最新222二用样本的数字特征估计总体的数字特征二
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件2
（二）：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不 受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的 少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本 中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也 越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或 平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较 大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我 们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
Байду номын сангаас
标准差
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，„，xn中，各数 据与它们的平均数x的差的平方分别是
( x1 x ) ,( x2 x ) ,
2 2
,( xn x )
2
那么我们用它们的平均数，即
1 s [( x1 x )2 ( x2 x )2 n
2
( xn x ) 2 ]
25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32
25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32
25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32
25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48
25.42 25.40
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值=频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25 × 0.25+2.75 ×0.14+3.25× 思考 5：平均数是频率分布直方图的“重心”，在城市居 0.06+3.75 ×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各个小矩形 平均数是2.02. 的重心在哪里？从直方图估计总体在各组数据内的平均数
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 (2)
2.2.2用样本的数字特征估 计总体的数字特征（2）
复习回顾 1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估 计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的 基本方法有哪些？
频率分布表 频率分布条形图
频率分布直方图 频率分布折线图
茎叶图
2.众数、中位数与平均数
3.如何根据频率分布直方图估计出众数、中位数与平均数
C.－x 1＝－x 2，s1＝s2
D.－x 1<－x 2，s1>s2
例 2.(1)已知一组数据 x1，x2，…，xn 的方差是 a，求另一组数据 x1－2，x2－2，…，xn－2 的方差；
(2)设一组数据 x1，x2，…，xn 的标准差为 sx，另一组数据 3x1 ＋a，3x2＋a，…，3xn＋a 的标准差为 sy，求 sx 与 sy 的关系．
1.0
x5
0.8
s0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
(1)
频率பைடு நூலகம்
1.0
x5
0.8
s 0.82
0.6
0.4
0.2
O1 2 3 4 5 6 7 8
(2)
例1 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点. (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O 12345678
(3)
例1 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点. (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O 12345678
复习回顾 1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估 计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的 基本方法有哪些？
频率分布表 频率分布条形图
频率分布直方图 频率分布折线图
茎叶图
2.众数、中位数与平均数
3.如何根据频率分布直方图估计出众数、中位数与平均数
C.－x 1＝－x 2，s1＝s2
D.－x 1<－x 2，s1>s2
例 2.(1)已知一组数据 x1，x2，…，xn 的方差是 a，求另一组数据 x1－2，x2－2，…，xn－2 的方差；
(2)设一组数据 x1，x2，…，xn 的标准差为 sx，另一组数据 3x1 ＋a，3x2＋a，…，3xn＋a 的标准差为 sy，求 sx 与 sy 的关系．
1.0
x5
0.8
s0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
(1)
频率பைடு நூலகம்
1.0
x5
0.8
s 0.82
0.6
0.4
0.2
O1 2 3 4 5 6 7 8
(2)
例1 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点. (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O 12345678
(3)
例1 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点. (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O 12345678
2.2.2用样本的数据特征估计总体的数字特征
x i − x ( i = 1, 2 , · · · , n)
S3算出 中 x i − x ( i = 1, 2 , · · · , n) 的平方； 算出S2中 的平方； 算出 S4算出 中n个平方数的平均数，即为样本方差； 算出S3中 个平方数的平均数 即为样本方差； 个平方数的平均数， 算出 S5算出 中平均数的算术平方根，即为样本标准差 算出S4中平均数的算术平方根 即为样本标准差. 算出 中平均数的算术平方根，
2
样本标准差
( x1 − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + … + ( x n − x ) 2 s= n
计算样本数据x 计算样本数据 1,x2,···,xn的标准差的算法
S1算出样本数据的平均数 算出样本数据的平均数
x ；
S2算出每个样本数据与平均数的差： 算出每个样本数据与平均数的差： 算出每个样本数据与平均数的差
S5
s =
4 = 2
8 8 8 8 8 8
-3 -1 -1 0 2 3
9 1 1 0 4 9
所以这组数据的标准差为2 所以这组数据的标准差为
从甲、 例 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比 对他们的射击水平进行了测试， 赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在 相同条件下个射击10次 命中的环数如下： 相同条件下个射击 次，命中的环数如下： 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙 95787686 77
计算数据5,7,7,8,10,11的标准差 的标准差. 例2计算数据 计算数据 的标准差
5 + 7 + 7 + 8 + 10 + 11 S1 x = =8 6 9 + 1+ 1+ 0 + 4 + 9 =4 S4 s = 6
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征第二课时-----王峰
x b，方差仍为
s
．
（3）新数据 ax1 b, ax2
（2）新数据 ax1 , ax2 , , axn的平均数为 ax ， 方差为 a 2 s 2 ．
b, , axn b
的平均数为 ax b，方差为a 2 s 2 ．
极差体现了数据的离散程度
为了对两人射击水平的稳定程度,玉米生长的 高度差异以及钢筋质量优劣做个合理的评价,这 里我们引入了一个新的概念,方差和标准差.
