鸽笼原理与排列组合
2.1鸽笼原理的简单形式
1) 假设这群人中每人都有熟人. 即 xi 0 且 1 xi n 1. 视 x1 , x2 , , xn 为 n 个物体， 1, 2, , n 1为 n 1 个盒子. 这样一来，问 题就成为把 n 个物体放入 n 1 个盒子的问题了. 由鸽笼原理知至少有两个物体 放在同一盒子中. 不妨设 xk 与 xl 在同一盒中 k l ，即 xk xl . 这表明第 k 个 人与第 l个人有相同数目的熟人. 在这种情况下，本例结论成立. 2) 假设这群人中只有1个人没有熟人，不妨设这个人就是第 n 个人，即 xn =0 且 1 xi n 2 i 1, 2, , n 1 . 同样视 x1 , x2 , , xn 1 为 n 1个物体， 视 1, 2, , n 2 为 n 2个盒子，则由鸽笼原理知至少有一个盒子里放了两个 物体. 不妨设 xk与 xl k l ,k , l n 1在同一盒子里，即 xk xl . 故第 k 个人 与第 l个人熟人数目相同. 故在第二种情况下，本例结论也是成立的. 3) 假设在这群人中至少有两个人都没有熟人，也就是说这两个人的熟人数 目为0. 故在这种情况下，本例结论仍然成立. 综上所理与Ramsey定理
鸽笼原理的简单形式
§2.1
鸽笼原理又称为抽屉原理，它是组合数学中的一个重要的也是最基本的原 理. 这个原理是指：“有 n只鸽子，飞进 m n m 个鸽笼时，至少有一个鸽 笼内有2只以上的鸽子”. 这是一个显而易见的道理，然而，它却有许多重要 而有趣的应用和几种不同的表达形式，这节先介绍鸽笼原来的简单形式. 定理2.1 如果把 n 1个物体放到 n 个盒子中去，则至少有一个盒子中放 有2个或更多地物体. 证明：用反证法. 如果 n 个盒子中每个盒子至多放入一个物体，则放入 n 个盒子中的物体总数至多为 n 个. 这与假设有 n 1 个物体矛盾. 从而定理得 证. 必须注意，鸽笼原理只指出了至少存在这样的盒子，并没有给出“确定哪 一个盒子有此性质”的方法. 因此，它只能用来解决存在性问题. 如，366个人中必然至少存在两人有相同的生日. 其中道理很简单，一年365天，366个人中至少有一天是其中某两人的生日. [例1] 一教师每周上7次课，则这教师至少有一天要上2次课（除星期天）. 在此例中，把“天”当作“盒子”. [例2] 证明：把5个顶点放到边长为2的正方形中，至少存在两个顶点，他 们之间的距离小于或等于 2 .
鸽巢原理公式
鸽巢原理公式
鸽巢原理是一种常见的数学原理，它通常用于解决排列组合问题。
鸽巢原理的
核心思想是，如果有n个物品要放入m个箱子中，且n>m，那么至少有一个箱子
中至少有两个物品。
这个原理在实际生活中有着广泛的应用，比如在密码学、计算机科学、概率论等领域都有着重要的作用。
鸽巢原理的公式可以用数学语言来表示，假设有n个物品要放入m个箱子中，且n>m，则至少有一个箱子中至少有两个物品。
这个公式可以帮助我们更好地理
解鸽巢原理，并且在实际问题中进行应用。
在实际问题中，鸽巢原理的应用可以帮助我们更好地解决一些复杂的排列组合
问题。
比如在密码学中，我们可以利用鸽巢原理来证明某种密码算法的安全性，或者在计算机科学中，我们可以利用鸽巢原理来设计更高效的算法。
除此之外，鸽巢原理还可以帮助我们更好地理解概率论中的一些概念。
在概率
论中，鸽巢原理可以帮助我们计算一些复杂事件的概率，从而更好地理解随机事件的规律。
总之，鸽巢原理是一种非常重要的数学原理，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过理解鸽巢原理的公式，我们可以更好地解决一些复杂的排列组合问题，从而提高我们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
抽屉原理及其应用
抽屉原理及其应用
抽屉原理（也称鸽笼原理、容斥原理）是离散数学中的一个基本原理，它描述了把若干个物体放入若干个容器中时，如果物体数量多于容器数量，那么至少有一个容器必须放多于一个物体。
抽屉原理可以应用在多个领域，包括：
1. 计算概率：假设有n个鸽巢和m个鸽子，如果将m个鸽子平均放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中会放多于一个鸽子。
2. 计算排列组合：假设将n个物品分成m堆，至少有一堆中包含的物品数量不少于⌈n/m⌉（向上取整）。
3. 求解问题：当问题本身的解法很难找到时，可以利用抽屉原理削减解空间，锁定可能的解，减少求解难度。
4. 数据存储：在计算机程序设计中，抽屉原理可以用来优化数据存储和搜索。
将数据划分多个小区域同时进行搜索，可以减少搜索空间，提高效率。
总之，抽屉原理是一种非常实用的思想工具，可以帮助我们解决各种实际问题。
第2章组合2
mk1 = mk2 = ⋅ ⋅ ⋅ = mkn+1
