高中数学三角函数
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。
注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg8.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 锐角三角形函数公式总结大全1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
高中数学三角函数公式大全全解
高中数学三角函数公式大全全解三角函数公式1.正弦定理：$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$（$R$为三角形外接圆半径）。
2.余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
3.海伦公式：$S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。
其中$p=(a+b+c)/2$，$S_{\triangle}$为三角形面积。
4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$，$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$，$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$，$\tan(\pi-\alpha)=\tan\alpha$，$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$，$\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$。
5.和差角公式：sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=(\tan\alpha\pm\tan\beta)/(1\mp\tan\alpha\tan \beta)$。
6.二倍角公式：（含万能公式）sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\tan\theta/(1+\tan^2\theta)$，$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta= (1-\tan^2\theta)/(1+\tan^2\theta)$，$\tan 2\theta=2\tan\theta/(1-\tan^2\theta)$。
高中三角函数公式汇总与解析
高中三角函数公式汇总与解析【引言】三角函数是高中数学中的一大重点内容，掌握三角函数的公式是学好数学的基础。
本文将对高中三角函数的公式进行汇总与解析，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
【正文】一、角度与弧度的转换在三角函数中，角可以用度数表示，也可以用弧度表示。
两者之间的转换关系如下：1度=π/180弧度1弧度=180/π度二、基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）①定义域：实数集R②值域：[-1,1]③周期性：T=2π④奇偶性：a. sin(-x) = -sin(x)b. sin(x+π) = -sin(x)2. 余弦函数（cos）①定义域：实数集R②值域：[-1,1]③周期性：T=2π④奇偶性：a. cos(-x) = cos(x)b. cos(x+π) = -cos(x)3. 正切函数（tan）①定义域：x≠(2k+1)π/2，其中k为整数②值域：实数集R③周期性：T=π④奇偶性：a. tan(-x) = -tan(x)b. tan(x+π) = tan(x)三、和差角公式1.正弦函数：sin(A±B) = sin(A)cos(B)±cos(A)sin(B) 2.余弦函数：cos(A±B) = cos(A)cos(B)∓sin(A)sin(B)tan(A±B) = (tan(A)±tan(B))/(1∓tan(A)tan(B))四、倍角公式1.正弦函数：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦函数：cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) = 2cos²(A) - 1 = 1 - 2sin²(A) 3.正切函数：tan(2A) = (2tan(A))/(1 - tan²(A))五、半角公式1.正弦函数：sin(A/2) = ±√[(1-cos(A))/2]2.余弦函数：cos(A/2) = ±√[(1+cos(A))/2]3.正切函数：tan(A/2) = ±√[(1-cos(A))/(1+cos(A))]六、倒数公式1.正弦函数：csc(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)3.正切函数：cot(A) = 1/tan(A)七、和角公式1.正弦函数：sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)2.余弦函数：cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)3.正切函数：tan(A) + tan(B) = (sin(A)+sin(B))/(cos(A)+cos(B))【结论】本文对高中三角函数的公式进行了汇总与解析，包括角度与弧度的转换、基本三角函数公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、倒数公式和和角公式。
高中数学- 三角函数公式总结
高中数学-三角函数公式总结一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：ry =αsin 余弦：rx =αcos 正切：xy=αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα三、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）＝sin α（k ∈Z ）cos （2k π＋α）＝cos α（k ∈Z ）tan （2k π＋α）＝tan α（k ∈Z ）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sin αcos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π－α）＝sin αcos （π－α）＝－cos αtan （π－α）＝－tan α公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π－α）＝－sin αcos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α微生筑梦公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （π/2＋α）＝cos αsin （π/2－α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin αcos （π/2－α）＝sin αtan （π/2＋α）＝－cot αtan （π/2－α）＝cot αsin （3π/2＋α）＝－cos αsin （3π/2－α）＝－cos αcos （3π/2＋α）＝sin αcos （3π/2－α）＝－sin αtan （3π/2＋α）＝－cot αtan （3π/2－α）＝cot α四、和角公式和差角公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=六、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，22sin b a b +=ϕ，22cos b a a +=ϕ，ab=ϕtan 。
