52弧度制-课件(PPT·精·选)
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高中数学新课程必修第一册《5.1.2弧度制》(含微课)课件
小结
1.1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作
1弧度的角， “弧度”用符号rad表示。可以省略不写
2.角度与弧度的互化
1rad 180
57.3
=180
1
rad 0.01745rad
180
练习1：填写下表：
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度
0°
0
135°
3
4
270° 3
2
30°
6
150°
5
6
300° 5 3
45°
4
180°
π
315°
7
4
60°
3
210°
7
6
330°
11
6
90°
2
225°
5
4
360°
2π
120° 2
3
240°
4
3
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是 rad。
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的 弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
a的正负由角a的始边的旋转方向决定。
2、正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正角 负角 零角 任意角的集合
正数 负数 零
正数 负数 0
实数集R
思考 角度制与弧度制如何换算？
的 AB 的长为l．
新课引入
如果α=1°，AB
的长度等于周角所对弧长2πr的 1
5.1.2弧度制说课课件(人教版)
5.1.2 弧度制
问题1：《愚公移山》中有“太行、王屋二山，方七百里，高万仞”。
仞是中国古代的一种度量长度的单位，如果让你研究“仞”，你会怎样研
究？
角度制
角的度量
弧度制
用度作单位来度量角的制度
为促进学生全面发展，落实“五育并举”的育人目标，宁夏育才中学
开辟一片土地作为劳动教育实践基地，由各班承包耕种.如图为高一2班
分到的扇形实验田， 思考：
问题2.现若仅有卷尺为测量工具，你认为可以测得土地面积吗？
问题3：视察上述表达式，你认为还可以用什么量来刻画角的
大小？
问题4：如何规定这种测量制度下“1单位的角”的大小？
问题5：我们把半径为1的圆叫做单位圆,在单位圆中有何结论？
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧
B
2
2
公式
360
背景
度量需要
合理性
定义
单位1
换算
角度弧度互化
应用
简化公式
用数学的眼光视察世界
背景
度量需要
发现问题
用数学的思维思考世界
提出问题
用数学的语言表达世界
合理性
定义
单位1
换算
角度弧度互化
应用
简化公式
解决问题
必做题
选做题
2
3
正角
正实数
零角
零
负角负Biblioteka 数角的集合实数集R
3
4
5
6
2
统一了三角函数自变
量和函数值的单位
例2.现在你能用弧长 与半径 表示出我班实验田的面积吗？
思考：由此你认为引入弧度制有何优势？
问题1：《愚公移山》中有“太行、王屋二山，方七百里，高万仞”。
仞是中国古代的一种度量长度的单位，如果让你研究“仞”，你会怎样研
究？
角度制
角的度量
弧度制
用度作单位来度量角的制度
为促进学生全面发展，落实“五育并举”的育人目标，宁夏育才中学
开辟一片土地作为劳动教育实践基地，由各班承包耕种.如图为高一2班
分到的扇形实验田， 思考：
问题2.现若仅有卷尺为测量工具，你认为可以测得土地面积吗？
问题3：视察上述表达式，你认为还可以用什么量来刻画角的
大小？
问题4：如何规定这种测量制度下“1单位的角”的大小？
问题5：我们把半径为1的圆叫做单位圆,在单位圆中有何结论？
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧
B
2
2
公式
360
背景
度量需要
合理性
定义
单位1
换算
角度弧度互化
应用
简化公式
用数学的眼光视察世界
背景
度量需要
发现问题
用数学的思维思考世界
提出问题
用数学的语言表达世界
合理性
定义
单位1
换算
角度弧度互化
应用
简化公式
解决问题
必做题
选做题
2
3
正角
正实数
零角
零
负角负Biblioteka 数角的集合实数集R
3
4
5
6
2
统一了三角函数自变
量和函数值的单位
例2.现在你能用弧长 与半径 表示出我班实验田的面积吗？
思考：由此你认为引入弧度制有何优势？
5.1.2弧度制课件(人教版)
角度数=弧度数×
一、角度制和弧度制的互化
例1【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′=
67°30′=
【2】把1.5π化成角度.