其中, 其中 1≤k1<k2<…kn+1≤n2+1。 。
(2.3)
下证子序列
a k1 , ak 2 ,⋅ ⋅ ⋅, a k n+1
(2.4)
是递减的。 若不然， 是递减的 。 若不然 ， 则存在 i, j ∈{1, 2…, n+1}， i<j ， 有 aki < ak j 。 为首位的最长递增子序列之前， a ki 放在以 a k 为首位的最长递增子序列之前，则 为首位的递增子序列， 可得到一个以 a k i 为首位的递增子序列，这表明 m k > m k ， 此时若把
设有2个红球 个白球 个蓝球和 个黑球, 个红球, 个白球, 个蓝球和5个黑球 例 8 设有 个红球 3个白球 4个蓝球和 个黑球 同色球 均相同, 求从这些球中取出10个球的组合数 个球的组合数。 均相同 求从这些球中取出 个球的组合数。 为从给定的四类球（假定都有足够多的数量） 解 令 S 为从给定的四类球（假定都有足够多的数量） 中取出10个球的组合所构成的集合， 中取出 个球的组合所构成的集合，则 个球的组合所构成的集合
令 mi 为以 ai 为首项的最长递增子序列的 长度， 长度， i =1,2,…, n2+1。由假设 。 mi<n+1 （mi≤n） ）
同时 mi≥1，所以 ， 1≤mi≤n 而 mi 有 n2+1 = n [(n+1)-1]+1 个， 由推论4， 个相同的数。 由推论 ，在 m1, m2,…, m n 2 +1 中必存在 n+1个相同的数。 个相同的数 不妨设
(1.2)
(2.2)
鸽舍原理在中高考的应用
鸽舍原理在中高考的应用1. 什么是鸽舍原理鸽舍原理（Pigeonhole Principle）是一种基本的数学原理，它指出：如果有n个物体要放到m个容器中（n > m），那么至少有一个容器中至少放了两个物体。
这个原理有时被称为抽屉原理，因为可以将容器想象为抽屉，物体想象为放入抽屉中的物品。
2. 鸽舍原理在中高考中的应用鸽舍原理在中高考中有着广泛的应用，特别是在组合数学和概率问题中。
以下是一些具体的应用场景：2.1. 桌面问题考虑一种情况，有11本不同的书要放到10个抽屉里，那么根据鸽舍原理，必然有一个抽屉里至少放了两本书。
这个问题类似于考试时间表中的冲突问题，即不同的科目要排在同一时间段内。
2.2. 考试中的划分在大规模考试中，为了保证公平性和安全性，通常会将考生划分到不同的考场。
使用鸽舍原理，可以证明在考生人数超过考场数的情况下，至少会有一个考场里的考生数量超过规定的安全人数。
2.3. 组合数学问题在数学的组合问题中，鸽舍原理是一个非常有用的方法。
例如，在一个2030年的中学班级中，至少有两个学生的生日是在同一天，这可以通过鸽舍原理得到证明。
2.4. 排列组合问题鸽舍原理在排列组合问题中也有广泛的应用。
例如，给定一组数字，找出其中两个数字的差值能够被7整除的情况。
这个问题可以转化为将数字分为七个组的问题，然后使用鸽舍原理证明至少有两个数字被分到同一个组里。
2.5. 概率问题在概率问题中，鸽舍原理可以用来证明某些事件一定会发生。
例如，在一场抛硬币的游戏中，如果抛硬币的次数超过硬币的数量，那么根据鸽舍原理，至少有两次抛硬币的结果是相同的。
3. 总结鸽舍原理是一种非常重要的数学原理，在中高考中有广泛的应用。
无论是组合数学、概率问题还是排列组合问题，鸽舍原理都能够提供简单而有效的解决方案。
在解题时，学生可以将问题抽象化，将物体与容器对应起来，利用鸽舍原理进行推理和证明。
熟练掌握鸽舍原理的应用，有助于提高数学解题的能力，同时也能够培养学生的逻辑思维和证明能力。
组合数学 第3章 鸽笼原理
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例8
证明：作序列 s1 a1, s2 a1 a2 , ..., s100 a1 a2 ... a100。 由而故做于且根序例每据列个假题设ai都有s1是s,1s020正s,1.0.的.0(.,例已的a＞.as.整i11+01知和8h0a数(0、≥,iaa+从不s1191，2设，1+1其超6…故a使3.a.1中过9.+a9得1,2a21任s…6sia+26a1019.，意0ha≤.+.)1130即一as6902ha是(。,+对个a1.10.1+由.0则1.,于数.)…s。.11至01开a和+0≤1s少a21始i2k0≤0=3组存9的93.1.9成.在恒顺。的ha有序和20序1)k0列，个，（k数S）
§§3.31.1 鸽鸽笼笼原原理例理6
例题
例6、从1到2n的正整数中任取n+1个，则 这n+1个数中至少有一对数，其中一个数 是另一个数的倍数（n≥1） 。
证明：设所取n+1个数是a1,a2,…,an,an+1，
对该序列中的每一个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇
数为止，即 ri = ai / 2x ，x = 0,1,2,…。
