2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(八)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（八）理科数学一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B I 元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B I ，即可得到A B I 元素个数 【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B I 元素个数为2， 故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题．2.瑞士著名数学家欧拉发现公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】令1x =，则cos1sin1i e i =+，又由sin10,cos10>>，根据复数的表示，即可得到答案. 【详解】由题意，根据公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位），令1x =，则cos1sin1i e i =+，又由sin10,cos10>>，所以复数cos1sin1i e i =+表示的点位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及三角函数的符号的应用，其中解答中合理赋值，根据复数的几何意义及复数的表示求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.已知数列{}n a 满足2121n n n a a a ++-+=，且11a =，22a =，则10a =（ ） A. 92 B. 921-C. 56D. 46【答案】D 【解析】 【分析】由2121n n n a a a ++-+=可得2111n n n n a a a a +++-=-+，设1b n n n a a +-=，可得11b =，可得数列{}n b 时以11b =为首项，公差为1的等差数列，利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，可得10a 的值.【详解】解：由2121n n n a a a ++-+=，可得2111n n n n a a a a +++-=-+，设1b n n n a a +-=，可得11b =，可得数列{}n b 时以11b =为首项，公差为1的等差数列， 可得：1(1)n b n n =+-=，即：1n n n a a +-=， 可得：11n n n a a -=--；122n n a a n ---=-;…211a a -=,将这些式子相加可得：1(11)(1)(1)123...(1)22n n n n n a a n +-⨯-⨯--=++++-==，可得(1)12n n n a ⨯-=+，故：101091462a ⨯=+=， 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的判断及累加法求数列的通项公式，属于中档题. 4.有如下关于三角函数的四个命题：1:p x R ∃∈，221sin cos 222x x += 2:,p x y R ∃∈，()sin sin sin x y x y -=-[]3:0,πp x ∀∈sin x = 4:p 若sin cos x y =，则π2x y +=其中假命题的是（ ） A. 1p ，4p B. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，4p【答案】A 【解析】 【分析】1p ：同角正余弦的平方和为1，显然错误； 2p ：取特值满足即可；3p ：将根号张的式子利用二倍角公式化为平方形式，在注意正弦函数的符号即可； 4p ：由三角函数的周期性可判断命题错误.【详解】1p ：x R ∀∈，都有22sincos 122x x+=，故1p 错误； 2p ：0x y ==时满足式子，故2p 正确；3p ：[0,]x π∀∈，sin 0x >，且21cos 22sin x x -=，sin x =，故3p 正确；4p ：30,2x y π==，sin cos 0x y ==，故4p 错误； 故选A.【点睛】该题考查的是有关命题真假判断的问题，涉及到的知识点有三角函数的相关内容，有同角三角函数平方关系，正弦的差角公式以及余弦的倍角公式，正确理解和运用公式是解题的关键.5.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =．沿BD 将ABCD 折成直二面角A-BD-C ，则折后经过A ，B ，C ，D 四点的球面面积为（ ） A. 2π B. 4πC. 6πD. 8π．【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得ABD ∆、BCD ∆为等腰直角三角形，取CD 的中点O 点，可得1OB OC OD ===，同时取BD 的中点E 点,连接OE ，可得AOE ∆为等腰直角三角形，可得点O 为四面体A BCD -外接球的球心，可得球的半径,可得答案.【详解】解：由题意可得：ABD ∆为等腰直角三角形，且1AB AD ==，2BD =，同时易得：BCD ∆也为等腰直角三角形，2BD BC ==,2CD =,取CD 的中点O 点，易得1OB OC OD ===,取BD 的中点E 点,易得：22AE =,连接OE ,易得：1222OE BC ==, 由二面角A-BD-C 为直二面角，AE BE ⊥,可得AE BCD ⊥面,可得AE OE ⊥,AOE ∆为等腰直角三角形,可得222222()()122OA AE OE =+=+=， 故：1OA OB OC OD ====,即点O 为四面体A BCD -外接球的球心，且球的半径为1， 故其球面面积为：2414S ππ=⨯=, 故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的相关知识，求出球心的位置和半径是解题的关键.6.干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数2()sin cos33xf x x =+的最小正周期为（ ） A. 15π B. 12πC. 6πD. 3π【答案】C【解析】 【分析】由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60，可得2sin 3xy =与cos3y x =的周期，可得()f x 的最小正周期.【详解】解：由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60 故可得：2sin3xy =的周期13T π=, cos3y x =的周期223T π=,12T T 、的最小公倍数为6π，故()f x 的最小正周期为6π.故选：C.【点睛】本题主要考查周期的相关知识及知识迁移与创新的能力，属于中档题. 7.若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得211a b+=，再利用“乘1法”与基本不等式可得答案. 【详解】解：由题意得：直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(2,1)，可得211a b+=，可得：21222(2)()4()15549b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=+=， 故选：B.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟练利用“乘1法”是解题的关键.8.下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A. N q M=B. M q N=C. Nq M N=+D. Mq M N=+【答案】D 【解析】 【分析】通过题意与框图进行分析判断，可得空白框内应填入的表达式.【详解】解：由题意结合框图可得：程序执行的过程时，如果输入的成绩不小于60分就及格，就把变量M 加1，即变量M 为统计成绩及格的人数，否则，由变量N 统计成绩不及格的人数，总人数由变量i 进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩终止循环，由q 表示及格率，可得Mq M N=+，故选：D.【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，熟练程序框图并结合题意进行判断时解题的关键.9.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A.3B. 8πC.3D.43π 【答案】C 【解析】 【分析】先得出底面直角ABC ∆的外接圆直径2r AB =，然后利用公式2R =径，再利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==，又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==所以R =，所以外接球的体积为334433V R ππ==⨯=C. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及球内接组合体的性质，其中解答中根据组合体的结构特征，正确求解外接球的半径，利用球的体积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.10.已知函数()sin f x x x =+，把函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x k -=恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ）A. B. [1,2)C. (2,0)(0,2)-UD. 2)【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式，化简得到函数的解析式，再根据三角函数的图象变换，得到函数()g x 的解析式，再把方程()0g x k -=恰好有两个不同的实数解，转化为()y g x =与y k =有两个不同的交点，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，根据辅助角公式，可得函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，把函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到1()2sin()6f x x π=+， 再把函数1()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数()2sin(2)6g x x π=+，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令2662x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，即函数()g x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，令72266x πππ≤+≤，解得62x ππ≤≤，即函数()g x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 且7(0)2sin1,()2sin 2,()2sin 166226g g g πππππ======-， 要使得方程()0g x k -=恰好有两个不同的实数解，即()y g x =与y k =有两个不同的交点， 结合图象，可得实数k 的取值范围是12k ≤<，即[1,2).【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，以及三角函数的图象变换与三角恒等变换的应用，其中解答中合理利用三角函数的图象与性质，把方程()0g x k -=恰好有两个不同的实数解，转化为()y g x =与y k =有两个不同的交点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A.13B.12C.23D.34【答案】A 【解析】试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)bA a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a --⇒直线22:()(0,)bb a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a -⇒22221)33b b b ac e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+.12.设函数()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的实数x ，恒有()()f x f x -=-，(2)()f x f x -=，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =.若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞在上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A. 11,(3,7)86⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B. 11,(4,6)86⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C. 11,(3,7)95⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D. 11,(4,6)96⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的奇偶性，对称性和周期性，作出函数的图象，把()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，转化为函数()y f x =和log a y x =的图象在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于y 轴对称， 又由()(2)f x f x -=，则()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =-+，可得()()24f x f x +=-+，代入可得()(4)f x f x =+，所以函数的图象关于1x =对称，且是周期为4的周期函数，又由当[1,0]x ∈-时，()2f x x =，画出函数的图象，如图所示，因为()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点， 即函数()y f x =和log ay x =的图象在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个交点，当1a >时，则满足log 31log 71a a<⎧⎨>⎩，解得37a <<；当01a <<时，则满足log 51log 91a a >-⎧⎨<-⎩，解得1195a <<；综上所述，可得实数a 的取值范围是11(,)(3,7)95U ，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的零点的应用，其中解答中根据题意得出函数的基本性质，作出函数的图象，把问题转化为函数()y f x =和log ay x =的图象在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，若1cos 4B =-，6a =，ABC V 的面积为315，则sin A 的值等于________.315【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，求得4c =，利用余弦定理求得8b =，再根据正弦定理，即可求解sin A 的值，得到答案.【详解】在ABC ∆中，因为1cos 4B =-，所以sin 4B ===， 又由ABC ∆的面积为6a =，所以11sin 622S ac B c ==⨯⨯=，解得4c =， 由余弦定理可得2222212cos 64264644b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得8b =，又由正弦定理得6,sin sin sin sin 8a b a A B A B b ==⨯==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．14.已知1F ，2F 分别为双曲线221927x y C -=：的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =_______ 【答案】6 【解析】 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【详解】不妨设A 在双曲线的右支上, ∵AM 为12F AF ∠的平分线，∴1122824AF F M AF MF ===， 又∵1226AF AF a -==，解得26AF =，故答案为6.【点睛】本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题.15.已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1). (1,4) (2). (1,3](4,)+∞U 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)+∞U .点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16.在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB 、AC 互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ”． 【答案】++=【解析】解：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面，故猜想为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22．23题为选考题，考生根据要求作答．17.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和.已知1a ，2a ，2S 成等差数列，3S 42=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设nn n na b 2=.若11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）32nn a =⋅；（2）9(1)nn +【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q ，根据1a ，2a ，2S 成等差数列，求得2q =，再由342S =，求得16a =，即可得到等比数列的通项公式；（2）由（1）n 32nn na b n ==，得到()11111133191n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，利用裂项法，即可求解数列的前n 项和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由题意知2122a a S =+，即12222a a a +=，即122a a =，解得：212a q a ==， 又由()3131421a q S q-==-，解得16a=，所以16232n nn a -=⋅=⋅（2）由（1）n 32nn na b n ==，所以()11111133191n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭所以，数列nc 前n 项和为()11111119223191n n T n n n L ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项相消”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，属于基础题.18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，DAB 60︒∠=，AD 2=，AM 1=，ME 2=，E 为AB 的中点.（1）平面ADNM ⊥平面ABCD（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（27 【解析】 【分析】（1）由四边形ADMN 为矩形，所以AM AD ⊥，再由勾股定理，得到AE AM ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AM ⊥平面ABCD ，进而得到平面ABCD ⊥平面ADNM .（2）建立空间直角坐标系D xyz -，求得平面PEC 的法向量为(1233n h h u v=，又由平面DEC 的法向量()20,0,1n =u u v，利用向量的夹角公式，即可求解，得到结论.【详解】（1）证明：由题意知，四边形ADMN 为矩形，所以AM AD ⊥， 又∵四边形ABCD 为菱形，E 为AB 中点， 所以1AM =，1AE =，2ME =222AE AM ME +=，所以AE AM ⊥，又AE AD A ⋂=，所以AM ⊥平面ABCD ，又AM ⊂平面ADNM ， 所以平面ABCD ⊥平面ADNM（2）假设线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π，在AM 上取一点P ，连接EP ，CP .