高中数学人教b版必修412 已知三角函数值求角含解析
高一数学最新课件-已知三角函数值求角人教版 精品
象co限s x角．由0.7余66弦0可函知数符的合单条调件性的和角有且只有一个，
利而co用且s(计角算为2器9钝)并角由，co：s(
2
9
)
cos 7
9
可知符c合os条( 件 的x)角 有c且os只x 有0两.76个60，即第二象限角
7
9
或
第可三得象 限 x角121 ( 40 )，所以 x 2 7
sin(arcsina) a．角的范围是arcsina [ , ]
22
4.11 已知三角函数值求角
练习arcsin
1 2表示
[
2
,
2
]
上正弦值等于
1 的那个角，即角
2
6
，
故arcsin 1
26 （2）若 sin x
3 , x [ , ]，则x= arcsin(
44
4.11 已知三角函数值求角
y x
实包数括在使根锐a 闭的符角据区反合．正间正条弦弦[件函，的数2 ,记s的2in作]图上xa象，rca和符s(i性n合1a质条， 寻a件即找six1n区)的x间a角rca使sx(i有其n1a且满，a只足其有：中1)一的x 个角[，x，2而,叫且2 做]，
且a sin x ． arcsina 的意义： 首先 arcsina表示一个角，角的正弦值为a (1 a 1)，即
9
99
故x 的集合是 {7 ,11 }
99
4.11 已知三角函数值求角
y x
在根闭据区余间弦函[0,数 的] 上图，象符和合性条质件寻co找s x区间a(使1其满a 足 1：)的角x，叫做 使符合条件的cos x a(1 a 1)的角x有且只有一个，而且 包实括数锐a 的角反．余弦，记作 arccosa，即 x arccosa，其中 x [0, ] ， 且a cos x ． arccosa 的意义： 首先arccosa 表示一个角，角的余弦值为a (1 a 1)，即 cos(arccosa) a ．角的范围是 arccosa [0, ]．
已知三角函数值求角知识讲解
已知三角函数值求角【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin 2x =-，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin 2x =-知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ．(3)写形式．根据 π±α，2 π - α 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+ 第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 π ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－0.7660，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－0.7660＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －0.7660.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - 0.3332,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31且10π＋π＝1011π∈［0，2π］∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ 整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
高中数学 1-3-3已知三角函数值求角 新人教B版必修4
0.287的角x的个数．
• [解析] 因为cosx＝－0.287<0，所以先求出cosx ＝|－0.287|＝0.287的锐角x1，即x1＝arccos 0.287.
• (1)∵cosx＝－0.287<0，x∈[0，π]． • ∴x是钝角，x＝π－arccos0.287.
• 即{x|x＝2kπ±arccos(－0.287)，k∈Z}．
• 已知tanx＝－2，x∈[－π，π]，求角x. • [解析] ∵tanx＝－2<0，∴角x终边落在第
二 、 四 象 限 ． 又 满 足 tanx1 ＝ 2 的 锐 角 x1 ＝ arctan2. • ∴在[0,2π) 上，使tanx2＝ －2的角 x2＝π － arctan2或2π－arctan2.
• (2)当x∈R是，先求出x∈[0,2π]上的解，因 为cosx＝－0.287，故x是第二或第三象限 角．
• ∴x1＝π－arccos0.287，x2＝π＋arccos0.287. • 所以，所求的x值的集合是：
• {x|x＝2kπ＋π－arccos0.287或x＝2kπ＋π＋ arccos0.287，k∈Z}，
当 m<0 时，tanα＝m，∴α∈－π2，0， ∴α＝arctanm.
[例 4] 已知 cosα＝13，α∈[0,2π)，求角 α. [误解] ∵cosα＝13， ∴α 是第一或第四象限角． ∴α＝±arccos13. [辨析] 误解中忽视了角 α 的范围，－arccos13∉[0,2π)．
[正解] ∵cosα＝13， ∴α 是第一或第四象限角． 又∵α∈[0,2π)， ∴α＝arccos13，或 α＝2π－arccos13.
数学 1.3.3 已知三角函数值求角课件 新人教B版必修4
[－π2，π2]时，x＝arcsin
3 3.
