排列组合(基本原理)
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基本原理讲解如下：排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号C(n,m)表示。
难点从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力。
限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解。
计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
乘法原理和分步计数法1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
2、合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
排列组合(基本原理)PPT课件
火车1
火车2
甲 3+2=5 地
火车3
乙
汽车1
地
汽车2
原理1
问题2 从甲地去 乙地，要从甲地先承火车去丙地，再从
丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那
N= m1× m2 × m3 = 4×3×5 = 60 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有60 种不同的取法。
思考：若任取三门学科中的两门呢？有多少种不同的取法？
例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位 上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5
第二类办法是带语文书，可以从3本书中任选一本，有3种选法。
第三类办法是带英语书，可以从5本书中任选一本，有5 种选法。
根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是： N = m1+ m2 + m3 = 4+3+5=12
答：从书架上任取一本书，有12种不同的取法。
例1 李平同Байду номын сангаас有若干本各不相同学习参考书，其中数学4本，
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n 步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完
排列组合完整
②提成甲、乙、丙三组，每组3人.
N C93 C63 C33 1680
⑹提成三组，每组3人；
N
C93 C63 C33 A33
280
引申：提成三组，一组5人，另两组各两人；
N
C95
C42 C22 A22
378
点评：局部均分无序问题易犯错.
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合旳综合问题。 （2） 处理比较复杂旳排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本措施，并能灵活选择使 用。
二、例题选讲： 例1 学生要从六门课中选学两门：
（1）有两门课时间冲突，不能同步学，有几种 选法？ （2）有两门尤其旳课，至少选学其中旳一门， 有几种选法？
有些再排淘列汰组和合不问大题于,正10面旳直偶接数考共虑_9_比__较__复__杂__,_ 而背它面旳,符再背合从面条整往件体往旳中比取淘较法汰简共.捷有,_C能_51C_5够_2+_C先__53求_-_9出_=_5它1旳
013 015 017 024 026 035 213 215 413
例5 设有编号1,2,3,4,5旳五个球和编号 1,2，3,4,5旳五个盒子,现将5个球投入这
三、课堂练习：
1.有编号为 1 至 5 旳五台电脑，五名学生上
机实习，每人使用一台，其中学生甲必须用1
号电脑，那么不同上机方案旳种数是（ B ）
A.
P4 5
B.
P4 4
C.
C4 5
D.
C4 4
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有
3枪连在一起旳情形旳不同种数为 20 .
排列组合原理
排列组合原理
首先，我们来看一下排列的概念。
排列是指从给定的元素中取出一部分进行排列，其中元素的顺序是重要的。
比如，从1、2、3这三个元素中取出两个元素进行排列，可以有(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)、(2,3)、(3,2)这六种排列方式。
一般地，从
n个元素中取出m个元素进行排列，可以有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列方式，这就
是排列的基本原理。
接下来，我们来看一下组合的概念。
组合是指从给定的元素中取出一部分进行
组合，其中元素的顺序不重要。
比如，从1、2、3这三个元素中取出两个元素进行组合，可以有(1,2)、(1,3)、(2,3)这三种组合方式。
一般地，从n个元素中取出m个元素进行组合，可以有C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)种组合方式，这就是组合的基本原理。
排列组合原理在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在密码学中，排列组合原
理可以用来计算密码的破解难度；在概率统计中，排列组合原理可以用来计算事件发生的可能性；在计算机算法中，排列组合原理可以用来设计高效的算法等等。
总的来说，排列组合原理是组合数学中的一个基础概念，它涉及到排列、组合
等数学概念，有着广泛的应用价值。
通过对排列组合原理的深入理解和应用，可以帮助我们更好地解决实际问题，提高计算效率，拓展数学思维，是数学学习中的重要内容之一。
排列组合基本原理.课件
电话号码的排列问题告诉我们，即使是很小的数字变化，也能产生巨大的排列组合数量。
组合综合实例：彩虹形成原理的数学解析
总结词
详细描述
总结
彩虹是一种自然界的现象，其形成原 理与数学中的组合有密切关系。