由于四边形ABCD 是菱形，且60DAB ︒∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 又四边形ADMM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∴DN ⊥平面ABCD ， 所以建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - 则()0,0,0D ，()3,0,0E，()0,2,0C，()3,1,Ph -，则()3,2,0CE =-u u u v ，()0,1,EP h u u u v =-，设平面PEC 的法向量为()1,,n x y z =u v，则11·0·0cE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u vu u u v u v ，∴320x y y hz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y h =，则()12,3,3n h h u v =， 又平面DEC 的法向量()20,0,1n =u u v，所以1212212·33cos ,273n n n n n n h ===+u v u u vu v u u v u v u u v ，解得7h =， 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π，此时7h =.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集．整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．国家创新指数得分的频率分布直方图（数据分成7组：3040x ≤<，4050x ≤<，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．国家创新指数得分在6070x ≤<这一组的是：61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5．c ．40个国家的人均国内生产总值（万美元）和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5，人均国内生产总值9960美元． （以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，解答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第几？（2）是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？ （3）用（1）（2）得到的结论，结合所学知识．合理解释d 中客观存在的数据．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】（1）17；（2）有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在70100x ≤≤的频率为(0.030.0050.005)100.4++⨯=，可得中国的国家创新指数得分排名；（2）列出40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得22⨯列联表， 计算2K 的值后结合表格进行判断可得答案；（3）用（1）（2）得到的结论,可得“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”，解释为：“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”．【详解】解：（1）由国家创新指数得分的频率分布直方图可得“国家创新指数得分”在70100x ≤≤的频率为(0.030.0050.005)100.4++⨯=． 因此，中国的国家创新指数得分排名为0.440117⨯+=．（2）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得22⨯列联表：人均国内生产总值2≤ 人均国内生产总值2> 国家创新指数得分65≥ 2 20 国家创新指数得分65< 126由22⨯列联表可得2240(122026)14.4314261822K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于14.4310.828>，故有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．（3）答：（2）的结论说明，“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．”．．事实上，我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高，恰恰说明了“中国特色社会主义制度的．．．．．．．．．．．优越性，能够集中社会力量办大事．．．．．．．．．．．．．．．”． 【点睛】本题主要考查概率分布直方图及独立性检测，相对不难，注意灵活运用所学知识解题.20.如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.（I ）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （II ）若2·AFAM AN =，求圆C 的半径.【答案】（I ）222||2542MN CO d =-=-=（II 33【解析】（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又CO =所以2MN ===.（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+， 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-，得2202102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：222000201244(1)2402{12y y y y y y ∆=-+=->=+ 由2||AF AM AN =⋅，得124y y =所以20142y +=，解得0y =0∆>所以圆心C的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =，CO =C此题以圆为背景考查了解析几何中的常用方法（如设而不求）及圆锥曲线的性质.平时只要注意计算此题问题就不会太大.【考点定位】 本题考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．属于中等难度.21.已知函数()ln ln f x x x x =-，()g x x k =-.（Ⅰ）令()()()h x f x g x =-①当1k =时，求函数()h x 在点()()1,1h 处的切线方程；②若{}1x A x x ∈=时，()0h x …恒成立，求k 的所有取值集合与A 的关系； （Ⅱ）记()()()2k k w x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，是否存在m N +∈，使得对任意的实数(),k m ∈+∞，函数()w x 在()1,+∞上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①1y x =-+；②见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）①根据导数的几何意义，即可求解切线的方程；②由()0h x ≥，即()ln ln k x x x x m x ≥-+=，利用导数求得函数()m x 的单调性和最值，即可求解. （Ⅱ）令()ln ln k k f x x x x x x -=-- ()22k k g x x k x x-=--，()1,x ∈+∞，根据题意，由()'21ln 10k k f x x x x x ⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭和()'21022k k g x x x ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，及存在()01,x ∈+∞，使得()()000002k k f x g x x x -=-=，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）①由题意，可得()()()ln ln h x f x g x x x x x k =-=--+， 则()1ln h x x x='-，所以()11h '=-，()10h = 所以()h x 在()()1,1h 处的切线方程为1y x =-+ ②由()0h x ≥，即()ln ln k x x x x m x ≥-+=则()1ln m x x x -'=，()1,x ∈+∞， 因为()1ln m x x x-'=在()1,+∞上单调递减，所以()()11m x m ''<=，存在()01,x ∈+∞，使得()00m x '=，函数()m x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，()0k m x ≥， 由()00m x '=得001ln x x =，()000111m x x x =+->，∴()01k m x ≥>，所以k 的所有取值集合包含于集合A . （Ⅱ）令()()ln ln k k u x f x x x x x x =-=-- ()()22k k v x g x x k x x=-=--，()1,x ∈+∞ （1）()'21ln 10k k f x x x x x ⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭，()1,x ∈+∞，由于(),k m ∈+∞，1k ⇒>，()10u k =-<，x →+∞，()u x →+∞，由零点存在性定理可知，()1,k ∀∈+∞，函数()u x 在定义域内有且仅有一个零点.（2）()'21022k k g x x x ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，()1,x ∈+∞，()31102k v =-<，x →+∞，()v x →+∞， 同理可知()1,k ∀∈+∞，函数()v x 在定义域内有且仅有一个零点. （3）假设存在()01,x ∈+∞，使得()()000002k kf xg x x x -=-=， 则2000000,2k x lnx x lnx k x k x⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消k ，得002002ln 021x x x x -=--. 令()22ln 21x G x x x x =---，()()222142021x G x x x x +=+>--'，所以()G x 单调递增. ∵()441322ln2ln 055G e =-=<，)10.881403G =->，∴()01x ∈， 此时20001181,21125422x k x x x ⎛⎫==++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 所以满足条件的最小正整数2m =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>（l ）设t为参数，若12y t =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；（2）1【解析】【分析】（1）由直线l的极坐标方程为cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由12y =-+，代入上式得x =，得到直线的参数方程； （2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线l的cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t 为参数，若1y =-+，代入上式得x =， 所以直线l 的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a >将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.（*） 则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =， 设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根.则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=. 则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-.因为0a >，所以1a =【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.设函数()2f x x x a =---.（1）当a l =时，求不等式()12f x <-的解集；. （2）对1x ∀，2x R ∈，()()()2122x x 2x f f f -+≤≤+，恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7|4x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[1,3] 【解析】【分析】 （1）当1a =时，分类讨论去掉绝对值，得分段函数()1,132,121,2x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，进而可求解不等式的解集.（2）由绝对值的三角不等式，求得()22a f x a --≤≤-，转化为对任意12,x x R ∈，总有()()122f x f x -≤，即222a -≤，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()21f x x x =---，即()1,132,121,2x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，不等式()12f x <-的解集为空集； 当12x <<时，由()12f x <-，即1322x -<-，解得74x >，所以解集为7(,2)4； 当2x ≥时，不等式()12f x <-恒成立，所以解集为[2,)+∞，故不等式()12f x <-的解集为74x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （2）由已知：22x x a a ---≤-，则()22a f x a --≤≤-，对任意12,x x R ∈，总有()()()21222f x f x f x -+≤≤+，则对任意12,x x R ∈，总有()()122f x f x -≤，即222a -≤，解得实数a 的取值范围为[]1,3.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值的三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，合理应用绝对值的三角不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。
2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试(六)理科数学
2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试（六）数学（理科）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一个是符合题意的选项.）1.若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A. 2B. 32C.D. 12【答案】C【解析】【分析】根据复数乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i i z i i i -++-+-+===--+，所以z z === 故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.2.函数()12y lg x =+-( ) A. （2，3）B. （3，4]C. （2，4]D. （2，3）∪（3，4] 【答案】D【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意22021160x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩，解得()(]2,33,4x ∈U .所以函数的定义域为()(]2,33,4U .故选：D【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.已知命题p ：∀x >0，e x >x +1；命题q ：∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1；下列命题为真命题的是( )A. p ∧qB. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】令()()'1,0,10x x f x e x x f x e =-->=->，所以()f x 在()0,∞+上递增，所以()()00f x f >=，所以命题p 为真命题.当01x =时，ln1110=-=，所以命题q 为真命题.所以p q ∧为真命题，A 选项正确，其它选项不正确.故选：A【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.4.三个数22323ln a b ln c e ===，，的大小顺序为( ) A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. a <b <c 【答案】D【解析】【分析】通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()63228==，所以132e <，所以131ln ln 23e =<，即13ab <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.5.函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( )A.B. C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数判断出()f x 的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项. 【详解】由于()()'22231x f x x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题.6.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A. 9B. 8C. 3D. 4【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.7.正偶数数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；…按照这样的规律，2016所在等式为( )A. 第29个B. 第30个C. 第31个D. 第32个 【答案】C【解析】【分析】根据每一组偶数的个数，以及2016是第几个偶数，由此判断出2016所在的等式为第几个.【详解】第一组有3个偶数，第二组有5个偶数，第三组有7个偶数，这是一个等差数列，首项为13a =，公差为2d =，前n 项和为()213222n n n n n -+⨯=+.而201610082=，注意到29n =时，()2222931899n n n n +=+=⨯=，30n =时，()2223032960n n n n +=+=⨯=，31n =时，()22231331023n n n n +=+=⨯=.所以2016所在的等式为第31个.故选：C【点睛】本小题主要考查合情推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.8.设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系.【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行； 若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合， 综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 83πB. 103πC. 6πD. 3π【答案】D【解析】【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为221141232V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= . 本题选择D 选项.10.若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13+m n 的 最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 16 【答案】B【解析】圆心坐标为(3,1)--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=，32m n +=，所以13113(3)()2m n m n m n +=++19(6)2n m m n =++ 1(62≥+6=，当且仅当9n m m n =时取等号，因此最小值为6，故选B ．11.在三棱锥S ﹣ABC 中，AB =BC =SA =SC =AC =2，二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值是3，则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积是( )A. 32πB. 2πC. πD. 6π【答案】D【解析】【分析】利用二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值求得BS ，由此判断出BS BA BC ===且,,BS BA BC 两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E 是AC 的中点，连接,EB ES ，由于,SA SC AB BC ==，所以,AC SE AC BE ⊥⊥，所以SEB ∠是二面角S ﹣AC ﹣B 的平面角，所以cos 3SEB ∠=.