当 x∈[π，π]时，∵0≤π－x≤π，即 π－x∈
2
2
[0，π 2
[－π，π]， 22
且
sin(π－x)＝sinx＝
3， 3
∴π－x＝arcsin
3，即 3
x＝π－arcsin
3 3.
∴当
x∈[0,2π]时，x＝arcsin
3或 3
x＝π－arcsin
【点评】 cosx＝a(－1≤a≤1)，当 x∈[0，π] 时，则 x＝arccosa，当 x∈R 时，可先求得[0,2π] 内 的 所 有 解， 再 利用 周 期 性可 求 得： {x|x＝ 2kπ±arccosa，k∈Z}．
变式训练 2 求 arccos1＋arccos(－12)＋arccos
【解】 (1)∵cosx＝－0.287， 且 x∈[0，π]，∴x＝arccos(－0.287)． (2)当 x∈R 时，先求出 x∈[0,2π]上的解． ∵cosx＝－0.287，故 x 是第二或第三象限角， 由(1)知 x1＝arccos(－0.287)是第二象限角．
∵ cos(2π－ arccos (－ 0.287))＝ cos (arccos(－ 0.287)
{x|x＝ kπ＋ arctan(－ 1)，k∈ Z}＝{x|x＝ kπ－π，k∈ Z}． 4
在 x＝kπ－π4中，令 k＝0 或－1， 得 x＝－π4或 x＝－54π， 即在[－2π，0]内且正切值为－1 的角 x 有－π4与－54π.
【点评】 已知正切值求角与已知正(余)弦值求角 的不同点是 ：(1)已知正 (余 )弦值求角中的找 角范围 一般是在 [0,2π]([－ π， π])，而已知正切值求 角中的 找角范围一般是在 (－π2 ，π2 )；(2)在表示角中，已知 正 (余)弦值求角中加“ 2kπ，k∈ Z”，而在已 知正切 值求角中加“ kπ， k∈ Z” ．
高中数学人教B版必修4教案：1.3.3 已知三角函数值求角 Word版含答案
2、进一步将问题深化：①若 ，怎么办？②若sinx=0.3，怎么办？
3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。
概
念
形
成
若sin =t，则 =arcsint，其中 ，t [-1 , 1]。
（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。
巩固练习：
练习A 1、3、5
指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。
让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。
归
纳
小
结
已知三角函数值t求角 的解题步骤：
（1）确定角 所在的象限(有时不止一个象限)。
（2）求 上的角 ：
1°先求出与 对应的锐角 ；
在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。
四、教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。
提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？
复习旧知识，引入新问题
应
用
举
例
例1、已知 ，
（1）若 ，求x；
（2）若 ，求x；
（3）若 ，求x的取值集合。
1.3.3已知三角函数值求角
一、教学目标
会由已知三角函数值求角。
二、教学重点、难点
重点是已知三角函数值求角，难点是：①根据 范围确定有已知三角函数值的角；②对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。
高中数学人教B版必修4学案1.3.3 已知三角函数值求角 Word版含解析
已知三角函数值求角.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号，，表示角.(重点、难点).熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－π，π]上对应的角.[基础·初探]教材整理已知三角函数值求角的相关概念阅读教材～内容，完成下列问题..已知正弦值，求角：对于正弦函数＝，如果已知函数值(∈[－])，那么在上有唯一的值和它对应，记为＝..已知余弦值，求角：对于余弦函数＝，如果已知函数值(∈[－])，那么在[，π]上有唯一的值和它对应，记为＝(其中－≤≤≤≤π)..已知正切值，求角：一般地，如果＝(∈)且∈，那么对每一个正切值，在开区间内，有且只有一个角，使＝，记为＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()在区间上，满足条件＝(－≤≤)的有个.( )()在区间[π]上，满足条件＝(－≤≤)的有个.( )()在区间[π]上，满足条件＝(－≤≤)的有个.( )()在区间上，满足条件＝(∈)的只有个.( )【答案】()√()×()×()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]已知＝.()当∈时，求的取值集合；()当∈[π]时，求的取值集合；()当∈时，求的取值集合.【精彩点拨】尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.【自主解答】()∵＝在上是增函数，且＝，∴＝，∴是所求集合. ()∵＝＞，∴为第一或第二象限的角.且＝＝，∴在[π]上符合条件的角有＝或＝π，∴的取值集合为.()当∈时，的取值集合为.。
数学人教B版必修4课堂导学：1.3.3已知三角函数值求角
