而分别运用球的表面积公式计算表面积，的最大值为，运用棱锥体积公式计算三棱锥，的体积即可.【详解】如图，设正三角形的外心为，当三棱锥的体积最大时，三点共线.设球的半径为，易得.直线与平面所成的角为，得.由，得球的表面积为，A 错误，的最大值为，B 正确.三棱锥体积的最大值为，C 正确.三棱锥的体积为，D 正确.故选：BCD.ABC P ABC -PA ABC O 64πPA P ABC -P ABC -Q P O Q ABC -ABC O 'P ABC -,,P O O 'PA ABC 3,5,OO R =='⎧⎨⎩PA 210R =P ABC -Q ABC -ABC O 'P ABC -,,P O O 'O R 243AO AB ='=PA ABC ,tan 2PO PAO PAO AO ∠∠'''=='28PO AO =''=22222168R AO AO OO OO PO PO OO R OO ⎧==+=+⎨=+=+=''''''⎩3,5,OO R =='⎧⎨⎩O 24π100πR =PA 210R =P ABC -13ABC S PO ⋅='V Q ABC -()13ABC S R OO -'⋅=V三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12. 已知空间向量，若共面，则__________.【答案】0【解析】【分析】由已知可得，代入坐标计算可求的值.【详解】因为共面，所以，即，则.故答案为：0.13. 已知数据的极差为6，且分位数为，则__________.【答案】5【解析】【分析】运用数据极差和百分位数概念和计算方法分类讨论即可.【详解】因为，所以.当时，数据的分位数为4，由，得，不符合题意，舍去.当时，数据的分位数为，由，得（负根舍去），符合题意.故.故答案为：5.14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余()()()1,0,0,0,1,0,1,1,a b c m === ,,a b c m =c xa yb =+m ,,a b c c xa yb =+ ()()()()1,1,1,0,00,1,0,,0m x y x y =+=110x y m =⎧⎪=⎨⎪=⎩1,1,3,,4,7m 80%220m -m =716-=17m ≤≤14m ≤≤1,1,3,,4,7m 80%2204m -=m =±47m <≤1,1,3,4,,7m 80%m 220m m -=5m =5m =1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF = 1AC EF弦值为__________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】表达出，平方后求出，求出求出.【详解】连接，，故；，故113EF AB AD AA =-+- 2409EF = EF = 1A C = ,AF AE 111121,333EF AF AE AD DD AB BB AB AD AA =-=+--=-+-22221111222933EF AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅+⋅-⋅4π2π2π4044222cos 22cos 22cos 9333339=++-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=EF = 11A C AB AD AA =++21121122222A A AB AA AB A C AB A AD D D A A A =+++⋅+⋅+⋅，故则故直线与.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：分数频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（1）（2）96，5.8【解析】【分析】（1）由中位数的佑计值的定义求解即可；（2）由平均数的估计值与方差的计算公式计算即可.11144422222222224222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1A C = 1113AB AD AA AB AD AA AC EF AC EF ⎛⎫++⋅-+-⋅= ===1AC EF []90,100[)90,92[)92,94[)94,96[]98,10096.5【小问1详解】由题意得这100家企业评分在内的频数为设这100家企业评分的中位数的估计值为，因为评分在内的频数之和为，评分在内的频数之和为，所以，由，得.【小问2详解】这100家企业评分的平均数的估计值为这100家企业评分的方差的估计值为：.16. 记的内角的对边分别为.已知.（1）求；（2）若，在边上存在一点，使得，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理可解; （2）运用正弦定理，结合勾股定理可解.【小问1详解】由余弦定理得，因为，所以.因为，所以，解得，因为，所以.【小问2详解】因为，所以.[96,98)1001010202040.----=x [)90,961010204050++=<[)90,9840408050+=>[)96,98x ∈504096409896x --=-96.5x =()19110931095209740992096,100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2222221(9196)10(9396)10(9596)20(9796)40(9996)20 5.8100s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦ABC V ,,A B C ,,a b c 222,a b c a =++=B a =BC D DA AC ⊥AD π68-222cos 2b c a A bc +-===()0,πA ∈3π4A =a =sin AB =1sin 2B =a b =>π6B =a a ==4AC b ==设，在中，由正弦定理得，则，，由解得或，故的长为.17. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，结合面面垂直的性质可得平面，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.（2）作，垂足为，连接，由面面垂直的性质可得平面，再由三角形全等，得出，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题.【小问1详解】证明：因为是等腰直角三角形，为中点，所以，平面，又因为平面平面，平面平面，所以平面的AD x=ABD△π3ππsin sin642x BD=⎛⎫-⎪⎝⎭BD=CD=-2216),x+=8x=-8+AD8-P ABC-O AC POB⊥,ABC ABC△,AB BC AC PA PB⊥===PA PC=C PA B--AC OB⊥AC⊥POB PD BO⊥D,DA DC PD⊥ABCDDA DC⊥ABCV,AB BC O⊥ACAC OB⊥AC⊂ABCPOB⊥ABC POB ABC OB=AC⊥.POB因为平面，所以，又为的中点，所以是等腰三角形，故.【小问2详解】在平面上，作，垂足为，连接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，则为等边三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以与全等，故，即，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则..设平面的法向量为，则即取，可得.PO ⊂POB AC PO ⊥O AC PAC V PA PC =POB PD BO ⊥D ,DA DC POB ⊥ABC POB ABC OB =PD ⊂POB PD ⊥ABCD PA PC=AC PA ==PACV OP ==2AC OB ==222cos 2OP OB BP BOP OP OB ∠+-==⋅cos DOP ∠=cos DO PO DOP ∠=⋅=1DP ==1AD DC ===ABC V 1AB BC ==ABC V PAC V 90ADC ABC ∠=∠=︒DA DC ⊥D DA x ()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0P A B C ()()()1,0,1,0,1,0,1,1,0PA AB AC =-==- PAB ()111,,n x y z =0,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x z y -=⎧⎨=⎩11x =()1,0,1n =设平面的法向量为，则即取，可得设二面角的大小为，则.故二面角18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．（1）求的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？【答案】（1）70海里（2）2小时【解析】【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间.【小问1详解】根据题意可得．