河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试文数及其答案
1.已知集合，，则（） A. B. C. D.
【答案】
B 点晴:本题考查的是集合的运算.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象的属性，这是很关键的一步.而本题中两个集合都是不等式的解集构成的集合，在求交集时注意区间端点的取舍.通常用画数轴的方法来解交集、并集和补集的题目.2.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（） A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】依题意得：，所以的共轭复数
.
故本题正确答案为
3.已知命题：，命题
：，，则
成立是成立的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 2021届河南省郑州市第一中学上学期第一次质量检测
高三文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
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2021年高三上学期开学考试数学(文)试题 含答案
A 1B 1C 1D 1ABCD 正视图侧视图俯视图32452021年高三上学期开学考试数学（文）试题 含答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2. 已知,,则是的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知全集,则( )A. B ． C ． D ． 4. 函数的定义域为( )A. B ． C ． D ．5. 如图，在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点C 1到平面A 1BD 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知函数的定义域是,则的定义域是( )A. B ． C ． D ．7. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax －4(a ∈R)，若函数y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线的倾斜角为π4，则a ＝( )A ．2B ．-2C ．4D ．-48. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则9．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．6010. 若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A．2 B．3 C．6 D．911．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．恒成立．注：e为自然对数的底数．21.（本题满分12分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.请从下面所给的22 , 23 ,二题中任选一题做答，多答按所答第一题评分.22.(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.哈师大附中xx学年度高三上学期开学考试数学试题（文科）答案一、选择题二、选择题13. x=2; 14. ; 15. ; 16. .17.解答： 2分（1）由题意，得解得，所以 6分（2）由（1）知， 8分当时在是增函数，当时在是减函数， 10分∴在［-1,1］上的最大值为1，最小值为-3. 12分18．（1）证明：△ABD中，BD=4，AD=2，AB=，∴∠ADB=90o，即BD⊥AD． 2分∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD平面ABCD∴BD⊥平面PAD． 5分（2）解：取AD中点H，等边三角形PAD中，PH⊥AD，且PH=∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD平面ABCD∴PH⊥平面ABCD 8分设AB与CD距离为，Rt△ABD中，，得C 1B 1A 1NMGA BCHEF∵△ABD 与△CDB 具有相同的高，∴S △ACD = ∴S △ACD ×PH = 12分19．（1）证明：∵AA 1∥BB 1，∴∵B 1C 1∥BC ，∴∴AG ∥MN 2分 ∵MN 平面A 1EF ，AG 平面A 1EF ，∴AG ∥平面A 1EF ． 5分（2）解：取BC 中点H ，由AB =AC ，得AH ⊥BC ①∵BB 1⊥平面ABC ，AH 平面ABC ，∴BB 1⊥AH ② 由①②及BC ∩BB 1=B ，得AH ⊥平面BCC 1B 1．∴∠AGH 为直线AG 与平面BCC 1B 1所成角． 8分 Rt △ABC 中，AB =AC =1，∴AH = Rt △AHG 中，AC =GC =1，∴AG =． ∴Rt △AHG 中，∠AGH =30o．∴直线AG 与平面BCC 1B 1所成角为30o． 12分20.解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax. 2分由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． 4分 (2)由题意得：f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 6分 由(1)知f (x )在内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立， 8分只要⎩⎪⎨⎪⎧f1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2.解得a ＝e. 12分 21. 解：（1）由得，∴ 圆的圆心坐标为；（2）设，则∵ 点为弦中点即， ∴ 即，∴ 线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧 （如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．22.23. （1）当且仅当时，等号成立，5分（2）由（1）知，又2222222∴++++≥++=9()(111)()p q r p q r即 10分28591 6FAF 澯32332 7E4C 繌X Q25465 6379 捹 28675 7003 瀃35373 8A2D 設38498 9662 院30377 76A9 皩um。
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期第一次质量检测文数试题word版含解析
2021届河南省郑州市第一中学上学期第一次质量检测高三文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B点晴:本题考查的是集合的运算.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象的属性，这是很关键的一步.而本题中两个集合都是不等式的解集构成的集合，在求交集时注意区间端点的取舍. 通常用画数轴的方法来解交集、并集和补集的题目.2. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得：，所以的共轭复数.故本题正确答案为3. 已知命题：，命题：，，则成立是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若命题成立，则，解得；若命题成立，则或即，当命题成立时，命题一定成立，当命题成立时，命题不一定成立，所以成立是成立的充分不必要条件。