标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距 离.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应 用中，标准差常被理解为稳定性.
1、平均距离
设一组样本数据 x1，x2，…，xn ，其平均数为
的产量比较稳定．
品种 甲 乙 第一年 9． 8 9． 4 第二年 9． 9 10．3 第三年 10．1 10．8 第四年 10 9． 7 第五年 10．2 9． 8
1 解： x甲 （9.8 9.9 10.1 10 10.2) 10
s甲 [(9.8 10 ) 2 (9.9 10 ) 2 (10 .1 10 ) 2 (10 10 ) 2 (10 .2 10 ) 2 ] 5 0.02
（一）众数、中位数、平均数
一 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
1 X ( x1 x2 xn ) n
甲： 31 乙： 53 甲
32 16
35 54
37 13
33 66
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)
| x1 x |
| x2 x | n
| xn
x|
含有绝对值，运算不方便
思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计 量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，则标准差的计算公式是：
s
(x 1 x )
2
(x 2 x ) n
2
(x n x )
2
那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有 何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
（甲）
频率
（乙）
0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O
4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，
乙的成绩相对集中，比较稳定.
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到 其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这 个平均距离如何计算？
2.2.2
用样本的数字特征估计
总体的数字特征（2）
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、
标准差；
2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计
总体的基本数字特征；
3.体会用样本估计总体的思想.
复习回顾
知识点一 众数
新知探究 点点落实
定义 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 特点 (1)众数是这组数据中出现次数最多的数； (2)众数可以有一个或多 个；(3) 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点 的横坐标. (4) 用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数 据的影响，并且求法简便 .在一组数据中，如果个别数据有很大的变动， 而某一数据出现次数又较多时，选择众数表示这组数据的“集中趋势”就 比较适合.
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
的标准差。（标准差结果精确到0.2 3) 90 8
.
所以这组数据的标准差为2.3 .
4、在数据统计中，能反映一组数据变化 范围大小的指标是 A.极差 B.方差 C.标准差 （A ） D.以上都不对
5.已知一个样本1， 3， 2， 5，x，若它的平均 数是3，则这个样本的标准差是 ______ . 2 6.若样本x1 , x 2 ,，x n的方差为0，则表示 （ A.x 0
这表明乙的成绩比甲的成绩稳定。
总结：
标准差S越大，样本数据的离散程度越大，波动越 大，越不稳定
方差:
标准差的平方
1 2 2 2 s [( x1 x ) ( x2 x ) ( xn x ) ] n
2
总结：
通常用样本的平均数和标准差去估计总体的 平均数与标准差
练1：”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分为 100分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的 成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直 方图,已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、 第五小组的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05 求：（1）成绩的众数、 中位数； （2）平均成绩
样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个 小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计总体的平均数就是
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 频率 组距
月均用水量/t
0.25, 0.75, 1.25,1.75,2.25,2.75,3.25, 3.75, 4.25.
0.04 0.03
(1)65,65 (2)67
0.015 0.010 0.005
.
所以这组数据的标准差为2.3 .
4、在数据统计中，能反映一组数据变化 范围大小的指标是 A.极差 B.方差 C.标准差 （A ） D.以上都不对
5.已知一个样本1， 3， 2， 5，x，若它的平均 数是3，则这个样本的标准差是 ______ . 2 6.若样本x1 , x 2 ,，x n的方差为0，则表示 （ A.x 0
这表明乙的成绩比甲的成绩稳定。
总结：
标准差S越大，样本数据的离散程度越大，波动越 大，越不稳定
方差:
标准差的平方
1 2 2 2 s [( x1 x ) ( x2 x ) ( xn x ) ] n
2
总结：
通常用样本的平均数和标准差去估计总体的 平均数与标准差
练1：”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分为 100分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的 成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直 方图,已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、 第五小组的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05 求：（1）成绩的众数、 中位数； （2）平均成绩
样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个 小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计总体的平均数就是
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 频率 组距
月均用水量/t
0.25, 0.75, 1.25,1.75,2.25,2.75,3.25, 3.75, 4.25.
