力学的守恒定律作业

l
Ek
1 2
Jw 2
lmg 2
1.0J
3.20 如图所示，质量为 2m ，长 l 的均匀细杆可绕通过其上端 的水平光滑固定轴 O 转动，另一质量为 m 的小球，用长也为 l 的轻绳系于O 轴上。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂 直于轴的平面内拉开一角度θ，然后使其自由摆下与杆端相碰撞 （设为弹性碰撞），结果使杆的最大偏角为π/ 3，求小球最初被 拉开的角度θ。
Jw Rmv0 L
( J 1 MR2 ) 2
所以： L 1 M mR2w
2
3.7 一水平均质圆台的质量为200kg，半径为2m，可绕通过其 中心的铅直轴自由旋转(即轴摩擦忽略不计)．今有一质量为
60kg的人站在圆台边缘．开始时，人和转台都静止，如果人在 台上以1.2m·s-1的速率沿台边缘逆时针方向奔跑，求此圆台转动 的角速度．
x20
C
•
O
m1 x10 x
系统水平方向不受外力，此方向动量守恒，他们在任意时刻
的速度分别 v1 为 v2 ，则
m1v1 m2v2 0
v2
-
m1 m2
v1
设开始时质量为 m1 的运动员坐标为 x10 ，质量为 m2 的运动 员坐标为 x20 ，在 t 时刻，两人在坐标 x 处相遇，则
t
x - x10 0 v1dt
O
2
2 2
l
J 1 ml 2 3
1.0 m
棒的下端点上升的距离为
F
h
h
Jw 2
mg
J 2w 2
1 ml 2mg
3 Jw 2 0.196
g ml
m
3
3.10 在一光滑水平面上固定半圆形滑槽，质量为m的滑块以初速
度v0沿切线方向进入滑槽端，滑块与滑槽的摩擦系数为 ，滑
快运动情况及受力分析如图所示．试求当滑块从滑槽另一端滑出
O 解 (1) 根据动量矩定理，力 F 作用于棒的
冲量矩等于棒角动量的增量，则
Jw 0 0.02 Fldt 10010.02 0
l
2 kg m2 / s
F (2) 力撞击后，棒运动过程中，机械能守恒，
棒悬垂时自由端所在平面为零势能面，
1.0 m
设棒的下端点上升的距离为 h ，则
1 Jw 2 mg l mg h l h
平轴转动．若将此杆放在水平位置，然后从静止开始释放，如
图所示，试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度．
解 M 1 mglcos
J 1 ml2 O •
C
x
2
3
由动能定理
•C
A
2 Md
2 l mgcosd
0
02
mg
lmg 0 1 Jw 2 0
2
2
w ( 3g )1/ 2 8.66rad/s
相对传送带静止的饲料质量）
解 以 t~t+dt 内落到传递带上的饲
H
v
料为研究对象，它的质量为 dm
= rdt ，在与传递带接触之前的
速度大小为：
则初动量为：
v1 p1
2gH
dm
v1
与传递带接触之后的末动量为： p2 dm v
该研究根对据象动受量到定传理递F带dt的弹d力p和自身重f力，d分m别为g：dtf， pd2m
3.1 某喷气式飞机以200m·s-1的速率在空中飞行，引擎中吸入 50kg·s-1的空气与飞机内2kg·h-1的燃料混合燃烧，燃烧后的气 体相对于飞机以400m·s-1的速度向后喷出．试求此喷气式飞机 引擎的推力．。 解：以每秒燃烧的气体为研究对象，飞行方向为正方向，根
据动量定理：
Ft p末 p初 m空 m燃 v m空v1 m燃v2
t
x - x20 0 v2dt
t
x - x10 0 v1dt
x
-
x20
m1 m2
t
0 v1dt
联立以上两式得：
(x
x10 )
(x - x20 )m2 m1
0
m2 x20
C
•
O
m1 x10 x
x m1x10 m2 x20 m1 m2
3.6 一质量为 M 、半径 R 的均匀圆盘通过其中心且与盘面垂 直的水平轴以角速度 w 转动。若在某时刻，一质量为 m 的小
解：设转台相对轴的角速度为 w0，人相对转台的角速度为 w1 ，
则人对轴的角速度为
w
w0 w1
w0
v R
系统角动量守恒 J0w0 J1 w0 w1 0
其中
J0
1 2
m0R2 ，
J1 m1R2
w0 0.2rad/s