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式篇一sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导篇二sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：半角公式篇三tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式篇四Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))高中数学三角函数知识点总结：和差化积篇五sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)高中三角函数知识点归纳篇六1.做高中数学题的时候千万不能怕难题！有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
高中数学常用三角函数公式
高中数学常用三角函数公式一、任意角的三角函数 在角a 的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =a sin 余弦：r x =a cos 正切：x y=a tan二、同角三角函数的基本关系式商数关系：a a a cos sintan =，平方关系：1cos sin 22=+a a ，221cos 1tan a a =+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -s inα sinα cos （π＋α）= -c osα cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -s inα sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -t anα tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -c osα cosα tan （π-α）= -t anα tanα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π2π--α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （2π2π--α）= -s inα sinα cos （2π2π--α）= cosα tan （2π2π--α）= -t anα tanα 公式六： 2p ±α及23p ±α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （2p -α）= cosα cos （2p -α）= sinα sin （2p +α）= cosα cos （2p +α）= -s inαsinα sin （23p -α）= -cosα cos （23p -α）= -s inα sinα sin （23p +α）= -cosα cos （23p +α）= sinα 三、两角和差公式b a b a b a sin cos cos sin )sin(×+×=+b a b a b a sin cos cos sin )sin(×-×=-b a b a b a sin sin cos cos )cos(×-×=+b a b a b a sin sin cos cos )cos(×+×=-ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×-+=+ ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×+-=- 四、二倍角公式a a a cos sin 22sin = a a a a a 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* a aa 2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）（规律：降幂扩角，升幂缩角）a a 2cos 22cos 1=+ a a 2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1a a a +=+ 2)cos (sin 2sin 1a a a -=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22j ++=+x b a x b x a （其中a b=j tan ）其中：角j 的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式：1、正弦定理：R C c B b Aa2sin sin sin ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径） 2、余弦定理A bc c b a cos 2222×-+= B ac c a b cos 2222×-+=C ab b a c cos 2222×-+=3、三角形的面积公式高底´´=D 21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===D （两边一夹角）。
高中数学_三角函数公式大全
高中数学_三角函数公式大全一、基本公式1.正弦函数的基本公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsin(A+B) + sin(A-B) = 2sinAcosB2.余弦函数的基本公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2(A) - sin^2(A)cos(A+B) + cos(A-B) = 2cosAcosB3.正切函数的基本公式：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2(A))tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)二、和差化积公式1.正弦函数的和差化积公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB2.余弦函数的和差化积公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB三、倍角公式1.正弦函数的倍角公式：sin2A = 2sinAcosA2.余弦函数的倍角公式：cos2A = cos^2(A) - sin^2(A)3.正切函数的倍角公式：tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2(A))四、半角公式1.正弦函数的半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]2.余弦函数的半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]3.正切函数的半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]五、和差化积公式1.正弦函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB2.余弦函数的和差化积公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB六、和差化积公式的应用1. sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2)2. cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)3. tanA + tanB = sin(A+B) / cosAcosBtanA - tanB = sin(A-B) / cosAcosB以上是一些常用的三角函数公式，其中涉及到的角度均为弧度制。