因为海里，海里，所以根据余弦定理可得海里．.PAC ()222,,m x y z =0,0,m PA m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩21y =()1,1,1m = C PA B --θcos cos ,n m n m n m θθ⋅====⋅ C PA B --M 60o N N 60o P H PN 5π6PMN ∠=cos MPN ∠cos PNH ∠PNH △ππ5π236PMN ∠=+=PM =20MN =70PN ==【小问2详解】由余弦定理可得，则，所以．设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里．在中，解得或（舍去），故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．19. 将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且.（1）证明：平面；（2）求的长；（3）当的长度最小时，求直线到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而线面平行，求出平面平面，得到线面平行；（2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，并求出各边长，得到答案；cos MPN ∠==1sin 7MPN ∠=ππππcos cos cos cos sin sin 2366PNH MPN MPN MPN ⎛⎫∠=∠+-=∠-∠ ⎪⎝⎭11117214=-⨯=t 15HN t =25PH t =PNH △22490022562511cos ,2701514t t PNH t ∠+-==⨯⨯2t =498-ABCD AD AEFD E AD B --π3,BE CF ABE FDC -π4,,,3AB DAB M N ∠==,AF BD (01)AM BN AF BDλλ==<<MN ∥CDF BE MN MN CDF HMN ∥CDF EOB ∠E AD B --（3）作出辅助线，证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出，表达出，求出，，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【小问1详解】证明：在上取点，使得，连接，如图1.因为，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以，又，所以.因为平面平面，所以平面.因为且都在面内，所以平面平面.因为平面，所以平面.【小问2详解】取的中点，连接，如图2.由题意可得是边长为4的正三角形，则，且，所以为二面角的平面角，即，则为正三角形，所以.【小问3详解】取的中点，连接，则，且.由（2）得，，平面，()()6,3,2,,0AM BN λλλ=-=--221||5232MN λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12λ=()N -CDF AD H (01)AH AM BN AD AF BD λλ===<<,HM HN AH AM AD AF=HM ∥DF DF ⊂,CDF HM ⊄CDF HM ∥CDF AH BN AD BD=HN ∥AB CD ∥AB HN ∥CD CD ⊂,CDF HN ⊄CDF HN ∥CDF HM HN H = HMN HMN ∥CDF MN ⊂HMN MN ∥CDF AD O ,,OE OB ED ,EAD BAD V V EO BO ===,EO AD BO AD ⊥⊥EOB ∠E AD B --π3EOB ∠=EOB V BE =OB G EG EG OB ⊥3EG ==,EO AD BO AD ⊥⊥EO OB O = ,EO OB ⊂OBE所以平面，因为平面，所以.又因，，平面，所以平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则，.又，所以.连接，则，，所以.当时，取得最小值，且最小值为3，则此时，则.设平面的法向量为n =(x,y,z )，则即取.因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离，则点到平面的距离故直线到平面为AD ⊥OBE EG ⊂OBE EG AD ⊥EG OB ⊥AD OB O ⋂=,AD OB ⊂ABCD EG ⊥ABCD O ,OA OB x y ()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,4,A B F D C ---()()()(),2,,2,,0,AF BD CD CF =-=--=-= ()()6,3,2,,0AM AF BN BD λλλλλ==-==-- ()2,,0N λ--AN ()22,,0AN λ=-- ()42,,3MN AN AM λλ=-=--- 222221||(42))(3)5232MN λλλ⎛⎫=-+-+-=-+ ⎪⎝⎭ 12λ=2||MN MN ()N -()1,ND =- CDF 0,0,n CD n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,30,x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩y =()n = MN ∥CDF MN CDF N CDF N CDF ND n d n ⋅== MN CDF。

2024.09.04 高二年级数学开学检测参考答案

2024-2025学年度秋季学期高二年级返校数学测试满分：58分测试时间：45分钟班级：姓名：一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.设集合{}lg A x y x ==，{}1B y y ==，则A B =（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[1,0)(0,)-+∞ D ．[0,1)(1,)+∞ 答案：C解析：改编自暑假作业1第1题因为{}lg {|0}A x y x x x ===≠，{}1{|1}B y y x x ==-=≥-所以[1,0)(0,)A B =-+∞ 2.某班级的数学学习兴趣小组中有3名男生和2名女生，数学老师从中任意选出2人进行抽查，则恰有一名男生的概率为（）A.15B.25 C.35D.45答案：C解析：改编自暑假作业1第16题（1）记事件A =恰有一名男生因为25()10n C Ω==，1132()6n A C C =⋅=所以3()5P A =3.已知向量(1,0,3),(1,1,1),(1,2,1)x =-=-=-a b c ，若()-⊥a b c ，则实数x =（）A ．14B ．14-C ．2D ．2-答案：D解析：改编自暑假作业2第5题因为(1,0,3),(1,1,1),(1,2,1)x =-=-=-a b c 所以=-a b (2,1,2)-，所以()=2+2+2=0x -⋅a b c 则2x =-4.已知函数2()ln()1f x m x =+-为奇函数，则参数m =（）A.1 B.1- C.3D.2答案：A解析：改编自暑假作业1第17题因为()f x 为奇函数，则有()+()0f x f x -=所以22ln()ln()011m m x x +++=---在定义域内恒成立即22()()111m m x x ++=---在定义域内恒成立，整理，得2222(2)1m m x x --=-在定义域内恒成立故有22(2)11m m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩解得1m =检验当1m =时，1()ln1x f x x +=-的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，关于原点对称，成立5.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，2c b +=，则B =（）A.6π B.4π C.512π D.712π答案：C解析：改编自暑假作业1第15题因为22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-及正弦定理有：222b c a bc+-=根据余弦定理有：2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<<所以3A π=2c b +=2sin()2sin 33B B ππ+-=整理化简为：sin()62B π-=（因203B π<<，则662B πππ-<-<）所以64B ππ-=，512B π=6.在ABC ∆中，3C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP ⋅的最小值为（）A.34 B.78C.2316D.2524答案：C解析：改编自暑假作业1第12题以M 点为原点，,MA MB 方向为,x y 轴建系则(1,0),(0,0),(1,0),(0,A M C B -，设动点()P t -（01t <<）所以()MP t = ，()CP t =+所以225234534()816MP CP t t t ⋅=-+=-+当58t =时，MP CP ⋅ 的最小值为23167.已知函数21()21x x f x +=-，若1()2x f x n +-≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则n 的取值范围是（）A.(,3]-∞B.(,5]-∞ C.