平面向量-2019年高考理科数学解读考纲
4.1平面向量的概念及其线性运算
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1．向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则平行四边形法则(1)a(2)((三角形法则a(1)|λa|＝|λ||a|；向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa。
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)。
2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。
要特别注意零向量的特殊性。
一、走进教材1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________。
(用a ，b 表示)解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b 。
答案 b －a －a －b2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD→|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________。
解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|。
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形。
答案 矩形二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A 。
2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§52 平面向量基本定理及坐标表示.docx
考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型预测热度1 .平面向量基本定理 了解平面向量的基本定理及其意义了解2017 江苏,12;2015 北京，13; 2013 北京,13 选輙 填空题2.平面向赢的坐标运 算①掌握平面向昴的正交分解及其坐标表不;②会用坐标表示平面向昴的加法、减法与 数乘运算；③ 理解用坐标表不的平面向最共线的条件掌握2016课标全国H ,3;2015 江苏,6; 2014 陕西,13; 2013 重庆，10选择题 填空题分析解读1 •理解平面向量基本定理的实质.理解基底的概念.会用给定的基底表示向量• 2.掌握求向量坐标的方法.掌握平面向量 的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题• 4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考 考查的重点.分值约为5分，属中低档题•五年高考1. __________________________________________________________ (2015北京」3,5分)在ZiABC 中，点M,N 满足二2三若二x+y,则x 二____________________________________________________ ,y= ________答案2. (2013北京,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示•若c 二;U+“b( A , “ WR),则二 ____答案4考点二平面向量的坐标运算1.(2016课标全国U ,3,5分)已知向量a=(l >m)>b=(3,-2),且(a+b)丄b,则m=( )A. -8B. -6C.6D.8答案D2. (2015 江苏,6,5 分)已知向量 a 二(2,1) ,b 二(1 ,・2)，若ma+nb 二(9,・8)(m,nWR),则 m-n 的值为 .答案-33. (2014 陕西,13,5 分)设向量 a 二(sin 20 ,cos 0 ),b=(cos 0,1),若 a 〃b,则 tan 0- _________ .答案教师用书专用(4一5)4. (2013重庆,10,5分)在平面上，丄，丨1 = 11=1,=+.若lie,则II 的取值范围是( ) A. B. C.D.答案D§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量基本定理5. (2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB=2,BC=1, ZABC 二60".动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且二入，二,则■的最小值为 _______ . 答案三年模拟A 组2016-2018年模拟•基础题组平面向量基本定理1. （2018江西南昌二中月考,9）D 是AABC 所在平面内一点，二入+ “（入，“ WR ）,则“0＜入＜1”是“点D 在AABC 内部（不含边界）”的（）A.充分不必要条件 B •必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2018江西新余一中四模,7）已知AOAB,若点C 满足二2，二入+ “（入，“ £R ）,则+二（ ） A. B. C.D.答案D3. （人教A 必4,二,2-3B,3,变式）正方形ABCD 中,E 为DC 的中点，若二入+ 〃，则入+ “的值为（ ） A. B.- C.l D.-1答案A4. （2017河南中原名校4月联考,7）如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点0,E 为A0的中点,若二入+ “（入，“为实数）,则 A 2+ZZ =（）A. B. C.lD.答案A5. （2017河南安阳调硏,13）已知G 为△ ABC 的重心、令二a, =b 、过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且，二nb,则答案3考点二平面向量的坐标运算6. （2018海南海口模拟,5）已知两个非零向量a 与b ，若a+b=（ -3,6） ,a-b=（ -3,2）,则的值为（） A.-3B.-24C.21D.12答案C7. （2017河北翼州模拟,7）已知向量a=,b=（4,4cos a ・）,若a 丄b,则sin=（ ） A. -B. -C.D.