彩虹的形成是由于太阳光经过雨滴的 折射和反射后分解成七种颜色。这七 种颜色是红、橙、黄、绿、青、蓝、 紫。太阳光可以看作是白光，其由这 七种颜色的光组成。当太阳光经过雨 滴时，这些颜色会以特定的顺序折射 和反射，从而形成彩虹。这个特定的 顺序就是数学中的组合。
遗传学中的基因组合 在遗传学中，研究基因的组合和遗传变异时，需要用到组 合的原理来分析基因型和表现型之间的关系。
组合在解决实际问题中的运用
密码学中的密钥生成
在密码学中，生成随机密钥的过程实际上就是从大量可能的 密钥中选取一个特定的密钥，这个过程就需要用到组合的原理。
计算机科学中的数据压缩
在计算机科学中，数据压缩算法通常需要从大量的数据中选 取有代表性的数据进行编码，这里也需要用到组合的原理。
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算 在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估 在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列组合游戏
排列组合游戏排列组合游戏是一种基于排列组合数学原理的益智游戏，它的游戏规则简单而富有趣味性，深受许多人的喜爱。
本文将为大家介绍排列组合游戏的基本原理和规则，以及一些思考这类游戏的方法。
一、基本原理排列组合是数学中的一个重要概念，是指将若干不同的元素按照一定的顺序或组合方式排列或组合成各种可能的结果。
例如：有3个字母A、B、C，那么它们可以组成多少不同的3位字母排列呢？答案是6种，分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
同样，它们也可以组成多少个2位字母组合呢？答案是3种，分别是AB、AC、BC。
这就是排列组合的基本原理。
二、游戏规则排列组合游戏可以分为多个不同的版本，但它们的基本规则通常都相似。
以一个常见的版本为例，该游戏的规则如下：1. 游戏开始时，会给出一组不同的数字或字母。
2. 玩家需要用这些数字或字母来组合出一个确定的目标结果。
3. 玩家可以自由地排列或组合这些数字或字母，但要保证每个数字或字母只能使用一次。
4. 玩家在规定时间内完成任务，可以得到相应的奖励。
例如，游戏给出数字1、2、3，要求玩家组合出数字4。
如果玩家选择的组合方式是1+3=4，那么他就获得了游戏的奖励。
至于游戏的难度和复杂度，取决于数字或字母的数量和目标结果的难易程度。
三、思考方法排列组合游戏需要玩家具有一定的数学思维和逻辑能力。
以下是一些思考这类游戏的方法：1. 先列举出所有可能的组合，再进行筛选。
2. 发现规律，缩小计算范围。
例如，找到组成目标结果所需数字或字母的总和为偶数，就可以排除那些不满足这一条件的组合方式。
3. 利用数学公式进行计算。
例如，对于一些组合问题，可以使用排列组合公式来计算。
四、结语排列组合游戏是一种既富有趣味性又能够促进玩家数学思维和逻辑能力发展的游戏。
通过了解这类游戏的基本原理和规则，以及一些思考方法，相信大家可以更好地享受游戏的乐趣。
排列组合知识点
排列组合知识点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） 二、排列.1. 基本概念。
⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C2. 含有．．可重．．元素．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--== ⑬两个公式：①;mn n mn C C -=②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑮①几个常用组合数公式nn nn n n C C C 2210=+++11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用mn m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式.如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列. 它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有mm m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.例如：①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个， 有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法）， 当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？答案：3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）例如：将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？答案：!2/102022818C C C P =注意：分组与插空综合.例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？答案：mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式如下图所示故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .1x 2x 34⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？解：固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A（一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
高中数学排列组合总结及例题解析
高中数学排列组合总结及例题解析内容总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。