故本题正确答案为4. 在中，，，则（）A. 3B.C.D.【答案】C5. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A. 3.119B. 3.124C. 3.132D. 3.151【答案】B【解析】根据函数的定义知，每次循环产生的和，是大小属于区间的两个随机数，而判断语句，即在直角坐标系下判断每次产生的随机数，形成的点，是不是在以原点为圆心，半径为，的圆内，因为和，所以当和满足时，点会落在圆在第一象限的圆内。
而随机数，形成的点可以看成以原点为顶点，边长为，图象在第一象限的正方形内任意一点.由题意知，程序框图共执行循环语句次，输出，代表判断语句为是的次数为，即随机数和在圆内次数为，根据随机数和在正方形内等概率分布和圆的面积公式可得：，解得.故本题正确答案为6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. 207B.C.D.【答案】B7. 函数如何平移可以得到函数图象（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】D【解析】因为所以是由向右平移个单位得到的。
【名校试题】河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试(word版含答案)
21届高三开学测试英语试卷第一部分听力（略）第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。
AVail Marriott Mountain ResortVail Winter Weather GuideCovered in grand mountains,flashing lights and snowy pines,Vail is perfect for explorers and people who love adventures alike.Whether skiing down the slopes for the first time or the hundredth,this guide will ensure that you're ready for everything this city has to offer.Best Time to VacationDecember through to March tends to be the best time for those interested in skiing down the slopes in style.Know Before You GoMake the necessary preparations and reservations in advance:●Ski and Snowboard Rentals(租赁）：Don't have your own equipment?Vail Sports rents out a variety of skis and snowboards for all ages and abilities,as well as snow shoes and helmets.●Clothing Rentals:For those not interested in purchasing hundreds of dollars of ski clothing for one vacation,Mountain Threads has a rental program just for you.Get mountain necessities like coats,pants and goggles(护目镜）shipped to you,or save room in your luggage by having your equipment delivered right to the resort.●Sunscreen(防晒霜）：You might not think about getting sunburn,but it happens to skiers and snowboarders every day.●Difficulty levels:It's important to know what level you're at before jumping on a ski lift and heading up the e a free trail map and plan the slopes you're going to skid own ahead of time based on the following levels you'll find up the mountain:●Green Circle:These are the easiest slopes.●Blue Square:These indicate average to medium levels.●Black Diamond:The most advanced slopes.Some mountains will feature double black diamonds,indicating even higher difficulty.While Vail is famous for snow sports,you'll find plenty of other fun things to do once the sun goes down or you are tired.Explore the rest of our website for more information!21.When is the best time to visit Vail if you like skiing?A.October through to March.B.December through to March.C.December through to February.D.November through to March.22.Before you go to the Vail Marriott Mountain Resort,you will have to take_with youA.snow shoesB.ski clothingC.sunscreenD.a trail map23.Where is recommended for a ski expert who wants to challenge himself?A.Blue Square.B.Black Diamond.C.Green Circle.D.Double Black Diamonds.BThere are only 11 documented cases of congenital aglossia(先天性无舌）in the world.Despite being born without a tongue,I can speak and swallow and taste just like anyone else. I was born in 1969,in the days before ultrasound scans(超声波检查）。
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期开学测试数学(理)(解析版)