答案B8. （2017福建四地六校4月联考,13）已知A （1,0）,B （4,0）,C （3,4）,0为坐标原点，且二（+・）,则11等于 .考点一 R答案2B组2016—2018年模拟•提升题组（满分:15分时间:10分钟）一、选择题（每小题5分，共10分｝1.（2018四川德阳三校联考,11 ）在厶ABC中,AB=AC二5,BC二6,1是△ ABC的内心,若*■!!（m,n丘R）,则二（）A. B. C. 2 D.答案B2.（2017安徽安庆模拟,6）已知a,b丘R+,若向显”（2,12・2a）与向就n=（ 1,2b）共线,则+的最大值为（）A.6B.4C.3D.答案A二、填空题（共5分）3.（2016河北石家庄二模,15）在AABC中J 1=3 J l=5,M是BC的中点,= A（ A ER）,若二+,则AABC的面积为___答案C 组2016—2018年模拟•方法题组1. （2018河南林州一中调研,9）已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点0,点P 在△C0D 的内部（不含边界）.若二x+y,则实数对（x,y ）可以是（）B. D.D2. （2017山西大学附中模拟,15）在直角梯形ABCD 中,AB 丄AD,DC 〃AB,AD=DC 二1 ,AB=2,E,F 分别为AB,BC 的中点，点P 在以A 为圆 心,AD 长为半径的圆弧DE 上运动（如图所示）.若二入+ “，其中入，“WR,则2入的取值范围是答案[-1,1]方法2平面向量的坐标运算技巧3. （2018重庆一中月考,10）给定两个单位向量，，且•二・,点C 在以0点为圆心的圆弧AB 上运动 ，二x+y,则 x-y 的最小值为（）B.-lC.-2D.0答案B4. （2016江西赣州二模）设向量二（x+2,x —cos 2a ）, = ?其中x,y, a 为实数，若二2、则的取值范围为（） A.[-6,l]B.[-l,6]B. [4,8] D.（o,l]答案A方法3方程的思想方法5. （2017山西临汾一中月考,4）已知向量a=（2,m ）,b=（l,l ）,若a ・b=la-bl,则实数m=（ ） A. B. - C. D.-答案D6. （2018吉林长春期中,15）向量,，在正方形网格中的位置如图所示,若二入+ “（入，“ £R）,则二 _方法1 平面向量基本定理及其应用策略A. C.答案答案27.（2016浙江温州二模,⑶如图，矩形ABCD中,AB=3,AD=4MN分别为线段BC,CD（不包括端点）上的点，且满足+二1,若二x+y,则x+y的最小值为_______ .NMB 答案。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破理含解析20190330225
平面向量及其应用1．在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512bB.13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C. 【答案】 C2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 【解析】由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a－2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C. 【答案】 C3．已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B.【答案】 B4．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4【解析】依题意得a ·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C. 【答案】 C5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB →－2BC →)·(3BC →＋4CA →)＝( )A ．－132B ．－112C ．－6－32D ．－6＋326．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516【解析】DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.【答案】 A。
2019高考数学理高分大二轮课件专题3第1讲平面向量
第1讲 平面向量
［考情考向分析］ 1．考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为
选择题、填空题，难度为中低档． 2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还
常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．
考点一 考点二
考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．(向量分解 )如图所示，在直角梯形 ABCD 中，D→C＝
14A→B，B→E＝2E→C，且A→E＝rA→B＋sA→D，则 2r＋3s
＝ A．1 C．3
B．2 D．4
()
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精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二
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精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二
又B→E＝2E→C，所以 E 为 PB 的中点，且 A→P＝43A→D. 于是， A→E＝12(A→B＋A→P)＝12(A→B＋43A→D)＝12A→B＋23A→D.(利用向量加法运算及其几何意 义逐步变形 ) 以下同法一．
解析：法一 ：根据图形，由题意可得 A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋23B→C＝A→B＋23(B→A＋A→D＋ D→C)＝13A→B＋23(A→D＋D→C)＝13A→B＋23(A→D＋14A→B)＝12A→B＋23A→D.(利用向量加法运算及 其几何意义逐步变形 ) 因为A→E＝rA→B＋sA→D，所以 r＝12，s＝23， 则 2r＋3s＝1＋2＝3，故选 C.