【解】1.5π=
，所以
一、角度制和弧度制的互化
常见特殊角的角度与弧度对应表：
一、角度制和弧度制的互化
【跟踪训练】把下列角度与弧度进行互化：
（1）20°
（3)
5
5
二、用弧度制表示角的集合
【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影
部分内的角的集合（如图所示）.
二、用弧度制表示角的集合
3
解：终边为OA的角的集合： 2k，k Z
4
4
终边为OB的角的集合： 2k，k Z
3
阴影部分可以看成由OA逆时针旋转至OB形成，
5
2k，k Z
| 2k
6
12
二、用弧度制表示角的集合
解：x轴下方图像可视为x轴上方旋转rad而来；
阴影部分可表示为：
| k k，k Z
2
解：将第四象限的阴影部分视为第二象限旋转 rad而来；
5
n
l
n
n
| | ，
l | | R.
由初中所学可知，弧长l
2R
R 又
180 r
360
180
n
n
2
由初中所学可知，面积S
R
R2
360
180 2
n
l
1
人教A版必修第一册5.1.2弧度制 课件(共15张PPT)
三、度与弧度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意
非零角，单位不同量数也不同. 因为周角的弧度
数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360⁰＝2πrad， 180⁰＝πrad. 1 = π rad 0.01745rad
180
1rad
=
180 π
Q1 P1
P B
A
于是
l = n π 180
r 180
α
O
PQ A
探究！如图，在射线OA上的一点Q(不同于点O)，
OQ=r1. 在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的 长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论?
可以发现，圆心角α所对的弧长 Q1 B
与半径的比值，只与α的大小有关.
P1
也就是说，这个比值随α的确定而
3、利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积 公式得以简化，这体现了弧度制优点.
(1)l = αR ; (2)S = 1 αR2; (3)S = 1 lR.
22ຫໍສະໝຸດ 谢谢！！!唯一确定.O
PQ A
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径
的关系度量圆心角.
B
二、弧度的概念
我们规定：长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
r
1rad
Or A
的角，弧度单位用符号rad表示，
读作弧度.
我们把半径为1的圆叫单位圆，在单位圆O
中，弧AB长等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角α rad，那么
l = nπR 180
S = nπR2 360
5.1.2弧度制课件(人教版)(1)
练一练： 设弧AB的长为l : 若l=2r,则∠AOB= 2 rad 若l=3r,则∠AOB= 3 rad 若l=2πr,则∠AOB= 2 π rad
360 2πrad
B l=r
1弧度
Or A
：
︱α︱=
l
r
问题：弧度制是否可以度量任意角？
5.1.2 弧度制
为了认清事情的本质，人类创造了很多工具，数学就 是其中之一，为解决问题的方便，便创造了许多各种各样 的单位制。
如：长度单位（千米、米、厘米、毫米......）
角度制
约在公元2000年，古巴比伦人创设性地将圆周划分 为360度，每度为60分，每分再划分为60秒。
1、规定周角的 3160为1度的角。 2、这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
如何计算30º+sin30º=？
问题情景
S n πr 2 360
l n πr 180
某地区为宣扬社会主义核心价值观需要生产和图中一样的扇形 广告宣传牌，技术人员需要计算一下扇形的面积，用来测算需要的 原材料的量，若他手中只有一把钢卷尺，能用现有的工具测算出扇 形的大致面积吗？
合作探究 器材：扇形教具、绳子、直尺 要求：请同学们相互协作，用手中的工具测量扇形的圆心角。
l=2 π r
（B）
Or
三、例题
例1（1） 把 67°30′化成弧度。 解：
（2） 把 解：
—3 π 弧度化成度。 5
1°=
π ——
弧度
180
1弧度 =（—1π8—0 ）°
四、练习:
请写出一些特殊角的弧度数
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
360 2πrad
B l=r
1弧度
Or A
：
︱α︱=
l
r
问题：弧度制是否可以度量任意角？
5.1.2 弧度制
为了认清事情的本质，人类创造了很多工具，数学就 是其中之一，为解决问题的方便，便创造了许多各种各样 的单位制。
如：长度单位（千米、米、厘米、毫米......）
角度制
约在公元2000年，古巴比伦人创设性地将圆周划分 为360度，每度为60分，每分再划分为60秒。
1、规定周角的 3160为1度的角。 2、这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
如何计算30º+sin30º=？
问题情景
S n πr 2 360
l n πr 180