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期开学测试数学（理）一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 2．已知a R ∈，若复数11aiai+-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．±1D ．2±【答案】C【解析】对复数的分子分母都乘以分母的共轭复数，再根据复数为纯虚数进行运算. 【详解】∵()()()()22212111111a ai ai aiai ai ai a-+++==--++， 又∵复数为纯虚数，∴210a -=， 解得1a =±， 故选：C. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.3．将函数 sin()4y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，则所得函数图像的解析式为（ ） A ．5sin()224x y π=-B ．sin()23x y π=- C ．5sin()212x y π=- D ．7sin(2)12y x π=- 【答案】B【解析】函数πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭经伸长变换得1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选B ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.4．已知向量()3,2a =，()2,3b =，则下列结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．()()a b a b -⊥+C ．//a bD ．()()//a b a b -+【答案】B【解析】利用向量的加、减法的坐标运算公式、向量平行、垂直的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为120a b ⋅=≠，则a ，b 不垂直，A 错误；又因为()()220a b a b a b -⋅+=-=，所以()()a b a b -⊥+，B 正确，D 错误；a ，b 显然不平行，C 错误.故选：B . 【点睛】本题考查向量的坐标运算及向量平行、垂直的坐标运算，较简单.5．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤【答案】B 【解析】用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．6．在[]1,1-上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(x 13)25y -+=相交”发生的概率为（ ） A ．12B ．513C ．512D ．34【答案】C【解析】通过直线y kx =与圆22(x 13)25y -+=相交，计算直线斜率55,1212k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，再根据几何概型求出概率. 【详解】直线y kx =与圆22(x 13)25y -+=相交555,1212d k ⎛⎫=<⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时与圆相交，故所求概率10512212P ==. 故答案选C 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，几何概型求概率，意在考查学生的计算能力. 7．对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是（ ） A ．m n ⊥，m ∥α，n ∥β B ．m n ⊥，m αβ=，n ⊂αC ．//m n ，n β⊥，m α⊂D ．//m n ，m α⊥，n β⊥【解析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案. 【详解】A 选项中，根据m n ⊥，m ∥α，n ∥β，得到αβ⊥或α∥β，所以A 错误；B 选项中，m n ⊥，m αβ=，n ⊂α，不一定得到αβ⊥，所以B 错误；C 选项中，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊂，从而得到αβ⊥，所以C 正确；D 选项中，根据//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以得到α∥β，所以D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题. 8．函数()()22xf x x x e =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD ；再由0x <时，()f x 恒为正，排除C 即可得解. 【详解】函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为2±，故排除AD ， 且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ， 即只有B 选项符合要求，【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题. 9．冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i=（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】根据循环结构程序框架图依次进行计算，即可得到答案.【详解】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z∈，1422S=⨯=，314i=+=，1S≠；第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =； 此时输出5i =. 故选：B 【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =22所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．设m R ∈，实数,x y 满足,{2360,3260.y m x y x y ≥-+≥--≤，若218x y +≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．33m -≤≤ B ．66-≤≤mC ．36m -≤≤D ．60m -≤≤【答案】C 【解析】【详解】由题意得可行域所围成的三角形必在两平行直线218,218x y x y +=+=- 之间，由236=0326=0x y x y -+⎧⎨--⎩，解得(6,6)A ，由236=0218x y x y -+⎧⎨+=-⎩，解得15(,3)2B --，由图可知，实数m 的取值范围是36m -≤≤. 故选：C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 12．已知函数()3log,03πcos,393x xf xx x⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1x，2x，3x，4x，当1234x x x x<<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x===，则1234x x x x⋅⋅⋅的取值范围是（）A．297,4⎛⎫⎪⎝⎭B．13521,4⎛⎫⎪⎝⎭C．[)27,30D．13527,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】作出()f x的图象，由图象可知3132log logx x=，则可得出121x x⋅=，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x=对称，所以3412x x+=，且393,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()12343312x x x x x x⋅⋅⋅=-，利用二次函数的性质求出其值域即可.【详解】作出函数()f x的图象如图所示，可以发现3132log logx x=，即3132log logx x-=，所以()3132312log log log0x x x x+=⋅=，121x x⋅=.由余弦函数的图象可知，()f x在[]3,9上的图象关于直线6x=对称，所以3412x x+=，且393,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此1234x x x x ⋅⋅⋅变形为()()()223333331212636g x x x x x x =-=-+=--+，所以当33x =时，()3min 27g x =；当392x =时，()3max 1354g x =. 