导数及应用导学案
高三数学 3.9导数及其应用复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 3.9导数及其应用复习导学案一、考纲要求:1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 二、基础知识自测：1.求下列函数的导数：(1)常函数：y=c(c 为常数)(2）幂函数：3y x = ； y=1x ； y = (3)指数函数： 2x y =； x y e = ；(4）对数函数：2log y x =； y lnx = ；(5）正弦函数：y=sinx(6)余弦函数：y=cosx2.求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y ln =； （3）x x y ln 2=3.如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．4-C ．4.8D ．0.84.与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为( )A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5.（2011山东文）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（2013江西文）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．课内探究案四、典型例题题型一 利用定义求函数的导数例1若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f x0＋h －f x0－hh的值为( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0题型二导数的几何意义例2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型三利用导数研究函数的单调性例3已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型四 利用导数求函数的极值例4 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．变式训练：1.曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 2.设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．3.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数()()(1)g x f x a x ＝－－ ，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值．当堂检测：1.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(－1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e课后拓展案A 组1. （2014广东理）曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .2. （2014全国2理）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）A. 0B. 1C. 2D. 33.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4B 组4.（2012新课标）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________5．（2011大纲）已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为，（）A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-66.（2013 广东）若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =______7. 设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.。
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
第三章导数及其应用（复习） 学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备1.导数的几何意义：___________________________________________________2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =；2.1)'(-=n n nx x； 3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；xx sin )'(cos -= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 1.若0()2f x '=,求lim kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+-②2(32)y sin x =+※ 典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________ 2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈． ①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是C A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值 1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点 2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点 3极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数()f x ' (2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x =>且1)x ≠ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
导数及其应用教案人教版
导数及其应用教案人教版教案标题：导数及其应用教案（人教版）教学目标：1. 了解导数的概念和基本性质；2. 掌握求导法则和常见函数的导数；3. 理解导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和基本性质；2. 求导法则的掌握；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的应用问题解析；2. 导数在实际问题中的应用方法。
教学准备：1. 教材《人教版》导数及其应用相关章节；2. 教学PPT、多媒体设备；3. 导数的应用实例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一个生动的例子引入导数的概念，如汽车行驶过程中的速度变化；2. 提问学生对导数的理解，激发学生的兴趣。
二、导数的定义和基本性质（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 解释导数的几何意义和物理意义；3. 讲解导数的基本性质，如导数的线性性、乘法法则和链式法则。
三、求导法则和常见函数的导数（20分钟）1. 介绍求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数求法；2. 给出常见函数的导数表格，帮助学生记忆和掌握。
四、导数在实际问题中的应用（25分钟）1. 通过实际问题引入导数的应用，如最优化问题、变化率问题等；2. 分析导数在实际问题中的应用方法，并给出相应的解题步骤；3. 给学生提供一些导数应用的实例和练习题，让学生进行实际操作和解答。
五、总结与拓展（10分钟）1. 总结导数的概念、基本性质和求导法则；2. 引导学生思考导数在实际问题中的应用价值；3. 提出拓展问题，鼓励学生进一步探索导数的应用领域。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括练习题和思考题；2. 强调学生对导数的应用进行思考和实践。
教学反思：本节课通过引入实际问题和应用案例，使学生对导数的概念和应用有了更深入的理解。
通过讲解导数的定义、基本性质和求导法则，帮助学生掌握了导数的求导方法。
通过导数在实际问题中的应用分析和解题，培养了学生的应用能力和问题解决能力。
数学导数与应用教案
数学导数与应用教案教案标题：数学导数与应用教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握求导法则和常用函数的导数；3. 学会应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 常用函数的导数；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的应用问题解决；2. 复合函数的导数计算。
教学准备：1. 教学课件和投影仪；2. 教学实例和练习题；3. 计算器和纸笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 回顾函数的变化率与导数的关系。
二、导数的定义和计算方法（20分钟）1. 讲解导数的定义，强调导数的几何意义；2. 介绍求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数计算方法；3. 指导学生通过实例计算导数。
三、常用函数的导数（15分钟）1. 介绍常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数；2. 给出常用函数导数的表格，让学生熟悉常见函数的导数规律。
四、导数在实际问题中的应用（20分钟）1. 引入导数在实际问题中的应用，如最优化问题和曲线的切线问题；2. 通过实例演示导数在实际问题中的应用，如最大值和最小值问题的求解；3. 让学生尝试解决一些实际问题，如最大面积和最小时间等。
五、复合函数的导数计算（15分钟）1. 引入复合函数的概念，解释复合函数导数计算的方法；2. 通过实例演示复合函数的导数计算方法；3. 给出一些练习题，让学生巩固复合函数导数计算的方法。
六、总结与拓展（5分钟）1. 总结导数的概念、计算方法和应用；2. 引导学生思考导数在其他学科中的应用，如物理学和经济学等。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的应用领域；2. 提供更多实际问题，让学生运用导数解决。
教学评估：1. 课堂练习题的完成情况；2. 学生对导数概念和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中运用导数的能力。
教学反思：本节课通过引导学生理解导数的概念和意义，掌握导数的计算方法和常用函数的导数规律，以及应用导数解决实际问题。
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案姓名： ；小组编号： ；自评： ；小组长评价： ；教师评价：【使用说明与学法指导】1.本导学案为导数复习学案，在做导学案之前需熟记导数的有关公式；2.自主高效完成导学案并总结规律方法；3.注意待定系数法在解题中的应用；4.带★的题C 层同学可选做。
【学习目标】1.熟练掌握导数有关的知识点。
2.掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【重点】 掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【知识点回顾】1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(n x ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf3.导数的应用：（1）切线斜率与导数的关系：（2）求极值的方法：（3）求最值得方法：【合作、探究、展示】例1、右图为)(x f y =的导函数的图像，则正确的判断是①()x f 在（-3,1）上是增函数。
②1-=x 是()x f 的极小值点。
③()x f 在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数。
④2=x 是()x f 的极小值点。
规律方法总结：例2、设()bx ax x x f 3323+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点（1，-11） 求a,b 的值。
规律方法总结：例3、已知a 为实数，()()()a x x x f --=42(1)求()x f ' (2)若1-=x 是函数()x f 的一个极值点，求()x f 在[]2,2-上的最大值和最小值。
规律方法总结：★例4：已知函数()x x x f ln 22-=，求()x f 的单调区间与极值。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
高中数学 第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用 精品导学案1 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案苏教版选修1-1学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=错误！未找到引用源。