(,7]-∞ D.(,9]-∞答案：C解析：改编自暑假作业1第17题（2）分离参数：+121221x x x n +≤+-对(0,)x ∀∈+∞恒成立换元，令：21(0)x t t =->，则223n t t≤++又22t t +≥（当且仅当1t =时等号成立）故7n ≤8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹长为（）A.22B.C.4π D.2π答案：B解析：改编自暑假作业2第11题因为1B D ⊥平面1ACD 所以动点P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC所以||AC =二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 34A x x x =∈+<，{}1,2,5B =-，则A B 中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为{}()(){}{}{}2Z 34Z 140Z 413,2,1,0A x x x x x x x x =∈+<=∈-+<=∈-<<=---，{}1,2,5B =-，所以{}3,2,1,0,2,5A B =--- ，有6个元素.故选：C.2.命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是（）A.x ∀∈Q ，2tan x ∉QB.x ∀∈Q ，2tan x ∈QC.x ∃∈Q ，2tan x ∈QD.x ∀∉Q ，2tan x ∈Q【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是x ∀∈Q ，2tan x ∉Q .故选：A.3.已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A.12-B.12C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 3i 31i 1i 1i 1i 222-+--===---+，所以复数12i1i --的虚部为12-，故选：A.4.函数()ln e exxx f x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域，排除CD 选项，再由函数()f x 的为偶函数，排除A 选项，即可求解.【详解】由函数()ln e exxx f x -=+，可得其定义域为{}0x x ≠，可排除C 、D 选项，又由()()ln ln e ee exxxxx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，排除A 选项.故选：B.5.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（）A.8B.12C.16D.10+【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当14x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B = （）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B 【解析】【分析】由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 可知只需求出()(),P B P AB 即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4P B P C =-=，()()()0.30.40.12P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()0.30.40.120.58P A B P A P B P AB =+-=+-= .故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log 2a =，0.60.5b =，0.50.6c =，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.b a c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出12a <，12b >，即可判断出b a >，再利用作差法比较,c b 的大小关系即可求解．【详解】解：551log 2log 2a =<=，10.620.150.5b ==>，b a ∴>，350.610.52b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，120.530.65c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，10351011264b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∴==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，101210324353125c ⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10102431124270312564200000c b -=-=> ，c b ∴>，c b a ∴>>，故选：A ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象B.直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于A ，由()f x 的图象向左平移π6个单位得：ππππsin 2=sin 26362f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不相同，故A 错误；对于B ，将π3x =代入得：πππ5πsin 2=sin 3366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而2π7ππ3π,,3622⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，将5π12x =代入得：5π5ππsin 2=sinπ012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时是函数零点，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确；故选：CD ．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD 【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A ，根据概率公式即可求解B ，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A ，男生被抽的人数为5009050900⨯=，故A 正确，对于B ，每个女生被抽到的概率为40090190040010⨯=，故B 正确，对于C166=，故C 错误，对于D ，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s =+-++-=，故D 正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为4，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且||1PC '=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A 到点PB.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持||PM =，则点M 的运动轨迹长度4π3D.平面AD P '截正方体ABCD A B C D -''''所得截面为等腰梯形【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP ==<A 错误；对于B ，如图：DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．BD '∴⊥平面ACB '．∴过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊂/平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF平面ACB '，,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，则平面//PGF 平面ACB '．设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且||1PC '=，可得||||1DG DF ==，//EF B C'∴34EF AD ==，故B 正确；对于C ，如图：若||PM =，则M 在以P 为球心，为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则||1D Q '=，此时||2QM =．∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，∴||||||3||||||4PH PC HC D H DD DH ===''，~ICH ADH ，∴||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，∴||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，∴截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===，∴截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，若a b a b ⋅=-⋅ ，则m 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,a b的夹角为πθ=，设(0)b a λλ=< ，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量,a b的夹角为θ，因为a b a b ⋅=-⋅ ，可得cos 1θ=-，因为[0,π]θ∈，所以πθ=，即向量a 与向量b反向，又因为向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，设(0)b a λλ=< ，可得)((,13),1m m m λ-+=，可得3m m m λλλ=⎧⎨+=-⎩且0λ<解得1,1m λ=-=-.故答案为：1-.13.如图60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB ，6AC BD ==，8AB =，则CD =__________．【答案】10【解析】【分析】过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，先证明BDE V 为等边三角形，从而得到DE ，再证明CE DE ⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，则60DBE ∠=︒，又6BD BE ==，所以BDE V 为等边三角形，所以6DE =，则四边形ABEC 为矩形，即CE AB =，由AC AB ⊥，则EB AB ⊥，又BD AB ⊥，且BD EB B = ，所以AB ⊥平面BDE ，所以CE ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以CE DE ⊥，则由勾股定理得10CD ==．故答案为：10．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t ，其中*N t ∈，则t 的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*N t ∈求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,23,29,8AB AC BC BD CD =====,在,ABC BCD 中，三边关系符合三角形的边角关系，设AD t =，则1329AC CD AD AC CD AD -<<+⇒<<且2434BD AC AD BD AC AD -<<+⇒<<，因此2429AD <<，由于*N t ∈，故可取25t =，故答案为：25（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为,2sin a b c c A =,,，（1）求角C ；（2）若边7c =，面积为，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =；（2）由三角形面积得到40ab =，根据余弦定理得到13a b +=，从而得到周长.【小问1详解】由2sin c A 及正弦定理，得2sin sin C A A =，又π02A <<，得sin 0A >，所以3sin 2C =，又C 为锐角，所以π3C =；【小问2详解】由（1）得13sin 24ABC S ab C ab ===△40ab =，由余弦定理，得()()222222cos 22cos 3c a b ab C a b ab ab C a b ab =+-=+--=+-，所以()223169a b c ab +=+=，所以13a b +=，所以ABC V 的周长为13720l a b c =++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a 的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.17.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E ，F 分别为棱BC ，PD 的中点，Q 是线段PC 上的一点．（1）若Q 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PQ PC 的值；（2）若三棱锥C EQA -的体积为6，求直线AQ 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK //平面AEF ,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH ∠的余弦值，根据AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q 是PC 中点，进而根据线线垂直证明PD ⊥平面AEF ，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA 中点为K ，取PF 中点M ，过M 作//MN PQ ,连接BN ，由于1//,,2KF AD KF AD =且1//,2BE AD BE AD =，故//,KF BE BE KF =,故四边形BEFK 为平行四边形，故//BK EF ，BK ⊄平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,故//BK 平面AEF又//KM AF ,KM ⊄平面AEF ,AF ⊂平面AEF ,故//KM 平面AEF ,,,KM BK K KM BK ⋂=⊂平面BNMK ，故平面BNMK //平面AEF ,由于平面PBC 与平面BNMK 相交于BN ,于平面AEF 相交于EQ ，故//EQ BN ，又//MN PQ ，M 是PF 的中点，N 是BC 的中点，所以,NQ QC NQ PN ==,故Q 是PC 靠近于C 处的三等分点，故23PQ PC =【小问2详解】由于三棱锥C EQA -36，由于60,2ABC AB BC ∠=︒==,故ABC V 为等边三角形，故,3,AE BC AE ⊥=则11111331332326C EQA Q ECA ACE Q Q Q V V S h AE EC h h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⋅= ,故1Q h =，即Q 到平面ABCD 的距离为1，由于2PA =,故Q 是PC 中点，由于PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,故PA AE ⊥,又,//AE BC AD BC ⊥,则AE AD ⊥，,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，故AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故AE PD ⊥,又,PA AD F =为中点，故AF PD ⊥,,,AF AE A AF AE ⋂=⊂平面AEF ，故PD ⊥平面AEF ，取CD 的中点H ，连接HQ ,则//HQ PD ,故HQ ⊥平面AEF ，22221111222,2222222AQ PC QH PD ==+===+=,223AH AD DH =-=,则2222231cos 24222AQ QH AH AQH AQ QH +-+-∠===⋅⨯⨯,由于AQH ∠为锐角，且AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角，因此AQ 与平面AEF 所成角的正弦值为1418.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(3p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)3,1p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2433-（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ℎ的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c = ，点0000(,,)P x y z ．若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1α：210x y --=，平面1β：3210y z -+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤．记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W ．（ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V =；2203V =；（ⅱ）316V =，12-【解析】【分析】（1）根据直线l 满足方程，对y 进行合理取值两次，求出,x z 即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l 是两个平面210x y --=与3210y z -+=的交线，所以直线l 上的点满足2103210x y y z --=⎧⎨-+=⎩，不妨设1y =，则1,2x z ==，不妨设3y =，则2,5x z ==，∴直线l 的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3---=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ，考虑集合Q 的子集{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，即为三个坐标平面与2x y z ++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323Q V '=⨯⨯⨯⨯=，由对称性知13283Q V V '==，考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}P x y z x y z '=≤≤≤≤≤≤，{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，P Q ''∴ 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为41231111(11)326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=，P Q ''∴ 的体积为412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= ，∴由对称性知22083P Q V V ''== ．（ⅱ）①记集合T 中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCD LIJM -即为集合P 所构成的区域，E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，W ∴的体积34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=．②由题意面EBC 的方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n = ，面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n = ，1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，∴所成二面角的余弦值为：12-．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．。

2024年新高二上学期开学考数学试卷与答案

2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。

浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知集合{}24A x x =<，{}41B x x =−<≤，则A B = （） A. {}2x x < B. {}21x x −<≤ C. {}41x x −<≤ D. {}42x x −<< 【答案】B【解析】【分析】先借助不等式求出集合A ，再运用交集的运算求A B ∩. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=−<<，则{}{}{}224121A B x x x x x x ∩=−<<∩−<≤=−<≤，故选：B .2. 记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由z z =可得. 【详解】由()2i 24i z +=−得()()()()22224i 2i 24i i 2i 4i 41i i 2i 2i 802225i 1z −−−−−−+=++−====−+，所以2zz ==，故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（）A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件A ，乙中靶为事件B ，()0.6,()0.7,P A P B ==则两人都中靶的概率为()()0.70.60.42P A P B ×=×=，两人都不中靶的概率为()()1()1()0.30.40.12P A P B −×−×，恰有一人中靶的概率为()()1()()()1()0.30.60.70.40.46P A P B P A P B −×+−=×+×=，至少一人中靶的概率为10.30.40.88−×=.故选：C4.已知向量1,2a b = ，若()()a b a b λµ++ ∥，则（）A. 1λµ=B. 1λµ=−C. 1λµ+=−D. 1λµ+=【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】1122a b λλ+=+=+，1122a b µµµ+=+++由()()a b a b λµ++ ∥，则1122µµ+，化简得1λµ=.故选：A.5. 已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= ，则“//n m ”是“//n α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，平面ABCD ⊥平面11D C CD ，令平面ABCD 为α，平面11D C CD 为β，则平面ABCD 平面11,D C CDDC m DC αβ=== ， ①令AB n =，//AB CD ，即//n m ，但AB ⊂平面ABCD ，n ⊂α，故AB 不与平面ABCD 平行，即//n α不成立故//n m ⇒//n α，所以“//n m ”是“//n α”的不充分条件；②令11n B C =，11//B C 平面ABCD ，即//n α，但11B C DC ⊥，11B C 不与DC 平行，即//n m 不成立.故//n α⇒//n m ，所以“//n m ”是“//n α”的不必要条件；综上所述“//n m ”是“//n α”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（）A. 1,2727B. 10,27C. ()0,27D. ()27,+∞【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为RR 上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为332log log 3x x <−，化简求解可得..【详解】()f x x x =，xx ∈RR ，则22,0(),0x x f x x x ≥= −<，作出函数()f x 的图象，可知()f x 是RR 上的增函数.又()()f x x x x x f x −=−−=−=−，()f x ∴是奇函数. 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<可化为()()332log 3log f x f x <−−，所以()()332log log 3f x f x <−，则332log log 3x x <−，即3log 3x <−，解得1027x <<，不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是10,27. 故选：B.7. 已知函数()π4f x x =+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（） A. π24π,3B. π5π,23C. 5π5π,63D. 2433ππ, 【答案】D【解析】【分析】根据π4x ≤+≤5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由此可得b a −的最大、最小值.【详解】由函数()π4f x x =+ 的值域为，得π4x ≤+≤，得1πsin 124x −≤+≤ ， 6π24π7ππ2π6k k x −≤≤++()k ∈Z ，得5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由()f x 定义域为[],a b ，所以max 11π5π4π()2π2π12123b a k k −=+−−= ()k ∈Z ， min 11π5π2π2π2π1212()23k k b a +−− −==()k ∈Z ，所以b a −的取值范围是2π4π,33. 故选：D.