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三角函数常见题1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC2cos²A-1-2cos²B+1+2sin²C=2sinBsinCcos²A-cos²B+sin²(A+B)=sinBsinCcos²A-cos²B+sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B=sinBsinCcos²A-cos²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B=sinBsinC2cos²AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B)2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0Sin(A+B)(2cosA-1)=0cosA=1/2A=602、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα<===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)²<===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa<===>0=0恒成立以上各步可逆，原命题成立证毕3、在△ABC中,sinB*sinC=cos²(A/2),则△ABC的形状是?sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/22sinBsin(A+B)=1+cosA2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosAsin2BsinA+2cosAsin²B-cosA-1=0sin2BsinA+cosA(2sin²B-1)=1sin2BsinA-cosAcos2B=1cos2BcosA-sin2BsinA=-1cos(2B+A)=-1因为A，B是三角形内角2B+A=180因为A+B+C=180所以B=C三角形ABC是等腰三角形4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合-1≤cos(x/3)≤1-1≤-cos(x/3)≤11≤2-cos(x/3)≤3值域[1,3]当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z}5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A[(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB2sin(A+B)cosA=sinAcosB+cosAsinB2sin(A+B)cosA-sin(A+B)=0sin(A+B)(2cosA-1)=0sin(A+B)≠0cosA=1/2A=60度6、已知2cosx=3cosy求证：3cosx-2cosy/2siny-3sinx=tan(x+y)证明：3cosx-2cosy/2siny-3sinx=tan(x+y)<==>(3cosx-2cosy)/(2siny-3sinx)=sin(x+y)/cos(x+y)<==>(3cosx-2cosy)/(2siny-3sinx)=(sinxcosy+cosxsiny)/(cosxcosy-sinxsiny)<==>3cos²xcosy-3cosxsinxsiny-2cosxcos²y+2sinxcosxsiny=2sinxsinycosy+2sin²ycos x-3sin²xcosy-3sinxcosxsiny<==>3cos²xcosy+3sin²xcosy=2sin²ycosx+2cos²ycosx<==>3cosy(sin²x+cos²x)=2cosx(sin²y+cos²y)<==>3cosy=2cosx已知所以以上各步可逆原命题成立7、已知△ABC中，sinB+sinC=√2sinA，且边长a=4，若S△ABC=3sinA，求cosA 的值正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R代入b/2R+c/2R=4√2/2Rb+c=4√2(1)1/2bcsinA=3sinAbc=6(2)(1)平方b²+2bc+c²=32b²+c²=20余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(20-16)/12=1/38、在三角形ABC中，角ABC的对边分别为abc已知sin^2*2C+sin2CsinC+cos2C=1.且a＋b＝5，c＝跟号7求（1）角C的大小（2）三角形ABC的面积sin²2C+sin2CsinC+cos2C=1sin2CsinC+cos2C=cos²2C2sin²CcosC+cos2C(1-cos2C)=02sin²CcosC+2sin²Ccos2C=0C不为0所以cosC+cos2C=02cos²C+cosC-1=0(2cosC-1)(cosC+1)=0cosC=1/2或cosC=-1(舍去)C=π/3余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)1/2=[(a+b)²-2ab-c²]/(2ab)3ab=18ab=6S三角形ABC=1/2absinC=1/2×6×sin60=3√3/29、π/4<a<3π/40<a-π/4<π/2a-π/4是第一象限角所以sin(a-π/4)=√[1-cos²(a-π/4)]=√48/7cos(a-π/4)=1/7-π/4<b<π/4π/2<3π/4+b<π所以3π/4+b是第二象限角所以cos(3π/4+b)=-√75/14sin(a+b)=-cos(a+b+π/2)=-cos(a-π/4+b+3π/4)=sin(a-π/4)sin(b+3π/4)-cos(a-π/4)cos(b+3π/4)=√48/7×11/14+1/7×√75/14=√3/2π/4<a<3π/4-π/4<b<π/40<a+b<π所以a+b=π/3或2π/310、在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是叫A、B、C所对的边，C为60度，c=根号7，且三角形ABC的面积为3*根号3/2，求a+b的值S三角形ABC=1/2absinC3√3/2=1/2absin60ab=6余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)cos60=(a²+b²-7)/(2×6)a²+b²=7+6a²+b²=13(a+b)²-2ab=13(a+b)²=25a+b=5因为a>0，b>011、三角形ABC中,cosA=12/13,cosB=-3/5,则sinCcosA=12/13所以A为锐角sin²A=1-cos²A=1-144/169=25/169sinA=5/13cosB=-3/5所以B为钝角sin²B=1-cos²B=1-9/25=16/25sinB=4/5sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=5/13×（-3/5）+12/13×4/5=-15/65+48/65=33/6512、若a,b,c分别表示三角形ABC内角ABC所对的边长，且（sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB.若三角形面积为10根号3，周长20，求边c。
