二项式定理及二项式系数的性质应用习题课

3.展开式 (1 x x3 )8 中x7的系数是_______. 变：展开式 (1 x)6 (1 x x2 )5 中x7的系数是_______.
拓展延伸
4. 在(1 x x x ) 的展开式中,x100项的系数
2 100 3
是__________. 5. 多项式 1 x x2 x16 x17 可以写成
(5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
典型例题
2.求和:
S 3C 7C 11C (4n 3)C
0 n 1 n 2 n
n n
4.求和:
S 1 C
2 100
C
4 100
C
6 100
C
100 100
拓展延伸
1 1 2 1.如果 9n1 C1 1 9n C2 1 9n Cn 1 9 Cn 1 9 n n n n
n 2 n 1 n1 n n n 1 n 1 n 1 n 1
(11 1)n1 1 11 C 11 C 11 (1) C 11 (1) C
1 n 1
1
拓展延伸
1 7 2.展开式 (1 x ) 的常数项是_______. x
① x 1 5 x 1 10 x 1 10 x 1 5 x 1 1 ②
x
3
99
5
1 2C 4C 2 C 2 C
1 n 2 n m m n n
n n
n
2、若 p C 3C 3 C 3 C 3 C
求(1) a4
(2)a1+a2+a3+…+a10
(3)(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2
3.设 f ( x) ( x 1)m ( x 1)n 的展开式中x的系数是 19(m,n∈N+).
(1)求f(x)的展开式中x2的系数的最小值; (2)当f(x)的展开式中x2的系数的最小值时,求展开式中x7 的系数;
C C C C C 2
0 10 1 10 2 10 3 10 10 10
10
1024
例7.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, 赋值法 特殊值法 4=a ＋ a x + a x2 + a x3+ a x4， 例8.若(x+ 1) 0 1 2 3 4 求 a1+a2+a3+ a4 15 思考：求(x+2y)(2x+y)2(x+y)3展开式中各项系数和. 求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(4)如果是 8
100
天后的这一天呢？
问题探究:
例1、今天是星期五，那么 8
100
的这一天是星期几？
天后
8
100
1） （7
C 7
0 100 100
100
1 99 100 m 100 m 100
C 7 C 7
99 1 100 100 100 99 100
C 7 C
是11的倍数，则( A、n为任意整数 C、n为奇数
) B、n为偶数 D、n为11的倍数
1 1 n 1 9n1 C1n1 9n C2 1 9n Cn 1 9 n 1 9 Cn1 1 n 2 Cn n
(9 1 )
n 1
n 1
1
0 99 100
（C 7 C ） 1 7
余数是1， 所以是星期六
探究：
例2、若将
8
100 除以9，则得到的余数是多少？
100
C 9
8
100
0 100 100
1） （9
C 9 C 9
1 99 100
99 1 100 100 0 100
m 100 m 100
0 2 4） C n C1 C n ... C m ... C n 2n n n n
n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
C C C C ＝ 2 n 1
0 n
2 n
1 n
3 n
思考、1、化简：
5
二项式定理的逆用
4 3 2
a0 a1 y a2 y2 a17 y17 ,其中y=1+x,ai(i=1,2,…17)
是常数,则a2=______. 6.在 ( x 2)2n1 的展开式中,含x的整数次幂的各项系
数之和是__________.
典型例题
(1 x3 )(1 x)10 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a13 x13
求 a0+ a2+a4+a6的值
典型例题
1.设 (2 (1)求a0; (2)求 a1 (3)求 a1
3x)
100
a0 a1 x a2 x a100 x
2
100
a2 a3 a100
;
a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
二项式定理、
二项式系数性质的应用
复习提问 :
二项式定理的内容是什么？ n m n m m 1 n 1 n n * 0 n (a b) C n a C n a b Cn a b Cn b (n N )
ຫໍສະໝຸດ Baidu叫做二项式系数
通项公式
Tm1 C a
m n m m n
0 99 1 99 2 2 99 3 3 99
99 99
则 p 被4除所得余数为…………………( A )
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
问 题 :
(1)今天是星期五，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期五）
（星期六） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期一） (3)如果是24天后的这一天呢？
b
2 m （1 x)n 1 C1 x Cn x 2 C n x m C n x n n n
二项式系数的4个性质
1）每一行两端都是1，其余每个数都是它“肩上” 两个数的和。 2）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 3）n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；
(2)求(1+x)10的展开式中,系数最大的项;
(3)求(1-2x)7的展开式中,系数最大的项;
小
1.二项式定理:
2.二项展开式的通项: 3.二项定理的应用: (1)通项的应用; (2)系数的相关计算;
结
(3)利用展开式证明相关问题;
例若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 特殊值法
发散1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 发散2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
（ 1 ）
m
C 9 C 9 所以余数是1. 思 考 ： 若将 8101除以9，则得
到的余数还是1吗？
例3、求(1-x)5 (1+3x)4的展开式中 按x的升幂排列的前3项。
例4、求(2+x)6的展开式中 : (1)、二项式系数最大的项 ； (2)、系数最大的项。
例5、(1-x)11的展开式中含x的奇次项系数之和。 例6.一个有10个元素的集合的子集共有多少个？