近世代数第21讲
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
(完整版)近世代数讲义(电子教案)(1)
《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射,单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。
教学重点:映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义;代数运算的应用，对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于）,集合与集合的关系(包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类.教学措施：网络远程。
教学时数:8学时.教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ,C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素. 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,. 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例:A =｛1，2，3，4｝，B =｛1,2，3,…，100｝. 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数教学课件
并运算 设 A， B是两个集合 . 由 A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.
A
A B
( x A B) ( x A或x B) ( x A B) ( x A且x B)
B
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： A B ，如图2所示.
A A
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C) 分配律 : A B C A B A C
A B C A B A C
A是B的子集，记作：
( A B) (x : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的， 就说A与B 相等，记作：A=B. 即
( A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为ຫໍສະໝຸດ 素的集合，称为A的幂集， 记为P(A).
如果集合A包含无限多个元素，则记为 A =；如 果A包含ｎ个元素，则记为 A =ｎ，此时 P(A) 2n
近世代数
第一章 基本概念
§1 §2 §3 集 合 映射与变换 代数运算
§4 §5 §6
运算率 同态与同构 等价关系与集合的分类
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A 的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 3 . A
近世代数 第21讲
第21 讲§6. 多项式环(Rings of polynomials )本讲的教学目的和要求:在高等代数中,已经建立了数域F上的多项式环的一般理论,但是在处理某些问题时常会遇到诸如整系数多项式，矩阵系数多项式(譬如 —矩阵)等环上的多项式,它们与数域的多项式相比,有很多本质上的差异故此,有必要讨论环上多项式环的一般理论,这正是本讲的目的.为此对学习本讲,提出如下要求:1、明确代数元和超越元的概念以及什么是R上的关于超越元的多项式歪.(本教材称超越元为半定元—与高等代数中的称呼一致)2、超越元(半定元)的存在性定理和多项式环存在性定理的证明需要弄懂.3、对多元多项式的本质上的理论问题需要清楚.本讲的重点和难点: 本讲是高等代数中多项式环(定义在数域上)的推广,是本章中众多类型中的“另类”.由于环的“型”不同，故研究的方法也不同，这是难点之一。
如何清醒地认识到不能直接用“高代”的理理论直接套用，是关键。
而本讲的重点“存在性定理”的证明。
一、多项式环的定义。
设R 是一个含有单位元1R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R∈01，现考察0R 中含R 及任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα 显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个 子环)()()∑∑====∀nj jj mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i j i k b a C又 ()()∑∑==-=-=-mi ii mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环. 显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么[]2Z中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象: ()02210=++++=nn a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即 002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义 4. 设()()0210≠++++=n n n a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
近世代数课件全21 群的定义.ppt
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
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注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
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一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
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（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
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定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
商环与环同态基本定理
3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R.
4. 令 R a bi a,b Q , R 由一切形如
a b
b a
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,, 做
成一环.这个乘法即前面定义的
[a][b] [ab] (或 (a I)(b I) ab I ) 现在我们来证明定义的合理性.设[a] [a' ] 且[b] [b' ] ，则 a a' I 且 b b' I ,于是 ab a'b (a a' )b I ,从而 a'b a'b' a' (b b' ) I ，所 以 [ab] [a'b'] ，即 ab a'b' I .所以定义是合理的. 很容易验证 R I , 是一个环.
习题 9 一个环 的非空子集 叫做 的一个左理想，假如 （i） （ii） 你能不能在有理数域 上的 矩阵环里找到一个不是理想的左理想？ 解：考虑有理数域 上的 矩阵
是 的子环， 是 的左理想。
习题二十一
1.设 N 是环 R 到环 R 的同态满射 的核.证明:
是同构映射 N=0.
2. 设 R 是有单位元的整环(可换,无零因子).证明:
第 21 讲
第 三 章 环与域
§6 商环与环同态基本定理
一、 商环的定义与性质
1 商环的构造： 设 为环， 为 的理想.