课堂导学三点剖析一、已知正弦值求角已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［-2π,2π］上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间［-2π,2π］上,用反正弦表示出来. 【例1】 已知sinx=23, (1)当x ∈［-2π,2π］时,求x 的取值集合; (2)当x ∈［0,2π］时,求x 的取值集合;(3)当x ∈R 时,求x 的取值集合.思路分析:在函数y=sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.解:(1)∵y=sinx 在［-2π,2π］上是增函数,且知sin 3π=23, ∴满足条件的角只有x=3π. ∴x 的取值集合为{3π}. (2)∵sinx=23>0, ∴x 为第一或第二象限角,且sin 3π=sin(π-3π)=23. ∴在［0,2π］上符合条件的角x=3π或32π. ∴x 的取值集合为{3π,32π}. (3)当x ∈R 时,x 的取值集合为 {x|x=2kπ+3π或x=2kπ+32π,k ∈Z }. 温馨提示(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.(2)对第(3)题的结论可写为{x|x=nπ+(-1)n ·3π,n ∈Z }.一般地,对于sinx=a(x ∈R ),|a|≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina 或x=2kπ+π-arcsina,k ∈Z ,从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)k arcsina,k ∈Z }.各个击破类题演练 1已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°).温馨提示任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.变式提升 1已知sin 232-=α,且α是第二象限的角,求角α. 思路分析:先求出2α,进而求出α. 解:首先确定2α所在象限. ∵α是第二象限的角, ∴2α是第一或第三象限的角. 又∵sin2α=23-<0,∴2α是第三象限的角. 然后在［0,2π)内找到满足条件的2α. ∵sin 3π=23, ∴在［0,2π)内满足条件的角2α是π+3π=34π. 再找到所有满足条件的角2α. ∴2α=2kπ+34π(k ∈Z ). 最后求出所有满足条件的角α, ∴α=4kπ+38π,k ∈Z . 温馨提示本例中将2α看作一个整体,求出2α的所有角后,再求出α. 二、已知角的余弦值求角已知余弦值求角,可利用y=cosx 的图象找出在［0,π］内满足条件的角,然后根据y=cosx 的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.【例2】 已知cosx=-0.287,(1)当x ∈［0,π］时,求x;(2)当x ∈R 时,求x 的取值集合.思路分析:由于cosx=-0.287,x 不是特殊角,因此应用反余弦表示x,而［0,π］正是反余弦的主值区间,故当x ∈［0,π］时,x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.当x ∈R 时,可利用诱导公式先求出［0,2π］内的所有解,再利用周期性即可求出x ∈R 的所有解.解:(1)因为cosx=-0.287,且x ∈［0,π］,所以x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.(2)当x ∈R 时,先求出x ∈［0,2π］上的解.因为cosx=-0.287.故x 是第二或第三象限角,由(1)知x 1=π-arccos0.287是第二象限角. 因为cos(π+arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287,且π+arccos0.287∈(π,23π), 所以x 2=π+arccos0.287.由余弦函数的周期性,可知当x=2kπ+x 1或x=2kπ+x 2,k ∈Z 时,cosx=-0.287,即所求的x 值的集合是{x|x=2kπ+π-arccos0.287或x=2kπ+π+arccos0.287,k ∈Z }={x|x=2kπ±arccos(-0.287),k ∈Z }. 温馨提示方程cosx=a,|a|≤1的解集可写成{x|x=2kπ±arccosa,k ∈Z }.类题演练 2已知cos(21x+3π)=23-，求角x 的集合. 思路分析:把“21x+3π”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.解:∵cos(21x+3π)=23-<0, ∴角21x+3π是第二或第三象限角. 令cos(21x+3π)=23,得锐角2x +3π=6π. 在区间［0，2π］上，符合条件的角是π-6π或π+6π,即65π或67π,所以在x ∈R 上,有2x +3π=65π+2kπ,k ∈Z 或2x +3π=67π+2kπ,k ∈Z . 化简得x=π+4kπ或x=35π+4kπ,k ∈Z . 故角x 的集合是{x|x=π+4kπ或x=35π+4kπ,k ∈Z }. 变式提升 2已知cosx=31-,x ∈(-π,-2π),则x 等于…( )A.arccos(31-) B.π-arccos 31 C.-arccos(31-) D.-arccos 31 解析:∵arccos(31-)∈(2π,π), ∴-arccos(31-)∈(-π,-2π).故选C. 答案:C三、已知正切值求角已知正切值求角,可利用y=tanx 的图象找出(-2π,2π)内满足条件的角,然后根据y=tanx 的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角.【例3】 已知tanα=-2,若(1)α∈(-2π,2π); (2)α∈［0,2π］;(3)α∈R ,求角α.思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-2π,2π)内,符合条件tanα=-2的角只有一个,而在α∈［0,2π］内,符合条件tanα=-2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第(3)题中符合条件的角α就有无穷多个了.