最小二乘法在线性和非线性回归中的应用(12.15)
关于最小二乘法及其在回归问题中的应用
关于最小二乘法及其在回归问题中的应用最小二乘法是一种用于求解回归问题的统计方法。
它的基本思想是通过找到一条能够最好地拟合数据的线性函数，然后使用这个函数来预测未来的数据。
在本文中，我们将介绍最小二乘法的原理、方法和应用。
一、最小二乘法的原理最小二乘法的原理是利用残差平方和来确定模型中的参数。
残差是指观测值与预测值之间的差异。
用数学公式表示为：\epsilon_i = y_i - f(x_i)其中，y_i是第i个观测值，f(x_i)是模型对第i个观测值的预测值。
残差平方和被定义为所有残差的平方和。
用数学公式表示为：S = \sum_{i=1}^n \epsilon_i^2最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和S来确定模型中的参数。
当S达到最小值时，模型的预测能力最好。
二、最小二乘法的方法最小二乘法的方法是通过拟合一条直线来解决回归问题。
这条直线被称为回归线，它是通过最小化残差平方和S而求出的。
回归线的方程可以用下面的公式表示：y = a + bx其中，a和b是回归线的截距和斜率，x是自变量，y是因变量。
最小二乘法的过程可以分为以下几个步骤：1、确定自变量和因变量。
2、收集数据。
3、绘制散点图。
4、选择最适合的回归线。
5、计算回归线的方程。
6、使用回归线进行预测。
三、最小二乘法的应用最小二乘法在回归问题中有广泛的应用。
它可以用于预测未来的趋势，确定两个变量之间的关系，评估自变量和因变量之间的影响等。
以下是最小二乘法的一些常见应用：1、股票预测：最小二乘法可以用来预测股票价格的趋势，通过分析历史价格数据来预测未来的股价走势。
2、房价预测：最小二乘法可以用来预测房价的趋势，通过分析历史价格和房屋尺寸数据来预测未来的房价走势。
3、销售分析：最小二乘法可以用来分析销售数据，通过分析销售数据和广告费用数据来确定广告费用和销售之间的关系。
4、货币政策分析：最小二乘法可以用来分析货币政策，通过分析货币政策和经济指标数据来确定货币政策对经济的影响。
数据分析知识：数据挖掘中的最小二乘法
数据分析知识：数据挖掘中的最小二乘法最小二乘法是数据挖掘中常用的一种回归分析方法，它在多元线性回归和非线性回归中发挥着巨大的作用。
本文将从最小二乘法的原理、应用和局限性三个方面来详细介绍这一重要的分析方法。
一、最小二乘法的原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种用于拟合一组数据点的直线（或曲线）的方法。
所谓“最小二乘”，是指通过一个数学模型来进行逼近，对数据进行预测，并且使得实际数据与预测数据之间误差平方和最小。
通过这个数学模型，可以很好地拟合数据，预测未来趋势。
最小二乘法要求模型是线性的，也就是说，它可以写成变量的线性组合，比如y=ax+b。
在这种情况下，最小二乘法会求出对于给定的自变量x，使得它们的预测值y和观测值y之间的平方误差之和最小的系数a和b。
这种平方误差也被称为残差。
最小二乘法的本质是求解一个线性方程组，通过最小化残差平方和找到合适的系数。
在非线性的情况下，最小二乘法变成了非线性最小二乘法。
这种情况下，模型的形式就不是y=ax+b了，而是更为复杂的函数形式。
通过泰勒展开，非线性函数可以近似的写成一个线性复合的形式。
这时，最小二乘法就变成了求解线性方程组的问题。
二、最小二乘法的应用1.多元线性回归多元线性回归的基本思想是利用多个自变量去预测因变量，它可以通过最小二乘法来求得最优系数。
在多元线性回归中，每个解释变量的系数都可以通过线性回归方程来计算。
例如，考虑以下回归方程：y = b0+b1x1+b2x2+b3x3+……其中，y是解释变量，x1、x2、x3、x4等是解释变量的系数，b0是常数项。
这个方程可以用最小二乘法求解系数。
2.非线性回归当模型是非线性的时候，最小二乘法就变成了非线性最小二乘法。
非线性回归可以用于分析任何受因变量影响的变化趋势，包括对称曲线、S形曲线、指数曲线、对数曲线等。
非线性回归的最常见应用就是针对生物学、物理学、工程学等领域的自然现象研究。
最小二乘法在线性和非线性回归中的应用(12.15)
输入格式为： 1） x= lsqnonlin（‘fun’，x0）； 2） x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）； 3） x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options，‘grad’）； 4） [x，options]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）； 5） [x，options，funval]= lsqnonlin （‘fun’,x0,…）；
2
线性回归