结果得由奇数组成的序列R：r1,r2,…,rn,rn+1。
1到2n中只有n个奇数，故序列R中至少有两个数是相同的。
设为 ri rj r, i j ， 对应的有 ai 2i r，a j
2 j
r，不妨设i
j
，
则ai是aj的倍数。
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例7
例题
例7、设a1a2…am是正整数的序列，则至少 存 在 整 数 k 和 l ， 1≤k ＜ l≤m ， 使 得 和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。 （m≥2）
六年级下册数学广角鸽巢知识点
六年级下册数学广角鸽巢知识点六年级下册数学广角鸽巢知识点1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法,如下表放法盒子1盒子21322131243无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果〞。
这个结论是在“任意放法〞的情况下, 得出的一个“必然结果〞。
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信我们把这些例子中的“苹果〞、“鸽子〞、“信〞看作一种物体，把“盒子〞、“鸽笼〞、“信箱〞看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式②利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+12、摸2个同色球计算方法。
①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1.物体数=颜色数×(至少数-1)+1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
③公式：两种颜色：2+1=3(个)三种颜色：3+1=4(个)四种颜色：4+1=5(个)数学长度单位简介及换算分米(dm)、厘米(cm)、纳米(nm)等，长度的标准单位是“米〞，分米dm，米m。
毫米mm，厘米cm，用符号“m〞表示。
1里=150丈=5米。
2里=1公里(10米)。
1丈=10尺。
1丈=3.33米。
1尺=3.33分米。
小学数学四边形定义知识点(1)什么是四边形?有四条线段围成的图形叫四边形。
(2)什么是平等四边形?两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(3)什么是平行四边形的高?从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做四边形的高。
(4)什么是梯形?只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
抽屉原理
1基本介绍编辑本段鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。
其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。
另一种为：若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。
拉姆齐定理是此原理的推广。
2常见形式编辑本段2.1第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
2.2第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
3基本应用编辑本段3.1基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
鸽笼原理及其应用
鸽笼原理及其应用鸽笼原理是组合数学中最基本的计数原理之一，它是解决许多涉及存在性问题的有用工具.十九世纪德国数学家Dirichlet 曾用该原理证明过数学命题，因此也称为Dirichlet 原理.许多关于组合数学方面的教材给出了鸽笼原理的简单形式，一般形式以及加强形式.下面我们就这三个不同层次分别展开来看其等价形式，并对解决同一问题加以比较以取得最优方法.(为对比方便，以下不论是定理还是推论均以形式命名)1鸽笼原理的种种形式1.1 鸽笼原理的简单形式形式1[]()1711P (通俗表述) 如果n ＋1只鸽子飞进n 个鸽笼，则必有一个鸽笼，该鸽笼里至少有2只鸽子.形式2[]()1711P 设A 是有限集，A ≥1+n ，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U ＝A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证明 用反证法.