在三角形SEB 中，由余弦定理得SB BS BA BC ===2SA SC AC ===，所以,,BS BA BC 两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，，则体对角线长为326⨯=.设正方体外接球的半径为R ，则26R =，所以外接球的表面积为246R ππ=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据二面角的余弦值求边长，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数()2x m f x xe mx =-+（e 为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A. (0,)eB. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞ 【答案】D【解析】【分析】 利用参数分离法进行转化，12x xe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：由()02x m f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠， 则12xxe m x =-，设()12xxeh xx=-（0x>且12x≠），则()222111'222'()1122x x xxe x xe e x xh xx x⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212xe x xx-+=⎛⎫-⎪⎝⎭，∵0x>且12x≠，∴由'()0h x=得1x=，当1x>时，'()0h x>，函数为增函数，当01x<<且12x≠时，'()0h x<，函数为减函数，则当1x=时函数取得极小值，极小值为(1)2h e=，当12x<<时，()0h x<，且单调递减，作出函数()h x的图象如图：要使12xxemx=-有两个不同的根，则2m e>即可，即实数m的取值范围是(2,)e+∞.方法2：由()02xmf x xe mx=-+=得1()22xmxe mx m x=-=-，设()xg x xe=，1()()2h x m x=-，'()(1)x x xg x e xe x e=+=+，当0x>时，'()0g x>，则()g x为增函数，设1()2h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()x g x xe =，相切时的切点为(,)a a ae ，切线斜率(1)a k a e =+， 则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-， 当切线过1(,0)2时，1(1)()2a a ae a e a -=+-，即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=， 要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.故选D ．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共四小题，每题5分，共20分.）13.如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-u u u v u u u v，则cosA =__________.【答案】35【解析】【分析】以,AB AC u u u r u u u r 为基底，分别把,DN ME u u u r u u u r 表示出来，然后根据已知条件即可求出cos A . 【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2133ME AE AM AB AC =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ， 2121()()3333DN ME AC AB AB AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =22252999AB AC AB AB --⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =54||||cos 45cos 19AC AB A A --=--=-u u u u r u u u r ， 3cos 5A ∴=. 故答案为:35【点睛】本题考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，属于基础题. 14.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数．．，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+______.【答案】3+【解析】【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（312a ）=a 1+2a 2，进而利用通项公式表示出q 2=1+2q ，求 得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案． 【详解】依题意可得2×（312a ）=a 1+2a 2， 即，a 3=a 1+2a 2，整理得q 2=1+2q ，求得q=1∵各项都是正数∴q ＞0，q=1∴91078a a a a ++=89116711a q a q a q a q ++=3+故答案为：3+【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．15.若定义域为R 的函数()f x 满足'()()f x f x >，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为______（结果用区间表示）． 【答案】(0,)e 【解析】 【分析】由题目要求解的不等式是(ln )(1)0ef x xf -<，由此想到构造函数()()xf xg x e=，求导后结合()()f x f x '>，可知函数()g x 是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【详解】令()()xf xg x e =， 则2(()())()x xe f x f x g x e'-'=， 因()()f x f x '>，所以()0g x '>，所以，函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数， 由(ln )(1)ef x xf <，得：ln 1(ln )(1)xf x f e e<，即(ln )(1)g x g <， 因为函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数， 所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ． 故答案为(0,)e ．【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数()()xf xg x e =，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是常考题型．16.已知 ABC ∆中，BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r，，，当()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=r r r r r r ::::时，sin A ：sin B ：sin C =_____.【解析】 【分析】根据()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=r r r r r r::::，求得222,,a b c ，由正弦定理求得sin :sin :sin A B C .【详解】由()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=r r r r r r::::，得ABC ∆为锐角三角形，且 ()()()()()()cos :cos :cos cos :cos :cos bc A ba C ac B bc A ba C ac B ---=222222222::222b c a a b c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222222::1:2:3b c a a b c a c b =+-+-+-=.设()222222222,2,30b c a k a b c k a c b k k +-=+-=+-=>，解得2225,3,4a k b k c k ===，则::2a b c =.由正弦定理得sin :sin :sin 2A B C =.2【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数f （x ）223322cos x sin =-+x +1，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期并写出函数f （x ）图象的对称轴方程和对称中心； （2）求函数f （x ）在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【答案】（1）π，x 51122k ππ=+，（1162k ππ+，1）；（2）最大值52，最小值1【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简()f x 解析式，由此求得()f x 的最小正周期、对称轴和对称中心. （2）根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【详解】（1）f （x ）223322cos x sin =-+x +1，32212sin x cos x =-+，=（2x 13π-）+1，故函数f （x ）的最小正周期T =π， 令2x 13π-=k 12ππ+，可得x 51122k ππ=+，令2x 13π-=k π可得x 1162k ππ=+，k ∈Z ， 即函数f （x ）图象的对称轴方程x 51122k ππ=+，k ∈Z ，对称中心（1162k ππ+，1），k ∈Z. （2）∵x ∈63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， ∴23π-≤2x 1133ππ-≤ ∴﹣123sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 根据正弦函数的性质可知，最大值52，最小值1【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、对称中心、对称轴、最大和最小值的求法，属于中档题.18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列. （1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .【答案】（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列， 可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1， 即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ， 化为4q 2=1，公比q >0， 解得q 12=.则a n 14=⋅（12）n ﹣111()2n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+，c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦，则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ]2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.19.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .【答案】(1)3C π=;(2)32. 【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=， 根据正弦、余弦定理得1cos 2C =，即可得到3C π=； （2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得32h =，即可得到结论． 详解：（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B v v⋅=-+，所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，所以3C π=；（2）由余弦定理()22232cos 33a b ab a b ab π=+-=+-，又23a b +=，所以3ab =，根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即1313322h ⨯⨯=⨯， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高32h =． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，且AD =2AB =2BC =2，∠BAD =90°，△P AD 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面P AD ；点E 、M 分别为PD 、PC 的中点.（1）证明：CE //平面P AB ； （2）求三棱锥M ﹣BAD 的体积；（3）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（23；（3）427. 【解析】 【分析】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，利用三角形的中位线证得1//,2EN AD EN AD =，而1//,2BC AD BC AD =，由此证得//,BC EN BC EN =，由此证得四边形ENBC 是平行四边形，进而证得//CE BN ，从而证得//CE 平面PAB .（2）根据等边三角形的性质，结合面面垂直的性质定理，求得P 到平面ABD 的距离，而M 是PC 的中点，故M 到平面ABD 的距离是P 到平面ABD 的距离的一半.由此求得M 到平面ABD 的距离，进而求得三棱锥M BAD -的体积.（3）建立空间直角坐标系，利用直线DM 的方向向量和平面ABM 的法向量，计算出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：设P A 的中点为N ，连结EN ，BN ， ∵E 为PD 中点，∴EN 为△P AD 的中位线， ∴EN //AD ，且EN 12=AD ， 在梯形ABCD 中，BC //AD ，且BC 12=AD ， ∴BC //EN ，且BC =EN ，∴四边形ENBC 是平行四边形，∴CE //BN ， ∵BN ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，∴CE //平面P AB .（2）解：∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，且AD =2AB =2BC =2，∠BAD =90°， ∴111222ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=V 1， ∵△P AD 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面P AD ，点M 是PC 的中点. 设AD 的中点为O ，则P A =PD ，∴PO ⊥AD ， ∴M 到平面ABD 的距离d 221132122PO ==-=， ∴三棱锥M ﹣BAD 的体积V 1133133ABD S d =⨯⨯=⨯⨯=V .（3）∵平面P AD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面P AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵CO //BA ，∠BAD =90°，∴CO ⊥AD ， ∴OA ，OC ，OP ，OC 两两垂直，以O 为原点，OA ，OC ，OP ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B （1，0，1），M （0，32，12），D （﹣1，0，0）， AB =uu u r （0，0，1），AM =u u u u r （﹣1，3，12）， 设平面ABM 的法向量m =r（x ，y ，z ），则03102m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u uv r u u u u v r ，取x 3=，得m =r （320，，），DM =u u u u r （1，3，12）， cos 427m DM m DM m DM⋅==⋅u u u u r r u u u u r ru u u u r r ，， ∴直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为427. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的计算，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称． ⑴求圆C 的方程；⑵设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；⑶过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由． 【答案】（1）222x y +=；（2）－4；（3）平行． 【解析】试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C 与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0），进而写出圆C 的方程，再由圆C 过点P （1，1）就可求出半径r 的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0）这样进行：因为圆M 的圆心M(-2,-2),所以有MC 的中点在直线x+y+2=0上，且MC 与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x 0,y 0的方程组，解此方程组就可求得x 0,y 0的值；（2）设出点Q 的坐标,则可用点Q 的坐标表示出来,再由点Q 在圆C 上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA 和直线PB 的倾斜角互补且PA 与PB 是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA 的斜率为k ，则PB 的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C 的方程结合起来就可用k 的式子表示出A ，B 两点的从标，从而就可求出直线AB 的斜率，又OP 的斜率可求，从而就可判断直线OP 和AB 是否平行了．试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x 0,y 0）,由于圆M 的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C 的方程为:,又因为圆C 过点P （1，1）,所以有,故知:⊙C 的方程为：（2）设Q （x 、y ），则，从而可设则(1)(2)(1)(2)22sin()24PQ MQ x x y y x y πθ⋅=-++-+=+-=+-u u u r u u u u r所以PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为-4.（3）设PA 的方程为：，则PB 的方程为：由得，同理可得：OP ∥AB ．考点：１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系． 22.已知11()ln e xe f x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的极值；（2）设()ln(1)xg x x ax e =+-+，对于任意1[0,)x ∈+∞，2[1,)x ∈+∞，总有()()122eg x f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 的极小值为：12()f e e =-，极大值为：2()f e e= (2) (,2]-∞【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数()f x 的最大值为2e,则只需()e 212e g x ≥⋅=.求出函数()g x 的导数,对a 分成2,2a a ≤>两类,讨论函数()g x 的单调区间和最小值,由此求得a 的取值范围. 试题解析:(1)()()221111x e x e e e f x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--=-'所以()f x 的极小值为：12f e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极大值为：()2f e e=； (2) 由(1)可知当[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为2e对于任意[)[)120,,1,x x ∈+∞∈+∞，总有()()122eg x f x ≥成立，等价于()1g x ≥恒成立， ()11x g x e a x =+-+' ①2a ≤时，因为1x e x ≥+，所以()1112011xg x e a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+，即()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()01g x g ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，设()11xh x e a x =+-+，()()()()222111011x x x e h x e x x +-=-=≥++'， 所以()g x '在[)0,+∞上单调递增，且()020g a ='-<，则存在()00,x ∈+∞，使得()0g x '= 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()()001g x g <=， 所以()1g x ≥不恒成立，不合题意.综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查利用导数求解恒成立问题. 求极值的步骤： ①先求'()0f x 的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）； ②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x 为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.。