在统计学中，线性回归(Linear Regression)是利用称为线 性回归方程的最小平方函数对一个或多个自变量和因变量 之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多 个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量 的情况称为简单回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归。 回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的 关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性 回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量， 且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归 分析。
InS InACt
记 InS y, InA a0,C1 a1, x t 则等式变成
y a0 a1x
这样仍可用最小二乘法定出（从而也就定 出了A,C ），得到近似函数
S AeCt
14
下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小 二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线 型的方程的参数估计方法 。
Ins Inp qInt
记 Ins y, Inp a0, a1 q, x Int, 则等式变成
y a0 a1x
这是一个一次多项式，它的系数和可以用最小二乘法求得.
13
二、我们经常希望用函数
S AeCt
去近似一个以给定的列表函数，其中 A,C是待定的参数，这时，我们可以对 等式的两端取对数
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用1. 最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的数学优化方法，其原理是通过最小化残差平方和来寻找数据的最佳拟合线或曲线。
当数据存在随机误差时，最小二乘法可以有效地估计模型参数。
最小二乘法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.首先，假设模型的形式，如线性模型：y=mx+b。
2.然后，定义一个衡量模型拟合程度的误差函数，通常采用残差的平方和：$E(m, b) = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - (mx_i + b))^2$。
3.接下来，根据最小二乘法的原理，我们需要通过对误差函数求偏导数，得出使误差函数最小化的模型参数。
4.最后，通过优化算法，如梯度下降法等，迭代地调整模型参数，使误差函数达到最小值，从而获得最佳拟合模型。
最小二乘法的原理非常简单和直观，因此被广泛应用于各个领域，如统计学、经济学、工程学等。
2. 最小二乘法的应用最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
2.1 线性回归线性回归是最小二乘法最常见的应用之一。
在线性回归中，最小二乘法用于估计自变量与因变量之间的线性关系。
通过最小化残差平方和，我们可以找到一条最佳拟合直线，从而对未知的因变量进行预测。
线性回归广泛应用于经济学、社会学等领域，帮助研究者探索变量之间的相互关系。
2.2 曲线拟合最小二乘法还可以用于曲线拟合。
当我们需要拟合一个非线性模型时，可以通过最小二乘法来估计参数。
通过选择适当的模型形式和误差函数，可以得到最佳拟合曲线，从而准确地描述数据的变化趋势。
曲线拟合在信号处理、图像处理等领域具有重要的应用。
2.3 数据降维数据降维是指将高维度的数据转化为低维度表示，以便于可视化和分析。
最小二乘法可以用于主成分分析（PCA）等降维方法中。
通过寻找投影方向，使得在低维度空间中的数据点到其投影点的平均距离最小化，可以实现数据的有效降维。
2.4 系统辨识在控制工程中，最小二乘法经常被用于系统辨识。
非线性曲线拟合的最小二乘法及其应用
非线性曲线拟合的最小二乘法及其应用非线性曲线拟合的最小二乘法是一种特殊的最小二乘拟合，源于非
线性回归，通常用来拟合复杂的曲线数据。
该方法包括数据解算和参
数拟合两个部分，在参数拟合部分，使用最小二乘法拟合获得最优的
参数，从而完成非线性曲线的拟合。
非线性曲线拟合的最小二乘法被广泛用于数学计算、信号处理、机器
学习以及物理、化学等多个领域的理论计算和实验研究。
1. 数学计算：可用非线性曲线拟合的最小二乘法进行二次函数拟合、
多项式拟合以及高次函数拟合，用于求解常见数学、物理问题中的数
值解及物理参数估算，并进行复杂程序的拟合和分析。
2. 信号处理：可用非线性最小二乘拟合方法对由采样信号产生的数据
进行拟合，从而获得目标函数的近似曲线，从而改善原信号的质量。
3. 机器学习：也可以用非线性曲线拟合的最小二乘法进行模型的训练，常用于拟合复杂的经验曲线或归纳出经验模型参数，从而用于分析、
定制解决复杂问题。
4. 物理、化学：可用该方法拟合物理、化学实验观测数据，获得各种
物理、化学实验内容的量化数据，绘制出准确的实验曲线，或分析出
物质间的关系及变化规律。
最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用1． 引言最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。
据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。