+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案§3.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.一、课前准备（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处） 复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x yk k k+=<--的（ ）A ．长、短轴长相等B ．焦距相等C ．离心率相等D ．准线相同复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.※ 典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：※ 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 ※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率※ 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52tV t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率.§3.1.2 导数的概念1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．一、课前准备预习教材P 78~ P80，找出疑惑之处）T(月)3912复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V =V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t =2，Δt =0.01时，求t s∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度 小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.※ 动手试试练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速三、总结提升 ※ 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim ※ 知识拓展导数存在⇒连续⇒有极限※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2limk f x k f x k→--等于1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.§3.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.一、课前准备（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处）复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)※ 动手试试练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 ※ 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为 ※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()limx t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()limt vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+ 3. ()f x 在0x x =可导，则000()()limh f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关 4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为 5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则 000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆=1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.§3.2.1几个常用函数导数1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.一、课前准备（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率yx∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y'=表示函数y x=图象上每一点处的切线斜率为.若y x=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k=≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线221y x=-的斜率等于4的切线方程. (理科用)练2.求函数()y f x==三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x=的导数是（）A．0 B．1 C．不存在D．不确定2.已知2()f x x=,则(3)f'=（）A．0 B．2x C．6 D．93. 在曲线2y x=上的切线的倾斜角为4π的点为（）A．(0,0)B．(2,4)C．11(,)416D．11(,)244. 过曲线1yx=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t=，则物体在1t=时的速度为，在4t=时的速度为.1. 已知圆面积2S rπ=，根据导数定义求()S r'.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.一、课前准备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；()ln (0)x x a a a a '=>；()xx ee '=；1()(0,ln log ax a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x'=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3）21y x =（4）y =二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'=试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.※ 动手试试 练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=三、总结提升※ 学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x=+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x + 3. cos xy x=的导数是（ ） A ．2sin xx - B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +-D ．2cos cos x x xx +-4.函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=， 则0x = 5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为1.求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.理: §3.2.2 复合函数求导复合函数的分解，求复合函数的导数.一、课前准备（预习教材P 16~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(s i n 2)c o s2x x '=这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
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导数及应用导学案
【课前预习导读】 一、学习目标
1.知识与技能
１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．
２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函
数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法
通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观
培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点
函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习
1、 已知0a >，函数3
12
()f x ax x a
=+
，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3
2
33
+
-
=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）
A ．),32[ππ
B ．]65,2(ππ
C ．),6
5[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3
+3ax 2+3(a +2)x +1
既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范
围是 ．
4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）
【课堂自主导学】 一、问题探究
例1 （1）曲线f (x )=x 3
－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；
变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？
例 2 函数32
()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方
程为y =3x +1．
（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
变式：第（3）问中当6≥b 时，方程0)(=x f 在区间[－2，1]有几个实根？
二、归纳总结：
1、过一点如何求已知曲线的切线方程：
2、利用导数研究函数单调性的一般步骤:
3、求可导函数()f x 的极值的步骤
4、利用导数求函数在闭区间上的最值步骤:
【知识运用导练】
1．函数533+-=x x y ，则下列判断正确的是………………………………（ ） Ａ．在区间（－1，1）内函数为增函数 B ．在区间（－∞，－1）内函数为减函数 C ．在区间（－∞，1）内函数为减函数 D ．在区间（1，＋∞）内函数为增函数 2．曲线32364y x x x =+++的所有切线中, 斜率最小的切线的方程 ． 3．已知函数 y = ax 3
－ x 2
＋x －5 在（－∞，＋∞）上单调递增， 则实数 a 的取值范围为 ．
4．（08山东文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；
【课后自主导学】
1、设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+
()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是
.A ()()2,02,-+∞ .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞ .D ()(),20,2-∞-
2、已知函数432
()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有
.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个 3、若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式
()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <
4、如图，是函数
d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2
2
21x x +等于
.
A 98 .
B 910
.C 916 .D 928
5、函数()f x 的定义域是开区间(),a b ,
导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数
()f x 在开区间内有极小值点
.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个
6、函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数
.A 3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
.B (),2ππ .C 35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()2,3ππ
7、已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-．
（1）求()f x 的单调区间和极大值；
（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立． （3）若对任意12,x x []1,1-∈不等式m x f x f 〈+)()(21恒成立，求m 的取值范围
自我反思：。