3.8 长为 1 m 、质量为 2.5 kg 的一均质棒，垂直悬挂在转轴 O 上，用 F = 100 N 的水平力撞击棒的下端，该力的作用时间为 0.02 s 。试求：(1) 棒所获得的角动量；(2) 棒的下端点上升的 距离。
S
SH
H 3v2 3m 2g
3.22 水以5.0m·s-1的速率在横截面积为4.0cm2的管道中流动，当 管道的横截面积增大到8.0 cm2时，管道逐渐下降10m．求：（1） 低处管道内的水流速率；（2）如果高处管道内的压强是 1.5×105Pa，求低处管内压强．
解： （1）由连续性原理，得
S1v1 S2v2
v2 S1v1 / S2 2.5m/s
（2）由伯努利方程，得
P1
1 2
rv12
rgh1
P2
1 2
rv22
rgh2
P1
1 2
rv12
rgh1
P2
1 2
rv
2 2
P2
P1
1 2
rv12
rgh1
1 2
rv22
2.57 105 Pa
其中 v1 0， v2 200m/s , v 200 400 200m/s
m空 50kg， m燃 2 3600kg
可求得
F 10000.2N
3.3 如图所示，传递带以恒定的速度 v 水平运动，传递带上方高 为H 处有一盛饲料的漏斗，它向下释放饲料，若单位时间的落
料量为 r ，试求传递带受到饲料的作用力的大小和方向（不计
解 设小球与杆端碰前的速度为 v ， 对小球由机械能守恒得：
mgl1 cos 1 mv2
2
O
l
l
小球与杆端碰撞瞬间，受转轴的作用力在 水平方向上有分力，水平方向上系统的动 量不守恒，但系统的角动量守恒，得
mvl mvl Jw (J 1 2ml2 ) 3
O
小球与杆端碰撞是完全弹性碰撞，碰撞过
解：（1）选桶底为参考平面，由伯努利方程
P1
rgh1
1 2
rv12
P2
rgh2
1 2
rv22
rgh
1 2
rv2
v 2gh 1.4 10m/s
水的流量 Q Sv 0.21.4 10 0.885m3/s
（2）设距离H处。由连续性原理和伯努利方程
Байду номын сангаас
Sv SHvH
1 2
rv2
rgH
1 2
rvH2
1 2
时，摩擦力所做的功．
解: f m dv N N m v2
dt
R
dv dv d v dv dt d dt R d
v
dv
d
v0 v
0
v v0e
由动能定理有： Af
1 mv2 2
1 2
mv0
2
1 2
mv02
(e2
1)
3.13 某均质细杆，质量为0.50kg，长为0.40m，可绕杆一端的水
g p1
f忽略ddm微t 小v 量v1dm dgmg
r
v
v1
dmg
得：f r v v1
由矢量三角形可知：
f
dmg
dt
p2
p1
v
v1
v v1
f r v2 v12 r v2 2gH
f
与传递带的夹角为：
arctan v1
arctan
2 gH
v
v
所以，传递带受到饲料的作用力 f 与 f 互为作用力和反作用力
程中动能守恒，得：
l
l
1 mv2 1 mv2 1 Jw 2
2
2
2
碰后，杆上升，只有重力做功，对杆， 机械能守恒，得：
1 Jw 2 1 2mgl1 cos
2
2
3
联立以上各式，解得： cos 23
48
61.37。
3.21 有一水桶，截面积很大，桶内水深1m，在桶底开一0.2m2截 面积的小孔，使水能连续流出．求：（1）水的流量；（2）在水 桶下方多少距离处，水流截面积变为孔口面积的一半？
碎块从盘边缘裂开，且洽好沿铅直方向上抛，问它可达到多大
高度？破裂后圆盘的角动量为多大？
解 碎块抛出时的初速度为： v0 Rw
碎块从盘边缘裂开，且洽好沿铅直方向
抛出，对碎块，由机械能守恒得：
1 2
mv02
mgh
h v02 R2w 2
2g 2g
R v0
mw
M
碎块从盘边缘裂开过程中，只受重力，重力对转轴的力矩为 零，满足动量矩守恒定律，则：
f 的大小：与 f 的大小相同；方向：与 f 的方向相反。
3.4 质量分别为 m1 和 m2的两个运动员，在光滑的水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时双方静止，相距为 l 。问：他们将 在何处相遇？
解 把两个运动员和绳看作一个 系统，建立如图坐标系，以 m2
两个运动员的中点为原点，
向右为 x 轴为正方向。