2．(向量共线)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则λ＝________. 解析：2a＋b＝(4,2)，因为 c ∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝12. 答案：12
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用教学案理含解析
平面向量及其应用【2019年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a＝x2＋y2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝错误!.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例1】(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 【解析】由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.【答案】 12【变式探究】 (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →【变式探究】【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.【举一反三】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →. 答案 A【变式探究】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －16【变式探究】已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2【解析】∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn＝－2. 【答案】 C【变式探究】已知P 为△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2PD →＋PC →＝(λ＋1)PA →＋PB →，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为________．【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．【变式探究】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【解析】如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 题型二、平面向量的数量积【例2】(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________． 【解析】设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →＝(－2，n )． ∴AE →·BF →＝－2＋mn ， 又知|EF →|＝2，∴|m －n |＝2.①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3. ②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3. ∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. 【答案】 －3【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB→＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32，故选B. 【答案】 B【变式探究】已知|a |＝1，b ＝(－1,1)且a ⊥(a ＋b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，因为a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝0，即|a |2＋a ·b ＝1＋|a ||b |cos θ＝1＋2cos θ＝0，cos θ＝－22，θ＝3π4，故选D. 【答案】 D【变式探究】已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在BA →方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5 D.322【解析】依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－35，选A.【答案】 A【变式探究】已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，－6)，若向量c 满足c 与b 的夹角为120°，c ·(4a ＋b )＝5，则|c |＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．2 5【解析】依题意可得|a |＝5，|b |＝35，a ∥b .由c ·(4a ＋b )＝5，可得4a ·c ＋b ·c ＝5.由c 与b 的夹角为120°，可得c 与a 的夹角为60°，则有b ·c ＝|b ||c |cos120°＝|c |×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－352|c |，a ·c ＝|a ||c |cos60°＝|c |×5×12＝52|c |，所以4×52|c |－352|c |＝5，解得|c |＝25，故选D.【答案】 D【变式探究】如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.【举一反三】已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2. 答案 D【变式探究】△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析 由于△ABC 是边长为2的等边三角形； ∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0， ∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.答案 D【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B. 15C ．9D ．6解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C. 答案 C题型三、平面向量基本定理及应用例3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5 D ．2【解析】分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)． ∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)， AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP →＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3.【答案】 A【变式探究】【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==,===-2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是( )（A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R解析 由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.答案 A【举一反三】已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案 －3题型四 平面向量的长度与角度问题例4．【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D ．π【变式探究】对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ，b>|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立．故选B.答案 B【举一反三】已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712解析 如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1)．因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)． AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C. 答案 C。