解:(1)由正切函数在开区间(-2π,2π)上是增函数可知符合条件tanα=-2的角只有一个,即α=arctan(-2).(2)∵tanα=-2<0,∴α是第二或第四象限角.又∵α∈［0,2π］,由正切函数在区间(2π,π］,(23π,2π］上是增函数知符合tanα=-2的角有两个，即α=π-arctan2,α=2π-arctan2.(3)α∈R 时角α有无穷多个,则α=(2k+1)π-arctan2或α=2(k+1)π-arctan2(k ∈Z ).温馨提示对于反三角函数，我们要特别注意主值区间，即-2π≤arcsinx≤2π,0≤arccosx≤π,- 2π<arctanx<2π. 类题演练 3（1）已知sinx=32-,x ∈（π,23π），求角x; （2）已知tanx=3,x ∈（3π,27π）,求角x. 解法一：（1）令sinx 1=32,得x 1=arcsin 32. ∵x ∈（π，23π）,∴符合条件的角x=π+x 1=π+arcsin32. (2)令tanx 1=3,得锐角x 1=arctan3.∵x ∈(3π,27π), ∴符合条件的角x=3π+x 1=3π+arctan3.解法二：（1）∵π<x<23π,∴-2π<π-x<0. 又由sinx=32-,得sin(π-x)=32-. ∴π-x=arcsin(32-)=-arcsin 32. ∴x=π+arcsin 32. (2)∵3π<x<27π, ∴0<x-3π<2π. 由tanx=3,得tan(x-3π)=3.∴x-3π=arctan3.∴x=3π+a rctan3.变式提升 3已知直线bx+ay=ab(a<0,b<0)，试求它的倾斜角.解：因为该直线的斜率k=a b -<0，所以它的倾斜角是钝角.令tanθ=a b ，得θ=arctan a b .所以它的倾斜角是π-arctana b . 温馨提示直线的倾斜角α的正切值tanα是直线的斜率.这里的arctan(ab -)表示一个负角，而不是我们要求的钝角.。
高中数学人教B版必修4 同步学习1.3.3 已知三角函数值求角
1.3.3 已知三角函数值求角|目 标 索 引|,掌握已知三角函数值求角的方法,会用已知的三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx 表示角.1．已知正弦值,求角对于正弦函数y ＝sinx,如果已知函数值y(y ∈[－1,1]),那么在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上有唯一的x 值和它对应,记作x ＝arcsiny ⎝⎛⎭⎪⎫－1≤y≤1，－π2≤x≤π2. 2．已知余弦值,求角对于余弦函数y ＝cosx,如果已知函数值y(y ∈[－1,1]),那么在[0,π]上有唯一的x 值和它对应,记作x ＝arccosy (－1≤y≤1,0≤x≤π)．3．已知正切值,求角如果正切函数y ＝tanx(y ∈R),且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,那么对每一个正切值y,在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内有且只有一个角x,使tanx ＝y,记作x ＝arctany ⎝⎛⎭⎪⎫y ∈R ，－π2＜x ＜π2.1．已知sinx ＝－1,则角x 等于( ) A ．πB.kπ(k∈Z) C ．2kπ－π2(k ∈Z)D.(2k ＋1)π(k∈Z)答案:C 2．arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝________. 解析:令arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝α,α∈[0,π],∴cosα＝－32, ∴α＝5π6.答案:5π63．已知tanα＝2,则α＝________. 答案:kπ＋arctan2,k ∈Z已知sinx ＝32. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时,求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时,求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时,求x 的取值集合． 【分析】 由定义并结合具体步骤求解．【解】 (1)∵y ＝sinx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数, 且sin π3＝32,∴x ＝π3,∴所求集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3.(2)∵sinx ＝32＞0,∴x 为第一或第二象限的角． 且sin π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝32. ∴在[0,2π]上符合条件的角有x ＝π3或x ＝2π3,∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，2π3.(3)当x ∈R 时,x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2kπ＋π3，或x ＝2kπ＋2π3，k ∈Z.【知识点拨】 给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用,对于sinx ＝a(x ∈R),|a|≤1,这个方程的解可表示为x ＝2kπ＋arcsina(k ∈Z)或x ＝2kπ＋π－arcsina(k ∈Z)．下列说法中错误的是( )A ．arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－π4 B ．