河北省衡水中学2020届高考数学临考模拟试卷1(一)(含答案解析)
河北省衡水中学2020届高考数学临考模拟试卷1（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3−4i1−2i的虚部为()A. −25B. 25C. 115D. 25i2.已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x2,x∈A}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. [1,4)C. (2,4)D. [2,4)3.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(2,3)，2a⃗−3b⃗ =(1,9)，则a⃗⋅b⃗ 的值为()A. −1B. 1C. −2D. 24.2020年是中国农历的鼠年，中国邮政为此发行了一枚名为“鼠兆丰年”的生肖鼠年邮票，两只大老鼠带着萌动可爱的小老鼠侧身远望，身边是寓意丰收的花生，表情欢喜、得意，寓意着鼠到福来的含义．该邮票的规格为36×36mm，为了估算图中3只老鼠图案的面积，现向该邮票内随机投掷200粒芝麻，已知恰有120粒芝麻落在老鼠图案内，据此可估计老鼠图案的面积大约为()A. 791mm2B. 778mm2C. 745mm2D. 700mm25.函数f(x)=x−sin|x|在x∈[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.6.定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱．某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD，点P在母线BC上，且BP=2PC=4.一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为()A. 213B. √9π2+4C. √9π2+16D. 2√9π2+47.若sin(θ−π6)=2sin(θ+π3)，则tanθ=()A. −3√3B. 8−5√3C. 8+5√3D. −8−5√38.秤漏是南北朝时期发明的--种特殊类型的漏刻，它通过漏水的重量和体积来计算时间，即“漏水一斤，秤重一斤，时经一刻”(一斤水对应一“古刻”，相当于14.4分钟)，计时的精度还可以随着秤的精度的提高而提高．如图所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程，若输出的t值为57.6，则判断框中应填入()A. i>6？B. i>8？C. i>10？D.i≤8？9.已知函数f(x)的图象可看作是由函数g(x)=sin2x的图象向右平移π8个单位长度得到的，则函数f(x)的一个单调递减区间为()A. (−π4,π4) B. (π4,7π8) C. (−π8,3π8) D. (−5π8,−π8)10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−c,0)，圆F：(x+c)2+y2=c2与x轴的负半轴交于点A，与C的一条渐近线的一个交点为B(点B与原点O不重合)，若|AB|=4a，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. 2√511.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA−sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，点D在边AB上，且AD=2DB，则线段CD长度的最小值为()A. 2√33B. 2√23C. 3D. 212.已知函数f(x)满足：①对任意0≤x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0；②函数y=f(x+2)的图象关于点(−2,0)对称．若实数a，b满足f(a2+2b)≤−f(−b2−2a)，则当a∈[12,1]时，aa+b的取值范围为()A. [18,12] B. [14,12] C. [12,1] D. [2,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.第32届夏季奥运会将在日本东京举行，某校为此举办了主题为“奥运知识知多少”的知识竞赛，共有200名学生参加．竞赛过后，决定从这200名学生中抽取10名学生的竞赛成绩进行分析．现采用系统抽样的方法，将这200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有176，则样本中所抽取到的最小号码为______．14.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为4√6，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为______．15.已知函数f(x)=x2−f′(1)⋅lnx，点P是曲线y=f(x)上任意一点，则点P到直线l：x−y−4=0的最小距离为______．16.以一个正多面体每条棱的中点为顶点，可以得到一个多面体，且该多面体是由一种或一种以上的正多边形构成的．如图(1)，以棱长为2的正四面体每条棱的中点为顶点，形成一个正多面体，则该正多面体外接球的表面积为______.如图(2)，以(1)形成的正多面体每条棱的中点为顶点，又可以形成一个多面体，则该多面体的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”，各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件．某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈．该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了1000名学生对该线．上课程进行评分(满分100分)，并把相关的统计结果记录如表：评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数10020040025050(1)计算这1000名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于70分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？(2)为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为[50,60)，[60,70)的高中学生中抽取6人，再从中随机抽取2名学生进行详细调查，求这2名学生的评分来自不同评分分组的概率．18.在数列{a n}中，a1=8，a n+1−4=a n+3×4n．(1)求证：数列{a n−4n}为等差数列；(2)设b n=(−1)n a n，求数列{b n}的前n项和S n．19.如图，在四棱锥A−BCED中，BD⊥平面ABC，底面BCED为梯形，CE//BD，且AB=BC=AC=BD=2CE=2，点F为AD的中点．(1)求证：EF⊥平面ABD；(2)求点F到平面ABE的距离．)．20.设函数f(x)=6sinx−mx(0≤x≤π2(1)若f(x)为单调函数，求实数m的取值范围；(2)当m≤6时，证明：x3+f(x)≥0．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点Q 在抛物线C 上，点P 的坐标为(1,12)，且满足OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且弦AB 的中点M 在直线y =2上，试求△OAB 的面积的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x −y −2=0，曲线C ：{x =2+2cosϕy =2sinϕ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 1与曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)，直线l 2与直线l 1交于点A ，与曲线C 交于点O 与点B ，求|OB||OA|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +1|．(1)解不等式f(x)≤4；(2)记函数y =f(x)+3|x +1|的最小值为m ，正实数a ，b 满足a +b =m ，试求1a+1+4b+2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵3−4i1−2i =(3−4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=11+2i5，∴复数3−4i1−2i 的虚部为25．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：由题得，B={y|0≤y<4}，C R A=(−∞,−1]∪[2,+∞)，所以(C R A)∩B=[2,4)．故选：D．先根据二次函数的性质求得B，再结合补集的定义以及交集的运算即可求解结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.答案：A解析：解：因为2a⃗−3b⃗ =(1,9)，所以3b⃗ =(4,6)−(1,9)=(3,−3)，所以b⃗ =(1,−1)，所以a⃗⋅b⃗ =(2,3)⋅(1,−1)=2−3=−1．故选：A．由平面向量的线性坐标运算可先求出b⃗ 的坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量的线性和数量积的坐标运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据题意可估计老鼠图案的面积大约是S≈120200×36×36≈777.6mm2，对照各选项，与777.6mm2最接近的是778mm2．故选：B．直接利用随机模拟试验方法求解．本题考查几何概型概率的求法，是基础题．5.答案：C解析：解：当x∈[0,π]时，f(x)=x−sinx，f′(x)=1−cosx≥0，则f(x)单调递增，排除D；当x∈[−π,0)时，f(x)=x+sinx，f′(x)=1+cosx≥0，则f(x)单调递增，排除B；因为f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数，排除A．故选：C．根据函数的奇偶性及单调性，利用排除法得解．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：C解析：解：将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，如下图所示．设底面圆半径为r，则2r=BC=6，∴r=3，∴在侧面展开图中AB=πr=3π.在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√9π2+16．故选：C．将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，设底面圆半径为r，求出r，通过求解三角形，推出结果．本题考查了圆柱的侧面展开图应用问题，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tan(θ−π6)=2，进而根据诱导公式即可求解．解：由sin(θ−π6)=2sin(θ+π3)，得sin(θ−π6)=2sin[π2+(θ−π6)]=2cos(θ−π6)，所以tan(θ−π6)=2，则tanθ=tan[(θ−π6)+π6]=2+√331−2√33=−8−5√3．故选：D．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得初始值L=0，t=0，i=1，进人循环，L=1，t=14.4，i=3；L=2，t=28.8，i=5；。
河北省衡水中学2020届高三高考押题(二)理数试题
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}-2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15 C ．5 D ．25 3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A.46- B ．46+ C.718D ．3 4.已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.4 B ．44 C.2 D ．225.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.3)2π+ B ．3)22π++C.2+ D ．4+7.函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)n ax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A ．4B ．8 C.12 D ．169.执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A ．201610101⨯-B ．10092017⨯ C.201710101⨯- D ．10092016⨯11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈ B ．函数()g x的最大值为C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(2,2)- C.(2,)+∞ D ．(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12log n n b a =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21. 设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB .23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 参考答案及解析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题13.-8 14.122e << 15.27[,]5416. 三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，①可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈ （2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈， 可知121log ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=11111[(1)()()]2231n n -+-++-=+1111n n n -=++. 18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥.又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DEBF ==，120ABC ∠=︒，可知AF=，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥.又AF AC A =，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =. 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =，得4y =，所以(0,n =.从而cos ,n EF <>=3||||63n EF n EF⋅==⋅. 故所求的二面角E AC F --的余弦值为3.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3. 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=. 20.解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =， 故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=. 联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x --+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+=2(2)ln x a x a x +--(0)x >， 所以'()2(2)a h x x a x=+--=22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+=. 所以当(0,)2a x ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02a h =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2'()20a h x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln ,(2)ln ,x a x a x m x a x a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-=22121222x x x x -+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 记22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=. 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=.把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||3AB ==. 23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++218[577+=.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试(十二)理科数学