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（）①二面角1F AD E −−的大小为常数②二面角1F D E A −−的大小为常数③二面角1F AE D −−的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a，又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =−− ，设平面1AD E 的法向量为nn 1��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，又()1,0,AD a a =− ，,,02a AE a =−，则11100AD n AE n ⋅= ⋅= ，即1111002ax az a x ay −+= −+= ，令11x =，则112y =，11z =，即111,,12n =，又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅=，则0002a x a z a −++−=，解得0032a x z =−，因此可得003,,2a F z a z − ，100,,2a A F z a z a =−− ，设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =− ，00,,2a AF z a z =−，则21200AF n AD n ⋅= ⋅= ，即022*******a z x ay z z ax az −++= −+=，令21x =，则212y =−，21z =，即211,,12n =−，的又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E −−的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a =− ，()00,0,EF a z z =− ，则31300EF n D E n ⋅= ⋅= ，即()0303333002a z x z z a x ay az −+= +−= ，令31x =，则3012a y z =−，301a z z =−，即30011,,12a a n z z =−− ，因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A −−的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a =− ，00,,2a AF z a z =−，则4400AE n AF n ⋅= ⋅= ，即44044040202a x ay a z x ay z z −+= −++= ，令42x =，则41y =，3022a z z =−，即4022,1,2a n z =−，因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D −−的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（）A. 极差变大B. 中位数不变C. 平均数变小D. 方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定，故不妨设129103x x x x x ≤≤≤≤≤ ，由题意不妨取1105,10x x ==， A 项，原极差为1011055x x −=−=，去掉最高与最低分后，极差为921015x x x x −≤−=，所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A 项错误；B 项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B 项正确；C 项，由题意原平均数99110221571010i i i i x x x x x ==+++==∑∑，则9255i i x==∑，则去掉最高与最低分后，平均数变为9255788ii x==<∑，平均数变小，故C 正确； D 项，去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D 项错误.故选：BC.10. 已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，则下列命题中正确的是（）A. 若A B >，则cos cos A B <B.若π,1,6B b c ===，则π4C = C. 若O 是ABC 所在平面内的一点，且2−=+− OB OC OB OC OA ，则ABC 是直角三角形D. 若π,16B b ==，则AB AC ⋅ 的最大值是32【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A ；利用正弦定理解三角形求角C 判断B ；由已知可得CB AB AC =+ ，由其几何意义可知CB 边上的中线长等于CB 的一半，即可判断C ；由余弦定理和基本不等式求出2≤+ac ，再由数量积的定义将AB AC ⋅ 的最大值转化为求ac 的最大值，由求解可判断D .【详解】对于A ，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以A B >，则cos cos A B <，故A 正确对于B ，由121sin sin 2c b C B ===，则sin C =，而5π06C <<，故π4C =或3π4，因为b c <，所以B C <，所以π4C =或3π4，故B 错误；对于C ，由OB OC CB −= 、OB OA AB −=，OC OA AC −= ，故CBAB AC =+ ，所以在ABC 中CB 边上的中线长等于CB 的一半，即ABC 是A 为直角的直角三角形，故C 正确.对于D，由余弦定理可得：222222cos 2b a c ac B a c ac =+−=+−≥−所以2ac ≤+，当且仅当a c =时取等，由已知cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅= ，由正弦定理可得：121sin sin 2a b A B ===，所以sin 2a A =，所以要求AB AC ⋅ 的最大值，则π0,2A∈，此时cos 0A >，所以cos A ，所以3cos 22bc A =≤+.故则AB AC ⋅ 32+，故D 错误. 故选：AC.11. 四面体ABCD 中，3,5,4AC BC AB BD CD =====，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（）A. 当3AD =时，324π11S =B. 当四面体ABCD 体积最大时，28πS =C. S 可以是16πD. S 可以是100π【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，构造直角三角形求外接球的半径；B 选项，平面ABC ⊥平面BCD 时，构造直角三角形求外接球的半径；C 选项，由外接球半径的范围进行判断；D 选项，验证外接球的半径5R =是否成立.【详解】设四面体ABCD O ，半径为R ，当3AD =时，AC AD AB ==，则A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，由222BD BC CD =+，BCD △为直角三角形，外心1O 是BD 边的中点，1AO ⊥平面BCD ，1OO ⊥平面BCD ，1,,A O O 三点共线，1Rt ADO 中，1AO ，1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得22252R R + ，解得R =此时23244ππ11SR =，A 选项正确；当四面体ABCD 体积最大时，有平面ABC ⊥平面BCD ，设平面ABC 的外心为2O ，E 为BC 中点，连接21,,OO AE O E ，则2OO ⊥平面ABC ，由3AC BC AB ===，则=AE ，2AO =2EO =，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，又1OO ⊥平面BCD ，则有1//OO AE ，Rt BCD △中，CD BC ⊥，又1//CD O E ，则1O E BC ⊥，同理可得1O E ⊥平面ABC ，12//O E OO ，所以四边形12O EO O 为矩形，12OO EO ==1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得R =，此时24π28πSR =，B 选项正确；若16πS =，则外接球的半径为2R =，而BCD △的外接圆半径12.52r BD R ==>，所以这种情况不成立，C 选项错误；当5OB OC OD ===时，2222211575524OO OD O D =−=−=，2222117591244OE OO O E =+=+=，则22222222222291254OA OO AO OE EO AO =+=−+=−+=，即5OA =，四面体ABCD 外接球的半径5R =成立，此时100πS =，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()257m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2 【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值. 【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m −+=，解得2m =，或3m =，当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =，故答案为：2.13. 已知1x >，1y >且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为______．