设i A ≤1(i ＝1，2，… ，n )，有A ＝Y n i i A1=≤∑=n i i A 1≤n ，这与A ≥1+n 的假设矛盾，所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证毕.[]()1711P 形式3[]()P715 若R 是从A 到B 的关系，则有(1)存在a ∈A ，使)(a R ≥R /A ；(2)存在a ∈A ，使)(a R ≤R /A ；(3)存在b ∈B ，使)(1b R -≥R /B ；(4)存在b ∈B ，使)(1b R -≤R /B .说明 一组数不可能都大于(或小于)其平均数.形式4[]()P715 若f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.形式5 设n 个元素按任一确定的方式分成m 个集合，如果m ＜n ，那么必有一个集合至少含有两个元素.形式6[]()P2123 设A 、B 为两个有限集合，若A ＞B ，则从A 到B 的任意函数f :A →B ，必有1a ，2a ∈A ，且1a ≠2a ，使得f (1a ) ＝f (2a ).结合以上几种形式，我们通过例题来看一下具体应用.例1 任给n （n ＞1）个自然数，其中必有两个数的差是 n －1的倍数. []()P96证明一（通俗证明） 任意一个自然数被 n －1除的余数只能是0，1，2，… ，n －2共 n －1种，根据所得余数，可以把所有自然数分为 n －1类:{余数为0的自然数}，{余数为1的自然数}，… ，{余数为n －2的自然数}，把它们看作 n －1个鸽笼，余数相同的自然数在同一笼里.任取n 个数则必有两个数出自同一鸽笼中，也就是这两个数除以n －1所得余数相同，所以用大数减去小数，它们的差就是 n －1的倍数.证毕. []()P96证明二（用形式2） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，i A ＝{被 n －1除余数为i 的自然数j a ，i ＝0，1，… ，n －2}，因为 A ＝n ，∑-20n i ＝i A ＝ n －1，所以由形式2，则必有正整数k (1≤k ≤ n －1)，使得|k A |≥2.即至少存在2个自然数，不妨设为k a ，l a ，被 n －1除余数为k ，则 n －1整除k a －l a .证毕.证明三（用形式4） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，B ＝{0b ，1b ，… ，2-n b }，（j b 为i a 被 n －1除余数为j 的自然数），f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1， 则由形式4，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.不妨设f (1a )＝f (2a )＝b （见形式6），则 n －1整除1a －2a .证毕.从这道例题的证明中可看出证明一有些烦琐，没有证明二，三那么简洁明了，另外我们可以看到证明三综合了两种形式，这就使得该题的解决更加简单且容易理解和掌握.1.2鸽笼原理的一般形式形式7[]()P1741 如果m （m ≥2）只鸽子飞进n 个笼子，则必有一个笼子，该笼子里至少有11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m 只鸽子. 形式8[]()P1741 设A 是m （m ≥2）元集，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U = A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证明 用反证法.设i A ≤⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m 1 (i ＝1，2，… ，n )，则i A ≤nm 1-(i ＝1，2，… ，n )，从而A ＝Y n i i A 1=≤∑=n i i A 1≤n ·n m 1-＝1-m ，这与A ＝m 的假设矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证毕. []()P1741例2 一写着 “马（H ）”，“兵（S ）”，“炮（C ）”的牌，一套牌是指三马，三兵，三炮，或马兵炮，试证:任意5张牌中必存在一套牌. []()P715证明 ①若5张牌不缺花式，则存在一套马兵炮牌，结论得证.②证明一（用形式8）:若缺一种花式，比如H ，设A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集.