2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§51 平面向量的基本概念与线性运算.docx
第五章平面向量解答过程答案:A解析:(解法一)如虱以A为原点、以AB,AD所在直线为x.y轴建立如圏所示的坐标系、则A(0,0),B(l,0),D(0,2),C(l,2)・动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上、设圆的半径为r,■/B(?=2,CD=1，/.BD==,/.BC • CD=BD • r,.\r=,二圆的方程为(x・b+(y・2r=,设点P的坐标为••・・二人+“,/.= A(1,0)+/z(0,2)=( A,2/2),/.cos ^+1= A ,sin 0+2=2“》・••入+ “=cos "+sin "+2二sin( " + 0 )+2,其中匕in 卩=2. •・・-lWsin3 + 0｝Wl,・・・lW；U“W3,故g的最大值为3,故选A・(解法二)分别以CB. CD所在的直线为x轴、y轴廻立直角坐标系，则A⑵1) ,B(2.0) ,D(0J)・•・•点P在以C为圜心且与BD相切的圆上.•••可设P.则=«),-1)(=(-2,0)(=.又二入+“，.••入二・$in & + I, “二・cos ＜9 + 1,/. A + “=2・sin 0 - cos &=2・sin(& + 倂)，其中tan 少=,二(A+ju)x»=3厂❽能力要求｝1 •李握侧的参数方程在址值问题中的应用2•理解数形结合思世的本质，能用代数的方法解决儿何问融再＞方法归纳〕 --------------- 解决此类问題的关键肚通过参数方程中的参数将二元鼓值问題转化为•元扱值问题.这类消九饿略是解决二元域值问题的一个虫要思路®命题规律) --------------------- 1•必考内容：卩面向肚的皋本定理与坐标运算2考黃形式：多以选择题或填空题的形式呈现，髙考中亦冇以下儿种命题方式：①平Iftl向叶的圧本定理及其意义；②用坐标农示平面向笊的加法、减法与数乘运算命题探究声＞核心考点) ---------l.Y-rti向駅的坐标运算2 •直线与阴的位理关系3 •三角函数的性质（2017课标全Win, 12, 5分）在矩i^ABCD屮，AB=L AD=29动点P在以点C为圆心且与BD相切的岡上.若石M 入涵+卩石5,则入+卩的加大偵为() A.3B.X/2C.J5D.2弋思骼分析) ----------------1 •建立平面直角坐标系2•求出圆的标战方程，并设出点P 的坐标3 •由乔=入祐卩”求出入严4 •根据三角函数的性质即可求得最值储备知領) -------------1 •平面向址的基本定綁与坐标运算2圆("甥巴")®上的―点可设为：｛諾寫;(。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破文含解析
平面向量及其应用ABCDK AC 为一条对角线，AB= (2,4),辰(1,3)，则 DA=()• ( - 1 , - 1) 【答案】C【解析】DA= C B= AB-辰(2,4) - (1,3) = (1,1).2.在等腰梯形 ABCDK AB= — 2CD M 为BC 的中点，贝U AM=( )1 A 1A 3A 1AA .严 2A D B• 4A 盼 2AD【答案】B 【解析】因为屁=—2CD 所以AB= 2DC 又M 是BC 的中点，所以AM= 2(A B^AC = 2(A B + 荷DC,2 ,，所以BA- 血甲+乎二均3又因为B A' BC = |B A | BC|cos / AB = 1X 1X COS / ABC 所以 cos / AB G^.又 0°w/ AB&180°,所以/ ABC= 30° .故选 A.4 .将OA= (1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到 A B 则 A B=()【解析】由题意可得创的横坐标工二迈£呃眇+ 迈;#-乎卜 f 纵坐标丁=7^sin 何+铲)=诳(乎+尊=号虫，则易=：二^,号吗 1 5.△ ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心O 满足AO= 2(AB+ AC , |AO = |AC ，则向量 薛在Bi 方向上的投影等 于( )逅V3 A .-B .22A . (2,4)B . (3,5)1 •在平行四边形C. (1,1) C .4AEE +4A DD.1AB + 4A D3.已知向量 A . 30°C. 60°)=4AB+ 2AD 故选 B. 2, ¥，张于 2，则/ ABC=() B . 45°EBA=D. 120°【答案】AA.【答案】【解析】因为B A= 2,C. B.1-，2—1 — ,3 1 — *3 1 + *3 2 ， 2 —1+ 3 D.2 ；943 C.2D. 31【答案】C 【解析】由AO= 2(A 內AC 可知0是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA = |O B = |OC |.又因为|A0 = | AC = 1,故4 OAC 为等边三角形，即/ AOC= 60°，由圆周角定理可知/ ABG= 30°,且| AB | = 3，所以BA 在誠向上的投影为|BA • cos / ABC= 3X cos 30 ° = 2,故选C. 6 •已知A, B, C 是圆O 上的不同的三点，线段 CO 与线段AE 交于点 D,若 OC=入 OAF 卩 OB 入€ R,卩 €R),则入+卩的取值范围是( )A . (0,1) B. (1 ,+^)C. (1 , - 2]D . ( —1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD- k OC= k 入O AF k 卩OB 0<k <1),又AD, B 三点共线可得k 入+ k ^ = 1, 1则入+ □= “ >1，即卩入+卩的取值范围是(1 ,+^)，故选B.k17.已知非零向量 m n 满足4| m = 3| n | , cos 〈m n 〉= 3,若n 丄(t m F n )，则实数t 的值为( )A . 4 B.— 4C・42• t|m ||n| cos 〈 m n 〉+ | n | = 0. 厂3 2 12又 4|m = 3|n | , • t X 4|n | X 3+ | n | = 0 ,解得t = — 4.故选B.8. 如图3-3, BC DE 是半径为1的圆O 的两条直径, 图3-3 3A . — ； B4 1 C.— _ D【答案】B 【解析】T n 丄(tm + n ), ••• n •( t2n F n ) = 0,即 tm • n + |n | = 0 ,归2F O 则F D- FE 等于(B【答案】B【解析】T BF= 2FO圆O的半径为1,94————————————|' 1 2••• FD - FE = (FB OD •(FO+ OE = FO + F0・(0曰 OD + OD O E=々 2+ 0— 1 = -2丿9.设向量 a = (a i ,a ?) ,b = (b i , b 2)，定义一种向量积： a ?b = (a i , a 2)?(b , b 2)= (a i b i , a 2b 2).已知向量 m2| b | + 4| b | = I2,解得 |b | = 2(负舍).8 9.0，点P 在y = cos x 的图象上运动，点Q 在y = f (x )的图象上运动，且满足 0Q= n ?OP,n+ n (其中O 为坐标原点)，则y = f (x )在区间.|—, A . 4 B . 2 C. 2 2 D . 2 3【答案】A 【解析】因为点 P 在y = cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(X 。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破文含解析