同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。
如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。
拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。
正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。
在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。
到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。
最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。
2. 最小二乘法所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为：21022)()(m ini i i i ix b b Y Y Y e--=-=∑∑∑∧为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例.i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）由于总体回归方程不能进行参数估计，我们只能对样本回归函数来估计即：i i i e x b b Y ++=10)...2,1(n i =从上面的公式可以看出：残差i e 是i Y 的真实值与估计值之差，估计总体回归函数最优方法是，选择10,B B 的估计量10,b b ，使得残差i e 尽可能的小.总之，最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y 的估计值与真实值差的平方和为最小，这种确定10,b b 的方法叫做最小二乘法。
最小二乘估计及其应用
最小二乘估计及其应用在许多实际问题中，我们需要从已知的数据集中预测一些未知的结果，这时候统计学中的回归分析就派上用场了。
回归分析旨在通过输入变量（预测因子）和输出变量（预测结果）之间的数学关系，来预测未知值。
其中最小二乘估计（Least Squares Estimation）是回归分析的一种基本方法，也广泛应用于其他实际问题中。
最小二乘估计是一种方法，通过最小化预测数据与实际数据之间的误差平方和来构建回归方程。
这个方法可以用于线性回归和非线性回归，因为这两种回归方法都需要预测数据与实际数据之间的误差平方和尽可能的小。
最小二乘估计的核心思想是，找到一条线/曲线（回归方程），使该线/曲线与每个实际数据点的距离之和最小。
这个距离也称为残差（Residual），表示预测值与真实值之间的差异，而误差平方和则是所有残差平方和的总和。
在线性回归中，最小二乘估计会找到一条直线（回归直线），使得直线上所有数据点到该直线的距离之和最小。
回归方程可以用以下公式表示：y = β0 + β1x其中y是输出变量，β0是y截距，β1是y与x之间的斜率，x是输入变量。
β0和β1的值是通过最小化残差平方和来估计。
非线性回归中，最小二乘估计会找到一条曲线（回归曲线），使得曲线上所有数据点到该曲线的距离之和最小。
在这种情况下，回归方程的形式不再是y=β0 + β1x，而是通过一些非线性函数（如指数、幂函数等）来表示。
这时候，估计β0和β1的完整算法由于模型的非线性而变得更加复杂，但最小二乘估计仍然是其中一个核心算法。
最小二乘估计可以应用于多种实际问题中。
在金融领域，最小二乘估计可用于计算资产回报和风险之间的关系。
在医学研究中，最小二乘估计可用于研究某种疾病与多个因素（如年龄、性别、生活方式）之间的关系。
在电子商务领域，最小二乘估计可用于分析客户购买行为，以制定更有效的市场营销战略。
总的来说，最小二乘估计可以应用于所有需要预测未知值的领域中。
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法在回归分析中的应用在统计学中，回归分析是一种广泛应用的分析方法。
它的主要目的是探讨自变量与因变量之间的关系，并用数学模型来解释它们之间的关联。
在这个过程中，最小二乘法是一种非常重要的工具，它可以帮助我们找到最佳的拟合直线或者曲线，从而最大限度地减小预测误差。
最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种常用的参数估计方法，在回归分析中，它被用来估计自变量与因变量之间的线性关系。
假设我们有一个包含n个观测值的数据集，其中自变量为X1, X2, ..., Xn，因变量为Y1, Y2, ..., Yn。
最小二乘法的目标是找到一个方程y=\beta_0+\beta_1X_i来拟合这些数据，使得预测值与观测值的离差平方和最小。
最小二乘法的实现过程是先确定回归系数（β0, β1），然后计算每个观测值与拟合直线的离差（也称为残差），然后计算这些残差的平方和。
由于残差可以是正数也可以是负数，所以用平方和而非绝对值和来求和，可以保证残差的平均值为0。
最终的目标是将这个平方和最小化，从而得到最佳的回归系数。
图1：最小二乘法的目标是找到一条拟合直线，使得残差平方和最小最小二乘法的优点最小二乘法在回归分析中有很多优点。