某地区为宣扬社会主义核心价值观需要生产和图中一样的扇形 广告宣传牌，技术人员需要计算一下扇形的面积，用来测算需要的 原材料的量，若他手中只有一把钢卷尺，能用现有的工具测算出扇 形的大致面积吗？
合作探究 器材：扇形教具、绳子、直尺 要求：请同学们相互协作，用手中的工具测量扇形的圆心角。
l=2 π r
（B）
Or
三、例题
例1（1） 把 67°30′化成弧度。 解：
（2） 把 解：
—3 π 弧度化成度。 5
1°=
π ——
弧度
180
1弧度 =（—1π8—0 ）°
四、练习:
请写出一些特殊角的弧度数
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件
≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半 径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度 单位“°”不能 角的正负与
角度制
量角的单位制 省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来 单位“rad”可以 角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断2 012°是不是这个集合的元素． 解：因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C， －150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误． 答案：C
5.2.1《弧度制》ppt课件
正角
零角
正实数
零 负实数
负角
课堂作业
课本P108
3 , 4.
例1. 把下列角化成弧度
(1)15° , (2)-100 ° (3)8°30′ ,
练习P108.3
把下列各角化成弧度
(1)75° , (2)-240°, (3)105 °(4)67 °30 ′
例2: 把下列各弧度化成度.
(1)3π/5 , (2)-2π/3,(3)-3.5
P108.4
把下列各弧度化成度. (1)π/15 , (2)2π/5 , (3)-4π/3 , (4)-6π
（2）-315º =-7 π /4=-2 π + π /4
（3）23π/6=12 π /6+11 π /6=2 π+ 11π /6 （4）-1500º = -1800º+300º =-10 π +5/3 π
1、弧度的意义；
2、弧度与角度的换算；
小 结
3.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
2、角度制与弧度制的换算:
圆周角用 角度表示
圆周角用 弧度表示
360º = 2π 180º = π π 1º= 180 弧度
180
1弧度 = (
0
6 .特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
π )º
π/6 π/4 π/3 π/2
π
3π/2 2π
3、弧度制：
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角
1弧度的角
正角的弧度数 负角的弧度数
零角
正实数
零 负实数
负角
课堂作业
课本P108
3 , 4.
例1. 把下列角化成弧度
(1)15° , (2)-100 ° (3)8°30′ ,
练习P108.3
把下列各角化成弧度
(1)75° , (2)-240°, (3)105 °(4)67 °30 ′
例2: 把下列各弧度化成度.
(1)3π/5 , (2)-2π/3,(3)-3.5
P108.4
把下列各弧度化成度. (1)π/15 , (2)2π/5 , (3)-4π/3 , (4)-6π
（2）-315º =-7 π /4=-2 π + π /4
（3）23π/6=12 π /6+11 π /6=2 π+ 11π /6 （4）-1500º = -1800º+300º =-10 π +5/3 π
1、弧度的意义；
2、弧度与角度的换算；
小 结
3.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
2、角度制与弧度制的换算:
圆周角用 角度表示
圆周角用 弧度表示
360º = 2π 180º = π π 1º= 180 弧度
180
1弧度 = (
0
6 .特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
π )º
π/6 π/4 π/3 π/2
π
3π/2 2π
3、弧度制：
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角
1弧度的角
正角的弧度数 负角的弧度数
数学上册5.2《弧度制》课件(2)
长,r为圆的半径.
l 4.
= |α| r (弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°=
π ——
弧度
≈
0．01745弧度
180
1弧度 =（—1—8π0）°≈ 57．30°= 57°18′
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360
l 4.
= |α| r (弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°=
π ——
弧度
≈
0．01745弧度
180
1弧度 =（—1—8π0）°≈ 57．30°= 57°18′
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360