【答案】81 【解析】【分析】根据对数的运算性质可得33log log 4x y ⋅=，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由1x >，1y >，则3log 0x >，log 30y >，3log 0y >，又3log 4log 3y x =，则3log 4log 3y x=，即33log log 4x y ⋅=，又33331log =log log 4lo 8g xy x y +==≥，当且仅当332log log x y ==，即9xy ==时，等号成立，所以可得81xy ≥，因此xy 的最小值为81. 故答案为：81.14. 在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______．【答案】135【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.详解】取23CH CD =,由23AG AD =可得//,//GH AC EF AC ,故//HG EF ，故得截面为四边形EFHG ，14A EFHG A EFG A FHG G AEF F AGH G ABC F AGH V V V V V V V −−−−−−−=+=+=+12124333D ABC F ACD V V −−=×+×， 11215633218D ABC B ACD D ABC V V V −−−+××=, 121233A FHC A BCD D ABC V V V −−−=×=, 故1118A FHC A EFHG D ABC V V V −−−+=，故体积较大部分与体积较小部分的体积之比1111187718=，故答案为：117【四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知a ∈R ，()(){}20A x a x a x =++>，102x B xx−=≤ −．（1）当0a <时求集合A ；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x a −<<− （2）{2a a ≤−或}0a > 【解析】【分析】（1）当0a <时，解不等式()()20a x a x ++>，从而求出集合A ；（2）对a 进行分类讨论，求a 取不同值时的集合A ，再根据B A ⊆，即可求实数a 的取值范围. 【小问1详解】当0a <时，则0a −>，由不等式()()20a x a x ++>，解得2x a −<<−，即{}2Ax x a =−<<−；【小问2详解】由不等式102x x −≤−，则12x ≤<，即{}12B x x =≤<，当0a <时，由（1）知，{}2Ax x a =−<<−，又B A ⊆，则2−≥a ，即2a ≤−符合题意；当0a =时，A 为空集，又B A ⊆，显然不成立；当02a <<时，{2=<−A x x 或}x a >−，又B A ⊆，则<1a −，即1>−a ，故02a <<符合题意；当2a =时，{2=<−A x x 或}2x >−，显然B A ⊆，故2a =符合题意；当2a >时，{A x x a =<−或}2x >−，显然B A ⊆，故2a >符合题意；综上知，{2a a ≤−或}0a >.16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）0.68 （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+×=， 10.320.68−=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68. 【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++×=，解得0.07a =，估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32×+×+×+×+××=；【【【小问3详解】(0.020.060.075)40.62++×= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++×=，由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86. 17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=−，且π5π,612α∈−，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k∈Z（2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α−=−，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα−+角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x=+−−+11cos cos cos 22x x x x x =+−+ πcos 2sin 6x x x=+=+.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k∈∈Z 时，函数单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k∈Z ；【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），则得到函数π(2)2sin 26f x x=+的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，所以πππ()2sin 22sin 2666gx x x=−+=−. 若()65g α=−，则π6()2sin 265g αα =−=− ， π3sin 265α −=−. 由π5π,612α ∈−，得ππ2π2,623α −∈− ，又πsin 206α−< ，所以ππ2,062α −∈− ，则π4cos 265α −=，故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα=−+=−−−431552 =−−×=.故cos2α 18. 如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD °∠=∠=，且PB PD ⊥，（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．【答案】（1）证明见解析（2（3）【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接,AO PO ，证PO BD ⊥，AO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理得BD ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质即可证得BD PA ⊥；（2）由（1）知BD ⊥平面APO ，利用面面垂直的判断定理可得平面APO ⊥平面ABCD ，则PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，再利用题中条件求,AO PO 的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，再利用题中条件求出四边形ABCD 的面积和四棱锥P ABCD −的高PM ，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】取BD 中点O ，连接,AO PO ，由60PB PD APB APD PA PA °=∠=∠= =，则APB APD ≅△△，因此可得AB AD =，又O 为BD 中点，则在等腰ABD △和等腰BPD △中，可得PO BD ⊥，AO BD ⊥，又AO PO O = ，,AO PO ⊂平面APO ，BD ∴⊥平面APO ，又PA ⊂平面APO ，BD PA ∴⊥.【小问2详解】过P 作PM 垂直AO 的延长线于一点M ，由（1）知BD ⊥平面APO ，BD ⊂平面ABCD , 则平面APO ⊥平面ABCD ，又平面APO 平面ABCD AO =，PM ⊂平面APO ，PM AO ⊥,PM ∴⊥平面ABCD ，故PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，又在等腰直角BPD △中，4PB PD ==，则BD =，12BODO PO BD ==== 又在APB △中，2222212cos 64264282AB PA PB PA PB APB +−⋅∠+−×××，则AB AD ==在Rt AOB 中，AO ，则在APO △中，222cos 2PA AO PO PAO PA AO +−∠==⋅，因此可得sin PAO ∠即直线PA 与平面ABCD【小问3详解】由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，在Rt PAM 中，sin 6PM AP PAO =⋅∠=cos 6AM AP PAO =⋅∠，在Rt PMC △中，CM又AC AM CM =+=+=, 又四边形ABCD 的面积()111222ABD CBD S S S BD AO BD CO BD AO CO =+=⋅+⋅=+ 1122BD AC =⋅=×, 又（2）知PM ⊥平面ABCD ，故PM 为四棱锥P ABCD −的高，所以四棱锥P ABCD −的体积1133V S PM =⋅=× 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明BD ⊥平面APO ，再利用面面垂直的判定定理证平面APO ⊥平面ABCD ，最后根据平面PAC 与平面ABCD 垂直，确定,,,A O M C 四点共线，考查了线面垂直，面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()()281616log log ,f x x g x ax m x ax==+−．