由于A ＝5，i A ⊆A (i ＝1，2)且Y 21=i iA ＝A ，所以由形式8 ，必有正整数k (1≤k ≤5)，使得|k A |≥1215+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-＝3.证毕. 若用形式1证明②，可看作5只鸽子飞进2个鸽笼，则必有一个鸽笼里至少有两只鸽子，很明显，这样得不出要证的结论，所以用形式1证明该题不可行.同理，用形式2，形式5和形式6均得不出结论，可见选择形式对解问题还是很重要的.那么②的证明方法就此一种吗？不是的，下面介绍它的其他证明形式.形式9 把多于m ×n 只鸽子，按任意确定的方式分放在n 个鸽笼里，那么至少有一个鸽笼有m ＋1或多于m ＋1只鸽子.我们用形式9来证明例2②证明二（用形式9） 把两种花式作为两个鸽笼，n ＝2，而5＞2×2，所以由形式9，m ＝2，则至少有一个鸽笼有3或多于3只鸽子，即5张牌中必存在一套牌.证毕.在第三部分将介绍它的加强证明形式.形式10 设有无穷多只鸽子按任一确定方式分成有限个鸽笼，那么至少有一个鸽笼含有无穷多只鸽子.形式11[]()P725 设f :A →B 是可列无穷集A 到有限非空集B 的函数，则必存在b ∈B ，使|1-f (b )|为可列无穷集.形式12 n 只鸽子飞回m 个互不相干的笼里（n ＞m ），则总存在一个最大鸽笼至少有⎥⎥⎤⎢⎢⎡m n 只鸽子，一个最小笼里至多有⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n .其中当n ＝q m ＋r (0≤r ＜m )时，⎥⎥⎤⎢⎢⎡m n =⎩⎨⎧≠+=时当时当0,10,r q r q ；⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n ＝q .（⎡⎤x 是上整数，指不小于x 的最小整数；⎣⎦x 是下整数，指不大于x 的最大整数）. 例3 11个人进入4个房间，人数最多的房间里至少有几个人，人数最少的房间里至多有几个人？ 解（由形式12） 人数最多房间至少有⎥⎥⎤⎢⎢⎡411＝3个人，人数最少的房间里至多有⎥⎦⎥⎢⎣⎢411＝2个人.像这种类型的题目只能用形式12，其他形式无法解决.1.3鸽笼原理的加强形式形式13[]()P1761 设A 是有限集，1q ，2q ，… ，n q 都是正整数，如果A ≥1q ＋2q ＋…＋n q －n ＋1，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1n i i A =U =A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥k q .证明 若不然，i A ≤i q －1(i ＝1，2，… ，n )，此时A ＝Y n i i A1=≤∑=n i i A 1≤∑=-n i i q 1)1(＝1q ＋2q ＋…＋n q －n ，这与A ≥1q ＋2q ＋…＋n q －1+n 矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥k q .证毕.[]()P1761 形式14[]()P715 若f :A →B 是一函数，且B ＝{1b ，2b ，…，k b }，则有(1)若A ＝1a ＋2a ＋…＋k a －k ＋1，则存在i b ∈B ，使|1-f(i b )|≥i a ； (2)若A ＝1a ＋2a ＋…＋k a ＋k －1，则存在i b ∈B ，使|1-f(i b )|≤i a . 现在我们用形式14来证明例2②. 证明三（用形式14） 若缺一种花式，比如H ，定义函数f :A →B ，其中A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集. 由于A ＝5＝3＋3－2＋1，利用形式14（1），k ＝2，1a ＝2a ＝3，必存在|1-f (S)|≥3或|1-f (C)|≥3，即存在一套三兵或三炮的牌.证毕.综合例2②的三个证明方法可见证明二最通俗且容易让人理解.形式15[]()P1761 设A 是有限集，A ≥（m －1）n ＋1，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U =A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥m .形式16[]()P1771 设1q ，2q ，… ，n q 都是正整数，如果1q ＋2q ＋…＋n q ≥（m －1）n ＋1，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得k q ≥m .例4 随意地给正十二边形的12个顶点，编上号码1，2，… ，12，求证:必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于20.