0.04 0.03
(1)65,65 (2)67
0.015 0.010 0.005
我的课件——2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征.(2)
解:四组样本数 据的条形图是:
x5
S=0.00
1 2 3 4 5 (1)
6 7 8
频率
频率
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
x5
S=0.82
1 2 3 45 (2)
6 7 8
四组数据的平均数都是5.0,标准 差分别是0.00,0.82,1.49,2.83.虽 然它们有相同的平均数,但是它 们有不同的标准差,说明数据的 分散程度是不一样的.
环数 (甲)
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样 本数据的分散程度,与平均数一 起,可以给我们许多关于样本数 据的信息.显然,极差对极端值非 常敏感,注意到这一点,我们可以 得到一种“去掉一个最高分,去 掉一个最低分”的统计策略. 环数
0.4 0.3 0.2
0.1Байду номын сангаас
4 5 6 7 8 (乙) 9 10
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差．标准差是样本平均数的一种平均距离，一般 用s表示． 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是 1 , x2 ,...xn , x 表示这组数据的平均数 i到 x 的距离是： x 。x
xi x ( i 1, 2, , n).
乙
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
解:用计算器计算可得:
x甲 25.4005 x乙 25,4008 , ; s甲 0.038 s乙 0.074 ,
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产 的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从 样本标准差看,由于
222用样本的数字特征估计总体的数字特征2_图文
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
2.2.2 用样 本的 数字 特征 估计 总体 的数 字特 征
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1. 通过随机抽样，掌握并会用样本的平均数及 标准差估计总体的平均数及标准差． 2 ．通过用样本的数字特征估计总体的数字特 征，感知总体的差异． 3．通过数字反映样本数据某个方面的特征， 进而估计总体情况，体会这种统计思想，并培 养认识问题、分析问题、解决问题的能力，同 时也提高估算能力．
2．用样本标准差估计总体标准差 (1)标准差 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的 统计量是标准差．标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离，一般用s表示．
1 2 2 2 s＝ [ x － x ＋ x － x ＋…＋ x － x ]. 1 2 n n 标准差的平方 s2 叫做方差， 1 2 2 2 2 s ＝n[(x1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ]．
241～ 270 20 361～ 390 2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
(2)将各组中的值对于此平均数求方差． 1 ×[1×(165 － 268)2 ＋ 11×(195 － 268)2 ＋ 18×(225 － 268)2 ＋ 100 20×(255 － 268)2 ＋ 25×(285 － 268)2 ＋ 16×(315 － 268)2 ＋ 7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60. 故标准差为 2128.60≈46(天)． ∴标准差约为 46， 故可在 222 天到 314 天左右统一更换较合适．
样本方差、标准差的计算
例2
为了保护学生的视力，教室内的日光
2.2.2 用样 本的 数字 特征 估计 总体 的数 字特 征
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1. 通过随机抽样，掌握并会用样本的平均数及 标准差估计总体的平均数及标准差． 2 ．通过用样本的数字特征估计总体的数字特 征，感知总体的差异． 3．通过数字反映样本数据某个方面的特征， 进而估计总体情况，体会这种统计思想，并培 养认识问题、分析问题、解决问题的能力，同 时也提高估算能力．
2．用样本标准差估计总体标准差 (1)标准差 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的 统计量是标准差．标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离，一般用s表示．
1 2 2 2 s＝ [ x － x ＋ x － x ＋…＋ x － x ]. 1 2 n n 标准差的平方 s2 叫做方差， 1 2 2 2 2 s ＝n[(x1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ]．
241～ 270 20 361～ 390 2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
(2)将各组中的值对于此平均数求方差． 1 ×[1×(165 － 268)2 ＋ 11×(195 － 268)2 ＋ 18×(225 － 268)2 ＋ 100 20×(255 － 268)2 ＋ 25×(285 － 268)2 ＋ 16×(315 － 268)2 ＋ 7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60. 故标准差为 2128.60≈46(天)． ∴标准差约为 46， 故可在 222 天到 314 天左右统一更换较合适．
样本方差、标准差的计算
例2
为了保护学生的视力，教室内的日光
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
件中各抽出20件, 量得其内径尺寸如下 (单位: mm):
甲 分25析.46: 评25定.3两2 人2所5.4生5产2零5.件39的质25量.36高低, 主要是看
是否符25合.34规定25尺.4寸2 . 2与5.规45定尺25寸.38偏离25很.42小, 则质量高;
与规定2255尺..3490寸的2255偏..44离32 大22,55..33则95 质22量55..低4401.