平面向量及其应用1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1)【答案】C 【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)． 2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 【答案】B 【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A 【解析】因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC→|cos∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A. 4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－325．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( ) A ．－32B ．32C.32D ．3 【答案】C 【解析】由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC→|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94【答案】B 【解析】∵n⊥(tm ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0， ∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.8．如图33，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )图33A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B 【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【答案】A 【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.【答案】2【解析】由题意得 |a |＝12＋32＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cosπ3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →·BD →＝________.12．在如图32所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．图32 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx －2y ＝1，λx －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 【答案】712【解析】∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712. 14．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →·OC →＝__________. 【答案】－16【解析】∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16.15．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ， sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.4分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.6分(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，9分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分16．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3. 答案：23π17．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.18．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
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08 平面向量
（九）平面向量
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景.
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
（3）理解向量的几何表示.
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量是每年高考的必考知识点，一般以“一小”的形式呈现，多为容易或中档题.预计在2019年的高考中，仍将以“一小”的形式进行考查，命题的热点有如下四部分内容：
一是给出三角形或四边形的背景，考查平面向量基本定理，难度为容易或中档；
二是考查平面向量的共线或垂直的坐标表示，多是求参数的值的问题，难度为容易或中档；
三是考查平面向量的数量积或夹角，难度多为中档；
四是考查求平面向量的模或求模的最值，难度为中档或高档.
虽然近五年在小题中较少考查平面向量与其他知识相交汇的内容，但有关平面向量与三角函数、解析几何、基本不等式、概率等知识相交汇的内容也需给予关注，在2019年高考中有可能成为新的命题点.
考向一平面向量的线性运算
样题1 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF
A．B．
C．D．
【答案】D
故选D.
【名师点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.利用向量的三
角形法则和向量共线定理可得：，1=2AF AE ，，1=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.向量的运算有两种方法： 样题5（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若
，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．
C
D ．2 【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设, 易得圆的半径
r =，即圆C 的方程是，
，若满足，
则21x y μλ
=⎧⎨-=-⎩ ，，所以， 设，即，点(),P x y 在圆上，
所以圆心(20),到直线的距离d r ≤，即，解得13z ≤≤，
所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
考向四向量与其他知识的综合
样题6 （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，OA与OC的
m n∈R，则夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若(,)
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m n
【答案】3
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．。