首先，它是一种可靠且简单的方法，可以处理大部分数据集和模型类型。
其次，最小二乘法所得到的结果是可解释的，它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，预测未来的趋势。
最后，最小二乘法还具有抗干扰性，即使数据中存在离群点（比如数据中的异常值），它也能够找到最佳的拟合直线。
最小二乘法的应用最小二乘法在回归分析中有广泛的应用。
例如，在金融学中，我们可以用最小二乘法来研究股票价格与宏观经济指标之间的关系。
在医学研究中，我们可以用最小二乘法来研究某个疾病的风险因素，例如高血压、肥胖等。
在教育研究中，我们可以用最小二乘法来研究学习成就与教育资源之间的关系。
最小二乘法的限制尽管最小二乘法在回归分析中有很多优点，但它也有一些局限性。
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程序二仿真结果：（n=2）
p=[33.0311, -1.3032e+05, 1.2852e+08]’ 残差平方和： e=2.8924e+06
两个程序得出的结 论是一致的！
25
五次多项式拟合
p=polyfit(x,y,5);
仿真结果
p=polyfit(x,y,m) m=5
残差平方和： e=4.149e+05
18
用MATLAB解回归问题
1、线性最小二乘拟合 2、非线性最小二乘拟合
19
用MATLAB作线性最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m)
输入同长度
拟合多项
的数组X，Y
式次数
2. 对超定方程组 Rnmam1 yn1 (m n) ，用 a R \ y
lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T 中的参量x，使得
f T (x) f (x) f1(x)2 f2 (x)2 fn (x)2
最小。 其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）
=F(x,xdatai)-ydatai
fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
28
2. lsqnonlin
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
1. lsqcurvefit
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
b=2006:1:2015;
x=b';
y=[7689,9440,11555,13060,16038,19670,22154,24622,27037,29047.2]';
%plot(x,y,'ro');
%X=[x'.*x',x',ones(size(x'))];
%p=polyfit(x,y,m)
X(:,n+1) = ones(length(x),1,class(x));
3
非线性回归 有一类模型，其回归参数不是线性的，也 不能通过转换的方法将其变为线性的参数。 这类模型称为非线性回归模型。在许多实 际问题中，回归函数往往是较复杂的非线 性函数。非线性函数的求解一般可分为将 非线性变换成线性和不能变换成线性两大 类。这里主要讨论可以变换为线性方程的 非线性问题。
4
5
两变量间的关系
确定性关系：两变量间的函数关系 圆的周长与半径的关系：C=2πR 速度时间与路程的关系：L=ST 非确定性关系：两变量在宏观上存在关系， 但并未精确到可以用函数关系式来表达。 青少年的升高与年龄关系 升高与体重的关系 药物浓度与反应率的关系
6
7
8
多元线性回归
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
可得最小二乘意义下的解。
左除
3.多项式在x处的值y可用以下命令计算：
y=polyval（a，x）
20
例 对湖南省近10年来（2006-2015）的生产总值（GDP） 作m次多项式拟合
年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 GDP (亿元) 7689 9440 11555 13060 16038 19670 22154 24622 27037 29047.2
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程序一仿真结果：
p=[33.0311, -1.3032e+05, 1.2852e+08]’ 残差平方和： e=2.8924e+06
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clear all; close all;
程序法二（未借用函数）：
n=input(‘n=？’); %多项式次数即拟合曲线次数
%x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]';
首先求二次多项式拟合:
f ( x) a1x2 a2 x a3
中 的 A (a1, a2, a3) 使得:
10
[ f (xi ) yi ]2 最小
i 1
21
利用MATLAB编程并仿真（二次拟合）
程序法一（利用现成的函数）：