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试（十二）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|25,}U x x x Z =-≤<∈，{0,2,3,4}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {0,2}B. {3,4}C. {0,3,4}D. {2,1,0,1,2}--【答案】B 【解析】 【分析】首先将全集U 用列举法列举出来，在求阴影部分表示的集合可得答案.【详解】解：可得阴影部分所表示的集合为()U A B ∩ð，集合{0,2,3,4}A =，{3,4}U B =ð，则(){3,4}U A B ⋂=ð.故选：B .【点睛】本题考查集合的交、补运算及学生的识图能力，是基础题. 2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】 【分析】根据茎叶图分别找出中位数，求出平均数，方差，即可判断. 【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：x 甲7582838793845++++==，乙组选手得分的平均数：x 乙7783858591845++++==， 两个平均数相等，所以A 选项错误；甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，所以B 、C 错误； 甲组选手得分的方差：2s 甲()()()()()()2222212167584828483848784938455=⨯-+-+-+-+-=， 乙组选手得分的方差：2s 乙()()()()()()222221100778483848484858491842055=⨯-+-+-+-+-==， 所以甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差. 故选：D【点睛】此题考查根据茎叶图的数字特征，求平均数，中位数，方差.4.记 S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ,运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即得解. 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 4+a 5=24，S 6=48， 可得1112724,665482a d a d +=+⨯⨯= 解得：14,2d a ==- 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5.函数f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f (1)=-1，则满足-1≤_f (x -2）≤1的x 的取值范围是（ ）A. []22-,B. []1,1-C. []0,1D. []1,3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性的性质可得()11f -=，利用函数得单调性即可得解. 【详解】根据题意，f (x )为奇函数，若f (1)=-1，则()11f -=， f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且1(2)1(1)(2)(1)f x f f x f -≤-≤∴≤-≤- 故：12113x x -≤-≤∴≤≤ 故选：D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA. 3144AB AC -u u uv u u u vB. 1344AB AC -u u uv u u u vC. 3144+AB AC u u uv u u u vD. 1344+AB AC u u uv u u u v【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+，所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.如图所示的四个正方体中，,A B 正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①②③【答案】D 【解析】 【分析】逐个判断后可得正确的选项. 【详解】由题意结合正方体的性质：如图①，平面ABC ∥平面MNP ，则//AB 平面MNP ，①正确； 如图②，平面ABC ∥平面MNP ，则//AB 平面MNP ，②正确； 如图③，平面ABC ∥平面MNP ，则//AB 平面MNP ，③正确；如图④，平面AB ∩平面MNP =A ，则④错误； 故选：D .【点睛】本题考查线面平行的判断，可以根据面面平行得到线面平行，本题属于中档题. 9.函数3()e x f x x =的图象大致为A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值求出函数的值，利用函数的导数判断函数的单调性，即可得到函数的图象． 【详解】解析：当0x <时，3e 0x x <，故排除选项B ；()1e>1f =，故排除D ；()()322e x f x x x =+'，令()0f x '=，得0x =或2x =-，则当x 变化时，()(),f x f x '变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,0-()0,+∞又因为()00f '=，故()f x 在0x =的切线为x 轴，故排除选项A ，所以选C.【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．10.将函数()sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的结论错误．．的是（ ） A. ()g x 的最小正周期为πB. ()g x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()g x 的图象关于直线512x π=对称 D. ()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】按照函数平移后的规律将()g x 的函数解析式写出，一一判断各个选项可得答案.【详解】解：()sin 2sin 2sin 2cos2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()2212412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A ：T π=，()g x 的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：024g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x 的图象关于点,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确； 对于C ：5112g π⎛⎫=⎪⎝⎭，不是取最值，故()g x 的图象不关于直线512x π=对称，故C 错误；对于D ：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,121212x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可得()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故D 正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质及函数的平移，根据已知条件得出平移后的函数解析式式解题的关键.11.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线x y e =的切线，则b =（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1D. 0或1-【答案】C 【解析】 【分析】设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+的切点为()11,x y ，与xy e =的切点为()22,x y ，可得切点的斜率，注意运用两点的斜率，解方程可得切点和斜率，进而得到切线方程，可得b 的值.【详解】解：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+的切点为()11,x y ，与xy e =的切点为()22,x y .故211x e x =，且21211e ln 21x x x x x --=-，消去2x 得到()1111ln 10x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 故11x e =或11x =，故111,1x e y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或111,2,x y =⎧⎨=⎩故切线为y ex =或1y x =+， ∴0b =或者1b =， 故选：C .【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，相对不难，注意运算的准确性.12.已知A ，B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，||AB =（ ）A.5B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆C 的圆心与半径，可得当PA ，PB 是圆C 的切线时，APB ∠取得最大值，即A ，B 是圆C 的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.【详解】解：依题意可得，当PA ，PB 是圆C 的切线时，APB ∠取得最大值，即A ，B 是圆C 的切点，设2APB α∠=，202x P x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.∵圆22:82160C x y x y +--+=， ∴圆心(4,1)C ，半径为1，从而1sin PCα=， ∵()2222000404181724x x PC x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令4()8174x f x x =-+，则3()8f x x '=-.∴当2x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,2)-∞上为减函数； 当2x >时，()0f x '>，即函数()f x 在(2,)+∞上为增函数.∴min ()(2)5f x f ==，即min PC =∴max (sin )5α=，此时APB ∠最大.∴2cos 2cos 5AB AC αα===. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合及导数在函数单调性中的应用，考查学生利用数形结合的思想解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13.在复平面内，复数(1)12i i z i+=-所对应的点位于第_________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限. 【详解】解：∵(1)(1)(12)3112(12)(12)55i i i i z i i i i +-++===----+，∴z 所对应的点31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限， 故答案为：三.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算及复数的几何意义，相对不难.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3则它的一条渐近线被圆()2248x y ++=所截得的弦长等于_____. 【答案】4 【解析】【分析】根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可.【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，即3c a =43=， 所以b a =，故双曲线的渐近线方程为y x =30y ±=，又圆()2248x y ++=的圆心为()40-，，半径为r = 所以圆心到任一条渐近线的距离为2d ==，因此，弦长为4=. 故答案为4【点睛】本题主要考查圆的弦长，熟记双曲线的简单性质，以及几何法求弦长的公式即可，属于常考题型. 15.已知等腰△ABC 的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成一个直二面角，则三棱锥A 一BCD 的外接球的表面积的最小值为______． 【答案】.【解析】 【分析】由题意可知DA ，DB ，DC 两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解． 【详解】设AD a =，2BC b =，则由面积可得ab=4； 由已知，BD ⊥平面ADC ，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥A BCD -的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a 、b 、b ，则球的直径2R =则球的表面积为()22242S R a b ππ==+，因222ab =≥+，故min S =.故答案为.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题．16.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是02，接下来的两项是0122、，再接下来的三项是012222、、，……，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________． 【答案】440 【解析】 【分析】由题意先将此数列分组，再求得前n 组的项之和为S =122n n +--及项数，由题意可知12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可，再分别讨论即可得解.【详解】解：由题意可知，将1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，可分为02，()012,2，()0122,2,2，()01232,2,2,2，()012342,2,2,2,2...()0123412,2,2,2,2...2n -，根据等比数列前n 项和公式，求得每组和分别为121-，221- ，321-，421-，...21n -， 每组含有的项数为：1,2,3,...n ，总共的项数为(1)2n n N +=，所有组的项之和为121S =-221+-321+-421+-...21n++-12(12)2212n n n n +-=-=---，由题意可知：12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可，则①12(2)0n ++--=，解得1n =，总共有1(11)232⨯++=项，不满足100N >， ②124(2)0n +++--=，解得5n =，总共有5(51)3182⨯++=项，不满足100N >， ③1248(2)0n ++++--=，解得13n =，总共有13(131)4952⨯++=项，不满足100N >， ④124816(2)0n +++++--=，解得29n =，总共有29(291)54402⨯++=项，满足100N >， 即该软件的激活码是440， 故答案为440.【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式及分组求和法，重点考查了对数据的分析处理能力，属综合性较强的题型.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 6222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.18.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 155【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE , 因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =, 因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE , 所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o , 所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥, 因为3EH BH ==,所以6BE =,所以2216156222BDES ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭V , 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为1133422BDM BCD S S ==⨯⨯=V V , 所以由E BDM M BDE V V --=,得13115333h ⨯⨯=⨯⨯,解得15h =. 即F 到平面BDE 的距离为15． 19.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当M ≥85时，产品为一级品；当75≤M <85时，产品为二级品；当70≤M <75时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩其中t ∈1(0,)7，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 【答案】（1）35；（2）投资B 配方的产品平均利润率较大 【解析】 【分析】（1）本题为古典概率，计算从这5件产品中任取3件总的方法数，恰好取到1件二级品的方法数，即得解； （2）分别计算(),()E A E B ，作差法比较即可.【详解】（1）由题意知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ,b ，有3件为一级品，记为x ,y ,z从这5件产品中任取3件共有10种取法：(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b x a b y a b z a x y a x z a y z b x y b x z b y z x y z其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到一件二级品的概率为：63105= （2）由题意，A 配方生产的产品平均利润率22(1030)5(4020)()20.6100t tE A t t +⨯++==+B 配方生产的产品平均利润率2225(1015)5(4030)() 1.30.7100t t tE B t t ++⨯++⨯==+所以2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=- 因为107t <<，所以()()E A E B < 所以投资B 配方的产品平均利润率较大.【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 20.已知函数()1f x x =-，()()1xg x ax e =-．（Ⅰ）记()()xf x h x x e =-，试判断函数()h x 的极值点的情况；（Ⅱ）若()()af x g x >有且仅有两个整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）22,121e e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后可知()h x '的符号由()2xx e x ϕ=+-的符号决定；根据()x ϕ的单调性，结合存在性定理可知存在唯一的()00,1x ∈，使得()00x ϕ=，从而得到()h x 得单调性，根据极值与单调性的关系可确定极值点；（Ⅱ）将所求不等式化为()1ah x <；当0a =和0a <时，根据（Ⅰ）的结论可验证出都有无穷多个整数解，不合题意；当0a >时，若1a ≥，由x ∈Z 时，()1h x ≥可知无整数解，不合题意；若01a <<，可知()()211221112h e a h e a ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪-=-+≥⎪⎩，解不等式组求得结果.【详解】（Ⅰ）由()1x x h x x e -=-得：()2x xe x h x e+-'= 设()2xx e x ϕ=+-，则()x ϕ在R 上单调递增又()01ϕ=-，()110e ϕ=->∴存在唯一的()00,1x ∈，使得()00x ϕ=，即()00h x '= ∴当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>()h x ∴在()0,x -∞上单调递减；在()0,x +∞上单调递增0x x ∴=为()h x 的极小值点，无极大值点（Ⅱ）由()()af x g x >得：11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()1ah x < ①当0a =时，01<恒成立，()()af x g x >有无穷多个整数解，不合题意 ②当0a <时，()1h x a >，10a<()01h =Q ，()11h = ∴当x ∈Z 时，由（Ⅰ）知：()1h x ≥ ()1h x a∴>有无穷多个整数解，即()()af x g x >有无穷多个整数解，不合题意 ③当0a >时，()1h x a< i.当01a <<时，11a>，又()()011h h == ∴两个整数解为：0,1()()211221112h e a h e a ⎧=-≥⎪⎪∴⎨⎪-=-+≥⎪⎩，解得：22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭ ii.当1a ≥时，11a≤ 当x ∈Z 时，由（Ⅰ）知：()1h x ≥ ()1h x a∴<无整数解，不合题意 综上所述：22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数范围的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系.21.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v，当m 变化时，证明：12λλ+为定值；（3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b 、c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出12y y +与12y y ，再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出12λλ+，化简即可得证；（3））当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可猜想：m 变化时，AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ， ∴右焦点()1,0F ，即21c =，又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，，∴椭圆C 的方程22143x y +=；（2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++， ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1212111,1my my λλ=--=--， ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++，综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-；（3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下：∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ， ∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴//AN NE u u u v u u u v，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭. 点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB，求α的值. 【答案】（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα= 【解析】 【分析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解. 【详解】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<< 3424πππαα∴-=∴= 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>Q 且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>， ()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++ 59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y x x y ++=⋅ 1x y xy xy+++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学考前密卷(一) (解析版)