所以1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是13527,4⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数与方程思想的运用，难度一般,准确画出函数的图象是关键.二、填空题13．在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的r 值，代入求常数项. 【详解】展开式的通项公式是()626123166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 当1230r -=时，4r =24416260T C +=⋅=.故答案为60 【点睛】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型. 14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin sin sin 2sin sin a A b B c CC a B+-=，则C 的大小为______.【答案】π4. 【解析】根据正弦定理边角互化，得到2222sin a b c C ab+-=，再根据余弦定理，计算求得角C 的大小. 【详解】由sin sin sin 2sin sin a A b B c C C a B +-=及正弦定理得2222sin a b c C ab +-=，所以2cos 2sin ab C C ab=，即cos sin C C =，因为0πC <<，所以π4C =.故答案为：4π【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型. 15．已知直线:l y kx t =+与圆：22(1)1x y ++=相切且与抛物线2:4C x y =交于不同的两点,,M N 则实数t 的取值范围是_____ 【答案】0t >或3t <-【解析】2212k t t =⇒=+.又把直线方程代入抛物线方程并整理得2440x kx t --=，于是由22161616(2)160k t t t t ∆=+=++>，得0t >或3t <-.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、直线和抛物线的位置关系.16．若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是______. 【答案】[)1,+∞.【解析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果. 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点()22，即是A ，B 的中点， ∴4m n +=， ∴()111 2141114m n m n n n mm n m ⎛⎫+=⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭++≥，当2m n ==等号成立， 故11m n+的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题主要考查函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值，考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系，属于中档题.三、解答题 17．已知点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()2n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）若()1log n a n b a +=-，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）3,121,22nn n a n ⎧-=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）352n n n T +=-. 【解析】（1）将点11,2⎛⎫⎪⎝⎭代入解出a ，然后利用()-12n n n a S S n =-≥求解； （2）将1n a +的表达式代入()1log n a n b a +=-，得到n b 的表达式，然后利用错位相减法求{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】解：（1）把点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数()()0,1x f x a a a =>≠得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 的前n 项和满足()1222nn S f n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当1n =时，1132a s ==-；当2n ≥时，11111222n n nn n n a S S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3,121,22nn n a n ⎧-=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）由12a =，()1log n a n b a +=-得1n b n =+，所以 ()23311123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⋅⋅⋅-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()3411311134122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.②由①-②得：()34133111112242222n nn T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---++⋅⋅⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()1113515222n nn n n T n -+⎛⎫⎛⎫=-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查数列的通项公式求解，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，难度一般. 18．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X65 70 75 80()P X127 2949 82712486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在线段11A B 上，且11A P PB λ=.（1）求证：不论λ取何值，总有AM PN ⊥；（2）当1λ=时，求平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（214. 【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出,PN AM ，然后计算⋅PN AM ，进行判断可得结果.（2）分别计算平面ABC ，平面PMN 的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】以点A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，(0,2,1)M ，(1,1,0)N .（1）()11111A P PB A B A P λλ==-，1112(2,0,0),0,0111λλλλλλ⎛⎫∴=== ⎪+++⎝⎭A P AB ， 1122(0,0,2),0,0,0,211λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭AP AA A P ，21(1,1,0),0,2,1,211λλλλ-⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭PN AN AP .(0,2,1)=AM ，0220AM PN ∴⋅=+-=，因此，无论λ取何值，AM PN ⊥；（2）当1λ=时，(1,0,2)P ，(0,1,2)=-PN ，(1,2,1)=--PM ，平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =， 设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2020m PM x y z m PN y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-=⎩，令1z =，得3,2x y ==，则(3,2,1)=m ，设α为平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则||14cos ||||14α⋅==⋅m n m n .因此，平面PMN 与平面ABC所成二面角的余弦值是14. 【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，重在计算，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>四个顶点中的三个是边长为形的顶点.（1）求椭圆E 的方程：（2）设直线y kx m =+与圆O ：22223bx y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（2）2. 【解析】（1）由题意可得3a b，再根据边长为,a b 的值便可解出椭圆的标准方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，先根据直线y kx m =+与圆22223bx y +=相切，利用点到线距离公式得到()2221m k=+，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式得到MN 关于k 与m 的表达式，将()2221m k =+代入得到关于k 的表达式，然后设法求最值. 【详解】解：（1）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， ∴3ab，b =∴ 3a =，b =E ：22193x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，因为圆O ：222x y +=，因为直线y kx m =+与圆O ：222x y +=相切， 所以点O 到直线y kx m =+=，即()2221m k =+.联立方程22193x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()222136330k x kmx m +++-=，设，则122613km x x k +=-+，()21223313m x x k-⋅=+，故MN ==()()222122712132k k k ⎡⎤+++⎣⎦=≤=+.当且仅当222271k k +=+即215k =时等号成立.所以弦长MN . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆相交时弦长的最值问题，难度较大.解答时，利用韦达定理表示弦长的表达式是关键，然后利用基本不等式、函数等方法求其最值. 21．已知函数()(sin cos )e x f x x x x =+-，()'f x 为()f x 的导函数． （1）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 的单调区间； （2）若0x ≥，证明：()1f x x ≥-． 【答案】（1）()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，；单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z ；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意，求得()(),g x g x '，解三角不等式则问题得解；（2）构造函数()()1h x f x x =+-，通过二次求导，判断()h x 的单调性，即可求得()h x 的最小值，则问题得解. 【详解】（1）由已知，()(1cos sin )e (sin cos )e (12sin )e x x x f x x x x x x x x '=++++-=++，所以()()()(1sin cos )e x g x f x f x x x '=-=++，()(12cos )e xg x x '=+，令()0g x '>，得1cos 2x >-，解得2π2π2π2π,33k x k k -+<<+∈Z ， 令()0g x '<，得1cos 2x <-，解得2π4π2π2π,33k x k k +<<+∈Z ， 故()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，；单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z . （2）要证()1f x x ≥-，只需证：0()1f x x +-≥．设()()1h x f x x =+-，0x ≥，则()()1(12sin )e 1xh x f x x x ''=-=++-．记()()(12sin )e 1x t x h x x x '==++-，则()(22sin 2cos )e xt x x x x '=+++．当[0,π]x ∈时，sin 0x ≥，又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '； 当(π,)x ∈+∞时，πx >，2sin 2x ≥-，所以2sin π20x x +>->， 又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '． 综上，当0x ≥时，()0t x '恒成立， 所以()t x 在[0,)+∞上单调递增．所以，()(0)0t x t ≥=，即()0h x '≥， 所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h ≥=，证毕． 【点睛】本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道有一定难度的压轴题.22．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（其中t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）若点(,)P x y 在直线l 上，且23x y x y--=+，求直线l 的斜率；（2）若4πα=，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）12-；（2）12+. 【解析】（1）根据直线的参数方程，设出点P 的坐标，代入直线方程并化简，即可求得tan α，即为直线l 的斜率；（2）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线距离公式，再加半径即为圆上的点到直线距离的最大值. 【详解】（1）设点(1cos ,1sin )P t t αα+-+，则2cos sin cos sin 3cos sin cos sin x y t t x y t t αααααααα----===+++，整理可得2sin cos αα=-，即1tan 2α=-，∴直线l 的斜率为12-. （2）曲线C 的方程可化为22sin ρρθ=，化成普通方程可得222x y y +=，即22(1)1y x +-=，曲线C 表示圆心为(0,1)C ，半径为1的圆， 直线l 的参数方程化成普通方程可得20x y --=，圆心C 到直线l 的距离为2d ==，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为12+. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化，点到直线距离公式的应用，属于基础题.23．已知()12f x x ax a =---（其中a R ∈）. （1）若1a =，求不等式()1f x <的解集；（2）若不等式()4f x x ≥-对[)2,8x ∀∈恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|2x x <（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将1a =代入函数解析式，由不等式可知121x x ---<，对x 分类讨论去绝对值，即可解不等式.（2）将()f x 解析式代入不等式，根据[)2,8x ∈去绝对值化简，讨论2x =与()2,8x ∈两种情况.分离参数a ，结合恒成立问题解法即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）()12f x x ax a =---，当1a =时，代入可得()12f x x x =---； 此时()1f x <化为121x x ---<.当1x ≤时，不等式化为()()121x x --+-<， ∴可得11-<，即1x ≤；当12x <<时，不等式化为()()121x x -+-<， ∴2x <，即12x <<；当2x ≥时，不等式化为()()121x x ---<，解得为∅； 综上，()1f x <的解集为{}|2x x <.（2）当28x ≤<时，()1(2)f x x a x =---， 由()4f x x ≥-可得1(2)4x a x x ---≥-， 当2x =时，不等式显然成立，当28x <<时，可得32a x ≤-，而当()2,8x ∈时，3122x >-， 故只需12a ≤，即1122a -≤≤，∴a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了分类讨论解含绝对值的不等式，不等式恒成立问题的证明，属于中档题.。
2021年高三上学期开学初检测数学(文)试卷含答案
2021年高三上学期开学初检测数学（文）试卷含答案一. 选择题.( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设R为实数集，集合，，则( )A、 B、C、 D、2．设命题“任意”，则非为（）A.存在B.存在C.任意 D。
任意3．已知复数z＝a-+-bi(a,bR, 且ab≠0),若z(1-2i)为实数，则＝（）A.、2B.－2C.－D.4．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A.10B.15C.20D.305．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A． B. C. D．6．若函数为奇函数，，则不等式的解集为（ ）A 、B 、C 、D 、7．点M ，N 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过点A ，M ，N 和点D ，N ，C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图、左视图、俯视图依次为( )A ．①③④B ．②④③C ．①②③D ．②③④8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．. 3 C 2 D ．3 9．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为( )A. B. C. D.10．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ． x ＋2y ＋z －2＝0B ．x ＋2y ＋z ＋2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x －2y －z －2＝011．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ． f (1)<f (a )<f (b )B ．f (b )<f (1)<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1)D ．f (a )<f (1)<f (b ) 12．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形, 底面， ，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
河南省郑州市第一中学2021届高三上学期第五次周测数学(文)答案
则由 | OP |, 2 5,| OM |成等比数列，可得 | OP | | OM |= 20 ，（1 分）
即
1
= 20 ， 1
=
20
．（2 分）
高三 21 届高三文科数学周测五答案 第4页（共 5 页）
又
M (1
，)
满足
1
=
4sin
，即
20
=
4sin
， （3
分）
sin = 5 ，（4 分）
四边形
MNF1F2
为矩形，且 |
MF1
|=
5 2
． （1
分）
点 M 的坐标为 (c, b2 ) ．（2 分） a
又 b2 = 3 b ， a2
b = 3 ．（3 分） a2
设 a = 2k,b = 3k ，则 c = k ．
在
Rt
△
MF1F2
中， |
MF2
|=
3 2
k
，|
F1F2
|=
2k
，
|
MF1
．（9 分）
又 | MN |= 1 + k 2 | x1 − x2 |= 1 + k 2
(x1 + x2 )2 − 4x1x2 = 1 + k 2
192k 2 + 36 3 + 4k 2
， （10
分）
3 + 3k 2 3 3 + 4k2 = 7
1+ k2
192k 2 + 36 ， 3 + 4k2
即 7 1 + k 2 = 192k 2 + 36 ，
得 t2 + 2t − 3 = 0 ，（8 分）
河南省郑州一中2021届高三上学期开学测试数学(理)试题 PDF版
已知点
1,
1 2
是函数
f
x
ax
a
0, a
1 的图象上一点，数列an 的前 n 项和是 Sn
f
n 2 ．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若 bn loga an1 ，求数列an bn 的前 n 项和 Tn .
18. （12 分） 某土特产超市为预估 2021 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2020 年元旦期间的 90 位游客购买
12．已知函数
f
(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|
log3
x
|,0
cos 3 x,3
x x
3 9
，若存在实数
x1 ，
x2
，
x3
，
x4 ，当
x1
x2
x3
x4
时，
满足 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (x4) ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（ ）
A． (7, 29) 4
B． (21,135) 4
4
6
则所得函数图象的解析式为（ ）
A． y sin( x 5 ) 2 24
B． y sin( x ) 23
C． y sin( x 5 ) 2 12
D． y sin(2x 7 ) 12
4．已知向量 a (3, 2) ， b (2,3) ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b B． (a b) (a b) C． a / /b
1 的取值 n
范围是
.
高三 理科数学试题 第 2 页（共 4 页）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. （12 分）