clear all;close all; x=2006:1:2015; y=[7689,9440,11555,13060,16038,19670,22154,24622, 27037,29047.2]; %plot,x,y,'o'); hold on p=polyfit(x,y,2); Y=polyval(p,x)； plot(x,Y,'r-',x,y,'o'); xlabel(‘x-年份'); ylabel(‘y-亿元'); title(‘湖南省GDP'); r=y-Y; e=r*r';
2
线性回归
在统计学中，线性回归(Linear Regression)是利用称为线 性回归方程的最小平方函数对一个或多个自变量和因变量 之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多 个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量 的情况称为简单回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归。 回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的 关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性 回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量， 且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归 分析。
InS InACt
记 InS y, InA a0,C1 a1, x t 则等式变成
y a0 a1x
这样仍可用最小二乘法定出（从而也就定 出了A,C ），得到近似函数
S AeCt
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下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小 二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线 型的方程的参数估计方法 。
Ins Inp qInt
记 Ins y, Inp a0, a1 q, x Int, 则等式变成
y a0 a1x
这是一个一次多项式，它的系数和可以用最小二乘法求得.
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二、我们经常希望用函数
S AeCt
去近似一个以给定的列表函数，其中 A,C是待定的参数，这时，我们可以对 等式的两端取对数
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
Ra=y
（3）
其中
r1 ( x1 ) rm ( x1 )
R
,
r1 ( xn ) rm ( xn )
a1
a
,
am
y1
y
yn
定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
n
n
记 J (a1, a2 , am )
2 i
[ f (xi ) yi ]2
最小二乘法在线性回 归和非线性回归中的
应用
讲解：王可煜 方云熠
长沙理工大学-电气与信息工程学院 电子科学与技术
1
什么是最小二乘法？
最小二乘法是一种数学优化技术。 它通过最小化误差的平方和寻找数 据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并 使得这些求得的数据与实际数据之 间误差的平方和为最小.
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指数曲线型
指数曲线的一般形式为 Y abX
取对数，将指数曲线转化成对数直线形式
lgY lg a X lg b
用最小二乘法估计参数a,b,可有如下方程组
lgY n lg a lg b X ( X lgY ) lg a X lg b X 2
解此方程组，可得参数的对数值，查其反对数，即 可得参数值。
令 (Y C)2 (a bX C)2 为最小值，分别为 a、b、c求
偏导数,并令导数等于0,得到联立方程组解方程组,即 可得到参数的计算公式。
Y na b X c X 2 0 Y X 2 a X b X 2 c X 3 0 Y X 2 a X 2 b X 3 c X 4 0
即 Ra=y
r11 r12 其中 R
rn1 rn2
r1m , rnm
a1
a
,
am
y1
y
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1 ri2a2 rimam yi )2 达到最小，
i 1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
10
线性最小二乘法的求解
15
直线型
Y 直线方程的一般形式为： a bX
令 (Y C)2 (a bX C)2 为最小值，分别为a和b
求偏导数，并令导数等于0，得到联立方程组。解
方程组，即可得到参数的计算公式 。
a Y bX
b
n X n
Y X Y X 2 ( X )2
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抛物线型