arcsin0＝0C ．arcsin(－1)＝3π2D ．arcsin1＝π2答案:C已知cosα＝－13,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2,求角α.【解】 令cosα0＝13,得α0＝arccos 13,∵α在第三象限,∴α＝π＋α0＝π＋arccos 13.【知识点拨】 cosα＝a,|a|≤1,若α∈[0,π],则α＝arccosa ；若α∈[0,2π],则α＝arccosa 或α＝2π－arccosa ；若α∈R,则α＝2kπ±arccosa ,k ∈Z.若π2<x<π,且cosx ＝－56,则x 等于( )A ．arccos 56B.－arccos 56C ．π－arccos 56D.π＋arccos 56解析:∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.答案:C已知tanα＝－2,若(1)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,(2)α∈[0,2π],(3)α∈R,分别求角α.【分析】 由反正切的定义及求解步骤求解．【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数,可知符合tanα＝－2的角只有一个,即α＝arctan(－2),且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. (2)∵tanα＝－2＜0,所以α是第二或第四象限的角．又∵α∈[0,2π],由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π,⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数知,符合tanα＝－2的角有两个．∵tan(α＋π)＝tan(α＋2π)＝tanα＝－2,且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0,∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)． (3)α＝kπ＋arctan(－2)(k ∈Z)．【知识点拨】 tanα＝a,若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,则α＝arctana ； 若α∈[0,2π],则a>0,α1＝arctana,α2＝π＋arctana, a<0,α1＝π＋arctana,α2＝2π＋arctana.若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33,则在区间[0,2π]上解的个数为( )A ．5 B.4 C ．3D.2解析:∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33,∴2x ＋π3＝kπ＋π6(k ∈Z),∴x ＝kπ2－π12(k ∈Z)．∵x ∈[0,2π],∴k ＝1,2,3,4时,x 分别为5π12,11π12,17π12,23π12,故选B.答案:B知识点一 已知函数值求角1．已知α是三角形的一个内角,且cosα＝12,则角α等于( )A.π6B.π3 C.5π6或π6D.2π3或π3答案:B2．满足tanx ＝3的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π3B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2kπ＋π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ－π3，k ∈Z答案:B3．若A 是△ABC 的一个内角,且sinA ＋cosA ＝15,则A ＝( )A ．arcsin 45B.arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15C.π2＋arcsin 45D.π2＋arccos 45解析:由sinA ＋cosA ＝15,得1＋2sinAcosA ＝125,∴2sinAcosA ＝－2425,∵A ∈(0,π),∴cos<A,sinA>0,∴sinA －cosA>0,∴(sinA －cosA)2＝1＋2425＝4925,∴sinA －cosA ＝75,∴sinA ＝45,cosA ＝－35,∴A 为钝角,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋arccos 45＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫arccos 45＝45,故选D.答案:D知识点二 角的表示4．下列命题中不正确的是( ) A ．若cosx ＝0,则x ＝π2＋kπ,k ∈ZB ．若3tanx ＝1,则x ＝arctan 13＋kπ,k ∈ZC ．若sinx ＝－13,x 在第三象限,则x ＝π＋arcsin 13＋2kπ,k ∈ZD ．若－1<a<0,则arcsina,arccosa 均在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0内 解析:当－1<a<0时,arccosa ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,故D 错．答案:D知识点三 化简求值 5．arctan33＋arcsin 32＝________. 解析:arctan 33＋arcsin 32＝π6＋π3＝π2. 答案:π2。
已知三角函数值求角
2
3 2
2
x
1 1 arccos , 2 2 arccos 4 4
1 1 x的取值集合为 arccos , 2 arccos 4 4
3.已知正切值，求角
例3.