证明一 (用形式16 ) 以1A ，2A ，… ，12A 表示正十二边形的12个顶点，以i q （i=1， 2，… ，12）表示顶点i A 及与i A 相邻的两个顶点的号码之和，则1q ＋2q ＋…＋12q ＝（1＋2＋…＋12）×3＝234＞(20－1) ×12＋1，由形式16，必有正整数k (1≤k ≤12)，使得k q ≥20. 这表示必有一顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于20.证毕.证明二 (用形式15) 因为i A ＝i 且Y 121=i iA ＝A ， A ＝234＞(20－1) ×12＋1所以存在正整数k (1≤k ≤12)，使得k A ≥20.证毕.通过以上几个例子利用不同形式的证明，我们可以看到形式对题，思路清晰，题目迎刃而解，如果知识片面，只知一种形式，而不知其他形式，对解题不仅无益，而且可能以为用鸽笼原理解决不了此问题.另外，在具体解决问题时并不是死板地用一种形式，几种形式混用可以使解题更容易，步骤更简捷，这就需要我们牢固的掌握知识，达到灵活运用的程度.故将鸽笼原理各种形式整理，归纳，以供学习者参考和学习.以下让我们看几个鸽笼原理在现实生活中的实际应用.2鸽笼原理在现实生活中的应用2.1电脑算命现在不少人（包括一些大学生在内）在各种心理驱使下在电脑前算自己的命运，他们相信电脑算“命”准确率更高，并且乐此不疲，深信不疑.殊不知电脑算命充其量不过是一种电脑游戏而已，只要应用鸽笼原理就能揭穿它.分析 我们都知道“电脑算命”就是要你报出自己出生的年月日和性别，一按按键，屏幕上就会出现有关你自己性格，前途，命运，家庭，爱情，疾病等所谓的“命”.若以70年计算，按出生年月日和性别不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为鸽笼数，再以我国现有人口数12.6亿，我们把它作为鸽子.由于1.26×910＝24657×51100＋27300根据鸽笼原理的形式15，存在24657个以上的人，尽管他们的出身，经历，天资，机遇各不相同，但他们的“命”是完全相同的，这显然是站不住脚的.比如，这里面有一个人被推断将来会做联合国秘书长或国家主席，那么应该还同时有24657个联合国秘书长或国家主席，这可能吗？2.2三个陌生人和三个朋友(Ramsey 原理)任意六个人当中必存在三个人互相认识或三个人互相不认识.分析 若将6人编号1p ，2p ，3p ，4p ，5p ，6p ，除1p 以外5人可分为两个集合，A 和B ，A ＝{与1p 认识的人}，B ＝{与1p 不认识的人}.由形式7得:11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m ＝1215+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-＝3，即A 和B 中有一集合至少有3个人，不妨设此3人为2p ，3p ，4p ，若2p ，3p ，4p 在A 中，则2p ，3p ，4p 或者彼此不认识，此时命题为真；或者至少有2人互相认识，不妨设2p ，3p ，则1p ，2p ，3p 三人彼此相识.同理，若2p ，3p ，4p 在B 中命题亦成立.2.3得分相同若301人的150分制总分为22651分，则至少有3人得分相同.分析 把此题翻译成鸽笼原理的语言，则为:301只鸽子飞回所设计的151只笼子（视0分，1分，… ，150分为笼子）利用反证法，若无3人以上得分相同（即不能有3鸽以上共笼）由形式12至少有⎥⎦⎥⎢⎣⎢151301＝2人得分相同，不难得知，必存在一个满射，使得150只笼内为双鸽共笼，余下一只单鸽进入单笼，这样，最大总分为2∑=1501i i ＋0＝22650＜22651，此为不可能，从而命题必真. 2.4小魔术 一袋多于四只的大小相同的球，只有红，蓝，黄三种颜色，只要任意取出四只球，其中至少有两只是同色的，乍一看很出奇，其实原理很简单.分析 若将红，蓝，黄三种颜色作为三个鸽笼，把任意取出的四只球作为鸽子，则根据形式7，必有⎥⎦⎥⎢⎣⎢-314＋1＝2只球是同色的. 2.5姓名的幸运指数前不久看见校门外围好多同学，说是只要花一元在那个机器里输入自己的姓名、出生年月日和时辰就会输出一张纸，写着姓名的幸运指数及评语，有的同学姓名的幸运指数高，欢呼雀跃，喜溢于面；有的同学则相反，很懊恼，抱怨父母起的名字不好.如果他们早知道这是一种游戏，也许就不会有那么大的情绪波动.分析中华五千年，炎黄子孙无数，人名亦无数，这些姓名与出生年月日，时辰的不同组合数可视为无数，我们将这个数字看成鸽子数，把1分到100分这100个数字看成鸽笼数，则由形式10或11可得肯定存在一些不同姓名，出生年月日和时辰都不相同的人姓名幸运指数相同，但他们一生的运气却不一定完全相同.所以我们同学要端正态度，破除迷信，崇尚科学.