2020年河北省衡水中学高考（理科）数学考前密卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2} 2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b 4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．47．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．448．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣459．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．19810．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C 的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}解：A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|0＜x≤2}．故选：C．2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数解：A．不成立，例如取z1＝i；B．不成立，|z2|＝2，则z2＝2（cosθ+i sinθ），θ∈[0，2π）；C．不成立，例如取z1＝i，z2＝﹣i；D．设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2＝（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）＝ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i＝2ac，因此是实数，正确．故选：D．3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b解：在同一坐标系中分别作出函数y＝，y＝及y＝log2x的图象如图：由图可知，1＜b＜a．故选：B．4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．解：现有4名高三学生进行去四个地方的总共有：4×4×4×4＝44种情况；再四个地方选出一个地方空出C41种情况；将剩下的三个地方进行四人选择，将四人中捆绑两人有C42种情况进行排列在三个位置有：A33种；则恰有一个地方未被选中的可能有：C41C42A33种；由古典概型的定义知：则恰有一个地方未被选中的概率为：＝故选：A．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到解：由题意可得：，由2sinφ＝，得sinφ＝，由0＜φ＜π，得φ＝或φ＝；又点在最高点的左侧，∴φ＝．由五点作图的第三点知，，即ω＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．由f（）＝2sin（）＝2，可知直线是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；由周期公式可得T＝，故B正确；当x∈，2x+∈（），可知f（x）在区间上单调递增，故C正确；∵f（x）＝2sin（2x+）＝2sin2（x+），∴f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到，故D错误．故选：D．6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．4解：设的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣，∴sinθ＝，∴＝2×2×＝2．故选：B．7．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．44解：令x＝1，可得（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为（1+a）•26＝256，∴a＝3，则（1+）（1+x）6的展开式中x3的系数为+3＝38，故选：C．8．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣45解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82的值，由于S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82＝（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）＝3+7+11+15＝36．故选：A．9．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．198解：由a n+1+a n＝2n+3，得a n+1﹣（n+1）﹣1＝﹣（a n﹣n﹣1），∴{a n﹣n﹣1}为等比数列，∴，∴，，∴S13＝a1+（a2+a3）+…+（a12+a13）＝a1+2×（2+4+…+12）+3×6＝a1+102，①m为奇数时，a1﹣2+m+1＝a1+102，m＝103；②m为偶数时，﹣（a1﹣2）+m+1＝a1+102，m＝2a1+99，∵a1∈Z，m＝2a1+99只能为奇数，∴m为偶数时，无解．综上所述，m＝103，故选：B．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|＝|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|＝＝|PF1|，由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|＝|PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a＝|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|＝4a，解得|PF1|＝．∴|PF2|＝|PF1|﹣2a＝，由勾股定理可得：2c＝|F1F2|＝＝，则e＝．故选：C．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．解：因为△ABC和△PBC为等边三角形，V＝h，而S一定，所以高最大值时，所以当面△PBC⊥面ABC时，三棱锥的体积最大，设两个外接圆的圆心分别为G，F，如图所示，过G，F分别作两个面的垂线，交于O，连接OP，OA，则OA＝OP为外接球的半径R，△OAG中，OA2＝OG2+AG2，而由题意OG＝EF＝＝，AG＝＝，所以OA2＝（）2+（）2＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：A．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）解：根据导数与单调性的关系可知，当f′（x）＜0时，函数单调递减，当f′（x）＞0，函数单调递增，结合图象可知，图象中实线为f′（x）的图象，虚线为f（x）的图象，由可得，0＜x＜1，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．解：由题意得该产品能销售的概率为（1﹣）（1﹣）＝，X的可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一篇产品中可以销售的件数，ξ～B（4，），∴P（ξ＝k）＝，∴P（X＝﹣80）＝P（ξ＝2）＝＝，P（X＝40）＝P（ξ＝3）＝，P（X＝160）＝P（ξ＝4）＝＝，∴P（X≥﹣80）＝P（X＝﹣80）+P（X＝40）+P（X＝160）＝＝．故答案为：．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为π．解：已知＝sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x＝sin2019x+cos2019x＝2sin （2019x+），函数的最大值为A＝2，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）为最小值，f（x2）为最大值，∴|x1﹣x2|的最小值为•＝，∴A|x1﹣x2|＝2|x1﹣x2|的最小值为π，故答案为：π．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是①②③④⑤．（写出所有真命题的序号）解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A＝AF，B'B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；②取AB中点C，则CM＝，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p．所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k．依题意可知X＝，1+所以X的分布列为：X1+P q k1﹣q k（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）＝•q k+（1+）（1﹣q k）＝﹣q k+1．所以当k＝2时，E（X）＝﹣0.92+1＝0.69，此时960人需要化验的总次数为662次，k＝3时，E（X）＝﹣0.93+1≈0.6043，此时960人需要化验的总次数为580次，k＝4时，E（X）＝﹣0.94+1＝0.5939，此时960人需要化验的次数总为570次，即k＝2时化验次数最多，k＝3时次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需化验960次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少960﹣570＝390次．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz．设AB＝1，AD＝a，则B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a），B1（1，0，2a），，，，．∵，，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，又BC∩B1C＝C，∴DE⊥平面BCC1B1；（2）解：设平面BCD的法向量＝（x0，y0，z0），则，又，故，取x0＝1，得．∵B1C与平面BCD所成的角为30°，，∴|cos＜＞|＝，解得，∴．由（1）知平面BCB1的法向量，∴cos＜＞＝＝．∴二面角D﹣BC﹣B1的余弦值为．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得e＝＝，（S）max＝＝1，即bc＝1，又c2＝a2﹣b2，解得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）假设存在N（n，0）满足条件，由|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，可得AF2为∠ANB的角平分线，所以k AN+k BN＝0，由题意直线AB的斜率存在且不为0，由（1）可得右焦点F2（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆的方程联立：，整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，k AN+k BN＝+＝＝＝0，所以2my1y2﹣（n+1）（y1+y2）＝＝0，即2mn＝0，因为m≠0，所以n＝0，即存在N（0，0）满足条件．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．解：（1）f′（x）＝2e2x﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，a＞0时，由f′（x）＝0得x＝ln，x∈（﹣∞，ln），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln）上递减；x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（ln，+∞）上递增．（2）f（x）＝e2x﹣ax＞ax2+1变形为e2x﹣ax2﹣ax﹣1＞0，令g（x）＝e2x﹣ax2﹣ax﹣1，g′（x）＝2e2x﹣2ax﹣a，令g′（x）＝0，可得a＝，令h（x）＝，h′（x）＝，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）的值域是（2，+∞），当a≤2时，g′（x）＝0没有实根，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，当a＞2时，g′（x）＝0有唯一实根x0，x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上递减，g（x）＜g（0）＝0，不符题意，综上，a的取值范围是a≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．解：（1）因为，，两式相减，有4x2﹣2y2＝4，所以C的直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上述方程可得：直线l的直角坐标方程为2x﹣y+m＝0．（2）联立l与C的方程，有，消y，得2x2+4mx+m2+2＝0，因为l与C相切，所以有△＝16m2﹣4×2（m2+2）＝8m2﹣16＝0，解得：．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．解：（1）当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2＝．∵f（x）＞7，∴或，∴或，∴不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a≥|（x﹣b）﹣（x+c）|+a＝|b+c|+a＝b+c+a，∴f（x）min＝b+c+a＝2，∴＝≥，∴≥。
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试(五)理科数学
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试（五）理数试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.复数1i i+的虚部是（ ）A. i -B. 1-C. 1D. i【答案】B 【解析】 试题分析：，虚部为-1.考点：复数的概念和运算.2.已知R 是实数集，22{|1},{|1}=<==-M x N y y x x，则()R C M N =I （） A. ()1,2- B. []1,2-C.(0)2， D. []0,2【答案】D 【解析】 【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ，根据补集和交集的定义可求得结果.【详解】由21x<得：0x <或2x >，即()(),02,M =-∞+∞U []0,2R C M ∴= 21y x =-Q 的值域为[)1,-+∞，即[)1,N =-+∞ ()[]0,2R C M N ∴=I本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（）A. 2B. 1C.12D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标运算可求得()1,2a b λλ+=+r r；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】()()()1,2,01,2a b λλλ+=+=+r r()//a b c λ+r r r Q ()4123λ∴+=⨯，解得：12λ=本题正确选项：C【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.4.已知α∈（-4π，0）且sin2α=-2425，则sinα+cosα=（ ） A.15B. -15C. -75D.75【答案】A 【解析】24sin 22sin cos 25ααα==-,又α∈（-4π，0），所以sin 0,cos 0αα<>，且sin cos 0αα+>，222241sin cos 2sin cos (sin cos )12525αααααα++=+=-=，所以1sin cos 5αα+=，选A.5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A. (2,B. (0,2)C. (2,)+∞D. 2)【答案】A 【解析】【详解】因为ΔABC 有两解，所以2sin 45bb a a <<∴<<︒A ．6.直线12y =与曲线2sin cos 22⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则113||M M u u u u u u u r等于（）A. 6πB. 7πC. 12πD. 13π【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =，结合正弦函数图象可得12y =与函数sin 2y x =在y 轴右侧的交点坐标，求得113,M M 坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.【详解】2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，13731,122M π⎛⎫⎪⎝⎭()1136,0M M π∴=u u u u u u u r 1136M M π∴=u u u u u u u r本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题，关键是能够将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.7.已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 （ ）A. 3[,3]2-B. [3,3]-C. 1[2-D. 【答案】A 【解析】考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题．解答：解：函数f(x)=3sin(ωx -π6)（ω＞0）和g （x ）=3cos （2x+φ）的图象的对称中心完全相同，所以ω=2，f(x)=3sin(2x-π6)， 因为x ∈[0，π2]所以2x-π6∈ [-π6，5π6]，所以3sin(2x-π6)∈[-32，3]； 故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力．8.在 ABC V 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且 c =3C π=，则 ABC V 的面积是 ()n nA.B.C.3D.或 【答案】D 【解析】分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC V 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴72133b tanπ==．∴11217372236ABC S bc ==⨯⨯=n ． ②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =．∴1133132234ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=． 综上可得ABC V 的面积是334 或 736． 故选D ．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去cosA 时，必须要考虑cosA 是否为0，否则会丢掉一种情况． 9.若是重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=u u u r u u u ru u ur r ，则角（ ）A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】D 【解析】 试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.10.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r ，且O A u u u v 与OB uuur 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 （ ） A.43B.52C.25D.34【答案】C 【解析】【详解】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为(1,)m k =r ，由且O A u u u v 与OB uuu r在直线l 上的射影长度相等，得OA m OB m m m⋅⋅=u u u v u u u v r rr r，即143k k +=-+，解之得25k =或43k =-（舍），故选C ． 考点：向量投影定义及运算．11.