关于大学物理中力学守恒定律的应用

关于大学物理中力学守恒定律的应用李军，张之麒（陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳 745000）摘 要：通过分析物理力学中守恒定律的条件，总结出物理力学守恒定律解决一般问题的方法。

关键字：动量守恒定律；机械能守恒定律；角动量守恒定律On conservation law of mechanics in UniversityPhysics ApplicationLI Jun ，ZAHNG Zhi-qi（Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China)Abstract: Through the analysis of physical and mechanical conservation laws in condition, summed up the law of conservation of physical mechanics of solving problems method. From a new understanding of life from the nature of specific phenomena ( collision, blow, explosion and other issues ).Key words: Momentum conservation law; law of conservation of mechanical energy; law of conservation of angular momentum0 引言力学守恒定律是大学物理中非常重要的知识点，但也是非常难掌握的知识点，我们在用守恒定律解决问题的时候都会出现各种各样的问题，究其原因就是对守恒定律的守恒条件掌握的不够牢固，应用的不够灵活。

力学中的守恒定律主要有三个：动量守恒定律、机械能守恒定律与角动量守恒定律是整个物理学大厦的基石，它们不仅在低速、宏观领域中成立，而且在高速、微观领域中依然成立。

这些守恒定律是比牛顿运动定律更基本的规律。

1动量守恒定律由动量定理可知，若∑=0外i F，则有01121=-∑∑==i ni i i ni i v m vm或1121i ni i i ni i v m vm ∑∑=== （1-1）（1-1）式表明，当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变，此称为动量守恒定律。

例 一弹性球，质量kg 0.20=m ，速度5m/s =v ，与墙碰撞后弹回设弹回时的速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是α，如图1-1所示。

设球和墙碰撞的时间s t 05.0=∆，︒=60α，求碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力。

解 以球为研究对象设墙的平均作用力为f ，球在碰撞前后的速度为1v 和2v ，由动量定理可得v m mv mv t f ∆=-=∆12将冲量和动量分别沿图中N 和x 两个方向分解得0sin sin =-=∆ααmv mv t f xαααcos 2)cos (cos mv mv mv t f x =--=∆解得0=x f2005.05.052.02cos 2=⨯⨯⨯=∆=t mv N α(N)在应用动量守恒定律时应注意以下几点：(1)动量是矢量，系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中的某个物体的动量不变。

(2)动量守恒定律的条件是，系统所受的合外力为零或外力被忽略。

如象碰撞、打击、爆炸等这类问题，往往内力远大于外力，相比之下外力可被忽略，按动量守恒来处理。

(3)动量定律和动量守恒定律只在惯性系中成立。

因为物体的速度是相对同一惯性系的，若有不同参照系，必须将速度转化为对同一参考系后再代入公式计算。

(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。

动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律的牛顿运动定律导出的，但近代的科学实验和理论分析都表明，在自然界中，大到天体间的相互作用，小到质子、中子、电子等基本粒子间的相互作用都遵循动量守恒定图律；而在原子、原子核等微观领域中，牛顿运动定律不适用，因此，动量守恒定律比牛顿运动定律更加基本，它与能量守恒定律一样，是自然界中最普遍、最基本的定律之一。

2 机械能守恒定律2.1 动能定理设有一质点沿任一曲线运动。

在曲线上取任一元位移dr ，则力F 在这段元位移上的功为()dv mv vdt dtmv d Fdr dA ⋅=⋅== 所以⎪⎭⎫⎝⎛==221mv d mvdv dA若质点由初位置1处运动到末位置2处21222121212121mv mv mv d dA A v v -=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰ （2-1）令221mv 称为质点的动能，（2-1）式改写为 221mv E k =1221k k E E A -=- （2-2）（2-2）式说明外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

2.2 机械能守恒定律设一质点系由n 个质点，现考察第i 个质点，则对i 质点运用动能定理有212211212121i i i i i n j ji i i v m v m dr f dr F -=⋅+⋅⎰∑⎰-=外 对所有质点求和可得∑∑∑∑⎰∑⎰====-=-=⋅+⋅ni ni i i i i ni n i i n j ji i i v m v m dr f dr F 1121221111212121外 （2-3）（2-3）式便是质点系的动能定理的数学表达式。

当系统机械能守恒时，有2211p k p k E E E E +=+或()1212---k k p p E E E E =即k p E E ∆-=∆ （2-4）（2-4）式说明系统势能的增量等于系统动能的减少量。