最后，请读者根据鸽笼原理的合适形式自己来证明其荒谬性，从而树立科学的价值观，人生观，爱情观和世界观.2.6食指显露你的爱情观一个人的爱情观，可以从其右手食指指纹看得出来.日本富士通电公司在互联网利用指纹辨认装置作出一项性格调查，并且利用指纹将人们的爱情观分为了八类.准确率很高哦!大家去看看，自己属于哪一类吧.提示:【男女一样看右手】A.【弓状纹】——表示你对恋人极为忠诚，温柔体贴，唯一的缺点是有欠热情.B.【突起弓状纹】——则显示就算你已有固定的恋人，但只要看见出色的异性出现便会双眼发光，理由是你不断需要新鲜感.C.【左流蹄状纹】——爱情方面十分被动，只会静待对方表态，将对方想得太理想化.D.【右流蹄状纹】——会长时间观察对方，如发现性格不合便分手，可是又不能忘记过去，甚至难开始新的一页.E.【袋形蹄状纹】——天生是个浪漫主义者，一旦有了对象，便会在脑里想得天花乱坠，完全欠冷静.【注:请注意与涡状纹的区分】F.【二重蹄状纹】——代表你头脑清醒，不爱被人穷追不舍，却向往天长地久的爱情.G.【涡状纹】——证明你经常憧憬着罗曼蒂克的爱情，可是却不懂表达自己的感觉，往往让机会溜走.【注:圆一点也算涡状纹，请注意与袋状纹的区分】H.【不规则纹】——恋爱际遇较为波折，这可能与你意气用事有关，要谅解对方的心情才行.2.7发短信测你在他人心中位置我在你心中如用物来形容:天空、海洋、森林、小溪、跑车、小屋子、田园、水果、白云、微风答案:天空:难忘的人；海洋:讨厌的人；森林:托付终身的人；小溪:普通朋友；跑车:憎恨的人；小屋子:容易忘却的人；田园:初恋；水果:最爱的人；白云:知己；微风:师长.。
鸽巢原理的应用及讲解
鸽巢原理的应用及讲解1. 什么是鸽巢原理？鸽巢原理，又称为鸽笼原理或鸽洞原理，是指将“n+1”个物品放入“n”个容器中，那么至少有一个容器会装有两个或以上的物品。
这个原理可以应用在各个领域，包括计算机科学、概率论和数学中等。
2. 鸽巢原理的数学表达鸽巢原理可以用下面的方式进行数学表达：定理：如果有 k+1 个物体放在 k 个鸽巢里，那么至少有一个鸽巢将会放入两个或以上的物体。
3. 鸽巢原理的应用鸽巢原理在各个领域的应用非常广泛。
下面将介绍一些常见的应用案例。
3.1. 编程中的鸽巢原理在编程中，鸽巢原理经常被用于处理冲突、碰撞或冗余数据。
下面是一些编程中的应用场景：•数据库的唯一约束：对于某些数据表，我们希望其中的某一列的值是唯一的，那么我们可以使用鸽巢原理将该列的值设为主键或唯一索引，这样如果有重复值出现时，数据库将会报错。
•散列函数冲突：散列函数将大量的数据映射到有限的散列空间中。
根据鸽巢原理，如果散列空间的大小小于数据的个数，那么必然会存在冲突。
我们可以通过解决冲突的方式，如链地址法或开放地址等机制。
•并发访问冲突：当多个线程同时访问共享资源时，鸽巢原理告诉我们，可能会发生数据竞争或冲突。
在编写多线程程序时，我们需要了解并解决这些冲突。
3.2. 数学中的鸽巢原理在数学中，鸽巢原理经常用于证明存在性问题和计数问题。
下面是一些数学中的应用场景：•鸽巢原理证明：在一些证明中，我们需要通过鸽巢原理来证明某个数学结论的存在性。
例如，证明在一个班级里，至少有两个人生日是同一天。
•排列组合问题：在排列组合问题中，鸽巢原理是一个重要的计数工具。
例如，在一个班级里，有10个学生和5个座位，我们可以使用鸽巢原理来计算至少有一个座位是空的概率。
3.3. 计算机网络中的鸽巢原理在计算机网络中，鸽巢原理可以帮助我们理解和解决一些问题。
下面是一些计算机网络中的应用场景：•IP 地址和子网划分：根据鸽巢原理，如果子网划分不足以满足需求，那么必然会存在IP冲突的问题，这会导致网络通信的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
再例
任给一个正整数n,总存在一个它的倍数，其十 进制表示中只有0和1两个数字符
任给n，构造含有n+1个数的数列
1，11，111，1111，…,，11**11
上述n+1个数必有两个数模n同余 两数差：n的倍数，只有0和1
鸽笼原理（一般）
若将 n 只鸽子置于 m 个笼子中, 则至少有一个笼 子需容纳 (n-1)/m+1个 或更多鸽子。
鸽笼原理与排列组合
离散数学
提要
鸽笼原的例子
基本的排列组合 组合与二项式系数 有重复的排列组合
排列与组合
鸽笼原理
若要将 n 只鸽子放到 m 个笼子中, 且 m<n, 则至 少有一个笼子要装2个或更多的鸽子。
证明：
反证法。
例子
从 1 到 8 中任选 5 个数，其中必有两个数其和 为9。
Scheduling the Practice Games: Solution