定义域为R 的函数()f x 满足()()24+=f x f x ，当[)0,2x ∈时，22,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩,若)2[0∈-，x 时,对任意的 )2[1∈，t 都有2()168t af x t≥-成立，则实数a 的取值范围是（） A. (]2-∞，B. [)2+∞，C. (]6-∞，D. [)6+∞，【答案】D 【解析】 【分析】由()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时，()f x 的解析式，从而得到()f x 在[)2,0-上的最小值，从而将不等式转化为2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立，利用分离变量法可将问题转化为322a t t ≥+，利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值，从而得到212a ≥，进而求得结果.【详解】当[)2,1x ∈--时，[)20,1x +∈()()()()()2211122232444f x f x x x x x ⎡⎤∴=+=+-+=++⎣⎦[)2,1x ∴∈--时，()min 31216f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当[)1,0x ∈-时，[)21,2x +∈ ()())112344f x f x x ∴=+=+[)1,0x ∴∈-时，()()min 112f x f =-=[)2,0x ∴∈-时，()min 116f x =-，即2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立即：322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立令()32g t t t =+，[)1,2t ∈，则()232g t t t '=+当[)1,2t ∈时，()0g t '>，则()g t 在[)1,2上单调递增 ()()212g t g ∴<=212a ∴≥，解得：[)6,a ∈+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.12.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)99【答案】A 【解析】试题分析：因为2()32f x ax bx c =++，所以(0)(1)(32)(22)0,01cf f c a b c c a c a=++=-><<，又12312[0,).33333a c c x x a a a a --====-∈考点：二次方程根与系数关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.下列四个命题：①函数()cos sin f x x x =的最大值为1；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；③若ABC ∆为锐角三角形，则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为____________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，可得()1sin 22f x x =，根据正弦型函数值域可知①错误；确定原命题的逆命题后，通过20m =可知逆命题为假，②错误；利用诱导公式和角的范围可证得结论，③正确；分类讨论去掉函数中的绝对值符号，根据二次函数的性质可确定函数的单调性，从而得到满足题意的范围，进而说明充要条件成立，④正确.【详解】①()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 12f x ∴=，①错误 ②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <” 若20m =，可知22am bm =，则其逆命题为假命题，②错误 ③ABC∆Q 锐角三角形 0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2A B π+>2A B π∴>-且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭同理可得：sin cos B C >，sin cos C A >sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，③正确④令20x ax -=，解得：10x =，2x a =当0a ≤时，20x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立 ()2f x x ax ∴=-()f x Q 对称轴为02ax =≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增，充分条件成立 当0a >时，()22,0,ax x x a f x x ax x a⎧-<<=⎨-≥⎩，此时()f x 在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意∴“0a ≤”是“()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件，④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查正假命题的判定，涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识，属于中档题.14.若点(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上，则tan()4πα+=___________．【答案】13【解析】 【分析】根据点在直线上可代入求得tan α，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】()sin ,cos P ααQ 在直线2y x =-上 cos 2sin αα∴=- 1tan 2α∴=-1tan tan1142tan 1431tan tan 142παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+本题正确结果：13【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.15.已知向量,a b r r 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a brr 的夹角的取值范围是_______________． 【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数有极值可知导函数有变号零点，由()f x '为二次函数可知>0∆，从而得到214a b a ⋅<r r r ，根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>rr 的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.【详解】由题意得：()()2f x x a x a b '=++⋅rr r()f x Q 在R 上有极值 ()240a a b ∴∆=-⋅>r r r ，即214a b a ⋅<r r r22114cos ,11222aa b a b a b a b a a a ⋅⋅∴<>==<=⋅⋅r r r r r r r r r r r r[],0,a b π<>∈r r Q ,,3a b ππ⎛⎤∴<>∈ ⎥⎝⎦r r本题正确结果：,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.16.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 ．【答案】(,0)(,)66πππ-U 【解析】 【详解】设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-， ∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的偶函数， ∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴()2()02sin 2f g πππ==，∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-， ∴6x ππ<<或06x π-<<. ∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-U .考点：利用导数研究函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数2()1xe f x ax =+（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试(十三)理科数学
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试（十三）高三（理科）数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.i 是虚数单位，()25z i i -=，z =（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算，求得z 的表达式，再求z 的模.【详解】依题意()()()52512222i i i z i i i i +===-+--+，所以z == D. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的运算，属于基础题.2.全集{}0,1,2,3,4,5,6U =,集合6{|}1A x N N x =∈∈+，则U C A =（ ） A. {2,3,4,5,6}B. {3,4,5,6}C. {3,4,6}D. {3,4,5}【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合A 的元素，再求得集合A 的补集.【详解】依题意{}0,1,2,5A =，故{}3,4,6U C A =，故选C.【点睛】本小题主要考查集合元素，考查集合补集的运算，属于基础题.3.命题“矩形的对角线相等”的否定及真假，描述正确的是（ ） A. 矩形的对角线都不相等，真 B. 矩形的对角线都不相等，假 C. 矩形的对角线不都相等，真 D. 矩形的对角线不都相等，假【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的知识写出原命题的否定，并判断出真假性.【详解】命题的否定是否定结论，故原命题的否定为“矩形的对角线不都相等”，为假命题. 【点睛】本小题主要考查命题的否定，考查矩形的几何性质，属于基础题.4.如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的( ) A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】将两者相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项. 【详解】当“x y ≠”，可能cosx cosy =，如ππcos cos 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当“cosx cosy ≠”，则“x y ≠”成立.故“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质.5.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A. 1%B. 2%C. 3%D. 5%【答案】C【解析】由题意3030%3%30+40+100+80+50⨯=，故选C．6.椭圆22221(0)x ya ba b+=>>322221x ya b-=的离心率为（）A. 2B. 3C. 2D. 5【答案】D【解析】【分析】根据椭圆离心率求得ba的值，再根据双曲线离心率公式，求得双曲线的离心率.2312ba⎛⎫-=⎪⎝⎭，故214ba⎛⎫=⎪⎝⎭2512ba⎛⎫+=⎪⎝⎭，故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率、双曲线离心率有关计算，属于基础题.7.设曲线11xyx+=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y++=垂直,则a=( )A. 2B. 2-C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【详解】因为22(1)y x -='-，所以22()12,(31)a a -⋅-=-⇒=--选B.考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点；（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.8.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，若(1)1f =，则(2020)f 的值是（ ） A. 0 B. 1C. 505D. 2020【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)(1)f x f x +=-求得函数的对称轴，结合函数为奇函数，求得函数的周期，再根据周期性求得()2020f 的值.【详解】由于(1)(1)f x f x +=-，所以函数图像关于直线1x =对称，而函数是奇函数，图像关于原点对称，故函数是周期为4的周期函数，故()()()20200450500f f f =+⨯==，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数对称轴、周期性，考查抽象函数求值，属于基础题.9.函数2()(1)sin f x x x x x =+-+的零点的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将函数()f x 因式分解.利用导数求得函数()sin g x x x =-的单调区间，判断出函数()sin g x x x =-零点个数.由此判断出()f x 零点个数.【详解】依题意()()()1sin f x x x x =+-，故1x =-是函数()f x 的零点.构造函数()sin g x x x =-，注意到()00g =，且()'1cos 0g x x =-≥，所以()g x 在R 上递增，只有唯一零点0x =.所以()f x 有两个零点1x =-或0x =.故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题.10.函数3()3f x x x =-在区间()2,m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A.1,)-+∞（ B. 1,1]-（ C. 1,2)-（ D.1,2]-（ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间()2,m -上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】由于()()()'233311fx x x x =-=+-，故函数在(),1-∞-和()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，()()122f f -==，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间()2,m -上有最大值，根据图像可知(],B A m x x ∈，即(]1,2m ∈-，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到()()(),()()xxF x f x e F x f x f x e ⎡'⎤=+⎣⎦'=>0, 函数F （x ）是单调递增函数，则F （1）>F(ln2)>F(0),化简后得到结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>,设()()(),()()x x F x f x e F x f x f x e ⎡'⎤=+⎣⎦'=>0,故函数F （x ）是单调递增函数，则F（1）>F(ln2)>F(0),()()()012ln 20ef f e f >>,() 1ef >() 22f ln >() 0f . c b a >>.故答案为：A.【点睛】本题考查了函数单调性的应用，解抽象函数不等式问题，通常需要借助于函数的单调性和奇偶性和周期性，或者需要构造函数再求导,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.12.若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A. 3 B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长，利用体积列方程求得四棱锥的高，计算出四棱锥外接球半径的最小值，求得此时对应的四棱锥的高.【详解】设正方形的边长为a ，则四棱锥的高为227h a =，正方形对角线长为，则其外接圆的半径r =.设球的半径为R，则()222h R r R -+=，解得44222272727210844108a a R a a a =+=++94≥=，当且仅当42274108a a =，即3a =时等号成立，此时，四棱锥的高为2272739h a ===.故选A. 【点睛】本小题主要考查四棱锥外接球半径的最小值的计算，考查四棱锥的体积公式，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.二、填空题：13.计算：122231(lg lg8)4log 3log 4125--÷+⋅=________.【答案】20 【解析】 【分析】根据对数运算、指数运算有关公式，化简所求表达式. 【详解】依题意，原式()1232223lg104log 3log 2-=⨯+⨯()223322log 3log 2=-⨯+⨯⨯18220=+=.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.幂函数222(22)m y m m x -=--在(0,)+∞上增函数，则m =________.【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性，求得m 的值.【详解】由于函数为幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，当1m =-时，函数为1y x=，不满足在(0,)+∞上递增，故舍去.当3m =时，7y x =符合题意.综上所述，m 的值为3.【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题.15.函数2()cos 2sin 2f x x a x =--+的最大值为3，则a =________. 【答案】12± 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简，结合二次函数的性质及最大值列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意()()222sin 2sin 1sin 1f x x a x x a a =-+=-+-，由于二次函数()()22111y t a a t =-+--≤≤开口向上，故在区间的端点取得最大值.若1t =-时取得最大值，即()221113,2a a a --+-==，此时二次函数对称轴12t a ==，根据二次函数性质可知1t =-时取得最大值，符合题意.若1t =时取得最大值，即()22113a a -+-=，解得12a =-，此时二次函数对称轴12t a ==-，根据二次函数性质可知1t =时取得最大值，符合题意.故12a =±. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质以及最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16.在一段线路中有4个自动控制的常用开关A 、B 、C 、D ，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A ，D 能够闭合的概率都是0.7，开关B ，C 能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.【答案】0.9676 【解析】 【分析】先计算线路不能正常工作的概率，用1减去这个概率，求得正常工作的概率.【详解】,B C 段不能正常工作的概率为10.80.80.36-⨯=.线路不能正常工作的概率为0.30.30.36⨯⨯，故能正常工作的概率为10.30.30.360.9676-⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.三、解答题17.设函数()f x 与()g x 的定义域是x ∈R 且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1f xg x x +=-. （1）求()f x 和()g x 的解析式 ；（2）求111()()()(2)(3)(4)432g g g g g g +++++的值. 【答案】（1）21()1f x x =-， 2()1xg x x =-；（2）0.【解析】 【分析】（1）将x -代入题目所给函数方程1()()1f xg x x +=-，根据函数的奇偶性化简，解方程组求得()f x 和()g x 的解析式.（2）计算证得1()()0g x g x+=，由此求得表达式的值为0.【详解】(1)∵1()()1f x g x x +=- , ①∴1()()1f xg x x -+-=--,∵()f x 是偶函数，()g x 是奇函数,∴1()()1f xg x x --=+,② ①②相加得21()1f x x =-， 进而2()1xg x x =-.（2）∵2()1x g x x =- ∴21()1xg x x -=-,∴1()()0g x g x += ,∴111()()()(2)(3)(4)0432g g g g g g +++++= .【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，考查倒序相加法，属于基础题.18.