(1)
近世代数精品课程25页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
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第21讲
§8 剩余类环、同态与理想 (Residue class ring 、homomorphism and ideal)
一． 剩余类环 在前一讲中已知,
N
是环R 的一个子环，商群N R 已有加法
，定义一个乘法，可以想到乘法定义为:
(*)
))(( N ab N a N a +=++
当N 是环R 的一个理想时，如此定义法则是否为N R 上的代 数运算？
命题3.8.1设I 是环R 的理想，在加法商群}|]{[R a I
R ∈=上
(在前一讲中,用记号I a a +=△
][)引入一个乘法为：
][][][ab b a =⋅
(或I ab I b I a +=++))(()
定义的合理性:设][]['
a a =且I
a a b
b ∈-⇔='
'
].[][且
I b b ∈-'
,I
b a a b a ab ∈-=-∴)('
'
,且
I
b b a b a b a ∈-=-)('
'''',()I R ][]['
''
'b a ab I b a ab =⇒∈-⇒
∴定义是合理的。
可以验证},,{⋅+I R 是一个环。
定义3.8.2.设R 为任意一个环.而I R ,那么},,{⋅+I R 称作R 关于理想I 的剩余类环(也叫商环),其中I R 中每个元素 叫作模I 的剩余类. 例1.设Z
R =为整数环,而使}|6{6Z n n Z I ∈∀==
那么、]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6==Z I
R ,就是我们已经熟悉的“模6
剩
余类环”—这是整数的剩余类环. 二.环同态及同态基本定理 定义3.8.3设21
:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的
完全原象}0)(|{)0(11
=∈=-a R a ϕϕ
叫作ϕ
的核,通常记
ϕ
ϕ
Ker =-)0(1
.
定理3.8.4.设R R −→−ϕ
是一个环同态满射。
令ϕ
Ker I =，
那么(ⅰ)
I R
；(ⅱ)R
I
R ≅。
证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知
I R
(即I 是R 的不变子群)。
.,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ
同理I kr ∈.∴ I R 。
(ⅱ)由第二章知,存在R
I
R ≅Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈∀
),
(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但
][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.
∴ R I
R
→Φ:是环同构.即R I
R
≅Φ
.
定理3.8.5.设R 是一个环而I R ,那么必有环同态
I
R
R →:ϕ.使得ϕ是满同态且I
Ker =ϕ
.称这样的ϕ为
环的自然同态. 证明:令I
R R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ,显然ϕ是个满射.
而且R b a ∈∀,.
)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+
)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ===
∴I
R
R ～。
I
Ker =ϕ
是显然的.
注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环。
与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.8.6.设R
R →:ϕ
是环同态映射,那么
(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环
(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想 (ⅲ)若S 是R 的子环)(1
S -⇒ϕ是R 的子环 (ⅳ)若S 是R 的理想)(1
S -⇒ϕ是R
的理想
证明: (ⅰ)S
b a S b a ∈∃⇒
∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于
是()()()()()a b a b a b S S R φφφφφ-=-=-∈⇒<.(子群)
另外 ）
（
S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R
的子环.
(ⅱ)
I R
,∴I 是R 的子环)()
(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收
律成立. ϕ是满射
⇒
⎪⎪⎭⎪
⎪⎬⎫
∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)
()( ϕϕϕ使使
()()()()()()()()()ia i a ia I I R
ai a i ai I φφφφφφφφφ⎫==∈⎪
⇒⎬==∈⎪⎭
(ⅲ))(,1
s b a -∈∀ϕ
∴S
b a ∈)(),(ϕϕ, 而知
S
b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ
∴
⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)
()()()()()()()(1
1
S ab S b a ab S b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ
)(1
s -ϕ
是R 的一个子环.
(ⅳ)R
r R r S a S a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1
ϕϕϕ
S R ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ.
于是
)
()()()()()()()()(1
1
1
S S ra S a r ra S ar S r a ar ---⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
满足吸收律. 又由(ⅲ))(1
s -⇒ϕ
是R 的子环.于是1
()s R
φ
- .
注意2.从定理3.8.6.的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.。