Let ai denote the total number of games she plays up through the ith day. Then, a1, a2, a3,..., a76, a77 is a monotonically increasing sequence, with a11, and a77132. Note: if ai+21= aj then the player plays 21 games during the days i+1, i+2, up through j . Considering the sequence: a1, a2, a3,..., a76, a77, a1+21, a2+21, a3+21, ..., a76+21 a77+21 The least element in the sequence is 1, and the largest is 153. However, there are 154 elements in the sequence, so, there must be at least two elements having the same value. Note that both the first and second half sequences are monotonically increasing, so, it is impossible for the two elements having the same value to be within one half sequence, that is, we have ai+21= aj
Shaking Hands at a Gathering
Situation: at a gathering of n people, everyone shook hands with at least one person, and no one shook hands more than once with the same person. Problem: show that there must have been at least two of them who had the same number of handshaking. Solution: Pigeon: the n participants Pigeonhole: different number between 1 and n-1.
何为鸽子？何为笼子？
划分：{
{1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}
}
例子
从集合 {1,2,…,20} 中选11个数，则必有一个是 另一个的倍数。
Not Too Far Apart
Problem: We have a region bounded by a regular hexagon whose sides are of length 1 unit. Show that if any seven points are chosen in this region, then two of them must be no farther apart than 1 unit. The region can be divided into six equilateral triangles, then among 7 points randomly chosen in this region must be two located within one triangle.
生日是周几
我班有 43 名同学。生日是周几相同的同学的 数目至少是几个？
拉姆齐（Ramsey）数 R(3,3)=6
问题: 6 人之中要么有三人互相认识，要么有3人互不认识。
Pigeonhole 1: those knowing A
B C D A
not knowing each other knowing each other Pigeonhole 2：those not knowing A
There must be at least 3 elements which fall into one of the two pigeonhole.
拉姆齐（Ramsey）数 R(3,3)=6
难找的鸽子与笼子
Situation: A chess player wants to prepare for a championship match by playing some practice games in 77 days. She wants to play at least one game a day but no more than 132 games altogether. Problem: show that no matter how she schedules the games there is a period of consecutive days within which she plays exactly 21 games.