（1）判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；（3）当1a >时，设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在()0,∞+上有两个零点12,x x ，证明：1216<x x ．【答案】（1）()f x 是“反比例对称函数”，理由见解析；（2）443m = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可；（2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可.（3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k 时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可.【小问1详解】()2816log ?log f x x x=是“反比例对称函数”，理由如下：由题可知()282216116log ?log log ?log 3f x x x x x ==，可知2216116log ?log 3f x x x =所以()16f x f x =，故()f x 是“反比例对称函数”.【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+−，因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x −=有一个解，得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x−−+=⇒=+− ，令()2216116log ?log 3H x x x x x =+−，得()m H x =仅有一个解，显然()221616116log ?log 3H x x H x x xx +− ，因为()m H x =，则有16m H x =，要使()m H x =仅有一个解，只需164xx x⇒，或4x =−（舍）所以()4443m H ==. 【小问3详解】不妨先设1a =，由题可知()2211616log ?log 3h x x x m x x =−−+，显然()221616116log ?log 3h x x m h x x xx +−+ ，已知ℎ(xx )有两个零点，12,x x ，则两个零点满足1216x x =，此时1216x x =，即，函数()2816log ?log f x x x =与函数()16g x x m x=+−，的两个交点横坐标满足1216x x =；可知()()228221641log ?log log log 33f x x x x x ==−利用复合函数单调性可知，当()0,4x ∈时，()f x 单调递增；()4,x ∞∈+时，()f x 单调递减；由对勾函数性质可知()16g x x m x=+− ，在()0,4x ∈时，此时()g x 单调递减；在()4,x ∞∈+时，此时()x 单调递増；得两函数示意图当1a >，此时()16g x ax m ax =+−，相当于函数()()1616g x x m g ax ax m x ax=+−⇒=+−，故所有的横坐标缩小为原来的1a 倍；故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故1216<x x .层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系.。

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高二开学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12C ．32D ．－32 答案：A3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327答案：D 6.已知函数f(x)＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋asin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10答案：C7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m n 的值为( )A ．2B ．12C ．3D ．13 答案：B8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3答案：C9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：D10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36答案：B11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B ．18 C.14 D ．12答案：B12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235 C ．1735 D ．1答案：C二、填空题（每小题5分，共20分）13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.答案：－3414．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．答案：－5π615．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 则|AM →|＝________.答案：216．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：(请用百分数表示)附表：答案：0.5%三、解答题17（本小题10分）．已知扇形AOB 的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α. (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知， f(x)＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x≤6k＋52，k ∈Z ，所以y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值．当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为12.20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵ m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ，∴ m·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin xcos x ＝1.(2)由题意知，|m|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， |n|＝sin 2x ＋cos 2x ＝1， m·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵ x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π12.21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：②已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)；(2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取2424＋16×5＝3(人)，记为a ，b ，c ，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2(人)，记为A ，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a ，b)，(a ，c)，(a ，A)，(a ，B)，(b ，c)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，(A ，B)，共10种情况．设“此2人来自不同群体”为事件M ，包含了(a ，A)，(a ，B)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，共6种可能，∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c.(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个．所以P(z ＝4)＝216＝18.(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。