( , ) 解：因为正切函数在 2 2 上是增函数，
3 已知tanx= ，且x∈ ( , ) ,求x的值. 2 2 3
2 2
2 例1、已知 sinx= ， 2
（2）若 x [0, 2 ] ，求x；
4 3 x 或 4 4
x
（3）若 x∈R，求x的取值集合。x | x 2k 或2k + 34 , k Z 4
4
2
3 4
3 2
2
x
y sin x
祝同学们：
15 x arccos 17
(1)sinx= 13 , x[ , ]; 2
5
y
y 5 13
2
o
2
3 2
x
y sin x
5 x arcsin 13
4 (2)tanx= , 3
x[, 2];
y
y
2
4 3
o
3 2
2
x
4 x arctan 3
(1) arcsin1 2
若x不在 [ , ] ，可结合正弦函数图 2 2 [ 象或用诱导公式转化到 , ] 上，再求角。 2 2
1 针对训练1 （1）sinx= 3
y
y
（0 x 2）
数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角 含解析 精品
数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角含解析精品----b2c135f8-6eb3-11ec-8d1d-7cb59b590d7d数学人教b版必修4示范教案：1.3.3已知三角函数值求角含解析精品示范教案整体设计教学分析在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．当已知角X的三角函数值来计算角X时，它实际上是最简单的三角方程。
因为三角函数不是定义域R的一对一映射→ 值域[-1,1]，当已知角X的三角函数值来计算角X时，不一定只有一个角，角的数量应根据角的值范围确定，该范围应在标题中给出。
如果在该范围内有多个角对应于已知的三角函数值，可分为以下步骤：第一步是确定哪个象限角X可能是；在第二步中，如果函数值为正，首先找到相应的锐角X1；如果函数值为负，首先找到与其绝对值对应的锐角X1；步骤3：如果函数值为负，则根据角X可能为的象限角，得到[0,2π]中对应的角；第4步：如果需要[0,2π]以外的角度，可以使用具有相同端边的角度具有相同三角函数值的定律来写入结果如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．三维目标1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．2.能从已知角度的正弦值、余弦值和正切值计算出[0,2π]范围内的角度，并能用反正弦、反余弦和反正切符号表示角度或角度集3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．重点难点教学重点：寻找具有已知正弦、余弦和切线值的角度教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识．课时安排1课时在教学过程中引入新课程思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．思路2（通过类比引入）当我们研究函数时，我们知道给定一个函数值，必须有一个或多个自变量中的一个值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝，你怎样2找到适合这个公式的X值吗？在学生的探究中引入新课程推进新课新知探究给定正弦值，求出角度。
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学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列叙述错误的是( )
A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内的角 B.若x ＝arcsin y ，|y|≤1，则sin x ＝y
C.若tan x 2
＝y ，则x ＝2arctan y D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]
【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x 2
＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错. 【答案】 C
2.已知sin α＝－13，－π2
＜α＜0，则α等于( ) A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－13 B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 C.arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－13 D.－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－13
，所以α＝ arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－13. 【答案】 C
3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－56
，则x 等于( ) A.arccos 56
B.－arccos 56
C.π－arccos 56
D.π＋arccos 56
【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－56＝π－arccos 56. 【答案】 C
4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33
，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z).即x ＝k π2－π12
(k ∈Z). ∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，2312
π.故选B. 【答案】 B
5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )
【72010035】
A.arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12
B.－arctan 12
C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55
D.arccos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－255 【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－12，设直线倾斜角为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255
，∴α＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255. 【答案】 D
二、填空题
6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3
≤x ≤2π3的值域为________.
【解析】 ∵－π
3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1， ∴0≤arccos(sin x)≤5π6
. 【答案】 ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π6 7.(2016·东营高一检测)若x ＝π3
是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z).。