例 一质量为M 的平顶小车，在光滑的水平轨道上以速度v 作匀加速直线运动。

今在车顶前缘放上一质量为m 的物体，物体相对于地面的初速度为零设物体与车顶之间的摩擦系数为μ，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度l 最短应为多少？ 解 设小车速度为v ，小车与物体的共同速度为V ，由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与小车具有相同的加速度，这时物体相对于小车为静止而不会跌下这一过程中，以物体和小车为一系统，水平方向动量守恒，有V M m Mv )(+=而m 相对于M 的位移为l ，如图，则一对摩擦力的功为2221)(21-Mv V M m mgl -+=μ 联立以上两十即可解得车顶的最小长度为)(22m M g Mv l +=μ 大量事实证明，在孤立系统内，若系统的机械能发生了变化，必然伴随着等值的其它形式的能量（如内能、电磁能、化学能、生物能及核能等）的增加或减少。

这说明能量既不能消失也不会创生，只能从一种形式的能量转化成另一种消失的能量。

也就是说，在一个孤立系统内，不论发生任何变化过程，各种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将保持不变。

应用机械能守恒定律成立的条件（1）对某一系统，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该系统机械能守恒。

（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒。

3 角动量守恒定律图 2-13.1质点的角动量定理将质点对O 点的角动量mv r L ⨯=对时间t 求导，可得()()mv dtdr dt mv d r mv r dt d dt dL ⨯+⨯=⨯= 由于()dtdrv dt mv d F ==, 故mv v F r dtL⨯+⨯=d mv v ⨯为零，而M F r =⨯，于是有dtdL M =质点角动量定理的微分形式：作用在质点上的力矩等于质点的角动量对时间的变化率。

其积分形式为LL Mdt tt -=⎰3.2质点的角动量守恒定理由L L Mdt tt -=⎰知，若0=M ,则=⨯=mv r L 常矢量质点的角动量守定律：质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。

地球和其它行星绕太阳的转动，太阳可看作不动，而地球和行星所售太阳的吸引力是有心力（力心在太阳），因此地球、行星对太阳的角动量守恒。

又如带点微观粒子射到较大的原子核附近时，这个粒子受到的原子核的电场力就是有心力（力心在原子核心），所以微观粒子在于原子核的碰撞过程中对力心的角动量守恒。

3.3质点系的角动量定理3.3.1质点系对固定点的角动量定理设一质点由n 个质点组成，其中i 质点受力为∑=+1-1n j ji i f F 外现对i 质点应用角动量定理，有()i i i tn j ji i i v m r d dfF r ⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯∑-=11外 对i 求和()∑∑∑∑=-===⨯=⨯+⨯n i n j ni ii it i i n i i v m r d df r F r 11111μ外又一对内力对任意一点的力矩之矢量和为零，而内力是成对出现的，因此内力矩总和必定为零，于是有()∑∑==⨯=⨯ni ii itni i i v m r d dFr 11外质点系对固定的角动量定理：作用于质点系的外力距的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率。

3.3.2质点系对轴的角动量定理现讨论一种最简单的情形，设设质点系内个质点均在各紫的转动平面内绕同一轴转动。

并设固定转动轴为z 轴，则可得质点系对z 轴的角动量定理为若质点系内所有质点绕轴转动的角速度w 相同，则i 质点的线速度2,πθω==i i i r v所以()ω∑∑=2ii izr m dtdM现在令∑=2i i r m I并把I 称为转动惯量，则()∑==tz t iz d dL I d dM ω 例 在光滑的水平桌面上，放有质量为M 的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O 点，弹簧的劲度系数为k ，设有一质量为m 的子弹以初速度0v 垂直于OA 击中木块并嵌在木块内，如图3-1所示。

弹簧原长0l ，子弹击中木块后，木块M 运动到B 点时刻，弹簧长度变为l ，此时OB 垂直于OA 。

求在B 点时，木块的运动速度2v 和方向？解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿水平方向动量守恒，即有 10)(v M m mv +=在由B A →的过程中，子弹、木块系统机械能守恒202221)(21)(21)(21l l k v M m v M m -++=+ （3-1） 在由B A →的过程中木块在水平面内只受指向O 点的弹簧的弹力，故木块对O 点的角动量守恒，设2v 与OB 方向成θ角，则有θsin )(21)(210v M m l v M m l +=+ （3-2） 由（3-1）、（3-2）式联立球得2v 的大小为M m l l k v M m m v +--+=2020222)()( （3-3）由（3-3）式求得2v 与OB 的夹角为)()(arcsin202200M m l l k v m l mv l o+--=θ根据角动量守恒的条件，需要分析系统受到的外力对于转轴O 的合外力矩是否为零。