解：(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB(sinA+sinB)²-sin²C=3sinAsinBsin²A+2sinAsinB+sin²B-sin²(A+B)=3sinAsinBsin²A+sin²B-(sinAcosB+cosAsinB)²=sinAsinBsin²A+sin²B-sin²Acos²B-2sinAcosBcosAsinB-cos²Asin²B=sinAsinB2sin²Asin²B-2sinAcosBsinBcosA=sinAsinBcosAcosB-sinAsinB=-1/2cos(A+B)=-1/2A+B=2π/3所以C=π-(A+B)=π/3S三角形ABC=1/2absinC1/2ab×sin(π/3)=10√3ab=40(1)根据题意a+b+c=20则a+b=20-c余弦定理c²=a²+b²-2abcosCc²=a²+b²+2ab-3abc²=(a+b)²-3abc²=(20-c)²-120c²=400-40c+c²-12040c=280c=713、在三角形ABC中，A，B，C，为三角形的三个内角，且满足条件sin(A-C)=1，sinB=3分之1，第一问：求sinA的值。
sin(A-C)=1所以A-C=π/2C=A-π/2sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcos(A-π/2)+cosAsin(A-π/2)=sin²A-cos²A所以sin²A-cos²A=1/3sin²A+cos²A=1两式相加sin²A=2/3因为A为三角形内角14、△ABC中，若tanA/tanB=a^2/b^2,则△ABC的形状是？解：正弦定理：a/sinA=b/sinB=2R（R为外接圆半径）a=2RsinA，b=2RsinBtanA/tanB=a²/b²sinAcosB/(cosAsinB)=sin²A/sin²BcosB/cosA=sinA/sinB2sinBcosB=2sinAcosAsin2A-sin2B=0因为A，B是三角形内角所以2A=2B或2A+2B=180即A+B=90即A=B或A+B=90度所以三角形为直角三角形或等腰三角形15、已知π/2<a<π,0<β<π/2,sina=3/5,cos(β-a)=5/13,求sinβ的值解：π/2<a<π-π<-a<-π/20<β<π/2-π<β-a<00<a-β<πsina=3/5,cosa=-4/5cos(β-a)=5/13,sin(a-β)=12/13sinβ=sin(a+β-a)=sinacos(β-a)+cosasin(β-a)=sinacos(a-β)-cosasin(a-β)=3/5×5/13+4/5×12/13=63/6516、已知a∈(-π,0),b∈(0,π/2),且tana=1/7.cosb=3√10/10,求a+2b的值解：b在第一象限，根据cosb=3√10/10=3/√10我们在斜边为√10，b的对边为1，邻边为3的直角三角形中求出tanb=1/3 tan2b=2tanb/[1-tan^2(b)]=(2×1/3)/(1-1/9)=3/4tan(a+2b)=(tana+tan2b)/(1-tana*tan2b)=(1/7+3/4)/(1-1/7*3/4)=1因为0<b<π/2所以0<2b<π又因为tan2b=3/4>0所以0<2b<π/2因为-π<a<0所以-π<a+2b<π/2那么a+2b是第二象限角所以a+2b=3π/417、三角形中，c=2bcosA.求证A=B证明：余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)所以c=2b(b²+c²-a²)/(2bc)c²=b²+c²-a²a²=b²所以a=b即A=B证毕18、sin（α+π/3）+sinα= -4根号3分之5，-π/2＜α＜0，则cosα=? sin(a+π/3)+sina=-4√3/51/2sina+√3/2cosa+sina=-4√3/53/2sina+√3/2cosa=-4√3/5√3/2sina+1/2cosa=-4/5cos(a-π/3)=-4/5-π/2<a<0-5π/6<a-π/3<-π/3sin(a-π/3)=-3/5cosa=cos(a-π/3+π/3)=cos(a-π/3)cos(π/3)-sin(a-π/3)sin(π/3)=(-4/5)×(1/2)+(3/5)×(√3/2)=(3√3-4)/1019、已知三角形ABC的周长为4(√2 +1)且sinB+sinC=√2 sinA,(1)求边长a的值(2)若三角形ABC面积=3sinA. 求cosA的值解：（1）a+b+c=4(√2+1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC2R（sinA+sinB+sinC）=4（√2+1）2R（sinA+√2sinA）=4（√2+1）2RsinA=4a=4（2）S=1/2bcsinA根据题意1/2bcsinA=3sinAbc=6因为a+b+c=4√2+4所以b+c=4√2b²+c²+2bc=32b²+c²=20余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(20-16)/12=4/12=1/320、sinB*sinC=cos²(A/2)求三角形的形状sinB*sinC=cos²(A/2)sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/22sinBsin(A+B)=1+cosA2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA2sinAsinBcosB+2cosAsin²B=1+cosAsinAsin2B-cosA(1-2sin²B)=1sinAsin2B-cosAcos2B=1cosAcos2B-sinAsin2B=-1cos(A+2B)=-1因为A+B+C=π所以B=C那么三角形是等腰三角形21、计算cos20°-cos40°+cos60°+cos100°=cos20°-cos40°-cos80°+1/2=cos20°-cos40°-cos(20°+60°)+1/2=cos20°-cos40°+sin20°sin60°-cos20°cos60°+1/2=cos20°-cos40°-1/2cos20°+√3/2sin20°+1/2=1/2cos20°+√3/2sin20°-cos40°+1/2=cos(60°-20°)-cos40°+1/2=cos40°-cos40°+1/2=1/222在三角形ABC中，（√3b--c）cosA=acosC,则cosA=？正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2Ra=2RsinA，b=2RsinB,c=2RsinC那么2R约掉方程变为(√3sinB-sinC)/sinA=cosC/cosAC=180-A-B代入[√3sinB-sin(A+B)]cosA=-sinAcos(A+B)√3sinBcosA-sinAcosBcosA-cosAsinBcosA=-sinA(cosAcosB-sinAsinB) √3sinBcosA-sinAcosAcosB-cos²AsinB=sin²AsinB-sinAcosAcosB√3sinBcosA=sinB(sin²A+cos²A)sinB不为0所以√3cosA=1cosA=√3/323、。