1.0
0.9
0.8 0.7
x5
①求平均数. 平均数相同.
(2) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6;
0.6 s0.00
0.5
②求标准差
(3) 3, 3, 4由, 4标, 5准, 6差, 6看, 出7, (71;)组均匀00程..34 度最好, (4)组最差.
(4) 2, 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 8.
25.44 25.39
乙 检25测.40偏离25程.4度3 的2大5.4小4, 2就5.要48计算25其.48标准差.
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径尺寸看, 谁生产的质量较高?
上例中两运动员射击成绩的条形图如图:
频率
频率
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4 5 6 7 8 9 10 环数
(甲)
4 5 6 7 8 9 10 环数
(乙)
频率
例1. 画出下列四组样本数据 的条形图, 说明它们的异同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2
(3)新数据ax1 b, ax2 b,axn b 的平均数为
a_x___b_，标准差为a_s_ ，方差为_a_2_s_2.
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课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据，估计总体相应的统计数据.
课堂小结 1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等
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二、讲授新课
例：有两位运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每
次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评
价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
x甲=x乙 7
s甲2 s乙2，所以乙比甲的射击成绩稳定。
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二、讲授新课
平均数、标准差和方差的运算性质：
如果数据 x1, x2 , x3 xn 的平均数为 x ， 标准差为 s，方差为s，2 则 (1)新数据 x1 b, x2 b,xn b 的平均数为_x___b_. 标准差为_s_，方差为_s_2. (2)新数据 ax1, ax2,axn 的平均数为_a_x___. 标准差为_a_s ，方差为_a_2_s_2.
统计数据，估计总体相应的统计数据.
2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.
课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据，估计总体相应的统计数据.
2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.
3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅 度.在实际应用中，我们常综合样本的多个 统计数据，对总体进行估计，为解决问题 作出决策.
a_x___b_，标准差为a_s_ ，方差为_a_2_s_2.
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课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据，估计总体相应的统计数据.
课堂小结 1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等
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二、讲授新课
例：有两位运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每
次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评
价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
x甲=x乙 7
s甲2 s乙2，所以乙比甲的射击成绩稳定。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
二、讲授新课
平均数、标准差和方差的运算性质：
如果数据 x1, x2 , x3 xn 的平均数为 x ， 标准差为 s，方差为s，2 则 (1)新数据 x1 b, x2 b,xn b 的平均数为_x___b_. 标准差为_s_，方差为_s_2. (2)新数据 ax1, ax2,axn 的平均数为_a_x___. 标准差为_a_s ，方差为_a_2_s_2.
统计数据，估计总体相应的统计数据.
2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.
课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据，估计总体相应的统计数据.
2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.
3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅 度.在实际应用中，我们常综合样本的多个 统计数据，对总体进行估计，为解决问题 作出决策.
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四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是:0.00,0.82,1.49,2.83. 它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的
分散程度是不一样的． 小结 比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准
差这两个方面考虑．
研一研·问题探究、玉米中各抽10株，分别测得它们
栏
目 开 关
s甲＝ 110[7－72＋8－72＋…＋4－72]＝2；
同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．
因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此
可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
小结 标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，
本 课
数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数
2.2.2(二)
例2 画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点． (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 解 四组样本数据的条形图如下：
本 课 时 栏 目 开 关
222二用样本的数字特征 估计总体的数字特征二
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2(二)
标准差和方差
本 课
(1)标准差的求法：
时
栏 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示.
目
开 关
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]
(2)方差的求法：
标准差的平方 s2 叫做方差． s2＝ n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] (xn 是样本数据，
的株高如下：
甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；
本
乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；
课
(1)哪种玉米的苗长得高？
时
栏
(2)哪种玉米的苗长得齐？
目 开 关
解 (1) x 甲＝110(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)＝30,
x 甲≈25.401， x 乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068.
从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准
本 课
(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s甲＜s乙，因此
时 甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作
栏 目
出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留 小数点后3位)
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
解 用计算器计算可得
栏 目
∴s2甲＜s乙2 .