如图直三棱柱111ABC A B C -中，截面11AB C ⊥平面11AA B B .（1）求证：1111A B B C ⊥；（2）记二面角111A B C A --的大小为α，直线1AC 与平面111A B C 所成的角为β，试比较α与β的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）αβ>. 【解析】【分析】（1）在平面11AA B B 内作11A D AB ⊥，根据面面垂直的性质定理得到111B C A D ⊥，结合直三棱柱的几何性质，得到111 B C A A ⊥，由此证得11B C ⊥平面11AA B B ，进而证得1111B C A B ⊥.（2）根据二面角和线面角的定义，得到11AB A α=∠,11AC A β=∠，利用sin sin αβ>，以及两个角为锐角，证得αβ>.【详解】（1）在平面11AA B B 内作11A D AB ⊥，易证111B C A D ⊥，111B C A A ⊥ , 从而11B C ⊥平面11AA B B ,所以1111B C A B ⊥.（2）11AB A α=∠,11AC A β=∠设1AA a =,1AB b = ,1AC c = ,则a b c << 于是sin sin a a b cαβ=>=， 由于α，β都是锐角，所以αβ>.【点睛】本小题主要考查线面垂直证明线线垂直，考查线面角、面面角的定义，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点(1,2)P ，11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y +的值及直线AB 的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-．；（2）1．【解析】试题分析：（I ）设出抛物线的方程，把点P 代入抛物线求得p 则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，进而求得的值，把A ，B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．试题解析：（I ）由已知条件，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>因为点(1,2)P 在抛物线上,所以2221p =⨯，得2p =. 2分故所求抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-. 4分（2）设直线PA 的方程为2(1)(0)y k x k -=-≠， 即：21y x k-=+，代入24y x =，消去x 得： 24840y y k k-+-=. 5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：142y k +=，即：142y k =-. 7分 将k 换成k -，得242y k =--，从而得：124y y +=-， 9分 直线AB 的斜率1212221212124144AB y y y y k y y x x y y --====--+-. 12分. 考点：抛物线的应用．20.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平 均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 18013.4≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=【答案】（1）60x =,2180s =；（2）（i ）0.3415；（ii ）详见解析.【解析】【分析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；（2）（i ）由(1)知，~(60180X N ，)，从而可求出(6073.4)P X <<； （ii ）可得Y 可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出Y 的分布列，求出其Y 的数学期望.【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()222222300.05200.1100.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯= （2）（i ）由（1）知，()~60180X N ，，从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； （ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]4555，内有3人，在[]6575，内有4人， 故Y 可能的取值为0，1，2，3()0334374035C C P Y C ===，()12343718135C C P Y C ===， ()21343712235C C P Y C === ()3034371335C C P Y C === 所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为()41812190123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.21.已知函数()xe f x x a=-（其中常数0a <）. （1）求函数()f x 的定义域及单调区间；（2）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1){}|x x a ≠，()f x 的单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为(),a -∞，(),1a a +；(2)1ln12a ≤-. 【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}|x x a ≠，[]22(1)()1'()()()x x x e x a e x a e f x x a x a -+--⋅==--，由'()0f x >，解得1x a >+，由'()0f x <，解得1x a <+且x a ≠,()f x ∴的单调递增区间为(1,)a ++∞，单调递减区间为(,)a -∞和(,1)a a +；（2）由题意可知，当且仅当0a <，且()x e f x x a =-在(],0a 上的最小值小于或等于12时，存在实数(],0x a ∈，使得不等式1()2f x ≤成立 ，若10a +<即1a <-时，()f x ∴在(],0a 上的最小值为1(1)a f a e ++=，则112a e +≤，得1ln 12a ≤-，若10a +≥，即1a ≥-时，()f x 在(],0a 上单调递减，则()f x 在(],0a 上的最小值为1(0)f a =-，由112a -≤，得2a ≤-（舍） ，综上所述，1ln 12a ≤-.选做题：22.已知直线l 的极坐标方程是πsin()03ρθ-=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）. （1）求直线l 被曲线C 截得的弦长； （2）从极点作曲线C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）（2）2sin (0)ρθρ=≠.【解析】【分析】（1）求得直线l 和曲线C 的直角坐标方程，利用弦长=求得弦长.（2）根据曲线C 的参数方程，求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程.【详解】（1）由题意可知,直线l 的直角坐标系方程是y =,曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=,则圆心C 到直线l 的距离1d ==,故所求的弦长是=（2）从极点作曲线C 的弦,弦的中点的轨迹'C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）, 且3π3π[0,)(,2π)22α∈⋃,其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠, 极坐标方程为22sin 0ρρθ-=,化简得2sin (0)ρθρ=≠.【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.23.已知0a >，0b >，0c >.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为2.(1)求a b c ++的值；(2)证明：11194a b b c c a ++≥+++. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先根据绝对值三角不等式得()f x 的最小值为a b c ++ ，再根据0a >，0b >，得结果.(2)先构造()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭，再利用均值不等式可得结论.详解：（1）∵ ()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，∴ ()f x 的最小值为a b c ++，∴ 2a b c ++=.（2）由（1）可知，2a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数， 所以()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭， 134b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()19322244≥+++= 当且仅当1a b c ===时，取等号， 所以11194a b b c c a ++≥+++得证. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.。
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河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}-- D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞3.下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为（ ）A.42y x x =+ B ．||2x y = C.22x xy -=- D ．12log ||1y x =-4.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．1008 7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6 C.1(,0)2- D ．11(,0)6- 9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OFAB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0,0)a b >> B ．222a b ab +≥(0,0)a b >>C.2ab ab a b≤+(0,0)a b >> D ．2222a b a b ++≤(0,0)a b >> 10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C.810 D ．81611.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞U B ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为 ．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则20cos 2x a dx π⎰= ． 15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，ABC∆的面积为b c +的值为 ．16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC=，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L 的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12(21)(21)nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <. 18.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ； （2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=的公共弦长为103. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 已知函数2()2ln 2(0)f x x mx x m =-+>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2m ≥时，若函数()f x 的导函数'()f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，2x 12()x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数2()ln h x x cx bx =--的零点，求证：1202()'()ln 23x x h x -≥-+.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为4,22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）求函数()f x 的值域M ；（2）若a M ∈，试比较|1||1|a a -++，32a ，722a -的大小.参考答案及解析 理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14.3π 15.[2,4]ππ 三、解答题17.解：（1）23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L 的展开式中x 的系数为1111123n C C C C ++++=L 2111223n C C C C ++++=L 2211122n C n n +=+， 即21122nS n n =+， 所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=； 当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）证明：12(21)(21)n n n n b +==--1112121n n +---， 所以11111113372121nn n T +=-+-++---L 11121n +=--， 所以1n T <.18.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OMBC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，3,0,0)B ，31,0)2O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(OM =u u u u r ，31(,2)2OP =u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,3120,2n OM x n OP x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r.过点C 作CHAB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，132CH CB ==. 所以3cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33,,0)44CH =u u u r . 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u r r 2233|0410|2514439411616⨯+⨯=+⨯+19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400 P PA P A=⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120CP XC===，21373107(600)40C CP XC===，123731021(700)40C CP XC===，373107(1000)24CP XC===，故X的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X=⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则1000200Z Y=-，由已知可得3~(3,)10Y B，故39()31010E Y=⨯=，所以()(1000200)E Z E Y=-=1000200()820E Y-=（元）.因为()()E X E Z<，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得26a=，所以3a=.由椭圆C与圆M：2240(2)9x y-+=410，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点210(2,，所以2440199b+=，解得28b=.所以椭圆C的方程为22198x y+=.（2）直线l的解析式为2y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，AB的中点为00(,)E x y.假设存在点(,0)D m，使得ADB∆为以AB为底边的等腰三角形，则DE AB⊥.由222,1,98y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx++-=，故1223698kx x k +=-+， 所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+. 因为DE AB ⊥，所以1DE k k=-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++. 当0k >时，89k k +≥=所以012m -≤<； 当0k <时，89k k+≤-012m <≤. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D的横坐标的取值范围为[U . 21. 解：（1）由于2()2ln 2f x x mx x =-+的定义域为(0,)+∞，则22(1)'()x mx f x x-+=.对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-. 当240m-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞内单调递增.当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等是实根2m x ±=，令'()0f x >，得0x <<x >，此时()f x 单调递增；令'()0f x <x <<，此时()f x 单调递减.综上所述，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当2m >时，()f x在内单调递减，在，)+∞内单调递增.（2）由（1）知，22(1)'()x mxf xx-+=，所以'()f x的两根1x，2x即为方程210x mx-+=的两根.因为m≥，所以240m∆=->，12x x m+=，121x x=.又因为1x，2x为2()lnh x x cx bx=--的零点，所以2111ln0x cx bx--=，2222ln0x c bx--=，两式相减得11212122ln()()()0xc x x x x b x xx--+--=，得121212ln()xxb c x xx x==+-.而1'()2h x cx bx=--，所以120()'()x x h x-=1201()(2)x x cx bx---=121212121212ln2()[()()]xxx x c x x c x xx x x x--+-+++-1211222()lnx x xx x x-=-=+12112212ln1xx xx xx-⋅-+.令12(01)xt tx=<<，由2212()x x m+=得22212122x x x x m++=，因为121x x=，两边同时除以12x x，得212t mt++=，因为m≥，故152tt+≥，解得12t<≤或2t≥，所以12t<≤.设1()2ln1tG t tt-=⋅-+，所以22(1)'()0(1)tG tt t--=<+，则()y G t=在1(0,]2上是减函数，所以min12()()ln223G t G==-+，即120()'()y x x h x =-的最小值为2ln 23-+. 所以1202()'()ln 23x x h x -≥-+. 22.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=， 解得10t =，2t =-所以直线l 被圆C截得的弦长为12||t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l的距离d=|2cos()4πθ=+，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯+=+ 即ABP ∆的面积的最大值为2+23. 解：（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，min 13()()22f x f ==. 所以函数()f x 的值域3[,)2M =+∞. （2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a<≤. 又|1||1|1123a a a a a -++=-++=≥，所以32a≥，知10a->，430a->，所以(1)(43)2a aa-->，所以37222aa>-，所以37|1||1|222a a aa-++>>-.。