开
关
即甲种玉米的苗长得齐．
答 乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两 人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件,量 得其内径尺寸如下(单位：mm)： 甲
本
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36
课 时
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42
栏
25.39 25.43 25.39 25.40 25.44
目 开 关
25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48
x 乙＝110(27+16+44＋27+44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31,
x 甲＜ x 乙．
即乙种玉米的苗长得高.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
(2)由方差公式得：
s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，
本
课 时
同理s乙2 ＝128.8，
开 关
小结 从上述例子我们可以看到,尽管总体是同一个,但由于样
本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改
变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,
那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,
对总体作出错误估计的可能性就非常大.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位
面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种
本 课
水稻品种的产量比较稳定．
时
栏 目
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
开 关
甲
9.8
9.9
目
开 关
依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，
其平均数为8＋9＋105＋13＋15＝11.
由方差公式得s2＝
1 5
[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2+(13－11)2
＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
研一研·问题探究、课堂更高效
开 关
替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是
合理的，也是可以接受的．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
例1 求出导引中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明
他们的成绩谁比较稳定？
本
解 x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，
课
时
同理可得 x 乙＝7.根据标准差的公式，
n 是样本容量， x 是样本平均数)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
问题10 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体
的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和
标准差呢？
本
课 时
答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的
栏 目
平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代
时
栏 目
据的离散程度就越小，也就越稳定．
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
跟踪训练1 如图所示是某学校一名篮球运动
员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动
员在这五场比赛中得分的方差为____6_.8_____.
本 课
解析 从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数，结合方
时
栏
差公式求解．
分散程度是不一样的． 小结 比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准
差这两个方面考虑．
研一研·问题探究、玉米中各抽10株，分别测得它们
栏
目 开 关
s甲＝ 110[7－72＋8－72＋…＋4－72]＝2；
同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．
因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此
可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
小结 标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，
本 课
数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数
2.2.2(二)
例2 画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点． (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 解 四组样本数据的条形图如下：
本 课 时 栏 目 开 关
222二用样本的数字特征 估计总体的数字特征二
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2(二)
标准差和方差
本 课
(1)标准差的求法：
时
栏 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示.
目
开 关
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]
(2)方差的求法：
标准差的平方 s2 叫做方差． s2＝ n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] (xn 是样本数据，
的株高如下：
甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；
本
乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；
课
(1)哪种玉米的苗长得高？
时
栏
(2)哪种玉米的苗长得齐？
目 开 关
解 (1) x 甲＝110(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)＝30,
x 甲≈25.401， x 乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068.
从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准
本 课
(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s甲＜s乙，因此
时 甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作
栏 目
出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留 小数点后3位)
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
解 用计算器计算可得
栏 目
∴s2甲＜s乙2 .
开
关
即甲种玉米的苗长得齐．
答 乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两 人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件,量 得其内径尺寸如下(单位：mm)： 甲
本
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36
课 时
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42
栏
25.39 25.43 25.39 25.40 25.44
目 开 关
25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48
x 乙＝110(27+16+44＋27+44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31,
x 甲＜ x 乙．
即乙种玉米的苗长得高.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
(2)由方差公式得：
s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，
本
课 时
同理s乙2 ＝128.8，
开 关
小结 从上述例子我们可以看到,尽管总体是同一个,但由于样
本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改
变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,
那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,
对总体作出错误估计的可能性就非常大.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位
面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种
本 课
水稻品种的产量比较稳定．
时
栏 目
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
开 关
甲
9.8
9.9
目
开 关
依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，
其平均数为8＋9＋105＋13＋15＝11.
由方差公式得s2＝
1 5
[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2+(13－11)2
＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
研一研·问题探究、课堂更高效
开 关
替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是
合理的，也是可以接受的．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
例1 求出导引中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明
他们的成绩谁比较稳定？
本
解 x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，
课
时
同理可得 x 乙＝7.根据标准差的公式，
n 是样本容量， x 是样本平均数)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
问题10 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体
的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和
标准差呢？
本
课 时
答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的
栏 目
平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代
时
栏 目
据的离散程度就越小，也就越稳定．
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(二)
跟踪训练1 如图所示是某学校一名篮球运动
员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动
员在这五场比赛中得分的方差为____6_.8_____.
本 课
解析 从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数，结合方
时
栏
差公式求解．